घातांक

bn
अंकन पद्धति
आधार b तथा प्रतिपादक n

File:Expo02.svg

के रेखांकन y = b^x विभिन्न आधारों के लिए b:   base 10,   base e,   base 2,   base 1/2. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है (0, 1) क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है x = 1, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

घातांक एक गणित प्रवर्तन(गणित) है, जिसे bⁿ लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b(उठाया गया) से(की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक घनात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है

$$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.$$

प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को n ^th की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b(उठाया गया) को n की घात", "b की n ^th घात", "b को n th की घात", [2] या संक्षेप में "b से n th" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से प्रारम्भ करते हुए, किसी भी घनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए , $b^{n}$ $n$ की घटनाएं $b$ है और सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:

$${\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}$$

दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार हम यह व्युत्त्पन्न कर सकते हैं की $b^{0}$को 1 के बराबर होना चाहिए। किसी $n$ के लिए, $b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}$ दोनों पक्षों को $b^{n}$ द्वारा विभाजित करना $b^{0}=b^{n}/b^{n}=1$ देता है।

$b^{1}=b$ यह तथ्य समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $(b^{1})^{3}=b^{1}\cdot b^{1}\cdot b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}$. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर $b^{1}=b$ प्राप्त होता है।

नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि $b^{-1}$ का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन $b^{-1}\cdot b^{1}=b^{-1+1}=b^{0}=1$ होना चाहिए। दोनों पक्षों द्वारा $b^{1}$ को विभाजित करना $b^{-1}=1/b^{1}$ देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम $b^{1}=b$ का उपयोग करके $b^{-1}=1/b$ लिखा जा सकता है और इसी तरह के तर्क से $b^{-n}=1/b^{n}$ लिखा जा सकता है।

भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं ${\sqrt {b}}$ और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम $r$ कह सकते हैं , ऐसा कि $b^{r}={\sqrt {b}}$. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास ${\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}=b$ है इसलिए, प्रतिपादक $r$ $b^{r}\cdot b^{r}=b$ जैसा होना चाहिए। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और $b^{r+r}=b$ देता है। $b$ h> को दायीं ओर $b^{1}$ रूप में भी लिखा जा सकता है, $b^{r+r}=b^{1}$दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास $r+r=1$ है इसलिए, $r={\frac {1}{2}}$, इसलिए ${\sqrt {b}}=b^{1/2}$।

घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को आव्यूह (गणित) सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

अर्थशास्त्र, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, भौतिक विज्ञान और परिकलक विज्ञान सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि चक्रवृद्धि ब्याज, जनसंख्या वृद्धि, रासायनिक प्रतिक्रिया गतिविज्ञान, तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी कूटलेखन।

अंकन का इतिहास

शब्द घात(Latin: क्षमता, शक्ति, गौरव) एक गलत अनुवाद है प्राचीन ग्रीक डुनामिस(ड्यूनामिस, यहां प्रवर्धन एक रेखा के वर्ग के लिए ग्रीक गणित गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रयोग किया जाता है,चिऔस के हिप्पोक्रेट्स के बाद रेत रेकनर में, आर्किमिडीज ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे सिद्ध किया, 10^a · 10^b = 10^a+b की घात में क्रमभंग करने के लिए 10 आवश्यक हैl 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक वर्ग(बीजगणित) के लिए धन(माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का प्रयोग किया था - मुसलमानो ने , उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति-और काबा(कबाह, घन) एक घन(बीजगणित) के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने गणितीय अंकन में अक्षरों mim(m) और kaf(k) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।

16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का प्रयोग किया। निकोलस चुक्वेट ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का प्रयोग किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में हेनरी ग्रैमेटियस और माइकल स्टिफेल ने प्रयोग किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था। सैमुअल जेक ने 1696 में तालिका शब्द की प्रारम्भ की। 16वीं शताब्दी में, रॉबर्ट रिकॉर्डे ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक (चौथी घात), सुरसॉलिड (पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब (छठा), दूसरा सुरसॉलिड (सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक (आठवाँ) शब्दों का प्रयोग किया। बाइकाड्रेट का उपयोग चौथी घात को भी संदर्भित करने के लिए किया गया है।

17वीं शताब्दी की प्रारम्भ में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला ज्यामिति नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति प्रस्तावित किया गया है।

कुछ गणितज्ञों(जैसे आइजैक न्यूटन) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे बहुपद लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे ax + bxx + cx³ + d.

एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची,समावेशन, अब दुर्लभ है और प्रत्यावर्तन(गणित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

1748 में, लियोनहार्ड यूलर ने परिवर्ती घातांकों को प्रस्तुत किया, और, निहित रूप से, गैर-पूर्णांक घातांकों को लिखकर:

"घातांक या शक्ति पर विचार करें जिसमें घातांक स्वयं एक चर है। यह स्पष्ट है कि इस प्रकार की मात्राएँ बीजगणितीय फलन नहीं हैं, क्योंकि उनमें घातांक स्थिर होने चाहिए."

शब्दावली

भावाभिव्यक्ति b² = b · b b वर्ग या b का वर्ग(बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई वाले वर्ग b का क्षेत्रफल b² है .

इसी प्रकार, अभिव्यक्ति b³ = b · b · b b घन या b का घन(बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई b वाले घन का आयतन b³ है .

जब यह एक घनात्मक पूर्णांक होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. आधार 3 5 बार गुणन में दिखाई पड़ना, क्योंकि प्रतिपादक 5 है . यहां, 243 3 की 5वीं घात है, या 5 की 3 घात है।

उठाया शब्द सामान्यतः छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी घात भी 3⁵ केवल 3 से 5 तक, या 3 से 5 तक पढ़ा जा सकता है। इसलिए, घातांक bⁿ n की घात के लिए b के रूप में, nवें के घात के लिए b के रूप में, nवें के लिए b के रूप में, या संक्षेप में b से n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

नेस्टेड घातांक वाला सूत्र, जैसे 3⁵⁷(जिसका मतलब है 3⁽⁵⁷⁾ न की (3⁵)⁷), घात का स्तंभ या केवल एक स्तंभ कहा जाता है।

पूर्णांक घातांक

पूर्णांक घातांक वाले घातांक संक्रिया को प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं से सीधे परिभाषित किया जा सकता है।

घनात्मक घातांक

एक पुनरावृत्त गुणन के रूप में घातांक की परिभाषा गणितीय प्रेरण का उपयोग करके औपचारिक प्रमाण हो सकती है, और जब किसी के पास सहयोगीता गुणन हो तो इस परिभाषा का उपयोग जल्द से जल्द किया जा सकता है :

आधार आवेष्टन है।

$b^{1}=b$

और पुनरावृत्ति संबंध है।

$b^{n+1}=b^{n}\cdot b.$

गुणन की साहचर्यता का अर्थ है कि किसी भी घनात्मक पूर्णांक m तथा n, के लिए

$b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},$

तथा

$(b^{m})^{n}=b^{mn}.$

शून्य प्रतिपादक

परिभाषा के अनुसार, किसी भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 है::

$b^{0}=1.$

यह परिभाषा ही एकमात्र यथासम्भव है जो सूत्र को विस्तारित करने की अनुमति देती है

$b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}$

शून्य घातांक तक इसका उपयोग प्रत्येक बीजगणितीय संरचना में गुणा के साथ किया जा सकता है जिसमें गुणात्मक पहचान होती है।

सहज रूप से, $b^{0}$ की की व्याख्या b की प्रतियों के खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है। तो, समानता $b^{0}=1$ खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है।

0⁰ प्रकर्ण अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक घात पर विचार किया जाता है, मान 1 सामान्यतः $0^{0},$को सौंपा गया है लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। अधिक विवरण के लिए, देखें शून्य की घात शून्य.

ऋणात्मक घातांक

ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए n है और अशून्य b धारण करता है:

$b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$.

0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत($\infty$) के रूप में की जा सकती है .

ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान $b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}$ को विस्तारित करने की अनुमति देती है( $m=-n$ प्रकर्ण पर विचार करें).

समान परिभाषा गुणक एकाभ में उलटा तत्वों पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है 1(उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग आव्यूह)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व x का व्युत्क्रम मानक $x^{-1}$ रूप से दर्शाया गया है

पहचान और गुण

"सूचकांकों के नियम" redirects here. For घोड़ा, see सूचकांकों के नियम(घोड़ा).

