सदिश बंडल: Difference between revisions

Latest revision as of 13:44, 12 October 2023

1-sphere S पर एक लाइन बंडल है^{1</उप>। समष्टिीय रूप से एस में हर बिंदु के आसपास¹, यह समरूपता U × 'R' (जहाँ U बिंदु सहित एक खुला चाप है), लेकिन कुल बंडल 'S' से अलग है¹ × R (जो इसके बजाय कार्टेशियन उत्पाद है)।}

गणित में, सदिश बंडल से एक टोपोलॉजी निर्माण होता है जो किसी अन्य समष्टि द्वारा पैरामीटर किए गए सदिश रिक्त समष्टि के विचार को उपयुक्त बनाता है (उदाहरण: X कई गुना या बीजगणितीय भाँति , का टोपोलॉजिकल समष्टि हो सकता है) समष्टि X के प्रत्येक बिंदु x से एक सदिश समष्टि V(x) को इस तरह से जोड़ते हैं ये सदिश रिक्त समष्टि पर एक साथ फिट होकर 'X (जैसे एक टोपोलॉजिकल समष्टि, विविध ) के समान समष्टि बनाते हैं, जिसे 'X को सदिश बंडल कहा जाता है।

उदाहरण यह है कि सदिश रिक्त समष्टि का परिवार है, एक निश्चित सदिश समष्टि V ऐसा है कि V(x) = V सभी के लिए X में X: इस :घटना में X प्रत्येक x के लिए V की एक प्रति है और ये प्रतियां X के ऊपर सदिश बंडल X × V बनाने के लिए एक साथ फिट होती हैं।. ऐसे सदिश बंडल फाइबर बंडल तुच्छ कहलाते है। उदाहरणों का एक अधिक सम्मिश्र स्मूथ कई गुना मैनिफोल्ड्स के स्पर्शरेखा बंडल हैं: इस तरह के कई गुना के सभी बिंदु पर स्पर्शरेखा समष्टि को उस बिंदु पर मैनिफोल्ड से जोड़ते हैं। स्पर्शरेखा बंडल समानता: तुच्छ बंडल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, गेंद प्रमेय द्वारा गोले का स्पर्शरेखा बंडल गैर-तुच्छ है। सामान्य तौर पर, मैनिफोल्ड को समानांतर मैनिफोल्ड कहा जाता है जब इसका स्पर्शरेखा बंडल तुच्छ है।

चूंकि, सदिश बंडलों को हमेशा समष्टिीय रूप से तुच्छ होने की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि वे फाइबर बंडलों के उदाहरण हैं। साथ ही, सदिश रिक्त समष्टि का सामान्यतः वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर होना आवश्यक है, इस विषय में सदिश बंडल को वास्तविक या सम्मिश्र सदिश बंडल कहा जाता है। सम्मिश्र सदिश बंडलों को अतिरिक्त संरचना के साथ वास्तविक सदिश बंडलों के रूप में देखा जा सकता है। निम्नलिखित में, हम टोपोलॉजिकल समष्टि की श्रेणी में वास्तविक सदिश बंडलों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

परिभाषा और पहला परिणाम

एक सदिश बंडल

E

एक आधार पर

M

. एक बिंदु

m_{1}

में

M

एक फाइबर में उत्पत्ति के अनुरूप है

E_{m_{1}}

सदिश बंडल का

E

, और इस फाइबर को बिंदु तक मैप किया जाता है

m_{1}

प्रक्षेपण द्वारा

\pi :E\to M

.

एक वास्तविक सदिश बंडल में निम्नलिखित हैं:

टोपोलॉजिकल समष्टि X और E
एक सतत फलन प्रक्षेपण $π$ : ई → एक्स (बंडल प्रक्षेपण)
X में प्रत्येक x के लिए, परिमित-आयामी की संरचना फाइबर बंडल पर परिमित-आयामी वास्तविक संख्या सदिश समष्टि $π$ ⁻¹({x})

जहां निम्नलिखित संगतता स्थिति संतुष्ट है: एक्स में प्रत्येक बिंदु पी के लिए, पी का एक खुला पड़ोस यू ⊆ एक्स है, एक प्राकृतिक संख्या के, और होमियोमोर्फिज्म है:

\varphi \colon U\times \mathbf {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)

इस प्रकार कि सभी x ∈ U के लिए,

$(\pi \circ \varphi )(x,v)=x$ 'R^k' में सभी वैक्टर के लिए, और
नक्शा $v\mapsto \varphi (x,v)$ सदिश रिक्त समष्टि आर के बीच एक रैखिक समरूपता है'R^k और $π$ ^-1({x})।

होमियोमॉर्फिज्म के साथ खुला पड़ोस U एक साथ $\varphi$ सदिश बंडल का समष्टिीय तुच्छीकरण कहा जाता है। समष्टिीय तुच्छता से पता चलता है कि 'समष्टिीय रूप से' मानचित्र $π$ U × 'R^k' के प्रक्षेपण जैसा दिखता है U पर है।

हर फाइबर $π$ ⁻¹({x}) एक परिमित-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि है और इसलिए इसका आयाम k है_x. समष्टिीय तुच्छीकरण दर्शाता है कि फलन x ↦ k_x समष्टिीय रूप से स्थिर है, और इसलिए X के प्रत्येक समष्टिीय रूप से जुड़े हुए समष्टि पर स्थिर है। यदि k_xसभी X पर एक अचर k के बराबर है, तो k को सदिश बंडल का 'रैंक' कहा जाता है, और E को 'रैंक k का सदिश बंडल' कहा जाता है। सामान्यतः एक सदिश बंडल की परिभाषा में यह सम्मिलित होता है कि पद अच्छी तरह से परिभाषित है, जिससे k_xस्थिर है। रैंक 1 के सदिश बंडलों को लाइन बंडल कहा जाता है, जबकि रैंक 2 के सदिश बंडलों को सामान्यतः समतल बंडल कहा जाता है।

कार्तीय गुणनफल X × 'R'^k, प्रोजेक्शन X × 'R' से सुसज्जित^k → X, को X के ऊपर रैंक k का 'तुच्छ बंडल' कहा जाता है।

संक्रमण फलन

खुले सेटों पर दो तुच्छ सदिश बंडल

U_{\alpha }

तथा

U_{\beta }

चौराहे पर चिपकाया जा सकता है

U_{\alpha \beta }

संक्रमण फलनों द्वारा

g_{\alpha \beta }

जो तंतुओं में एक रैखिक परिवर्तन लागू करने के बाद छायांकित ग्रे क्षेत्रों को एक साथ चिपकाने का काम करते हैं (नीले चतुर्भुज के प्रभाव के तहत नीले चतुर्भुज के परिवर्तन पर ध्यान दें)

g_{\alpha \beta }

) संक्रमण फलनों के विभिन्न विकल्पों के परिणामस्वरूप विभिन्न सदिश बंडल हो सकते हैं जो ग्लूइंग पूर्ण होने के बाद गैर-तुच्छ हैं।

File:Mobius transition functions.png

मोबियस पट्टी का निर्माण सर्कल एस के खुले उपसमुच्चय यू और वी पर दो तुच्छ बंडलों के गैर-तुच्छ ग्लूइंग द्वारा किया जा सकता है^{1</उप>। जब तुच्छ रूप से चिपकाया जाता है (g . के साथ)_UV=1) एक तुच्छ बंडल प्राप्त करता है, लेकिन जी के गैर-तुच्छ ग्लूइंग के साथ_UV=1 एक ओवरलैप पर और g_UV=-1 दूसरे ओवरलैप पर, एक गैर-तुच्छ बंडल ई, मोबियस पट्टी प्राप्त करता है। इसे समष्टिीय चार्टों में से एक के घुमाव के रूप में देखा जा सकता है।}

रैंक k का एक सदिश बंडल E → X दिया गया है, और पड़ोस का एक जोड़ा U और V दिया गया है, जिसके ऊपर बंडल तुच्छ बनाता है

{\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbf {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U),\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbf {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{aligned}}

समग्र फलन

\varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbf {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbf {R} ^{k}

अंशतः समान रूप से परिभाषित और संतुष्ट करता है

\varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)

कुछ GL(k) -महत्वपूर्ण फ़ंक्शन के लिए

g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).

इन्हें सदिश बंडल का संक्रमण फलन (या निर्देशांक परिवर्तन) कहा जाता है।

संक्रमण फलनों का सेट इस अर्थ में एक चेक चक्र बनाता है

g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I

सभी U, V, W के लिए जिस पर बंडल संतोषजनक हो जाता है $U\cap V\cap W\neq \emptyset$ . इस प्रकार डेटा (E, X, $π$ , R^k) फाइबर बंडल को परिभाषित करता है; G के अतिरिक्त डेटा_UV एक GL(k) संरचना समूह को निर्दिष्ट करता है जिसमें फाइबर पर क्रिया GL(k) की मानक क्रिया है।

इसके विपरीत, एक फाइबर बंडल (E, X, π, R^k) फाइबर 'R' पर मानक उपाय से अभिनय करने वाली GL(k) कोसाइकिल के साथ R^k, वहाँ एक सदिश बंडल संबद्ध है। यह सदिश बंडलों के लिए फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय का एक उदाहरण है, और इसे सदिश बंडल की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में लिया सकता है।

उपसमूह

एक लाइन सबबंडल

L

एक तुच्छ रैंक 2 सदिश बंडल का

E

एक आयामी कई गुना से अधिक

M

.

