अवकल ज्यामिति

एक सैडल-आकृति वाले विमान (एक अतिपरवलयिक परवलयिक) में विसर्जित एक त्रिभुज, साथ ही साथ दो अपसारी अतिपरवलयिक ज्यामिति#गैर प्रतिच्छेदन/समानांतर रेखाएं।

विभेदक ज्यामिति एक गणित अनुशासन है जो चिकनी आकृतियों और चिकनी जगहों की ज्यामिति का अध्ययन करता है, अन्यथा चिकनी कई गुना के रूप में जाना जाता है। इसमें अवकलन कलन, समाकलन कलन, रेखीय बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित की तकनीकों का उपयोग किया जाता है। प्राचीन काल इस क्षेत्र की उत्पत्ति गोलाकार ज्यामिति के अध्ययन में हुई है। यह खगोल विज्ञान, पृथ्वी के भूगणित और बाद में लोबचेव्स्की द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के अध्ययन से भी संबंधित है। चिकने स्थानों के सबसे सरल उदाहरण वक्रों की विभेदक ज्यामिति और त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सतहों की विभेदक ज्यामिति हैं, और इन आकृतियों के अध्ययन ने 18वीं और 19वीं शताब्दियों के दौरान आधुनिक विभेदक ज्यामिति के विकास का आधार बनाया।

19वीं सदी के उत्तरार्ध के बाद से, विभेदक ज्यामिति अलग-अलग कई गुना पर ज्यामितीय संरचनाओं के साथ अधिक सामान्यतः संबंधित क्षेत्र में विकसित हो गई है। एक ज्यामितीय संरचना वह है जो आकार, दूरी, आयतन या अन्य कठोर संरचना की कुछ धारणा को परिभाषित करती है। उदाहरण के लिए, रीमानियन ज्यामिति में दूरी और कोण निर्दिष्ट किए गए हैं, सहानुभूति ज्यामिति में मात्रा की गणना की जा सकती है, अनुरूप ज्यामिति में केवल कोण निर्दिष्ट किए जाते हैं, और गेज सिद्धांत (गणित) में कुछ क्षेत्र अंतरिक्ष पर दिए जाते हैं। विभेदक ज्यामिति निकट से संबंधित है, और कभी-कभी अंतर सांस्थिति को सम्मालितकरने के लिए लिया जाता है, जो अलग-अलग कई गुना के गुणों से संबंधित होता है जो किसी भी अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना पर भरोसा नहीं करते हैं (दो विषयों के बीच अंतर पर अधिक चर्चा के लिए लेख देखें)। विभेदक ज्यामिति भी अंतर समीकरण के सिद्धांत के ज्यामितीय पहलुओं से संबंधित है, अन्यथा ज्यामितीय विश्लेषण के रूप में जाना जाता है।

विभेदक ज्यामिति गणित और प्राकृतिक विज्ञान में अनुप्रयोगों को खोजती है। सबसे प्रमुख रूप से विभेदक ज्यामिति की भाषा का उपयोग अल्बर्ट आइंस्टीन ने अपने सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में और बाद में भौतिकविदों द्वारा क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और कण भौतिकी के मानक नमूना के विकास में किया था। भौतिकी के बाहर, विभेदक ज्यामिति का उपयोग रसायन विज्ञान , धरती शास्त्र, अभियांत्रिकी , नियंत्रण सिद्धांत , कंप्यूटर ग्राफिक्स और कंप्यूटर दृष्टी और हाल ही में मशीन लर्निंग में किया गया है।

इतिहास और विकास

एक विषय के रूप में विभेदक ज्यामिति का इतिहास और विकास कम से कम पारस्पारिक पुरातनता के रूप में प्रारंभ होता है। यह अंतरिक्ष और आकार की धारणा, और सांस्थिति, विशेष रूप से विविध के अध्ययन से अधिक सामान्यतःज्यामिति के विकास से जुड़ा हुआ है। इस खंड में हम मुख्य रूप से ज्यामिति के लिए अतिसूक्ष्म तरीकों के अनुप्रयोग के इतिहास पर और बाद में स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के विचारों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और अंततः टेंसर और टेंसर क्षेत्रों के संदर्भ में विषय की आधुनिक औपचारिकता के विकास पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

पुनर्जागरण तक पारस्पारिक पुरातनता (300 ई.पू – 1600 ई.)