निम्नलिखित सर्वसमिका(गणित), प्रायः प्रतिनिधि नियम कहा जाता है, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए धारण करता है, बशर्ते कि आधार शून्य न हो::${\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}$ जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रमविनिमेय नहीं है। उदाहरण के लिए, 2³ = 8 ≠ 3² = 9. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, (2³)² = 8² = 64, चूँकि 2⁽³²⁾ = 2⁹ = 512. कोष्ठक के बिना, मूर्धांक संकेत पद्धति में क्रमिक घातांक के संचालन का पारंपरिक क्रम ऊपर से नीचे (या दाहिना- साहचर्य) है, नीचे से ऊपर नहीं(या बाया-सहयोगी)। अर्थात् ,

$b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},$

जो, सामान्य रूप से, से अलग है

$\left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.$

राशि की घात

एक राशि की घात की गणना सामान्य रूप से द्विपद सूत्र द्वारा योग की घात से की जा सकती है

$(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.$

हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह ab = ba), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए यदि a तथा b, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि परिकलक बीजगणित में, पूर्णांक घातांक वाले कई कलन विधि को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं(कभी-कभी ^^ के बदले ^) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है।

मिश्रित व्याख्या

See also: समुच्चय पर घातांक

गैर-नकारात्मक पूर्णांकों n तथा m के लिए, n^m का मान है m तत्व के एक समुच्चय (गणित) से n तत्वों का एक समुच्चय तक प्रकार्य(गणित) की संख्या है( प्रमुख घातांक देखें)। ऐसे कार्यों को n-तत्व समुच्चय से m-टुपल्स के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है(या n-अक्षर वर्णमाला से m-अक्षर शब्द)। m तथा n के विशेष मूल्यों के लिए कुछ उदाहरण निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

nm	the nm possible m-tuples of elements from the set {1, ..., n}
05 = 0	none
14 = 1	(1, 1, 1, 1)
23 = 8	(1, 1, 1),(1, 1, 2),(1, 2, 1),(1, 2, 2),(2, 1, 1),(2, 1, 2),(2, 2, 1),(2, 2, 2)
32 = 9	(1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 1),(3, 2),(3, 3)
41 = 4	(1),(2),(3),(4)
50 = 1	()

दस की घातयाँ

See also: Scientific notation

Main article: 10 की घात

संख्या प्रणाली में आधार दस(दशमलव), के पूर्णांक घातांक 10 अंक 1 के रूप में घातांक के चिह्न और परिमाण द्वारा निर्धारित कई शून्यों के बाद या उससे पहले लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, 10³ = 1000 तथा 10⁻⁴ = 0.0001.

आधार के साथ घातांक 10 बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए वैज्ञानिक संकेतन में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 299792458 m/s(निर्वात में प्रकाश की गति, मीटर प्रति सेकंड में) के रूप में लिखा जा सकता है 2.99792458×10⁸ m/s और फिर सन्निकटन के रूप में 2.998×10⁸ m/s.

SI उपसर्ग की घात के आधार पर 10 छोटी या बड़ी मात्रा का वर्णन करने के लिए भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उपसर्ग किलो- का अर्थ है 10³ = 1000, तो एक किलोमीटर है 1000 m.

दो की घात

Main article: Power of two

2 की पहली नकारात्मक घात सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं, और उनके विशेष नाम होते हैं, जैसे: एक आधा और 4(संख्या)।

2 की घात समुच्चय सिद्धान्त में दिखाई देते हैं, क्योंकि एक समुच्चय के साथ n सदस्यों के पास एक घात समुच्चय होता है, इसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, जिसमें 2ⁿ सदस्य होते हैं।

2 की पूर्णांक घात परिकलक विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं। धनात्मक पूर्णांक घात 2n एक n- द्रव्यंक पूर्णांक युग्मक संख्या के लिए संभावित मानों की संख्या देता है; उदाहरण के लिए, एक अष्ट द्वंयक में 2⁸ = 256 विभिन्न मान हो सकते हैं। युग्मक संख्या प्रणाली किसी भी संख्या को घातों 2 के योग के रूप में व्यक्त करती है, और इसे एक युग्मक बिंदु द्वारा अलग किया गया अनुक्रम 0 तथा 1 के रूप में दर्शाता है,, 1 जहां 2 की घात को दर्शाता है जो योग में प्रकट होता है; प्रतिपादक इस के स्थान से निर्धारित होता है कि 1: अऋणात्मक घातांक की कोटि है बिंदु 1 के बाईं ओर(से प्रारम्भ 0), और नकारात्मक घातांक बिंदु के दाईं ओर रैंक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

एक की घात

एक की घात सभी एक हैं: 1ⁿ = 1.

संख्या की पहली घात संख्या ही है: $n^{1}=n.$

शून्य की घात

यदि प्रतिपादक n घनात्मक है(n > 0), n शून्य की घात शून्य है: 0ⁿ = 0.

यदि प्रतिपादक n नकारात्मक है(n < 0), nशून्य की घात 0ⁿ अपरिभाषित है, क्योंकि यह बराबर होना चाहिए $1/0^{-n}$ के साथ −n > 0, और यह $1/0$ उपरोक्त के अनुसार होगा।

शून्य की घात शून्य 0⁰ या तो 1 के रूप में परिभाषित किया गया है, या इसे अपरिभाषित छोड़ दिया गया है।

नकारात्मक की घात

यदि n एक सम पूर्णांक है तब (−1)ⁿ = 1.

यदि n एक विषम पूर्णांक है तब (−1)ⁿ = −1.

इस वजह से, −1 की घात वैकल्पिक अनुक्रमों को व्यक्त करने के लिए उपयोगी हैं। सम्मिश्र संख्या i की घातों की इसी तरह की चर्चा के लिए , § सम्मिश्र संख्याओं की घात देखिए।

बड़े घातांक

एक से अधिक संख्या की घात के अनुक्रम की सीमा भिन्न होती है; दूसरे शब्दों में, अनुक्रम बिना किसी सीमा के बढ़ता है:

bⁿ → ∞ जैसा n → ∞ जब b > 1

इसे इस प्रकार पढ़ा जा सकता है "b की घात n की प्रवृत्ति +∞ की ओर जाती है क्योंकि जब b एक से बड़ा होता है तब n अनंत की ओर जाता है "।

एक से कम पूर्ण मान वाली संख्या की घात शून्य की ओर प्रवृत्त होती है:

bⁿ → 0 जैसा n → ∞ जब |b| < 1

एक की कोई भी घात हमेशा एक होती है:

bⁿ = 1 सभी के लिए n यदि b = 1

-1 की घात 1 और -1 के बीच वैकल्पिक होती है क्योंकि n सम और विषम के बीच वैकल्पिक होती है, और इस प्रकार n बढ़ने पर किसी सीमा तक नहीं जाती है।

यदि b <-1, bn बड़े और बड़े धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच वैकल्पिक होता है क्योंकि n सम और विषम के बीच वैकल्पिक होता है, और इस प्रकार n बढ़ने पर किसी सीमा तक नहीं जाता है।

यदि घातांक संख्या 1 की ओर रुझान करते समय भिन्न होता है जैसा कि प्रतिपादक अनंत की ओर जाता है, तो जरूरी नहीं कि सीमा उपरोक्त में से एक हो। विशेष रूप से महत्वपूर्ण आवेष्टन है

(1 + 1/n)ⁿ → e जैसा n → ∞

देखना§ घातीय कार्य नीचे।

अन्य सीमाएँ, विशेष रूप से वे अभिव्यक्तियाँ जो एक अनिश्चित रूप धारण करती हैं, नीचे § घातों की सीमा में वर्णित हैं ।

घात प्रकार्य

File:Potenssi 1 3 5.svg

घात के लिए कार्य करता है $n=1,3,5$

File:Potenssi 2 4 6.svg

$n=2,4,6$ घात के लिए कार्य करता है

$f(x)=cx^{n}$ रूप के वास्तविक कार्य, जहाँ पर $c\neq 0$, कभी-कभी घात कार्य कहलाते हैं। जब $n$ एक पूर्णांक है और $n\geq 1$, दो प्राथमिक परिवार उपस्थित होते हैं: $n$ सम के लिए, और $n$ विषम के लिए। सामान्यतः $c>0$ के लिए, जब $n$ सम $f(x)=cx^{n}$है तो बढ़ने के साथ $x$ धनात्मक अनन्तता(गणित) की ओर प्रवृत्त होगा, और घटते हुए $x$ घनात्मक अनंत की ओर भी। सम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार $y=cx^{2}$होता है, $n$ के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण बढ़ता है। इस तरह की समरूपता ($f(-x)=f(x)$) के साथ कार्य सम फलन कहलाता है।

जब $n$ विषम है, $f(x)$का स्पर्शोन्मुख व्यवहार घनात्मक $x$ से नकारात्मक $x$ के लिए उलट जाता है। $c>0$ के लिये , $f(x)=cx^{n}$ बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता(गणित) की ओर भी $x$ प्रवृत्त होगा, लेकिन घटने के साथ $x$ नकारात्मक अनंतता की ओर प्रवृत्त होगा। विषम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार $y=cx^{3}$ होता है ,$n$ के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण के लिए सीधी रेखा में बढ़ता है और $n=1$ सभी समतलता खो देता है। इस तरह की समरूपता ($f(-x)=-f(x)$) के साथ कार्य करने को विषम फलन कहलाते हैं।

$c<0$ के लिये, प्रत्येक प्रकर्ण में विपरीत स्पर्शोन्मुख व्यवहार सत्य है।

दशमलव अंकों की घातों की तालिका

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049
4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576
5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625
6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176
7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249
8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824
9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401
10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000

विवेकपूर्ण घातांक

File:Mplwp roots 01.svg

ऊपर से नीचे: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

यदि x एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है, और n एक घनात्मक पूर्णांक है, $x^{1/n}$ या ${\sqrt[{n}]{x}}$ अद्वितीय धनात्मक वास्तविक nवें मूल को दर्शाता है n का वर्गमूल x है, अर्थात्, अद्वितीय घनात्मक वास्तविक संख्या y इस तरह है कि $y^{n}=x$।

यदि x एक घनात्मक वास्तविक संख्या है, और ${\frac {p}{q}}$ एक परिमेय संख्या के साथ p तथा q ≠ 0 पूर्णांक है, फिर ${\textstyle x^{p/q}}$ को निम्न की तरह परिभाषित किया गया है:

$x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.$

$y=x^{\frac {1}{q}},$समायोजन करके और $(x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.$ लिखकर दाईं ओर की समानता प्राप्त की जा सकती है।