सदिश बंडलों के निर्माण की एक सरल विधि अन्य सदिश बंडलों के सबबंडल्स लेना है। एक सदिश बंडल दिया गया $\pi :E\to X$ एक टोपोलॉजिकल समष्टि पर, एक सबबंडल बस एक सबसमष्टि है $F\subset E$ जिसके लिए प्रतिबंध $\left.\pi \right|_{F}$ का $\pi$ प्रति $F$ देता है $\left.\pi \right|_{F}:F\to X$ एक सदिश बंडल की संरचना भी। इस विषय में फाइबर $F_{x}\subset E_{x}$ प्रत्येक के लिए सदिश उपसमष्टि है $x\in X$ .

एक तुच्छ बंडल के एक उपसमूह को तुच्छ होने की आवश्यकता नहीं है, और वास्तव में प्रत्येक वास्तविक सदिश बंडल को पर्याप्त उच्च पद के तुच्छ बंडल के एक उपसमूह के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए मोबियस बैंड, घेरा के ऊपर एक गैर-तुच्छ लाइन बंडल, घेरा के ऊपर तुच्छ पद 2 बंडल के एक सबबंडल के रूप में देखा जा सकता है।

सदिश बंडल

सदिश बंडल से आकारिकी $π$ ₁: E₁ → X₁ सदिश बंडल के लिए $π$ ₂: E₂ → X₂ निरंतर मानचित्र f: E की एक जोड़ी द्वारा दिया गया हैE₁ →E₂ और g: X₁ →X₂ ऐसा है कि

g ∘

π

₁ =

π

₂∘ f

:X में प्रत्येक X के लिए X₁, नक्शा

π

₁^-1({x}) →

π

₂⁻¹({g(x)}) f द्वारा प्रेरित सदिश समष्टिों के बीच एक रेखीय मानचित्र है।

ध्यान दें कि g f द्वारा निर्धारित किया जाता है (क्योंकि $π$ ₁ आच्छादक है), और f को फिर 'आवरण g' कहा जाता है।

सभी सदिश बंडलों का वर्ग बंडल आकारिकी के साथ मिलकर एक श्रेणी बनाता है। सदिश बंडलों तक सीमित करना जिसके लिए रिक्त समष्टि कई गुना हैं और चिकने बंडल मोर्फिज्म हम चिकने सदिश बंडलों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। सदिश बंडल मॉर्फिज्म फाइबर बंडलों के बीच बंडल नक्शा की धारणा का एक विशेष विषय है, और इसे कभी-कभी होमोमोर्फिज्म' कहा जाता है।

E से एक बंडल E_2, U₂ एक व्युत्क्रम के साथ जो एक बंडल समरूप भी है (E_{2 ,} U₁) को बंडल समरूपता कहा जाता है, और फिर E₁ और E₂ आइसोमॉर्फिक सदिश बंडल कहा जाता है। तुच्छ बंडल के साथ (k) सदिश बंडल E ओवर X का एक आइसोमोर्फिज्म (पद k ऊपरX) को 'का ट्रिवियलाइजेशन' कहा जाता है। 'E', और 'E' को तब तुच्छ कहा जाता है। सदिश बंडल की परिभाषा से पता चलता है कि कोई भी सदिश बंडल समष्टिीय रूप से तुच्छ है।

हम एक निश्चित आधार समष्टि X पर सभी सदिश बंडलों की श्रेणी पर भी विचार कर सकते हैं। इस श्रेणी में मोर्फिज्म के रूप में हम सदिश बंडलों के उन मोर्फिज्म को लेते हैं जिनके आधार समष्टि पर मानचित्र 'X' पर पहचान फलन है। यही है, बंडल मोर्फिज्म जिसके लिए निम्न आरेख कम्यूटेटिव आरेख:

(ध्यान दें कि यह श्रेणी एबेलियन श्रेणी नहीं है; सदिश बंडलों के आकारिकी का श्रेणी सिद्धांत सामान्य रूप से किसी भी प्राकृतिक उपाय से सदिश बंडल नहीं है।

सदिश बंडलों के बीच एक सदिश बंडल आकारिकी $π$ ₁: E₁ → X₁ तथा $π$ ₂: E₂ → X₂ X से मानचित्र g को कवर करना E_{1 ,} X₂ X₁ पर सदिश बंडल आकारिकी के रूप में भी देखा जा सकता है E₁ पुलबैक बंडल g*E₂.

अनुभाग और समष्टिीय रूप से मुक्त बंडल

एक सदिश बंडल

E

एक आधार पर

M

खंड के साथ

s

.

एक सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए एक सामान्य सदिश को जोड़ने वाले मानचित्र को एक खंड के रूप में माना जा सकता है। सतह समष्टि X है, और प्रत्येक बिंदु x पर x पर संलग्न सदिश समष्टि में एक सदिश है।

एक सदिश बंडल दिया गया $π$ : E → X और X का एक खुला उपसमुच्चय U, हम 'सेक्शन' पर विचार कर सकते हैं $π$ U पर, निरंतर फलन S: U → E जहां समग्र $π$ ∘ ऐसा है कि ( $π$ ∘ s)(u) = u में सभी U के लिए। अनिवार्य रूप से, एक अनुभाग U के प्रत्येक बिंदु को संलग्न सदिश समष्टि से बिना किसी अंतराल के प्रदान करता है। एक उदाहरण के रूप में, अंतर मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल के खंड कुछ और नहीं अन्यथा उस मैनिफोल्ड पर सदिश क्षेत्र हैं।

F(U) को U पर सभी वर्गों का समूह होने दें। F(U) में हमेशा कम से कम एक तत्व होता है, अर्थात् शून्य खंड: फ़ंक्शन s जो U के प्रत्येक तत्व x को सदिश समष्टि $π$ ^-1({x} के शून्य तत्व से मापन करता है। खंडों के बिंदुवार योग और अदिश गुणन के साथ, F(U) स्वयं एक वास्तविक सदिश समष्टि बन जाता है। इन सदिश रिक्त समष्टि का संग्रह X पर सदिश रिक्त समष्टि का एक शीफ समूह है।

यदि s, F(U) का एक अवयव है और α: U → 'R' एक सतत मानचित्र है, तो αs (बिंदुवार अदिश गुणन) F(U) में होता है। हम देखते हैं कि F(U) U पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलनों के वलय के ऊपर एक मापांक है। इसके अतिरिक्त, यदि O_X X पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलनों की संरचना शीफ को दर्शाता है, _Xमापांक फिर F O का एक शीफ बन जाता है।

सदिश बंडल से _X-मॉड्यूल का प्रत्येक शीफ इस तरह से उत्पन्न नहीं होता है: केवल समष्टिीय रूप से मुक्त शीफ ही करते हैं। (कारण: समष्टिीय रूप से हम प्रक्षेपण YX 'R' के वर्गों की तलाश में हैं

_X-मॉड्यूल,इससे भी अधिक: X पर वास्तविक सदिश बंडलों की श्रेणी O के समष्टिीय रूप से मुक्त और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न ढेरों की श्रेणी के लिए श्रेणी सिद्धांत है।

तो हम X पर वास्तविक सदिश बंडलों की श्रेणी के बारे में सोच सकते हैं जैसे कि OX-मॉड्यूल के शीशों की श्रेणी के अंदर बैठे, यह बाद वाली श्रेणी एबेलियन है, इसलिए यह वह जगह है जहां हम सदिश बंडलों के आकारिकी के गुठली और कोकर्नेल की गणना कर सकते हैं।

एक रैंक n सदिश बंडल तुच्छ है यदि और केवल अगर इसमें n रैखिक रूप से स्वतंत्र वैश्विक खंड हैं।

सदिश बंडलों पर संचालन

सदिश रिक्त समष्टि पर फाइबरवाइज करके अधिकांश संचालन सदिश बंडलों तक बढ़ाए जा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि E, X के ऊपर एक सदिश बंडल है, तो X के ऊपर एक बंडल E* है, जिसे 'दोहरी बंडल' कहा जाता है, जिसका फाइबर x ∈ X पर दोहरी सदिश समष्टि है (E_x)*. नियमित रूप से E* को जोड़े (x, φ) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ x ∈ X और φ ∈ (E_x)*. दोहरी बंडल समष्टिीय रूप से तुच्छ है क्योंकि E के समष्टिीय तुच्छीकरण के व्युत्क्रम का समष्टिान्तरण E* का एक समष्टिीय तुच्छीकरण है: यहां मुख्य बिंदु यह है कि दोहरी सदिश समष्टि लेने का संचालन फलनात्मक है।