विभेदक ज्यामिति का अध्ययन, या कम से कम चिकनी आकृतियों की ज्यामिति का अध्ययन, कम से कम पारस्पारिक पुरातनता का पता लगाया जा सकता है। विशेष रूप से, प्राचीन यूनानी गणितज्ञों के समय में, पृथ्वी की ज्यामिति, एक गोलाकार ज्यामिति के बारे में बहुत कुछ जाना जाता था। उत्कृष्ट रूप से, एराटोस्थनीज ने लगभग 200 ईसा पूर्व के नजदीक पृथ्वी की परिधि की गणना की थी, और लगभग 150 ईस्वी में टॉलेमी ने अपने भूगोल में पृथ्वी के आकार के आकृतिण के उद्देश्यों के लिए त्रिविम प्रक्षेपण की प्रारंभ की। स्पष्ट रूप से इस पूरे समय के सिद्धांत जो विभेदक ज्यामिति और कलन की नींव बनाते हैं, का उपयोग भूगणित में किया जाता था, चूँकि बहुत सरल रूप में अर्थात्, यूक्लिड के तत्वों के रूप में यह समझा गया था कि एक सीधी रेखा को दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटी दूरी प्रदान करने की अपनी संपत्ति से परिभाषित किया जा सकता है, और इसी सिद्धांत को पृथ्वी की सतह पर लागू करने से यह निष्कर्ष निकलता है कि बड़े वृत्त, जो केवल स्थानीय रूप से एक समतल तल में सीधी रेखाओं के समान होते हैं, पृथ्वी की सतह पर दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता प्रदान करते हैं। वास्तव में एराटोस्थनीज और अन्य लोगों द्वारा इस तरह के geodesic पथों के साथ दूरी के मापन को वक्रों की चाप की लम्बाई का प्राथमिक माप माना जा सकता है, एक ऐसी अवधारणा जिसे 1600 के दशक तक कलन के संदर्भ में एक कठोर परिभाषा नहीं दिखाई देती थी।

इस समय के नजदीक ज्यामिति के अध्ययन के लिए इनफिनिटिमल्स के सिद्धांत के केवल न्यूनतम प्रत्यक्ष अनुप्रयोग थे, जो विषय के आधुनिक कलन-आधारित अध्ययन का अग्रदूत था। यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में एक वृत्त के लिए एक रेखा की स्पर्शरेखा की धारणा पर चर्चा की जाती है, और आर्किमिडीज ने वृत्त जैसे चिकने आकार के क्षेत्रों की गणना करने के लिए थकावट की विधि लागू की, और गोले, शंकु, और बेलन जैसे चिकने त्रि-आयामी ठोस के आयतन की गणना की।

पुरातनता और पुनर्जागरण की प्रारंभ के बीच अंतर ज्यामिति के सिद्धांत में बहुत कम विकास हुआ था। आइजैक न्यूटन और लाइबनिट्स द्वारा कलन के विकास से पहले, अंतर ज्यामिति की समझ में सबसे महत्वपूर्ण विकास जेरार्ड मर्केटर के मर्केटर प्रोजेक्शन के विकास से पृथ्वी के आकृतिण के तरीके के रूप में हुआ। मर्केटर को अपने आकृति आकृति के फायदे और नुकसान की समझ थी, और विशेष रूप से उनके प्रक्षेपण के अनुरूप आकृति प्रक्षेपण प्रकृति के साथ-साथ ही प्राग पृथ्वी पर सबसे छोटी दूरी की रेखाएं,और दिशा के के बीच अंतर, उसके आकृति पर सीधी रेखा पथ बारे में पता था। मर्केटर ने उल्लेख किया कि इस प्रक्षेपण में प्राग तिरछी वक्रता थी। यह तथ्य एक समतल तल पर पृथ्वी की सतह के एक आइसोमेट्री | अव्व्याहो-संरक्षण आकृति की कमी को दर्शाता है, जो गॉस के बाद के प्रमेय एग्रेगियम का परिणाम है।

कलन के बाद (1600-1800)

एक ऑस्क्यूलेटिंग सर्कल

गणना से इनफिनिटिमल्स के सिद्धांत और धारणाओं का उपयोग करते हुए ज्यामिति का पहला व्यवस्थित या कठोर उपचार 1600 के दशक के नजदीक प्रारंभ हुआ जब कलन को पहली बार गॉटफ्रीड लीबनिज और आइजैक न्यूटन द्वारा विकसित किया गया था। इस समय, रेने डेसकार्टेस के हालिया काम ने ज्यामिति के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति की प्रारंभ की, जिससे बढ़ती जटिलता के ज्यामितीय आकृतियों को सख्ती से वर्णित किया जा सके। विशेष रूप से इस समय के नजदीक पियरे डी फ़र्माटा , न्यूटन और लाइबनिज़ ने समतल वक्र अवधारणाओं की जांच की अध्ययन प्रारंभ की जैसे कि विभक्ति बिंदु और दोलन वृत्त के वृत्त, जो वक्रता के मापन में सहायता करते हैं। वास्तव में पहले से ही अपने सबसे बड़े और सबसे छोटे के लिए एक नई विधि में कलन की नींव पर, लाइबनिज ने नोट किया कि असीम स्थिति $$