यदि परिभाषा से r एक धनात्मक परिमेय संख्या $0^{r}=0,$ है।

पहचान को विस्तारित करने के लिए इन सभी परिभाषाओं की आवश्यकता $(x^{r})^{s}=x^{rs}$ तर्कसंगत घातांक के लिए है।

दूसरी ओर, इन परिभाषाओं के उन आधारों के विस्तार के साथ समस्याएं हैं जो घनात्मक वास्तविक संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक संख्या n वर्गमूल होती है, जो ऋणात्मक है, यदि n विषम संख्या है, और यदि कोई वास्तविक मूल नहीं है n सम है। बाद के प्रकर्ण में, जो भी जटिल हो n वह वर्गमूल जिसके लिए कोई $x^{\frac {1}{n}},$ चुनता है पहचान $(x^{a})^{b}=x^{ab}$ संतुष्ट नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए,

$\left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.$

देखना § यथार्थ प्रतिपादक तथा § सम्मिश्र संख्याओं की गैर-पूर्णांक घात विवरण के लिए जिस तरह से इन समस्याओं को नियंत्रित किया जा सकता है।

वास्तविक घातांक

घनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए, वास्तविक घात के घातांक को दो समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, या तो तर्कसंगत घात को निरंतरता द्वारा वास्तविक तक विस्तारित करके(§ विवेकपूर्ण प्रतिपादक की सीमा, नीचे), या आधार के लघुगणक और घातीय फलन के संदर्भ में(§ लघुगणक के माध्यम से घात, नीचे)। परिणाम हमेशा एक घनात्मक वास्तविक संख्या होती है, और पूर्णांक घातांकों के लिए ऊपर दिखाई गई सर्वसमिका और गुण वास्तविक घातांकों के लिए इन परिभाषाओं के साथ सही रहते हैं। दूसरी परिभाषा अधिक सामान्य रूप से उपयोग की जाती है, क्योंकि यह जटिल संख्या के घातांकों को सीधी तरह से सामान्य करती है।

दूसरी ओर, एक नकारात्मक वास्तविक संख्या की वास्तविक घात के लिए घातांक को लगातार परिभाषित करना अधिक कठिन होता है, क्योंकि यह अवास्तविक हो सकता है और इसके कई मान हो सकते हैं(देखें § यथार्थ प्रतिपादक नकारात्मक आधारों के साथ). कोई इनमें से किसी एक मूल्य को चुन सकता है, जिसे मुख्य मूल्य कहा जाता है, लेकिन मुख्य मूल्य का कोई विकल्प नहीं है जिसके लिए पहचान है

$\left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}$

सच हैं; देखना § घात और लघुगणक पहचान की विफलता. इसलिए, एक आधार के साथ घातांक जो एक घनात्मक वास्तविक संख्या नहीं है, को सामान्यतः एक बहुविकल्पीय प्रकार्य के रूप में देखा जाता है।

परिमेय घातांकों की सीमाएं

की सीमा e^1/n है e⁰ = 1 जब n अनंत की ओर जाता है।

चूँकि किसी भी अपरिमेय संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक धनात्मक वास्तविक संख्या का घातांक b एक मनमाने वास्तविक प्रतिपादक के साथ x नियम के साथ निरंतर कार्य द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),$

जहां सीमा केवल r के परिमेय मानों पर ली जाती है। यह सीमा प्रत्येक घनात्मक b और हर यथार्थ x के लिए उपस्थित है।

उदाहरण के लिए, यदि x = π, गैर-समाप्ति दशमलव प्रतिनिधित्व π = 3.14159... और तर्कसंगत घात के दिष्टता का उपयोग उन तर्कसंगत घात द्वारा सीमित अंतराल प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जो वांछित के रूप में छोटे हैं, और इसमें $b^{\pi }$सम्मिलित होना चाहिए:

$\left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots$

तो, अंतराल की ऊपरी सीमा और निचली सीमा दो अनुक्रम(गणित) बनाते हैं जिनकी एक ही सीमा निरूपित $b^{\pi }$ होती है,

यह प्रत्येक धनात्मक b और वास्तविक x के लिए $b^{x}$ को b और x के सतत फलन के रूप में परिभाषित करता है। पूर्णतः स्पष्ट अभिव्यक्ति भी देखें।

चरघातांकी फलन

Main article: चरघातांकी फलन

घातीय फलन को प्रायः $x\mapsto e^{x},$ इस रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ पर $e\approx 2.718$ यूलर संख्या है। परिपत्र तर्कबुद्धि से बचने के लिए, इस परिभाषा का प्रयोग यहाँ नहीं किया जा सकता है। तो, घातीय कार्य की परिभाषा, लक्षित $\exp(x),$ और यूलर की संख्या दी गई है, जो केवल धनात्मक पूर्णांक घातांक वाले घातांक पर निर्भर करती है। फिर एक प्रमाण को रेखांकित किया जाता है कि, यदि कोई पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई घातांक की परिभाषा का उपयोग करता है, तो उसके पास है

$\exp(x)=e^{x}.$

घातीय फलन के लक्षण हैं, उनमें से एक है

$\exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

किसी के पास $\exp(0)=1,$ और घातीय पहचान $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ के रूप में अच्छी तरह से रखता है

$\exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},$

और दूसरे क्रम की अवधि ${\frac {xy}{n^{2}}}$ उपज की सीमा को प्रभावित नहीं करता है $\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)$.

$e=\exp(1)$ यूलर की संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह पूर्ववर्ती समीकरणों से अनुसरण करता है $\exp(x)=e^{x}$ जब x एक पूर्णांक है(यह घातांक की बार-बार गुणा करने की परिभाषा का परिणाम है)। यदि x वास्तविक का है, $\exp(x)=e^{x}$ पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई परिभाषाओं से परिणाम, यदि घातीय पहचान का उपयोग करके x तर्कसंगत है, अन्यथा घातीय कार्य की निरंतरता है।

वह सीमा जो चरघातांकी फलन को परिभाषित करती है, x के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरित होती है, और इसलिए इसकी परिभाषा का विस्तार करने के लिए $\exp(z)$ इसका उपयोग किया जा सकता है, और इस तरह $e^{z},$ वास्तविक संख्या से लेकर किसी भी जटिल तर्क z तक। यह विस्तारित घातीय कार्य अभी भी घातीय पहचान को संतुष्ट करता है, और सामान्यतः जटिल आधार और घातांक के लिए घातांक को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

लघुगणक के माध्यम से घातयाँ

घातांकी प्रकार्य के रूप में e^x की परिभाषा प्रत्येक घनात्मक वास्तविक संख्या b के लिए b^x को चरघातांकी और लघुगणक फलन के संदर्भ में परिभाषित करने की अनुमति देती है। विशेष रूप से, तथ्य यह है कि प्राकृतिक लघुगणक ln(x) चरघातांकी फलन e^x का प्रतिलोम फलन है इसका तात्पर्य है कि किसी के पास निम्न है:

$b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}$

प्रत्येक b > 0 के लिए, $(e^{x})^{y}=e^{xy}$ पहचान को सुरक्षित रखने के लिए किसी के पास निम्न होना चाहिए:

$b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}$

किसी घनात्मक वास्तविक b के लिए, b^x की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में $e^{x\ln b}$ उपयोग किया जा सकता है। किसी भी जटिल प्रतिपादक को सीधे विस्तार करने के लाभ के साथ, यह तर्कसंगत प्रतिपादकों और निरंतरता का उपयोग करते हुए ऊपर दी गई परिभाषा से सहमत है।

एक घनात्मक वास्तविक आधार के साथ जटिल घातांक

यदि b एक घनात्मक वास्तविक संख्या है, आधार के साथ घातांक b और जटिल संख्या प्रतिपादक z जटिल तर्क के साथ घातीय कार्य के माध्यम से परिभाषित किया गया है(ऊपर § घातांकी प्रकार्य,का अंत देखें )

$b^{z}=e^{(z\ln b)},$ के रूप में

जहाँ पर $\ln b$ के प्राकृतिक लघुगणक को b दर्शाता है:

यह पहचान को संतुष्ट करता है

$b^{z+t}=b^{z}b^{t},$

सामान्य रूप में,

${\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}}$ परिभाषित नहीं है, क्योंकि b^z वास्तविक संख्या नहीं है। यदि किसी के पास एक सम्मिश्र संख्या के घातांक का अर्थ दिया गया है(देखें § सम्मिश्र संख्याओं की गैर-पूर्णांक घात, नीचे), सामान्यतः

$\left(b^{z}\right)^{t}\neq b^{zt},$

जब तक z वास्तविक है या t एक पूर्णांक है।

यूलर का सूत्र,

$e^{iy}=\cos y+i\sin y,$

के ध्रुवीय रूप को व्यक्त करने की अनुमति देता है $b^{z}$ के z वास्तविक और काल्पनिक भागों के संदर्भ में , अर्थात्

$b^{x+iy}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),$

जहां त्रिकोणमिति गुणक का निरपेक्ष मान एक है। इसका परिणाम है:

$b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iy\ln b}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).$

जटिल संख्याओं की गैर-पूर्णांक घात

पिछले अनुभागों में, गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक को केवल धनात्मक वास्तविक आधारों के लिए परिभाषित किया गया है। अन्य आधारों के लिए, स्पष्ट रूप से nवें मूल के सरल प्रकर्ण के साथ कठिनाइयाँ पहले से ही दिखाई देती हैं, अर्थात्, प्रतिपादकों की $1/n,$ जहाँ पर n एक घनात्मक पूर्णांक है। यद्यपि गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक nवें मूलका सामान्य सिद्धांत लागू होता है , इस प्रकर्ण पर पहले विचार किया जाना चाहिए, क्योंकि इसमें जटिल लघुगणको का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, और इसलिए इसे समझना आसान है।