कई फलनात्मक संचालन हैं जो सदिश रिक्त समष्टि के एक ही क्षेत्र पर किए जा सकते हैं, और ये सीधे सदिश बंडल E, F पर X जोड़े तक विस्तारित होते हैं और कुछ उदाहरण अनुसरण करते हैं।

E और F का 'व्हिटनी योग' (हस्लर व्हिटनी के लिए नामित) या 'प्रत्यक्ष योग बंडल' एक सदिश बंडल E ⊕ FX पर है जिसका फाइबर X से अधिक मॉड्यूल E का प्रत्यक्ष योग है_x⊕ एफ_xसदिश रिक्त समष्टि E_xऔर F_x.
'टेंसर उत्पाद बंडल' E ⊗ F को इसी तरह से परिभाषित किया गया है, जिसमें सदिश समष्टि के फाइबरवाइज टेंसर उत्पाद का उपयोग किया जाता है।
'होम-बंडल' होम (E, F) एक सदिश बंडल है जिसका फाइबर X पर E से रैखिक मानचित्रों का समष्टि है| _xF के लिए_x(जिसे अक्सर होम के रूप में दर्शाया जाता है_x, F_x) या L (E_x, F_x))। होम-बंडल और उपयोगी है क्योंकि सदिश बंडल होमोमोर्फिज्म के बीच E से F से X और X के ऊपर होम (E, F) के वर्गों के बीच एक विभाजन है।
पिछले उदाहरण पर निर्माण, एक एंडोमोर्फिज्म बंडल होम (E, E) और एक फ़ंक्शन F:X → 'R' के एक खंड को देखते हुए, कोई एक बिंदु x X पर फाइबर ले कर एक 'ईजेनबंडल' का निर्माण कर सकता है। f(x)-आइजन्सदिश, ईजेनसमष्टि और रैखिक मानचित्र s(x) का स्पेक्ट्रम हो: E_x → E_xx. चूंकि यह निर्माण स्वाभाविक है, जब तक देखभाल नहीं की जाती है, परिणामी वस्तु में समष्टिीय तुच्छता नहीं होगी। s के शून्य खंड होने और f के पृथक शून्य होने के घटना पर विचार करें। परिणामी ईजेनबंडल में इन शून्यों पर फाइबर E में उनके ऊपर फाइबर के लिए आइसोमोर्फिक होगा, जबकि हर जगह फाइबर तुच्छ 0-आयामी सदिश समष्टि है।
दोहरा बंडल E*, E के बंडल समरूपता का होम बंडल होम (E, 'R' × X) और तुच्छ बंडल 'R' × X है। एक कैनोनिकल सदिश बंडल आइसोमॉर्फिज़्म होम (E, F) = E*⊗F है।

इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन बंडलों की एक सामान्य विशेषता का एक विशेष उदाहरण है: सदिश रिक्त समष्टि की श्रेणी पर किए जा सकने वाले कई ऑपरेशन सदिश बंडलों की श्रेणी पर एक फलनात्मक उपाय से भी किए जा सकते हैं। यह चिकनी गुणक s की भाषा में उपयुक्त बनाया गया है। एक अलग प्रकृति का संचालन 'पुलबैक बंडल' निर्माण है। एक सदिश बंडल E → Y और एक नक्शा f: X → Y दिया गया है, कोई E को X के ऊपर एक सदिश बंडल f * E पर वापस खींच सकता है। एक बिंदु x ∈ X पर फाइबर अनिवार्य रूप से केवल f(x) ∈ पर फाइबर है। Y इसलिए, व्हिटनी योग E ⊕ F को X से X × X के विकर्ण मानचित्र के पुलबैक बंडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां X × X पर बंडल E × × F है।

'टिप्पणी': मान लीजिए X एक सघन समष्टि है। X के ऊपर कोई सदिश बंडल E एक तुच्छ बंडल का सीधा जोड़ है; एक बंडल E है' ऐसा है किE ⊕ E' तुच्छ है। यह विफल हो जाता है यदि X कॉम्पैक्ट नहीं है: उदाहरण के लिए, अनंत वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि पर टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल में यह गुण नहीं है।^[1]

अतिरिक्त संरचनाएं और सामान्यीकरण

सदिश बंडलों को प्रायः अधिक संरचना दी जाती है। उदाहरण के लिए, सदिश बंडल एक मीट्रिक से युक्त हो सकते हैं। सामान्यतः इस मीट्रिक को निश्चित द्विरेखीय रूप की आवश्यकता होती है, इस स्थिति में E का प्रत्येक फाइबर एक इयूक्लिडियन समष्टि बन जाता है। एक रैखिक सम्मिश्र संरचना के साथ एक सदिश बंडल एक सम्मिश्र सदिश बंडल से मेल खाता है, जिसे सम्मिश्र सदिश के साथ परिभाषा में वास्तविक सदिश रिक्त समष्टि को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है और यह आवश्यक है कि सभी मैपिंग फाइबर में सम्मिश्र-रैखिक हों। सामान्यतः एक बंडल के संरचना समूह के परिणामी कमी के संदर्भ में एक सदिश बंडल पर लगाए गए अतिरिक्त संरचना को सामान्यतः समझ सकता है। अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल क्षेत्रों पर सदिश बंडलों का भी उपयोग किया जा सकता है।

यदि एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि के जगह, यदि फाइबर F को एक बनच समष्टि के रूप में लिया जाता है, तो एक 'बनच बंडल' प्राप्त होता है।^[2] विशेष रूप से, यह आवश्यक होना चाहिए कि समष्टिीय तुच्छीकरण प्रत्येक फाइबर पर बनच समष्टि आइसोमोर्फिज्म हों और इसके अतिरिक्त, संक्रमण

g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)

बनच कई गुना की निरंतर मैपिंग कर रहे हैं। C . के संगत सिद्धांत में^p बंडल, सभी मैपिंग का C होना आवश्यक हैI^पी.

सदिश बंडल विशेष फाइबर बंडल होते हैं, जिनके फाइबर सदिश रिक्त समष्टि होते हैं और जिनके चक्र सदिश समष्टि संरचना का सम्मान करते हैं। अधिक सामान्य फाइबर बंडलों का निर्माण किया जा सकता है जिसमें फाइबर में अन्य संरचनाएं हो सकती हैं; उदाहरण के लिए गोले के बंडल गोले द्वारा रेशेदार होते हैं।

स्मूथ सदिश बंडल

सदिश बंडल का वर्णन करने वाले संक्रमण फलनों की नियमितता सदिश बंडल के प्रकार को निर्धारित करती है। यदि निरंतर संक्रमण फलन करता है g_UVउपयोग किया जाता है, परिणामी सदिश बंडल E केवल निरंतर है लेकिन स्मूथ नहीं है। यदि सुचारू संक्रमण फलन करता है h_UVउपयोग किया जाता है, तो परिणामी सदिश बंडल F एक स्मूथ सदिश बंडल है।

एक सदिश बंडल (E, P, M) 'चिकनी' है,यदि Eऔर M चिकने कई गुना हैं, P: E → M एक स्मूथ नक्शा है, और समष्टिीय तुच्छीकरण भिन्नताएं हैं। स्मूथई की आवश्यक डिग्री के आधार पर, C^p बंडलों की विभिन्न संबंधित धारणाएँ हैं| अनन्त रूप से भिन्न C^∞-बंडल और वास्तविक विश्लेषणात्मक C^ω-बंडल है। इस भाग में हम C^∞बडलों पर ध्यान केंद्रित करेंगे। C^∞ का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है^∞-C∞-कई गुना M का स्पर्शरेखा बंडल (TM, πTM, M) है।

चिकने सदिश बंडल को इस तथ्य से चित्रित किया जा सकता है कि यह ऊपर वर्णित संक्रमण फलनों को स्वीकार करता है जो तुच्छ चार्ट यू और वी के परस्पर पर सुचारू रूप से फलन करते हैं। एक सदिश बंडल E स्मूथ है यदि यह खुले सेटों को छोटा करके एक कवर को स्वीकार करता है जैसे कि किन्हीं दो ऐसे समुच्चयों U और V के लिए, संक्रमण फलन,

g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )

मैट्रिक्स समूह GL (K, R) में एक सहज फलन है, जो एक लाइ समूह है।

इसी प्रकार, यदि संक्रमण फलन हैं:

^Cr तो सदिश बंडल 'C' है^r सदिश बंडल',
वास्तविक विश्लेषणात्मक तो सदिश बंडल एक 'वास्तविक विश्लेषणात्मक सदिश बंडल' है ,
होलोमोर्फिक तो सदिश बंडल एक ' होलोमॉर्फिक सदिश बंडल ' है (इसके लिए मैट्रिक्स समूह को एक सम्मिश्र झूठ समूह होना आवश्यक है),
बीजगणितीय फलन तब सदिश बंडल एक 'बीजगणितीय सदिश बंडल' होता है।

^C∞-सदिश बंडल (E, P, M) में एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है जो अधिक सामान्य सी द्वारा साझा नहीं की जाती है-फाइबर बंडल। अर्थात्, स्पर्शरेखा समष्टि T_v(तथा_x) किसी भी V ∈ E पर_x फाइबर E के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है_x अपने आप। यह पहचान ऊर्ध्वाधर लिफ्ट vl . के द्वारा प्राप्त की जाती है_v: E_x→ T_v(E_x), के रूप में परिभाषित किया गया है

\operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).