एक जटिल संख्या की nवें वर्गमूलें

हर अशून्य सम्मिश्र संख्या z को ध्रुवीय रूप में लिखा जा सकता है।

$z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),$

जहाँ पर $\rho$ का परम मूल्य z है, तथा $\theta$ इसका तर्क है(जटिल विश्लेषण)। तर्क को एक पूर्णांक एकाधिक 2π तक परिभाषित किया गया है ; इसका मतलब है कि, यदि $\theta$ एक सम्मिश्र संख्या का तर्क है, तब $\theta +2k\pi$ समान सम्मिश्र संख्या का भी एक तर्क है।

दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक सम्मिश्र संख्या के nवें मूल का ध्रुवीय रूप निरपेक्ष मान का nवां मूल लेकर और उसके तर्क को n से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है:

$\left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}$

यदि $2\pi$ को $\theta$ में जोड़ा जाता है, तो जटिल संख्या नहीं बदली जाती है, लेकिन यह $2i\pi /n$ nवें वर्गमूल के तर्क के लिए जोड़ता है, और एक नया nवें वर्गमूल प्रदान करता है। यह n बार संभव है, और सम्मिश्र संख्या n की nवें मूल प्रदान करता है।

इनमें से किसी एक को n मुख्य वर्गमूल के रूप में nवें वर्गमूल को चुनना आम बात है। सामान्य विकल्प nवें वर्गमूल को चुनना है जिसके लिए $-\pi <\theta \leq \pi ,$ यानी nवें वर्गमूल जिसमें सबसे बड़ा वास्तविक भाग, और, यदि वे दो हैं, तो घनात्मक काल्पनिक भाग वाला है। यह रेडिकैंड के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों को छोड़कर, सिद्धांत nवें वर्गमूल को पूरे सम्मिश्र समतल में एक सतत कार्य बनाता है। यह प्रकार्य धनात्मक वास्तविक मूलांक के लिए सामान्य nवें मूल के बराबर है। ऋणात्मक वास्तविक मूलांक और विषम घातांक के लिए मूलधन n वर्गमूल वास्तविक नहीं है, यद्यपि सामान्य n वर्गमूल वास्तविक है। विश्लेषणात्मक निरंतरता से पता चलता है कि सिद्धांत nवें वर्गमूल अद्वितीय जटिल अलग-अलग कार्य है जो सामान्य nवें वर्गमूल को गैर-घनात्मक वास्तविक संख्याओं के बिना सम्मिश्र समतल तक बढ़ाता है।

यदि इसके तर्क को बढ़ाकर जटिल संख्या को शून्य के आसपास ले जाया जाता है, तो $2\pi$ वृद्धि के बाद जटिल संख्या अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है, और इसकी nवें वर्गमूलें परिपत्र क्रमचय हैं(वे गुणा कर रहे हैं $e^{2i\pi /n}$). इससे पता चलता है कि एक nवें वर्गमूल प्रकार्य को परिभाषित करना संभव नहीं है जो पूरे सम्मिश्र समतल में निरंतर है।

एकता की वर्गमूलें

Main article: एकता की वर्गमूलें

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1 की तीन तिहाई वर्गमूलें

एकता की nवीं जड़ें n सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि wn = 1, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है। वे गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं, जैसे असतत फूरियर रूपांतरण या बीजगणितीय समीकरणों के बीजगणितीय समाधान। n }} n एकता के nवें मूल की पहली घातयाँ $\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}$, वह है $1=\omega ^{0}=\omega ^{n},\omega =\omega ^{1},\omega ^{2},\omega ^{n-1}.$ n}}हैं। एकता के nवें मूल जिनमें यह जनक गुण होता है आदिम कहलाते हैं; उनके पास रूप है $\omega ^{k}=e^{\frac {2k\pi i}{n}},$ साथ k सह अभाज्य के साथ पूर्णांक n. एकता का अद्वितीय आदिम वर्गमूल $-1$ है। एकता की आदिम चौथी वर्गमूलें $i$ तथा $-i$ हैं।

एकता की n वर्गमूलें सभी को व्यक्त करने की अनुमति देती हैं एक सम्मिश्र संख्या की nवें वर्गमूलें z के रूप में n किसी दिए गए उत्पाद nवें की वर्गमूलें z के साथ एकता की nवें वर्गमूल।

एकता की nवीं जड़ें एक जटिल संख्या z की सभी nवीं वर्गमूल को एकता की nवीं जड़ के साथ z की दी गई nवीं वर्गमूल के n उत्पादों के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देती हैं

ज्यामितीय रूप से, एकता की nवीं वर्गमूल वास्तविक संख्या 1 पर एक शीर्ष के साथ एक नियमित n-गॉन के शीर्ष पर जटिल तल के इकाई वृत्त पर स्थित होती हैं।

जैसा कि संख्या $e^{\frac {2k\pi i}{n}}$ एकता के साथ आदिम nवां मूल है सबसे छोटा घनात्मक तर्क, इसे एकता का प्रधान आदिम nवां मूल कहा जाता है, कभी-कभी एकता के प्रधान nवें मूल के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, हालांकि इस शब्दावली को $1^{1/n}$ के प्रमुख मान के साथ भ्रमित किया जा सकता है, जो 1 है।

जटिल घातांक

जटिल आधारों के साथ घातांक को परिभाषित करने में कठिनाइयाँ आती हैं जो पिछले अनुभाग में वर्णित के समान हैं, इसको छोड़कर सामान्य रूप से, इसके लिए असीम रूप से कई संभावित मान हैं। या तो एक प्रमुख मूल्य परिभाषित किया गया है, जो z के मूल्यों के लिए निरंतर नहीं है जो वास्तविक और घनात्मक नहीं हैं, या $z^{w}$ एक बहुविकल्पीय प्रकार्य के रूप में परिभाषित किया गया है।

सभी मामलों में, जटिल लघुगणक का उपयोग जटिल घातांक को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

$z^{w}=e^{w\log z},$

जहाँ $\log z$ उपयोग किए जाने वाले जटिल लघुगणक का भिन्न रूप है, जो कि एक प्रकार्य या बहु-मूल्यवान प्रकार्य है।

$e^{\log z}=z$

प्रत्येक z के लिए उसके कार्यक्षेत्र की परिभाषा में।

मूल मूल्य

जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य अद्वितीय कार्य है, जिसे सामान्यतः $\log$ निरूपित किया जाता है जैसे कि, प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या के लिए z,

$e^{\log z}=z,$

और z का काल्पनिक हिस्सा संतुष्ट

$-\pi <\mathrm {Im} \leq \pi .$

जटिल लघुगणक का मुख्य मान $z=0$ के लिए परिभाषित नहीं है। यह z के ऋणात्मक वास्तविक मानों पर सतत फलन है, और यह कहीं और पूर्णसममितिक है(अर्थात, जटिल विभेदक)। यदि z वास्तविक और घनात्मक है, जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य प्राकृतिक लघुगणक है$\log z=\ln z.$

$z^{w}$ का मुख्य मूल्य $z^{w}=e^{w\log z}$ की तरह परिभाषित किया गया है। जहाँ $\log z$ लघुगणक का मुख्य मान है।

$z^{w}=e^{w\log z},$

प्रकार्य $(z,w)\to z^{w}$ बिंदुओं के प्रतिवैस को छोड़कर पूर्णसममितिक है जहाँ z वास्तविक और घनात्मक है।

यदि z वास्तविक और घनात्मक है, $z^{w}$ का प्रमुख मूल्य इसके ऊपर परिभाषित सामान्य मूल्य के बराबर है। यदि $w=1/n,$ कहाँ पे n एक पूर्णांक है, यह मुख्य मान वही है जो ऊपर परिभाषित किया गया है।

बहुमूल्य प्रकार्य

कुछ संदर्भों में, z के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों पर $\log z$ तथा $z^{w}$के प्रमुख मूल्यों की असंततता के साथ एक समस्या है। इस प्रकर्ण में, इन कार्यों को बहुविकल्पीय कार्यों के रूप में विचार करना उपयोगी होता है।

यदि $\log z$ बहुविकल्पीय लघुगणक(सामान्यतः पर इसका प्रमुख मान) के मानों में से एक को दर्शाता है, अन्य मान हैं $2ik\pi +\log z,$जहाँ k कोई पूर्णांक है। इसी प्रकार यदि $z^{w}$ घातांक का एक मान है, तो अन्य मान निम्न द्वारा दिए जाते हैं

$e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^{w}e^{2ik\pi w},$

जहाँ k कोई पूर्णांक है।

k के विभिन्न मूल्य $z^{w}$ के विभिन्न मान देते हैं, जब तक कि w एक परिमेय संख्या न हो, अर्थात एक पूर्णांक d है जैसे कि dw एक पूर्णांक है। यह चरघातांकी फलन के आवर्त फलन से उत्पन्न होता है, विशेष रूप से, कि $e^{a}=e^{b}$ यदि और केवल यदि $a-b$ का एक पूर्णांक गुणक $2\pi i$ है।