लंबवत उपाय को प्राकृतिक C के रूप में भी देखा जा सकता है^∞-सदिश बंडल समरूपता p*E → VE, जहां (p*E, p*p, E) E से p: E → M, के ऊपर (E, p, M) का पुल-बैक बंडल है। और VE:= KR(P_*) TE ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा बंडल है, स्पर्शरेखा बंडल का एक प्राकृतिक सदिश उप-बंडल (TE, $π$ _TE, E) कुल समष्टि ई की।

किसी भी चिकने सदिश बंडल का कुल समष्टि E एक प्राकृतिक सदिश क्षेत्र V_v := vl_vv को वहन करता है, विहित सदिश क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, V (TE, $π$ _TE, E)का एक स्मूथ खंड है,और इसे लाइ-ग्रुप एक्शन के अनंत जनरेटर के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $(t,v)\mapsto e^{tv}$ फाइबरवाइज अदिश गुणन द्वारा। विहित सदिश क्षेत्र V निम्नलिखित उपाय से पूरी तरह से चिकनी सदिश बंडल संरचना की विशेषता है। तैयारी के रूप में, ध्यान दें कि जब X एक चिकनी कई गुना M और X ∈ एम पर एक चिकनी सदिश क्षेत्र है जैसे किX_x = 0, रैखिक मानचित्रण

C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}

M पर रैखिक सहपरिवर्ती व्युत्पन्न ∇ के चयन पर निर्भर नहीं करता। E पर विहित सदिश क्षेत्र V अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है

प्रवाह (T, V) → Φ^T_V(v) V विश्व स्तर पर परिभाषित है।
प्रत्येक v ∈ V के लिए एक अद्वितीय लिम है_t→∞ Φ^T_V(v) V.
C_v(V)∘C_v(V) = C_v(V) जब भी वी_v = 0।
V का शून्य सेट E का एक चिकनी सबमनीफोल्ड है जिसका कोडिमेंशन C के पद के बराबर है_v(V)।

इसके विपरीत, यदि E चिकनी कई गुना है और V E पर एक चिकनी सदिश क्षेत्र है जो 1-4 को संतुष्ट करता है इसके विपरीत, यदि E कोई चिकनी कई गुना है और V E पर एक चिकनी सदिश फील्ड है जो 1–4 को संतुष्ट करता है,, तो E पर एक यूनिक सदिश बंडल संरचना है जिसका विहित सदिश क्षेत्र V है।

किसी भी चिकने सदिश बंडल (E, p, M) के लिए उसके स्पर्शरेखा बंडल (TE, $π$ _TE, ई) में एक प्राकृतिक माध्यमिक सदिश बंडल संरचना है (TE, P_*, TM), जहां P_* विहित प्रक्षेपण p: E → M का बढ़ना है। इस द्वितीयक सदिश बंडल संरचना में बढ़ना संचालन पुश-फ़ॉरवर्ड हैं +_*: T (E × E) →TE और λ_*: TE → मूल जोड़ का TE +: E × E → E और अदिश गुणन λ: E → E।

K-सिद्धांत

के-सिद्धांत समूह, $K (X)$ , एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समष्टि को आइसोमोर्फिज्म वर्गों द्वारा उत्पन्न एबेलियन समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $[E]$ सम्मिश्र सदिश बंडलों के संबंध को सापेक्ष करते हैं कि जब भी हमारे पास एक उपयुक्त अनुक्रम होता है।

0\to A\to B\to C\to 0

फिर

[B]=[A]+[C]

टोपोलॉजिकल केओ सिद्धांत में। KO-सिद्धांत इस निर्माण का संस्करण है जो वास्तविक सदिश बंडलों पर विचार करता है। कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ के-सिद्धांत को भी परिभाषित किया जा सकता है, साथ ही उच्च के-सिद्धांत समूहों को भी परिभाषित किया जा सकता है।

राउल बोत्तो ल की प्रसिद्ध बॉट आवधिकता किसी भी समष्टि के-सिद्धांत का आशय करती है $X$ के समरूपी है $S 2 X$ , का दोहरा निलंबन $X$ .

बीजगणितीय ज्यामिति में,K -सिद्धांत समूहों पर विचार किया जाता है जिसमें एक योजना $X$ पर सुसंगत ढेर होते हैं, साथ ही उपरोक्त समतुल्य संबंध के साथ योजना पर सदिश बंडलों के K-सिद्धांत समूह होते हैं। दो निर्माण समान हैं, बशर्ते कि अंतर्निहित योजना सुचारू हो।

यह भी देखें

सामान्य धारणाएं

ग्रासमैनियन : सदिश बंडल के लिए रिक्त समष्टि को वर्गीकृत करना, जिसमें लाइन बंडलों के लिए प्रक्षेप्य समष्टि शामिल हैं
विशेषता वर्ग
विभाजन सिद्धांत
स्थिर बंडल

टोपोलॉजी और विभेदक ज्योमेट्री

गेज सिद्धांत (गणित) : सदिश बंडलों और प्रमुख बंडलों पर कनेक्शन का सामान्य अध्ययन और भौतिकी के साथ उनका संबंध।
कनेक्शन (सदिश बंडल) : सदिश बंडलों के वर्गों को अलग करने के लिए आवश्यक धारणा।

बीजीय और विश्लेषणात्मक ज्यामिति

बीजीय सदिश बंडल
पिकार्ड समूह
होलोमोर्फिक सदिश बंडल

स्रोत

Abraham, Ralph H.; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of mechanics, London: Benjamin-Cummings, see section 1.5, ISBN 978-0-8053-0102-1.
Hatcher, Allen (2003), Vector Bundles & K-Theory (2.0 ed.).
Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1, खंड 1.5 देखें।
Lang, Serge (1995), Differential and Riemannian manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1.
Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 107, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4815-9.
Lee, John M. (2003), Introduction to Smooth Manifolds, New York: Springer, ISBN 0-387-95448-1 अध्याय 5 देखें
Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3.

बाहरी संबंध

[FOOTNOTEHatcher2003Example_3.6-1] Hatcher 2003, Example 3.6.

[FOOTNOTELang1995-2] Lang 1995.

[1]