यदि $w={\frac {m}{n}}$ के साथ एक परिमेय संख्या m तथा n सह अभाज्य पूर्णांकों $n>0$ के साथ है। तब $z^{w}$ के बिल्कुल n मान होते हैं। यदि $m=1,$ ये मान वही हैं जो किसी सम्मिश्र संख्या के nवें मूल में वर्णित हैं| यदि w एक पूर्णांक है, केवल § पूर्णांक प्रतिपादक एक मान है जो इससे सहमत है।

बहुविकल्पी घातांक के लिए $z\neq 0$ इस अर्थ में पूर्णसममितिक है कि किसी प्रकार्य के लेखाचित्र में कई पत्रक होते हैं जो प्रत्येक बिंदु के प्रतिवैस में एक पूर्णसममितिक प्रकार्य को परिभाषित करते हैं। यदि z चारों ओर एक वृत्त के साथ लगातार 0 बदलता रहता है , फिर, एक मोड़ के बाद, $z^{w}$ का मान पत्रक बदली है।

गणना

$z^{w}$ का विहित रूप $x+iy$ z तथा w के विहित रूप से गणना की जा सकती है। यद्यपि यह एक सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है, लेकिन गणना को कई चरणों में विभाजित करना अधिक स्पष्ट है।

• z का ध्रुवीय रूप यदि $z=a+ib$ का विहित रूप z है(a तथा b वास्तविक होना), तो इसका ध्रुवीय रूप निम्न है:
  $$z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),$$
  जहाँ $\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ तथा $\theta =\operatorname {atan2} (a,b)$(इस प्रकार्य की परिभाषा के लिए atan2 देखें)।
• z का जटिल लघुगणक, इस लघुगणक का मुख्य मान है $\log z=\ln \rho +i\theta ,$ जहाँ $\ln$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है। लघुगणक के अन्य मान $2ik\pi$ किसी भी पूर्णांक k के लिए जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं।
• $w\log z.$ का विहित रूप। यदि $w=c+di$ साथ c तथा d वास्तविक, के मूल्य $w\log z$ हैं
  $$w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ),$$
  मुख्य मूल्य के अनुरूप $k=0$
• अंतिम परिणाम। सर्वसमिका का उपयोग करना $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ तथा $e^{y\ln x}=x^{y},$ प्राप्त करता है
  $$z^{w}=\rho ^{c}e^{-d(\theta +2k\pi )}\left(\cos(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )\right),$$
  साथ में मुख्य मूल्य के लिए $k=0$।

उदाहरण

• $i^{i}$
  i का ध्रुवीय रूप $i=e^{i\pi /2}$ है और $\log i$ के मूल्य इस प्रकार हैं
  $$\log i=i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right).$$
  यह इस प्रकार है कि
  $$i^{i}=e^{i\log i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}e^{-2k\pi }.$$
  तो, $i^{i}$ के सभी मूल्य वास्तविक हैं, प्रमुख हैं
  $$e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0.2079.$$
• $(-2)^{3+4i}$
  इसी तरह, के ध्रुवीय रूप −2 है $-2=2e^{i\pi }.$ तो, ऊपर वर्णित विधि मान देती है
  $${\begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin(4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\&=-2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2)+i\sin(4\ln 2)).\end{aligned}}$$
  इस प्रकर्ण में, सभी मूल्यों का एक ही तर्क है $4\ln 2,$ और विभिन्न निरपेक्ष मान है।

दोनों उदाहरणों में, $z^{w}$ के सभी मान एक ही तर्क है। अधिक सामान्यतः, यह सच है यदि और केवल यदि असली हिस्सा w एक पूर्णांक है।

घात और लघुगणक पहचान की विफलता

धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए घातों और लघुगणकों के लिए कुछ पहचानें जटिल संख्याओं के लिए विफल हो जाएँगी, भले ही जटिल घातों और जटिल लघुगणकों को एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया हो। उदाहरण के लिए:

• अस्मिता log(b^x) = x ⋅ log b धारण करता है जब भी b एक धनात्मक वास्तविक संख्या है तथा x एक वास्तविक संख्या है. लेकिन जटिल लघुगणक का सिद्धांत शाखा के लिए किसी के पास
  $$\log((-i)^{2})=\log(-1)=i\pi \neq 2\log(-i)=2\log(e^{-i\pi /2})=2\,{\frac {-i\pi }{2}}=-i\pi$$

  भले ही लघुगणक की किस शाखा का उपयोग किया गया हो, पहचान की एक समान विफलता मौजूद होगी। सबसे अच्छा जो कहा जा सकता है (यदि केवल इस परिणाम का उपयोग करते हुए) वह है:

  $$\log w^{z}\equiv z\log w{\pmod {2\pi i}}$$

  अभिलेख को एक बहु-मूल्यवान प्रकार्य के रूप में विचार करने पर भी यह पहचान नहीं होती है log(w^z) के संभावित मान इसमें अंतर्ग्रस्त हैं z ⋅ log w उचित उपसमुच्चय.के रूप में Using Log(w) के मुख्य मूल्य के लिए उपयोग करते हुए log(w) तथा m, n किसी पूर्णांक के रूप में दोनों पक्षों के संभावित मान हैं:

  $${\begin{aligned}\left\{\log w^{z}\right\}&=\left\{z\cdot \operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in+2\pi im\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}\\\left\{z\log w\right\}&=\left\{z\operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in\mid n\in \mathbb {Z} \right\}\end{aligned}}$$
• सर्वसमिका (bc)^x = b^xc^x तथा (b/c)^x = b^x/c^x मान्य हैं जब b तथा cधनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं तथा x एक वास्तविक संख्या है. लेकिन, प्रमुख मूल्यों के लिए, किसी के पास है
  $$(-1\cdot -1)^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1$$
  and
  $$\left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}=(-1)^{\frac {1}{2}}=i\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i$$
  वहीं, जब x एक पूर्णांक है, सर्वसमिकाएँ सभी अशून्य सम्मिश्र संख्याओं के लिए मान्य हैं। यदि घातांक को बहु-मूल्यवान फलन के रूप में माना जाता है तो के संभावित मान (−1 ⋅ −1)^1/2 हैं {1, −1}. पहचान रखती है, लेकिन कह रही है {1} = {(−1 ⋅ −1)^1/2} गलत है।
• पहचान (e^x)^y = e^xy वास्तविक संख्या के लिए धारण करता है x तथा y, लेकिन सम्मिश्र संख्याओं के लिए इसकी सत्यता को मानने से निम्नलिखित गणितीय भ्रांति उत्पन्न होती है, जिसे 1827 में थॉमस क्लॉसन (गणितज्ञ) द्वारा खोजा गया था: किसी पूर्णांक के लिए n, अपने पास:
  1. $e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e$
  2. $\left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\qquad$ (लेना $(1+2\pi in)$-दोनों पक्षों की शक्ति)
  3. $e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad$ (का उपयोग कर $\left(e^{x}\right)^{y}=e^{xy}$ और एक्सपोनेंट का विस्तार)
  4. $e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad$ (का उपयोग कर $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$)
  5. $e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\qquad$ (से विभाजित करना e)
  लेकिन यह गलत है जब पूर्णांक n अशून्य है। त्रुटि निम्न है: परिभाषा के अनुसार, $e^{y}$ के लिए एक अंकन है $\exp(y),$ एक सच्चा कार्य, और $x^{y}$ के लिए एक अंकन है $\exp(y\log x),$ जो एक बहु-मूल्यवान कार्य है। इस प्रकार संकेतन अस्पष्ट है जब x = e. यहाँ, घातांक का विस्तार करने से पहले, दूसरी पंक्ति होनी चाहिए
  $$\exp \left((1+2\pi in)\log \exp(1+2\pi in)\right)=\exp(1+2\pi in).$$
  इसलिए, एक्सपोनेंट का विस्तार करते समय, किसी ने इसका अनुमान लगाया है $\log \exp z=z$ के जटिल मूल्यों के लिए z, जो गलत है, क्योंकि जटिल लघुगणक बहु-मूल्यवान है। दूसरे शब्दों में, गलत पहचान (e^x)^y = e^xy पहचान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए
  $$\left(e^{x}\right)^{y}=e^{y\log e^{x}},$$
  जो बहुविकल्पीय कार्यों के बीच एक वास्तविक पहचान है।

तर्कहीनता और अतिक्रमण

Main article: गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय

यदि b एक घनात्मक वास्तविक बीजगणितीय संख्या है, और x परिमेय संख्या है तब b^x एक बीजगणितीय संख्या है। यह बीजगणितीय विस्तार के सिद्धांत का परिणाम है। यह सत्य रहता है यदि b कोई बीजगणितीय संख्या है, जिस स्थिति में, b^x के सभी मान(बहुमूल्य फलन के रूप में) बीजगणितीय होते हैं। यदि x अपरिमेय संख्या है(अर्थात परिमेय नहीं है), और दोनों b तथा x बीजगणितीय हैं, गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का दावा है कि के सभी मूल्य b^x पारलौकिक संख्याएँ हैं(अर्थात बीजगणितीय नहीं), यदि b 0 या 1 को छोड़कर बराबर है।

दूसरे शब्दों में, यदि x तर्कहीन है और $b\not \in \{0,1\},$ तो कम से कम b, x तथा b^x में से एक पारलौकिक है।

बीजगणित में पूर्णांक घात

बार-बार गुणन के रूप में घनात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा गुणन के रूप में निरूपित किसी भी साहचर्य संक्रिया पर लागू हो सकती है। $x^{0}$ की परिभाषा को इसके लिए गुणक पहचान के अस्तित्व की आवश्यकता है।

एक बीजगणितीय संरचना जिसमें एक साहचर्य संक्रिया के साथ एक समुच्चय होता है जिसे गुणात्मक रूप से निरूपित किया जाता है, और एक गुणात्मक पहचान जिसे 1 द्वारा निरूपित किया जाता है, वह एकाभ है। ऐसे एकाभ में, एक तत्व का घातांक x आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है

• $x^{0}=1,$
• $x^{n+1}=xx^{n}$ प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए .

यदि n एक ऋणात्मक पूर्णांक है, $x^{n}$ केवल यदि परिभाषित किया गया है x एक गुणक व्युत्क्रम है। इस प्रकर्ण में, का उलटा x निरूपित किया जाता है $x^{-1},$ तथा $x^{n}$ की तरह परिभाषित किया गया है $\left(x^{-1}\right)^{-n}.$

पूर्णांक घातांक वाले घातांक निम्नलिखित कानूनों का पालन करते हैं, बीजगणितीय संरचना में x और y के लिए, और m और n पूर्णांक के लिए:

${\begin{aligned}x^{0}&=1\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\quad {\text{if }}xy=yx,{\text{and, in particular, if the multiplication is commutative.}}\end{aligned}}$

गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से समूह(गणित), वलय(गणित), क्षेत्र(गणित), वर्ग आव्यूह(जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक समुच्चय(गणित) से प्रकार्य(गणित) पर भी लागू होते हैं, जो प्रकार्य संरचना के तहत एक एकाभ बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, ज्यामितीय परिवर्तन और किसी भी गणितीय संरचना के अंतःरूपांतरण सम्मिलित हैं।

जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, अधिलेख में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना सामान्य है। उदाहरण के लिए, यदि f एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, $f^{n}$ गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और $f^{\circ n}$ प्रकार्य रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है,

$(f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x)\,f(x)\cdots f(x),$

तथा

$(f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots )).$

सामान्यतः $(f^{n})(x)$ निरूपित किया जाता है $f(x)^{n},$ जबकि $(f^{\circ n})(x)$ निरूपित किया जाता है $f^{n}(x).$

एक समूह में

गुणक समूह एक समुच्चय है जिसमें साहचर्य संचालन के रूप में गुणन के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसमें एक पहचान तत्व होता है, और एक प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम होता है।

तो यदि G एक समूह है, $x^{n}$ प्रत्येक $x\in G$ और हर पूर्णांक n के लिए परिभाषित किया गया है।

किसी समूह के किसी तत्व की सभी घात का समुच्चय एक उपसमूह बनाता है। एक समूह(या उपसमूह) जिसमें एक विशिष्ट तत्व x की सभी घात अंतर्ग्रस्त हैं, x द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह है. यदि सभी घात x अलग हैं, $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का समूह योजक समूह के लिए समरूप है। अन्यथा, चक्रीय समूह परिमित समूह है(इसमें तत्वों की एक सीमित संख्या है), और इसके तत्वों की संख्या क्रम(समूह सिद्धांत) x है . यदि का x संख्या क्रम n है , फिर $x^{n}=x^{0}=1,$ और x द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह में x की n पहली घाताऐं होती हैं(प्रतिपादक 0 या 1 से उदासीन रूप से प्रारम्भ).

समूह सिद्धांत में तत्वों का क्रम एक मौलिक भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह में किसी तत्व का क्रम हमेशा समूह के तत्वों की संख्या(समूह का क्रम) का भाजक होता है। समूह तत्वों के संभावित क्रम समूह की संरचना के अध्ययन में (सिलो प्रमेय देखें), और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण हैं।

अधिलेख संकेत पद्धति का उपयोग संयुग्मन वर्ग के लिए भी किया जाता है; वह है, g^h = h⁻¹gh, जहाँ g और h समूह के अवयव हैं। इस अंकन को घातांक के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि अधिलेख पूर्णांक नहीं है। इस अंकन की प्रेरणा यह है कि संयुग्मन घातांक के कुछ नियमों का पालन करता है, अर्थात् $(g^{h})^{k}=g^{hk}$ तथा $(gh)^{k}=g^{k}h^{k}.$

एक वलय में

एक वलय(गणित) में, ऐसा हो सकता है कि कुछ अशून्य तत्व $x^{n}=0$ कुछ पूर्णांक n के लिए संतुष्ट हों। ऐसे तत्व को शून्य कहा जाता है। एक क्रमविनिमेय वलय में, निलपोटेंट तत्व एक आदर्श बनाते हैं, जिसे वलय का निरमूलक कहा जाता है।

यदि निरमूलक को शून्य आदर्श में घटा दिया जाता है(अर्थात, यदि $x\neq 0$ तात्पर्य $x^{n}\neq 0$ प्रत्येक घनात्मक पूर्णांक के लिए n), क्रम विनिमेय वलय को कम वलय कहा जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में कम किए गए वलय महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय का समन्वय वलय हमेशा एक छोटा वलय होता है।

अधिक सामान्यतः, एक आदर्श I दिया जाता है क्रम विनिमेय वलय R में, R के तत्वों का समुच्चय जिसमें घात I हो एक आदर्श है, जिसे I के आदर्श का मूलक कहा जाता है। शून्यवादी शून्य आदर्श का मूलांक है। एक कट्टरपंथी आदर्श एक आदर्श है जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी के बराबर होता है। एक बहुपद वलय में $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ क्षेत्र(गणित) k पर , एक आदर्श कट्टरपंथी है यदि और केवल यदि यह सभी बहुपदों का समुच्चय है जो एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय पर शून्य है(यह हिल्बर्ट के शून्य प्रमेय का परिणाम है)।

मैट्रिसेस और रैखिक संचालक

यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो A का स्वयं n बार गुणनफल आव्यूह घात कहलाता है। $A^{0}$भी अस्मिता आव्यूह के रूप में परिभाषित किया गया है, और यदि A व्युत्क्रमणीय है, तब $A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}$.

आव्यूह घात प्रायः असतत गतिशील प्रणालियों के संदर्भ में दिखाई देती हैं, जहां आव्यूह A किसी प्रणाली के अवस्था सदिश x से प्रणाली के अगले अवस्था x में परिवर्तन को व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, यह मार्कोव श्रृंखला की मानक व्याख्या है। तब $A^{2}x$ दो समय चरणों के बाद प्रणाली की स्थिति है, और आगे भी: $A^{n}x$ समय चरणों के बाद प्रणाली की स्थिति आव्यूह घात $A^{n}$ भविष्य में एक समय n चरणों में स्तिथि और स्तिथि के बीच परिवर्तन आव्यूह है। इसलिए अभिकलन आव्यूह घात गतिशील प्रणाली के विकास को हल करने के बराबर हैं। कई मामलों में, आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर का उपयोग करके आव्यूह घात की शीघ्रता से गणना की जा सकती है।

आव्यूह के अलावा, अधिक सामान्य रैखिक संचालकों को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक $d/dx$ है, एक रैखिक संचालक है जो एक नया $(d/dx)f(x)=f'(x)$ कार्य देने के लिए $f(x)$ कार्यों पर कार्य करता है। अवकलन संकारक की n-वीं घात n-वें अवकलज है:

$\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).$

ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की घात को निरंतर घातांकों के साथ परिभाषित करना भी वांछनीय है। यह c0-अर्धसमूह के गणितीय सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है। जिस तरह असतत घातांक के साथ आव्यूह घात की गणना असतत गतिशील प्रणालियों को हल करती है, उसी प्रकार निरंतर घातांक वाले आव्यूह घात की गणना निरंतर गतिकी वाले प्रणाली को हल करती है। उदाहरणों में ताप समीकरण, श्रोडिंगर समीकरण, तरंग समीकरण, और समय विकास सहित अन्य आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। व्युत्पन्न संचालक को एक गैर-पूर्णांक घात के घातांक के विशेष प्रकर्ण को भिन्नात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है, जो भिन्नात्मक अभिन्न के साथ मिलकर भिन्नात्मक कलन के बुनियादी कार्यों में से एक है।

परिमित क्षेत्र

Main article: परिमित क्षेत्र

एक(गणित) एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें गुणन, जोड़, घटाव और भाग को परिभाषित किया जाता है और उन गुणों को संतुष्ट करता है जो गुणन साहचर्य है और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है। इसका तात्पर्य है कि पूर्णांक घातांक के साथ घातांक अच्छी तरह से परिभाषित है, की गैर-घनात्मक घात 0 को छोड़कर। सामान्य उदाहरण सम्मिश्र संख्याएँ और उनके क्षेत्र विस्तार, परिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, जिन पर इस लेख में पहले चर्चा की जा चुकी है और ये सभी अनंत समुच्चय हैं।

एक परिमित क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें तत्वों का एक परिमित समूह होता है। तत्वों की यह संख्या या तो अभाज्य संख्या है या अभाज्य घात है; अर्थात् उसका रूप $q=p^{k}$ है जहाँ p एक प्रमुख संख्या है, और k एक घनात्मक पूर्णांक है। ऐसे प्रत्येक q के लिए, q तत्वों वाले क्षेत्र होते हैं। q तत्व के साथ क्षेत्र सभी समरूपी हैं, जो सामान्य रूप से काम करने की अनुमति देता है जैसे कि केवल एक ही क्षेत्र q तत्व था , निरूपित $\mathbb {F} _{q}.$