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 {{Short description|Mathematical parametrization of vector spaces by another space}}
-[[File:Mobius strip illus.svg|thumb|250px|right|(असीम रूप से विस्तारित) मोबियस स्ट्रिप [[ N-sphere ]]|1-sphere S पर एक [[ लाइन बंडल ]] है<sup>1</उप>। स्थानीय रूप से एस में हर बिंदु के आसपास<sup>1</sup>, यह [[ समरूपता ]] U × 'R' (जहाँ U बिंदु सहित एक खुला चाप है), लेकिन कुल बंडल 'S' से अलग है<sup>1</sup> × R (जो इसके बजाय कार्टेशियन उत्पाद है)।]]गणित में, सदिश बंडल से एक [[ टोपोलॉजी ]] निर्माण होता है जो किसी अन्य स्थान द्वारा पैरामीटर किए गए वेक्टर रिक्त स्थान के विचार को उपयुक्त बनाता है (उदाहरण: ''X''  कई गुना या बीजगणितीय भाँति ''',''' का [[ टोपोलॉजिकल स्पेस ]] हो सकता है) अंतरिक्ष ''X'' के प्रत्येक बिंदु ''x'' से एक सदिश समष्टि ''V''(''x'') को इस तरह से जोड़ते हैं ये वेक्टर रिक्त स्थान पर एक साथ फिट होकर 'X'' (जैसे एक टोपोलॉजिकल स्पेस, [[ विविध ]]) के समान स्थान बनाते हैं, जिसे  'X'' को  वेक्टर बंडल कहा जाता है।
+[[File:Mobius strip illus.svg|thumb|250px|right|1-sphere S पर एक [[ लाइन बंडल ]] है<sup>1</उप>। समष्टिीय रूप से एस में हर बिंदु के आसपास<sup>1</sup>, यह [[ समरूपता ]] U × 'R' (जहाँ U बिंदु सहित एक खुला चाप है), लेकिन कुल बंडल 'S' से अलग है<sup>1</sup> × R (जो इसके बजाय कार्टेशियन उत्पाद है)।]]गणित में, '''सदिश बंडल''' से एक [[ टोपोलॉजी ]] निर्माण होता है जो किसी अन्य समष्टि द्वारा पैरामीटर किए गए सदिश रिक्त समष्टि के विचार को उपयुक्त बनाता है (उदाहरण: ''X''  कई गुना या बीजगणितीय भाँति ''',''' का  टोपोलॉजिकल समष्टि  हो सकता है) समष्टि ''X'' के प्रत्येक बिंदु ''x'' से एक सदिश समष्टि ''V''(''x'') को इस तरह से जोड़ते हैं ये सदिश रिक्त समष्टि पर एक साथ फिट होकर 'X'' (जैसे एक टोपोलॉजिकल समष्टि,  विविध ) के समान समष्टि बनाते हैं, जिसे  'X'' को  सदिश बंडल कहा जाता है।
-उदाहरण यह है कि वेक्टर रिक्त स्थान का परिवार है, एक निश्चित [[ सदिश स्थल ]] ''V'' ऐसा है कि ''V''(''x'') = ''V'' सभी के लिए ''X'' में ''X'': इस :घटना में ''X'' प्रत्येक ''x'' के लिए ''V'' की एक प्रति है और ये  प्रतियां X के ऊपर वेक्टर बंडल X × V बनाने के लिए एक साथ फिट होती हैं।. ऐसे सदिश बंडल [[ फाइबर बंडल |फाइबर बंडल]] तुच्छ कहलाते है। उदाहरणों का एक अधिक जटिल चिकना कई गुना मैनिफोल्ड्स के [[ स्पर्शरेखा बंडल | स्पर्शरेखा बंडल]] हैं: इस तरह के कई गुना के सभी  बिंदु पर [[ स्पर्शरेखा स्थान ]] को उस बिंदु पर मैनिफोल्ड से जोड़ते हैं। स्पर्शरेखा बंडल समानता: तुच्छ बंडल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, [[ बालों वाली गेंद प्रमेय ]] द्वारा गोले का स्पर्शरेखा बंडल गैर-तुच्छ है। सामान्य तौर पर, मैनिफोल्ड को समानांतर मैनिफोल्ड कहा जाता है जब इसका  स्पर्शरेखा बंडल तुच्छ है।
+उदाहरण यह है कि सदिश रिक्त समष्टि का परिवार है, एक निश्चित सदिश समष्टि ''V'' ऐसा है कि ''V''(''x'') = ''V'' सभी के लिए ''X'' में ''X'': इस :घटना में ''X'' प्रत्येक ''x'' के लिए ''V'' की एक प्रति है और ये  प्रतियां X के ऊपर सदिश बंडल X × V बनाने के लिए एक साथ फिट होती हैं।. ऐसे सदिश बंडल [[ फाइबर बंडल |फाइबर बंडल]] तुच्छ कहलाते है। उदाहरणों का एक अधिक सम्मिश्र स्मूथ कई गुना मैनिफोल्ड्स के [[ स्पर्शरेखा बंडल | स्पर्शरेखा बंडल]] हैं: इस तरह के कई गुना के सभी  बिंदु पर [[ स्पर्शरेखा स्थान | स्पर्शरेखा समष्टि]] को उस बिंदु पर मैनिफोल्ड से जोड़ते हैं। स्पर्शरेखा बंडल समानता: तुच्छ बंडल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, गेंद प्रमेय  द्वारा गोले का स्पर्शरेखा बंडल गैर-तुच्छ है। सामान्य तौर पर, मैनिफोल्ड को समानांतर मैनिफोल्ड कहा जाता है जब इसका  स्पर्शरेखा बंडल तुच्छ है।
-चूंकि, वेक्टर बंडलों को हमेशा स्थानीय रूप से तुच्छ होने की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि वे फाइबर बंडलों के उदाहरण हैं। साथ ही, वेक्टर रिक्त स्थान का सामान्यतः वास्तविक या जटिल संख्याओं पर होना आवश्यक है, इस विषय में सदिश बंडल को वास्तविक या [[ जटिल वेक्टर बंडल ]] कहा जाता है। जटिल वेक्टर बंडलों को अतिरिक्त संरचना के साथ वास्तविक वेक्टर बंडलों के रूप में देखा जा सकता है। निम्नलिखित में, हम [[ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी ]] में वास्तविक वेक्टर बंडलों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
+चूंकि, सदिश बंडलों को हमेशा समष्टिीय रूप से तुच्छ होने की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि वे फाइबर बंडलों के उदाहरण हैं। साथ ही, सदिश रिक्त समष्टि का सामान्यतः वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर होना आवश्यक है, इस विषय में सदिश बंडल को वास्तविक या  सम्मिश्र सदिश बंडल  कहा जाता है। सम्मिश्र सदिश बंडलों को अतिरिक्त संरचना के साथ वास्तविक सदिश बंडलों के रूप में देखा जा सकता है। निम्नलिखित में, हम  टोपोलॉजिकल समष्टि की श्रेणी में वास्तविक सदिश बंडलों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
 == परिभाषा और पहला परिणाम ==
 [[File:Vector bundle.png|thumb|300px|एक सदिश बंडल <math>E</math> एक आधार पर <math>M</math>. एक बिंदु <math>m_1</math> में <math>M</math> एक फाइबर में उत्पत्ति के अनुरूप है <math>E_{m_1}</math> सदिश बंडल का <math>E</math>, और इस फाइबर को बिंदु तक मैप किया जाता है <math>m_1</math> प्रक्षेपण द्वारा <math>\pi: E \to M</math>.]]एक वास्तविक सदिश बंडल में निम्नलिखित हैं:
-# टोपोलॉजिकल स्पेस ''X'' और ''E''
+# टोपोलॉजिकल समष्टि ''X'' और ''E''
-# एक सतत कार्य प्रक्षेपण {{pi}} : ई → एक्स (बंडल प्रक्षेपण)
+# एक सतत फलन प्रक्षेपण {{pi}} : ई → एक्स (बंडल प्रक्षेपण)
-# X में प्रत्येक x के लिए, परिमित-आयामी की संरचना फाइबर बंडल पर परिमित-आयामी [[ वास्तविक संख्या ]] वेक्टर स्थान {{pi}}<sup>−1</sup>({x})
+# X में प्रत्येक x के लिए, परिमित-आयामी की संरचना फाइबर बंडल पर परिमित-आयामी [[ वास्तविक संख्या ]] सदिश समष्टि {{pi}}<sup>−1</sup>({x})
 जहां निम्नलिखित संगतता स्थिति संतुष्ट है: एक्स में प्रत्येक बिंदु पी के लिए, पी का एक खुला पड़ोस यू ⊆ एक्स है, एक [[ प्राकृतिक संख्या | प्राकृतिक]] [[ प्राकृतिक संख्या |संख्या]] के, और होमियोमोर्फिज्म है:
@@ Line 18: / Line 18: @@
 * <math> (\pi \circ \varphi)(x,v) = x  </math> ''''R'''<sup>''k''</sup>' में सभी वैक्टर  के लिए, और
-* नक्शा <math> v \mapsto \varphi (x, v)</math> वेक्टर रिक्त स्थान आर के बीच एक रैखिक समरूपता है''''R'''<sup>''k''</sup> और {{pi}}<sup>-1</sup>({x})।
+* नक्शा <math> v \mapsto \varphi (x, v)</math> सदिश रिक्त समष्टि आर के बीच एक रैखिक समरूपता है''''R'''<sup>''k''</sup> और {{pi}}<sup>-1</sup>({x})।