किसी के पास

$x^{q}=x$

हर $x\in \mathbb {F} _{q}$ के लिए

$\mathbb {F} _{q}$ में एक पूर्वग अवयव एक अवयव g है, जो q − 1 का समुच्चय है। ऐसा समुच्चय q − 1 की पहली घात g(वह है, $\{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}$) के अशून्य तत्वों के समुच्चय $\mathbb {F} _{q}$ के बराबर है। वहाँ $\varphi (p-1)$ आदिम तत्वों में $\mathbb {F} _{q}$ हैं, जहाँ $\varphi$ यूलर का कुल कार्य है।

$\mathbb {F} _{q}$ में द फ्रेशमैन के सपनों की अस्मिता

$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$

घातांक के लिए p सत्य है . जैसे $\mathbb {F} _{q}$ में $x^{p}=x$ यह मानचित्र इस प्रकार है कि

${\begin{aligned}F\colon {}&\mathbb {F} _{q}\to \mathbb {F} _{q}\\&x\mapsto x^{p}\end{aligned}}$

$\mathbb {F} _{q}$ पर रैखिक है। और एक आधार स्वसमाकृतिकता है, जिसे फ्रोबेनियस स्वसमाकृतिकता कहा जाता है। यदि $q=p^{k},$ आधार $\mathbb {F} _{q}$ है k स्वसमाकृतिकता, जो कि F की k प्रथम घात (संयोजन के अंतर्गत) हैं। दूसरे शब्दों में, $\mathbb {F} _{q}$ का गैलोज़ समूह क्रम k का चक्रीय समूह है , फ्रोबेनियस स्वसमाकृतिकता द्वारा उत्पन्न।

डिफी-हेलमैन प्रमुख विनिमय परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो सुरक्षित संचार के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक अभिकलनात्मक रूप से सस्ता है, जबकि उलटा प्रवर्तन, असतत लघुगणक, अभिकलनात्मक रूप से महंगा है। अधिक सटीक, यदि g में आदिम तत्व $\mathbb {F} _{q}$ है फिर $g^{e}$ किसी के लिए भी वर्ग द्वारा घातांक e के साथ कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है , भले ही q बड़ा है, जबकि e से $g^{e}$ पुनः प्राप्त करने की अनुमति देने वाला कोई ज्ञात कलन विधि नहीं है यदि q काफी बड़ा है।

समुच्चय की घात

दो समुच्चय(गणित) का कार्तीय गुणनफल S तथा T क्रमित युग्मों का समुच्चय $(x,y)$ ऐसे है कि $x\in S$ तथा $y\in T$ है। यह प्रवर्तन ठीक से न क्रम विनिमेय और न ही सहयोगी है, लेकिन ये गुण विहित समरूपता तक हैं, जो पहचानने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, $(x,(y,z)),$ $((x,y),z),$ तथा $(x,y,z).$

यह सभी n-टुपल्स $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ S के तत्वों के समुच्चय के रूप में समुच्चय S की nवीं घात $S^{n}$ को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

जब S कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह प्रायः $S^{n}$ होता है स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस प्रकर्ण में, प्रत्यक्ष उत्पाद शब्द का उपयोग सामान्यतः कार्तीय गुणनफल के स्थान पर किया जाता है, और प्रतिपादक उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए $\mathbb {R} ^{n}$(जहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्तीय गुणनफल n की प्रतियां $\mathbb {R}$ को दर्शाता है साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे सदिश स्थल, सांस्थितिक स्थल, वलय(गणित), आदि।

प्रतिपादक के रूप में समुच्चय

See also: प्रकार्य (गणित ) § घातांक संग्रह करें

n-टुपल $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ S के तत्वों के एक प्रकार्य (गणित) के रूप में माना जा सकता है $\{1,\ldots ,n\}.$ यह निम्नलिखित अंकन के लिए सामान्यीकरण करता है।

दो समुच्चय S तथा T दिए गए हैं, T प्रति S के सभी कार्यों का समुच्चय $S^{T}$ से निरूपित किया जाता है। यह घातीय संकेतन निम्नलिखित विहित समरूपताओं द्वारा उचित है (पहले वाले के लिए, करीइंग देखें):

$(S^{T})^{U}\cong S^{T\times U},$

$S^{T\sqcup U}\cong S^{T}\times S^{U},$

जहाँ $\times$ कार्तीय गुणनफल को दर्शाता है, और $\sqcup$ असंबद्ध संघ को।

कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः एबेलियन समूह, सदिश रिक्त स्थान या प्रमात्रक(गणित) के प्रत्यक्ष योग के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और $\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}$ उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक आधार(रैखिक बीजगणित) होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो 1 के बराबर होता है, चूँकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है(क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न का स्वीकृत सिद्धांत सम्मिलित है)।|S^T| = |S|^|T||X|

इस संदर्भ में, 2 $\{0,1\}.$समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है। इसलिए, $2^{S}$ के घात S समुच्चय को दर्शाता है, जो कि S से $\{0,1\}$ कार्यों का समुच्चय है। जिसे S के उपसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है, प्रत्येक प्रकार्य को 1 की उलटी छवि में मानचित्र करके।

यह मुख्य अंकों के घातांक के साथ उचित है, इस आशय में कि |ST| = |S||T|, जहां |X| X की प्रमुखता है।

श्रेणी सिद्धांत में

Main article: कार्तीय बंद श्रेणी

समुच्चय की श्रेणी में, समुच्चय X तथा Y के बीच आकारिता X प्रति Y तक के कार्य हैं। इसका परिणाम यह होता है कि X से Y तक के कार्यों का समुच्चय पिछले अनुभाग में $Y^{X}$ के रूप में दर्शाया गया है, $\hom(X,Y)$ को भी दर्शाया जा सकता है। समरूपता $(S^{T})^{U}\cong S^{T\times U}$ फिर से लिखा जा सकता है

$\hom(U,S^{T})\cong \hom(T\times U,S).$

इसका अर्थ है घात के लिए प्रतिपादक T  प्रकार्यक प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ दाहिनी ओर T  है।

यह घातीय (श्रेणी सिद्धांत) की परिभाषा को सामान्यीकृत करता है जिसमें परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद उपस्थित होते हैं: ऐसी श्रेणी में, प्रकार्यक $X\to X^{T}$ है, यदि यह उपस्थित है, तो प्रकार्यक का दाहिना $Y\to T\times Y$ सटा हुआ है। एक श्रेणी को कार्तीय बंद श्रेणी कहा जाता है, यदि प्रत्यक्ष उत्पाद उपस्थित हैं, और प्रकार्यक $Y\to X\times Y$ प्रत्येक T के लिए एक सही जोड़ है।

पुनरावर्ती घातांक

Main articles: टेट्रेशन and अतिसंचालन

जिस तरह प्राकृतिक संख्याओं का घातांक पुनरावर्ती गुणन से प्रेरित होता है, उसी तरह पुनरावर्ती घातांक के आधार पर एक संक्रिया को परिभाषित करना संभव है, इस प्रवर्तन को कभी-कभी हाइपर-4 या टेट्रेशन कहा जाता है। बार बार दोहराने वाली टेट्रेशन एक अन्य प्रवर्तन की ओर जाती है, और इसी तरह, अतिसंचालन नाम की एक अवधारणा है। संचालन का यह क्रम एकरमैन प्रकार्य और नुथ के अप-शर संकेतन द्वारा व्यक्त किया गया है। जिस तरह गुणन की तुलना में घातांक तेजी से बढ़ता है, जो कि जोड़ की तुलना में तेजी से बढ़ रहा है, घातांक की तुलना में टेट्रेशन तेजी से बढ़ रहा है। (3, 3) पर मूल्यांकन किया गया, कार्यों के अलावा, गुणन, घातांक, और टेट्रेशन उपज क्रमश 6, 9, 27, और 7625597484987(= 3²⁷ = 3³³ = ³3) ।

घात की सीमा

शून्य की घात शून्य से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं^{0</उप>। इन उदाहरणों में सीमाएँ उपस्थित हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर प्रकार्य xy बिंदु (0, 0) पर कोई सीमा नहीं है। कोई इस बात पर विचार कर सकता है कि इस प्रकार्य की सीमा क्या है।}

अधिक सटीक रूप से, $D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:x>0\}$ पर परिभाषित प्रकार्य $f(x,y)=x^{y}$ पर विचार करें। फिर D को R² के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है(अर्थात, सभी जोड़ियों का समुच्चय (x, y) साथ x, y विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से संबंधित R = [−∞, +∞], उत्पाद सांस्थिति के साथ संपन्न), f एक सीमा है जिसमें कार्य करने वाले बिंदु सम्मिलित होंगे।

वास्तव में, f के सभी संचय बिंदुओं पर एक सीमा D है, (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) तथा (1, −∞) के अलावा. तदनुसार, यह किसी को घात x^y को निरंतरता से परिभाषित करने की अनुमति देता है जब भी 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, 0 को छोड़कर⁰,(+∞)^{0</सुप>, 1+∞ और 1−∞, जो अनिश्चित रूप में रहते हैं।}

निरंतरता द्वारा इस परिभाषा के तहत, हम प्राप्त करते हैं:

• x^+∞ = +∞ तथा x^−∞ = 0, जब 1 < x ≤ +∞.
• x^+∞ = 0 तथा x^−∞ = +∞, जब 0 ≤ x < 1.
• 0^y = 0 तथा (+∞)^y = +∞, जब 0 < y ≤ +∞.
• 0^y = +∞ तथा (+∞)^y = 0, जब −∞ ≤ y < 0.