-होमियोमॉर्फिज्म के साथ खुला पड़ोस ''U'' एक साथ <math>\varphi</math> वेक्टर बंडल का स्थानीय तुच्छीकरण कहा जाता है। स्थानीय तुच्छता से पता चलता है कि 'स्थानीय रूप से' मानचित्र {{pi}} ''U'' × ''''R'''<sup>''k''</sup>' के प्रक्षेपण जैसा दिखता है ''U'' पर।
+होमियोमॉर्फिज्म के साथ खुला पड़ोस ''U'' एक साथ <math>\varphi</math> सदिश बंडल का समष्टिीय तुच्छीकरण कहा जाता है। समष्टिीय तुच्छता से पता चलता है कि 'समष्टिीय रूप से' मानचित्र {{pi}} ''U'' × ''''R'''<sup>''k''</sup>' के प्रक्षेपण जैसा दिखता है ''U'' पर है।
-हर फाइबर {{pi}}<sup>−1</sup>({x}) एक परिमित-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि है और इसलिए इसका आयाम k है<sub>''x''</sub>. स्थानीय तुच्छीकरण दर्शाता है कि फलन x {{mapsto}} k<sub>x</sub>[[ स्थानीय रूप से स्थिर ]] है, और इसलिए X के प्रत्येक स्थानीय रूप से जुड़े हुए स्थान पर स्थिर है। यदि k<sub>x</sub>सभी X पर एक अचर k के बराबर है, तो k को सदिश बंडल का 'रैंक' कहा जाता है, और E को 'रैंक k का सदिश बंडल' कहा जाता है। सामान्यतः एक वेक्टर बंडल की परिभाषा में यह सम्मिलित होता है कि पद अच्छी तरह से परिभाषित है, जिससे k<sub>x</sub>स्थिर है। रैंक 1 के वेक्टर बंडलों को लाइन बंडल कहा जाता है, जबकि रैंक 2 के वेक्टर बंडलों को सामान्यतः समतल बंडल कहा जाता है।
+हर फाइबर {{pi}}<sup>−1</sup>({x}) एक परिमित-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि है और इसलिए इसका आयाम k है<sub>''x''</sub>. समष्टिीय तुच्छीकरण दर्शाता है कि फलन x {{mapsto}} k<sub>x</sub>[[ स्थानीय रूप से स्थिर | समष्टिीय रूप से स्थिर]] है, और इसलिए X के प्रत्येक समष्टिीय रूप से जुड़े हुए समष्टि पर स्थिर है। यदि k<sub>x</sub>सभी X पर एक अचर k के बराबर है, तो k को सदिश बंडल का 'रैंक' कहा जाता है, और E को 'रैंक k का सदिश बंडल' कहा जाता है। सामान्यतः एक सदिश बंडल की परिभाषा में यह सम्मिलित होता है कि पद अच्छी तरह से परिभाषित है, जिससे k<sub>x</sub>स्थिर है। रैंक 1 के सदिश बंडलों को लाइन बंडल कहा जाता है, जबकि रैंक 2 के सदिश बंडलों को सामान्यतः समतल बंडल कहा जाता है।
 कार्तीय गुणनफल X × 'R'<sup>k</sup>, प्रोजेक्शन X × 'R' से सुसज्जित<sup>k</sup> → X, को X के ऊपर रैंक k का 'तुच्छ बंडल' कहा जाता है।
-=== संक्रमण कार्य ===
+=== संक्रमण फलन ===
-[[File:Transition functions.png|thumb|300px|खुले सेटों पर दो तुच्छ सदिश बंडल <math>U_\alpha</math> तथा <math>U_\beta</math> चौराहे पर चिपकाया जा सकता है <math>U_{\alpha\beta}</math> संक्रमण कार्यों द्वारा <math>g_{\alpha \beta}</math> जो तंतुओं में एक रैखिक परिवर्तन लागू करने के बाद छायांकित ग्रे क्षेत्रों को एक साथ चिपकाने का काम करते हैं (नीले चतुर्भुज के प्रभाव के तहत नीले चतुर्भुज के परिवर्तन पर ध्यान दें) <math>g_{\alpha\beta}</math>) संक्रमण कार्यों के विभिन्न विकल्पों के परिणामस्वरूप विभिन्न सदिश बंडल हो सकते हैं जो ग्लूइंग पूर्ण होने के बाद गैर-तुच्छ हैं।]]
+[[File:Transition functions.png|thumb|300px|खुले सेटों पर दो तुच्छ सदिश बंडल <math>U_\alpha</math> तथा <math>U_\beta</math> चौराहे पर चिपकाया जा सकता है <math>U_{\alpha\beta}</math> संक्रमण फलनों द्वारा <math>g_{\alpha \beta}</math> जो तंतुओं में एक रैखिक परिवर्तन लागू करने के बाद छायांकित ग्रे क्षेत्रों को एक साथ चिपकाने का काम करते हैं (नीले चतुर्भुज के प्रभाव के तहत नीले चतुर्भुज के परिवर्तन पर ध्यान दें) <math>g_{\alpha\beta}</math>) संक्रमण फलनों के विभिन्न विकल्पों के परिणामस्वरूप विभिन्न सदिश बंडल हो सकते हैं जो ग्लूइंग पूर्ण होने के बाद गैर-तुच्छ हैं।]]
-[[File:Mobius transition functions.png|thumb|300px|मोबियस पट्टी का निर्माण सर्कल एस के खुले उपसमुच्चय यू और वी पर दो तुच्छ बंडलों के गैर-तुच्छ ग्लूइंग द्वारा किया जा सकता है<sup>1</उप>। जब तुच्छ रूप से चिपकाया जाता है (g . के साथ)<sub>UV</sub>=1) एक तुच्छ बंडल प्राप्त करता है, लेकिन जी के गैर-तुच्छ ग्लूइंग के साथ<sub>UV</sub>=1 एक ओवरलैप पर और g<sub>UV</sub>=-1 दूसरे ओवरलैप पर, एक गैर-तुच्छ बंडल ई, मोबियस पट्टी प्राप्त करता है। इसे स्थानीय चार्टों में से एक के घुमाव के रूप में देखा जा सकता है।]]रैंक k का एक सदिश बंडल E → X दिया गया है, और पड़ोस का एक जोड़ा U और V दिया गया है, जिसके ऊपर बंडल तुच्छ बनाता है
+[[File:Mobius transition functions.png|thumb|300px|मोबियस पट्टी का निर्माण सर्कल एस के खुले उपसमुच्चय यू और वी पर दो तुच्छ बंडलों के गैर-तुच्छ ग्लूइंग द्वारा किया जा सकता है<sup>1</उप>। जब तुच्छ रूप से चिपकाया जाता है (g . के साथ)<sub>UV</sub>=1) एक तुच्छ बंडल प्राप्त करता है, लेकिन जी के गैर-तुच्छ ग्लूइंग के साथ<sub>UV</sub>=1 एक ओवरलैप पर और g<sub>UV</sub>=-1 दूसरे ओवरलैप पर, एक गैर-तुच्छ बंडल ई, मोबियस पट्टी प्राप्त करता है। इसे समष्टिीय चार्टों में से एक के घुमाव के रूप में देखा जा सकता है।]]रैंक k का एक सदिश बंडल E → X दिया गया है, और पड़ोस का एक जोड़ा U और V दिया गया है, जिसके ऊपर बंडल तुच्छ बनाता है
 :<math>\begin{align}
@@ Line 34: / Line 34: @@
 \varphi_V\colon V\times \mathbf{R}^k &\mathrel{\xrightarrow{\cong}} \pi^{-1}(V)
 \end{align}</math>
-समग्र कार्य
+समग्र फलन
 :<math>\varphi_U^{-1}\circ\varphi_V \colon (U\cap V)\times\mathbf{R}^k\to (U\cap V)\times\mathbf{R}^k</math>
 अंशतः समान रूप से परिभाषित और संतुष्ट करता है
@@ Line 42: / Line 42: @@
 इन्हें सदिश बंडल का संक्रमण फलन (या निर्देशांक परिवर्तन) कहा जाता है।
-संक्रमण कार्यों का सेट इस अर्थ में एक चेक चक्र बनाता है
+संक्रमण फलनों का सेट इस अर्थ में एक चेक चक्र बनाता है
 :<math>g_{UU}(x) = I, \quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x) = I</math>
 सभी ''U'', ''V'', ''W'' के लिए जिस पर बंडल संतोषजनक हो जाता है <math> U\cap V\cap W\neq \emptyset</math>. इस प्रकार डेटा (E, X, {{pi}}, R<sup>k</sup>) फाइबर बंडल को परिभाषित करता है; G के अतिरिक्त डेटा<sub>''UV''</sub> एक GL(''k'') संरचना समूह को निर्दिष्ट करता है जिसमें फाइबर पर क्रिया GL(''k'') की मानक क्रिया है।
-इसके विपरीत, एक फाइबर बंडल (''E'', ''X'', π, '''R'''<sup>''k''</sup>) फाइबर 'R' पर मानक उपाय से अभिनय करने वाली GL(k) कोसाइकिल के साथ '''R'''<sup>k</sup>, वहाँ एक सदिश बंडल संबद्ध है। यह वेक्टर बंडलों के लिए [[ फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय ]] का एक उदाहरण है, और इसे वेक्टर बंडल की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में लिया सकता है।
+इसके विपरीत, एक फाइबर बंडल (''E'', ''X'', π, '''R'''<sup>''k''</sup>) फाइबर 'R' पर मानक उपाय से अभिनय करने वाली GL(k) कोसाइकिल के साथ '''R'''<sup>k</sup>, वहाँ एक सदिश बंडल संबद्ध है। यह सदिश बंडलों के लिए  फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय  का एक उदाहरण है, और इसे सदिश बंडल की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में लिया सकता है।
 ===उपसमूह ===
 {{Main article|सबबंडल}}
-[[File:Subbundle.png|thumb|300px|एक लाइन सबबंडल <math>L</math> एक तुच्छ रैंक 2 सदिश बंडल का <math>E</math> एक आयामी कई गुना से अधिक <math>M</math>.]]वेक्टर बंडलों के निर्माण की एक सरल विधि अन्य वेक्टर बंडलों के सबबंडल्स लेना है। एक वेक्टर बंडल दिया गया <math>\pi: E\to X</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर, एक सबबंडल बस एक सबस्पेस है <math>F\subset E</math> जिसके लिए प्रतिबंध <math>\left.\pi\right|_F</math> का <math>\pi</math> प्रति <math>F</math> देता है <math>\left.\pi\right|_F: F \to X</math> एक वेक्टर बंडल की संरचना भी। इस विषय में फाइबर <math>F_x\subset E_x</math> प्रत्येक के लिए सदिश उपसमष्टि है <math>x\in X</math>.
+[[File:Subbundle.png|thumb|300px|एक लाइन सबबंडल <math>L</math> एक तुच्छ रैंक 2 सदिश बंडल का <math>E</math> एक आयामी कई गुना से अधिक <math>M</math>.]]सदिश बंडलों के निर्माण की एक सरल विधि अन्य सदिश बंडलों के सबबंडल्स लेना है। एक सदिश बंडल दिया गया <math>\pi: E\to X</math> एक टोपोलॉजिकल समष्टि पर, एक सबबंडल बस एक सबसमष्टि है <math>F\subset E</math> जिसके लिए प्रतिबंध <math>\left.\pi\right|_F</math> का <math>\pi</math> प्रति <math>F</math> देता है <math>\left.\pi\right|_F: F \to X</math> एक सदिश बंडल की संरचना भी। इस विषय में फाइबर <math>F_x\subset E_x</math> प्रत्येक के लिए सदिश उपसमष्टि है <math>x\in X</math>.
-एक तुच्छ बंडल के एक उपसमूह को तुच्छ होने की आवश्यकता नहीं है, और वास्तव में प्रत्येक वास्तविक वेक्टर बंडल को पर्याप्त उच्च पद के तुच्छ बंडल के एक उपसमूह के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए मोबियस बैंड, घेरा के ऊपर एक गैर-तुच्छ लाइन बंडल, घेरा के ऊपर तुच्छ पद 2 बंडल के एक सबबंडल के रूप में देखा जा सकता है।
+एक तुच्छ बंडल के एक उपसमूह को तुच्छ होने की आवश्यकता नहीं है, और वास्तव में प्रत्येक वास्तविक सदिश बंडल को पर्याप्त उच्च पद के तुच्छ बंडल के एक उपसमूह के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए मोबियस बैंड, घेरा के ऊपर एक गैर-तुच्छ लाइन बंडल, घेरा के ऊपर तुच्छ पद 2 बंडल के एक सबबंडल के रूप में देखा जा सकता है।
 == सदिश बंडल ==
-सदिश बंडल से आकारिकी {{pi}}<sub>1</sub>: E<sub>1</sub> → X<sub>1</sub> वेक्टर बंडल के लिए {{pi}}<sub>2</sub>: E<sub>2</sub> → X<sub>2</sub> निरंतर मानचित्र f: E की एक जोड़ी द्वारा दिया गया हैE<sub>1</sub> →E<sub>2</sub> और ''g'':  X<sub>1</sub> →X<sub>2</sub> ऐसा है कि
+सदिश बंडल से आकारिकी {{pi}}<sub>1</sub>: E<sub>1</sub> → X<sub>1</sub> सदिश बंडल के लिए {{pi}}<sub>2</sub>: E<sub>2</sub> → X<sub>2</sub> निरंतर मानचित्र f: E की एक जोड़ी द्वारा दिया गया हैE<sub>1</sub> →E<sub>2</sub> और ''g'':  X<sub>1</sub> →X<sub>2</sub> ऐसा है कि
 : ''g'' ∘{{pi}}<sub>1</sub> = {{pi}}<sub>2</sub>∘ ''f''
-:: [[File:BundleMorphism-01.png]]:X में प्रत्येक X  के लिए ''X''<sub>1</sub>, नक्शा {{pi}}<sub>1</sub><sup>-1</sup>({x}) → {{pi}}<sub>2</sub><sup>−1</sup>({g(x)}) f द्वारा प्रेरित सदिश स्थानों के बीच एक रेखीय मानचित्र है।
+:: [[File:BundleMorphism-01.png]]:X में प्रत्येक X  के लिए ''X''<sub>1</sub>, नक्शा {{pi}}<sub>1</sub><sup>-1</sup>({x}) → {{pi}}<sub>2</sub><sup>−1</sup>({g(x)}) f द्वारा प्रेरित सदिश समष्टिों के बीच एक रेखीय मानचित्र है।
 ध्यान दें कि ''g'' ''f'' द्वारा निर्धारित किया जाता है (क्योंकि {{pi}}<sub>1</sub> आच्छादक है), और f को फिर 'आवरण g' कहा जाता है।
-सभी वेक्टर बंडलों का वर्ग बंडल आकारिकी के साथ मिलकर एक [[ श्रेणी (गणित) | श्रेणी]]  बनाता है। वेक्टर बंडलों तक सीमित करना जिसके लिए रिक्त स्थान कई गुना हैं और चिकने बंडल मोर्फिज्म हम चिकने वेक्टर बंडलों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। वेक्टर बंडल मॉर्फिज्म फाइबर बंडलों के बीच [[ बंडल नक्शा ]] की धारणा का एक विशेष विषय है, और इसे कभी-कभी होमोमोर्फिज्म' कहा जाता है।
+सभी सदिश बंडलों का वर्ग बंडल आकारिकी के साथ मिलकर एक [[ श्रेणी (गणित) | श्रेणी]]  बनाता है। सदिश बंडलों तक सीमित करना जिसके लिए रिक्त समष्टि कई गुना हैं और चिकने बंडल मोर्फिज्म हम चिकने सदिश बंडलों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। सदिश बंडल मॉर्फिज्म फाइबर बंडलों के बीच  बंडल नक्शा  की धारणा का एक विशेष विषय है, और इसे कभी-कभी होमोमोर्फिज्म' कहा जाता है।
-E से एक बंडल ''E''<sub>2,</sub> U<sub>2</sub> एक व्युत्क्रम के साथ जो एक बंडल समरूप भी है (E<sub>2 ,</sub> U<sub>1</sub>) को बंडल समरूपता कहा जाता है, और फिर ''E''<sub>1</sub> और E<sub>2</sub> आइसोमॉर्फिक वेक्टर बंडल कहा जाता है। तुच्छ बंडल के साथ (''k'') वेक्टर बंडल ''E'' ओवर ''X'' का एक आइसोमोर्फिज्म (पद  ''k'' ऊपर''X'') को 'का ट्रिवियलाइजेशन' कहा जाता है। 'E', और 'E' को तब तुच्छ कहा जाता है। वेक्टर बंडल की परिभाषा से पता चलता है कि कोई भी वेक्टर बंडल स्थानीय रूप से तुच्छ है।
+E से एक बंडल ''E''<sub>2,</sub> U<sub>2</sub> एक व्युत्क्रम के साथ जो एक बंडल समरूप भी है (E<sub>2 ,</sub> U<sub>1</sub>) को बंडल समरूपता कहा जाता है, और फिर ''E''<sub>1</sub> और E<sub>2</sub> आइसोमॉर्फिक सदिश बंडल कहा जाता है। तुच्छ बंडल के साथ (''k'') सदिश बंडल ''E'' ओवर ''X'' का एक आइसोमोर्फिज्म (पद  ''k'' ऊपर''X'') को 'का ट्रिवियलाइजेशन' कहा जाता है। 'E', और 'E' को तब तुच्छ कहा जाता है। सदिश बंडल की परिभाषा से पता चलता है कि कोई भी सदिश बंडल समष्टिीय रूप से तुच्छ है।
-हम एक निश्चित आधार स्थान ''X'' पर सभी सदिश बंडलों की श्रेणी पर भी विचार कर सकते हैं। इस श्रेणी में  मोर्फिज्म के रूप में हम सदिश बंडलों के उन  मोर्फिज्म को लेते हैं जिनके आधार स्थान पर मानचित्र 'X' पर पहचान कार्य है। यही है, बंडल मोर्फिज्म जिसके लिए निम्न आरेख कम्यूटेटिव आरेख:
+हम एक निश्चित आधार समष्टि ''X'' पर सभी सदिश बंडलों की श्रेणी पर भी विचार कर सकते हैं। इस श्रेणी में  मोर्फिज्म के रूप में हम सदिश बंडलों के उन  मोर्फिज्म को लेते हैं जिनके आधार समष्टि पर मानचित्र 'X' पर पहचान फलन है। यही है, बंडल मोर्फिज्म जिसके लिए निम्न आरेख कम्यूटेटिव आरेख:
-: [[File:BundleMorphism-02.png]](ध्यान दें कि यह श्रेणी एबेलियन श्रेणी नहीं है; वेक्टर बंडलों के आकारिकी का श्रेणी सिद्धांत सामान्य रूप से किसी भी प्राकृतिक उपाय से वेक्टर बंडल नहीं है।
+: [[File:BundleMorphism-02.png]](ध्यान दें कि यह श्रेणी एबेलियन श्रेणी नहीं है; सदिश बंडलों के आकारिकी का श्रेणी सिद्धांत सामान्य रूप से किसी भी प्राकृतिक उपाय से सदिश बंडल नहीं है।
-सदिश बंडलों के बीच एक सदिश बंडल आकारिकी {{pi}}<sub>1</sub>: E<sub>1</sub> → X<sub>1</sub> तथा {{pi}}<sub>2</sub>: E<sub>2</sub> → X<sub>2</sub> X से मानचित्र g को कवर करना E<sub>1 ,</sub> X<sub>2</sub>  X<sub>1</sub> पर वेक्टर बंडल आकारिकी के रूप में भी देखा जा सकता है E<sub>1</sub> [[ पुलबैक बंडल ]] g*E<sub>2</sub>.