ये घातयाँ की सीमा x के घनात्मक मूल्यों के लिए x^y से लेकर प्राप्त की जाती हैं यह विधि x^y की परिभाषा की अनुमति नहीं देती है जब x < 0 है, चूंकि जोड़े(x, y) x < 0 के साथ D के संचय बिंदु नहीं हैं।

वहीं, जब n एक पूर्णांक है, घात xⁿ x के सभी मूल्यों के लिए पहले से ही नकारात्मक सहित सार्थक है।यह परिभाषा 0ⁿ = +∞ ऋणात्मक n समस्याग्रस्त के ऊपर प्राप्त कर सकता है जब n विषम है, क्योंकि इस प्रकर्ण xⁿ → +∞ में जैसे x 0 की ओर घनात्मक मूल्यों के माध्यम से प्रवृत्त होता है, लेकिन नकारात्मक नहीं।

पूर्णांक घातांकों के साथ कुशल गणना

पुनरावृत्त गुणन का उपयोग करके bn की गणना करने के लिए n − 1 गुणन संक्रियाओं की आवश्यकता होती है, लेकिन इसकी तुलना में अधिक कुशलता से गणना की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। 2¹⁰⁰ की गणना करने के लिए, युग्मक में लिखे प्रतिपादक 100 पर हॉर्नर का नियम लागू करें:

$100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))$.

फिर हॉर्नर के नियम को दाएँ से बाएँ पढ़ते हुए, क्रम में निम्नलिखित शब्दों की गणना करें।

22 = 4

2(22) = 23 = 8

(23)2 = 26 = 64

(26)2 = 212 = 4096

(212)2 = 224 = 16777216

2(224) = 225 = 33554432

(225)2 = 250 = 1125899906842624

(250)2 = 2100 = 1267650600228229401496703205376

चरणों की इस श्रृंखला में 99 के स्थान पर केवल 8 गुणा की आवश्यकता है।

सामान्यतः, bⁿ की गणना करने के लिए आवश्यक गुणन कार्यों की संख्या $\sharp n+\lfloor \log _{2}n\rfloor -1,$ तक घटाया जा सकता है वर्ग करके घातांक का उपयोग करके, जहाँ $\sharp n$ के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1 की संख्या को दर्शाता है। कुछ घातांकों के लिए(100 उनमें से नहीं है), गणना करके और न्यूनतम जोड़-श्रृंखला घातांक का उपयोग करके गुणन की संख्या को और कम किया जा सकता है। गुणन का न्यूनतम अनुक्रम bⁿ(प्रतिपादक के लिए न्यूनतम-लंबाई जोड़ श्रृंखला) ढूँढना एक कठिन समस्या है, जिसके लिए वर्तमान में कोई कुशल कलन विधि ज्ञात नहीं है(उपसमुच्चय योग समस्या देखें), लेकिन कई यथोचित कुशल अनुमानी कलन विधि उपलब्ध हैं। यद्यपि, व्यावहारिक संगणनाओं में, वर्ग करके घातांक पर्याप्त कुशल है, और लागू करने में बहुत आसान है।

पुनरावृत्त कार्य

प्रकार्य रचना एक युग्मक प्रवर्तन है जिसे प्रकार्य(गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए प्रकार्य का सहकार्यक्षेत्र बाईं ओर लिखे प्रकार्य के कार्यक्षेत्र में सम्मिलित है। यह निरूपित है और $g\circ f$ के रूप में परिभाषित किया गया है:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

f के प्रांत में प्रत्येक x के लिए .fn

यदि किसी प्रकार्य का सहकार्यक्षेत्र f इसके कार्यक्षेत्र के बराबर है, कोई भी समय की स्वेच्छाचारी संख्या के साथ फलन की रचना कर सकता है, और यह संरचना के तहत प्रकार्य की nवी घात परिभाषित करता है, इस प्रकार $f^{n}$ सामान्यतः f के nवें पुनरावृत्ति को दर्शाता है ; उदाहरण के लिए, $f^{3}(x)$ साधन $f(f(f(x))).$।

जब गुणन को प्रकार्य के सहकार्यक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है, तो यह प्रकार्य पर गुणन को परिभाषित करता है, बिंदुवार गुणन, जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को सामान्यतः प्रकार्य के तर्कों को संलग्न करने वाले कोष्ठकों से पहले कार्यात्मक पुनरावृति के घातांक को रखकर और कोष्ठकों के बाद बिंदुवार गुणन के घातांक को रखकर अलग किया जाता है। इस प्रकार $f^{2}(x)=f(f(x)),$ तथा $f(x)^{2}=f(x)\cdot f(x).$ जब कार्यात्मक संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है, तो प्रतिपादक से पहले रचना प्रतीक को रखकर बहुधा असंबद्धता की जाती है; उदाहरण के लिए $f^{\circ 3}=f\circ f\circ f,$ तथा $f^{3}=f\cdot f\cdot f.$ ऐतिहासिक कारणों से, दोहराए गए गुणन के घातांक को कुछ विशिष्ट कार्यों, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क से पहले रखा जाता है। इसलिए, $\sin ^{2}x$ तथा $\sin ^{2}(x)$ दोनों मतलब $\sin(x)\cdot \sin(x)$ और नहीं $\sin(\sin(x)),$ जो, किसी भी प्रकर्ण में, शायद ही कभी माना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, विभिन्न लेखकों द्वारा इन अंकन पद्धति के कई रूपों का उपयोग किया गया था।

इस संदर्भ में प्रतिपादक $-1$ यदि यह अस्तित्व में है, तो हमेशा उलटा कार्य दर्शाता है। इसलिए $\sin ^{-1}x=\sin ^{-1}(x)=\arcsin x.$ गुणनात्मक व्युत्क्रम अंशों के लिए सामान्यतः $1/\sin(x)={\frac {1}{\sin x}}$ के रूप में उपयोग किया जाता है।

क्रमदेशन भाषाओं में

क्रमादैश भाषा सामान्यतः या तो एक मध्यप्रत्यय संचालक( परिकलक क्रमदेशन) या एक प्रकार्य अनुप्रयोग के रूप में प्रतिपादक व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे अधिलेख का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे साधारण संकारक चिह्न हसपंद है(^). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक(↑), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में हसपंद ऐतिहासिक परिकलक प्रणाली संकेतन था, इसलिए क्रमदेशन भाषाओं में हसपंद सामान्य हो गया।

संकेतन में सम्मिलित हैं:

• x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, वोल्फ्राम भाषा(वोल्फ्राम मैथेमेटिका), R(क्रमदेशन भाषा ), माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल, एनालिटिका(प्रक्रिया सामग्री), TeX(और इसके व्युत्पादित), TI-BASIC, bc क्रमदेशन भाषा(पूर्णांक प्रतिपादक के लिए) ), हास्केल(क्रमदेशन भाषा)(गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), लुआ(क्रमदेशन भाषा) और अधिकांश परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ।
• x ** y. फोरट्रान लिपि समुच्चय में इसके अलावा छोटे वर्ण या विराम चिह्न सम्मिलित नहीं थे +-*/()&=.,' और इसलिए घातांक के लिए **प्रयोग किया (प्रारंभिक संस्करण का प्रयोग किया a xx b बजाय।). कई अन्य भाषाओं ने सुविधाजनक होने का पालन किया: एडा(क्रमदेशन भाषा ), Z खोल, के खोल, बैश(यूनिक्स खोल), कोबोल, कॉफीस्क्रिप्ट, फोरट्रान, फॉक्सप्रो 2, ग्नुप्लॉट, अपाचे ग्रूवी, जावास्क्रिप्ट, OCaml, F शार्प(क्रमदेशन भाषा) | F#, पर्ल, PHP, PL / I, पायथन(क्रमदेशन भाषा), रेक्स, रूबी (क्रमदेशन भाषा), एडा(क्रमदेशन भाषा), SEED 7, Tcl, ABAP, मर्करी (क्रमदेशन भाषा), हास्केल (चल-बिन्दु प्रतिपादक्स के लिए), ट्यूवलय (क्रमदेशन) भाषा), VHDL।
• x ↑ y: अल्गोल क्रमदेशन भाषा, कमोडोर मूलतत्त्व, TRS-80 स्तर II/III मूलभूत।
• यह है क्योंकि(a^b)^c के बराबर है a^(b*c) और इसलिए उतना उपयोगी नहीं है। कुछ भाषाओं में, यह वाम-सहयोगी है, विशेष रूप से अल्गोल, मैटलैब और माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल फॉर्मूला भाषा में।

अन्य क्रमदेशन भाषाएं कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करती हैं:

• (expt x y): सामान्य अस्पष्ट बोलना।
• pown x y: F#(पूर्णांक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए)।

अभी भी अन्य केवल मानक पुस्तकालय(अभिकलन) के भाग के रूप में घातांक प्रदान करते हैं:

• pow(x, y): C(क्रमदेशन भाषा), C ++(में ma th पुस्तकालय)।
• Ma th.Pow(x, y): C#.
• ma th:pow(X, Y): एरलांग(क्रमदेशन भाषा)।
• Ma th.pow(x, y): जावा(क्रमदेशन भाषा)।
• [Ma th]::Pow(x, y): घातशेल।

यह भी देखें

• दोहरा घातीय कार्य
• घातीय क्षय
• घातीय क्षेत्र
• घातीय वृद्धि
• घातीय विषयों की सूची
• प्रमापीय घातांक
• वैज्ञानिक संकेत
• ऐकिक कूट पादांक और मूर्धांक
• समीकरण x^y = y^x|x^{वाई </सुप> = वाईएक्स}
• शून्य की घात शून्य