+सदिश बंडलों के बीच एक सदिश बंडल आकारिकी {{pi}}<sub>1</sub>: E<sub>1</sub> → X<sub>1</sub> तथा {{pi}}<sub>2</sub>: E<sub>2</sub> → X<sub>2</sub> X से मानचित्र g को कवर करना E<sub>1 ,</sub> X<sub>2</sub>  X<sub>1</sub> पर सदिश बंडल आकारिकी के रूप में भी देखा जा सकता है E<sub>1</sub>  पुलबैक बंडल  g*E<sub>2</sub>.
-== अनुभाग और स्थानीय रूप से मुक्त बंडल ==
+== अनुभाग और समष्टिीय रूप से मुक्त बंडल ==
 [[File:Vector bundle with section.png|thumb|300px|एक सदिश बंडल <math>E</math> एक आधार पर <math>M</math> खंड के साथ <math>s</math>.]]
-[[File:Surface normals.svg|right|thumb|300px|एक सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए एक [[ सामान्य वेक्टर ]] को जोड़ने वाले मानचित्र को एक खंड के रूप में माना जा सकता है। सतह अंतरिक्ष X है, और प्रत्येक बिंदु x पर x पर संलग्न सदिश समष्टि में एक सदिश है।]]एक वेक्टर बंडल दिया गया {{pi}}: E → X और X का एक खुला उपसमुच्चय U, हम 'सेक्शन' पर विचार कर सकते हैं {{pi}} U पर, निरंतर कार्य S: U → E जहां समग्र {{pi}}∘ ऐसा है कि {{nowrap|1=({{pi}} ∘ ''s'')(''u'') = ''u''}} में सभी U के लिए। अनिवार्य रूप से, एक अनुभाग U के प्रत्येक बिंदु को संलग्न वेक्टर अंतरिक्ष से बिना किसी अंतराल के प्रदान करता है। एक उदाहरण के रूप में, अंतर मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल के खंड कुछ और नहीं अन्यथा उस मैनिफोल्ड पर [[ वेक्टर क्षेत्र ]] हैं।
+[[File:Surface normals.svg|right|thumb|300px|एक सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए एक [[ सामान्य वेक्टर | सामान्य सदिश]] को जोड़ने वाले मानचित्र को एक खंड के रूप में माना जा सकता है। सतह समष्टि X है, और प्रत्येक बिंदु x पर x पर संलग्न सदिश समष्टि में एक सदिश है।]]एक सदिश बंडल दिया गया {{pi}}: E → X और X का एक खुला उपसमुच्चय U, हम 'सेक्शन' पर विचार कर सकते हैं {{pi}} U पर, निरंतर फलन S: U → E जहां समग्र {{pi}}∘ ऐसा है कि {{nowrap|1=({{pi}} ∘ ''s'')(''u'') = ''u''}} में सभी U के लिए। अनिवार्य रूप से, एक अनुभाग U के प्रत्येक बिंदु को संलग्न सदिश समष्टि से बिना किसी अंतराल के प्रदान करता है। एक उदाहरण के रूप में, अंतर मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल के खंड कुछ और नहीं अन्यथा उस मैनिफोल्ड पर [[ वेक्टर क्षेत्र | सदिश क्षेत्र]] हैं।
-F(U) को U पर सभी वर्गों का समूह होने दें। F(U) में हमेशा कम से कम एक तत्व होता है, अर्थात् शून्य खंड: फ़ंक्शन s जो U के प्रत्येक तत्व x को सदिश स्थान {{pi}}<sup>-1</sup>({x} के शून्य तत्व से मापन  करता है। खंडों के बिंदुवार योग और अदिश गुणन के साथ, F(U) स्वयं एक वास्तविक सदिश समष्टि बन जाता है। इन वेक्टर रिक्त स्थान का संग्रह X पर वेक्टर रिक्त स्थान का एक [[शीफ (गणित)|शीफ]] समूह है।
+F(U) को U पर सभी वर्गों का समूह होने दें। F(U) में हमेशा कम से कम एक तत्व होता है, अर्थात् शून्य खंड: फ़ंक्शन s जो U के प्रत्येक तत्व x को सदिश समष्टि {{pi}}<sup>-1</sup>({x} के शून्य तत्व से मापन  करता है। खंडों के बिंदुवार योग और अदिश गुणन के साथ, F(U) स्वयं एक वास्तविक सदिश समष्टि बन जाता है। इन सदिश रिक्त समष्टि का संग्रह X पर सदिश रिक्त समष्टि का एक [[शीफ (गणित)|शीफ]] समूह है।
-यदि s, F(U) का एक अवयव है और α: U → 'R' एक सतत मानचित्र है, तो αs (बिंदुवार अदिश गुणन) F(U) में होता है। हम देखते हैं कि F(U) U पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलनों के वलय के ऊपर एक [[ मॉड्यूल (गणित) | मापांक]] है। इसके  अतिरिक्त, यदि O<sub>''X''</sub> X पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की संरचना शीफ को दर्शाता है, <sub>''X''</sub>मापांक फिर F O का एक शीफ बन जाता है।
+यदि s, F(U) का एक अवयव है और α: U → 'R' एक सतत मानचित्र है, तो αs (बिंदुवार अदिश गुणन) F(U) में होता है। हम देखते हैं कि F(U) U पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलनों के वलय के ऊपर एक [[ मॉड्यूल (गणित) | मापांक]] है। इसके  अतिरिक्त, यदि O<sub>''X''</sub> X पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलनों की संरचना शीफ को दर्शाता है, <sub>''X''</sub>मापांक फिर F O का एक शीफ बन जाता है।
-सदिश बंडल से <sub>''X''</sub>-मॉड्यूल का प्रत्येक शीफ इस तरह से उत्पन्न नहीं होता है: केवल [[ स्थानीय रूप से मुक्त शीफ ]] ही करते हैं। (कारण: स्थानीय रूप से हम प्रक्षेपण YX 'R' के वर्गों की तलाश में हैं<sup>के </सुप> →Y; ये सटीक रूप से निरंतर कार्य हैं यू → 'R'<sup>k</sup>, और ऐसा फलन निरंतर फलनों U → 'R' का k-tuple है)।
+सदिश बंडल से <sub>''X''</sub>-मॉड्यूल का प्रत्येक शीफ इस तरह से उत्पन्न नहीं होता है: केवल [[ स्थानीय रूप से मुक्त शीफ | समष्टिीय रूप से मुक्त शीफ]] ही करते हैं। (कारण: समष्टिीय रूप से हम प्रक्षेपण YX 'R' के वर्गों की तलाश में हैं
-<sub>''X''</sub>-मॉड्यूल,इससे भी अधिक: X पर वास्तविक वेक्टर बंडलों की श्रेणी O के स्थानीय रूप से मुक्त और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न ढेरों की श्रेणी के लिए [[ श्रेणी सिद्धांत | श्रेणी सिद्धांत]] है।
+<sub>''X''</sub>-मॉड्यूल,इससे भी अधिक: X पर वास्तविक सदिश बंडलों की श्रेणी O के समष्टिीय रूप से मुक्त और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न ढेरों की श्रेणी के लिए [[ श्रेणी सिद्धांत | श्रेणी सिद्धांत]] है।
-तो हम X पर वास्तविक वेक्टर बंडलों की श्रेणी के बारे में सोच सकते हैं जैसे कि OX-मॉड्यूल के शीशों की श्रेणी के अंदर बैठे, यह बाद वाली श्रेणी एबेलियन है, इसलिए यह वह जगह है जहां हम वेक्टर बंडलों के आकारिकी के गुठली और कोकर्नेल की गणना कर सकते हैं।
+तो हम X पर वास्तविक सदिश बंडलों की श्रेणी के बारे में सोच सकते हैं जैसे कि OX-मॉड्यूल के शीशों की श्रेणी के अंदर बैठे, यह बाद वाली श्रेणी एबेलियन है, इसलिए यह वह जगह है जहां हम सदिश बंडलों के आकारिकी के गुठली और कोकर्नेल की गणना कर सकते हैं।
-एक रैंक n वेक्टर बंडल तुच्छ है यदि और केवल अगर इसमें n रैखिक रूप से स्वतंत्र वैश्विक खंड हैं।
+एक रैंक n सदिश बंडल तुच्छ है यदि और केवल अगर इसमें n रैखिक रूप से स्वतंत्र वैश्विक खंड हैं।
 == सदिश बंडलों पर संचालन ==
-सदिश रिक्त स्थान पर फाइबरवाइज करके अधिकांश संचालन सदिश बंडलों तक बढ़ाए जा सकते हैं।
+सदिश रिक्त समष्टि पर फाइबरवाइज करके अधिकांश संचालन सदिश बंडलों तक बढ़ाए जा सकते हैं।
-उदाहरण के लिए, यदि E, X के ऊपर एक सदिश बंडल है, तो X के ऊपर एक बंडल E* है, जिसे '[[ दोहरी बंडल ]]' कहा जाता है, जिसका फाइबर x ∈ X पर [[ दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष ]] है (E<sub>x</sub>)*. नियमित रूप से E* को जोड़े (x, φ) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ x ∈ X और φ ∈ (E<sub>''x''</sub>)*. दोहरी बंडल स्थानीय रूप से तुच्छ है क्योंकि E के स्थानीय तुच्छीकरण के व्युत्क्रम का स्थानान्तरण E* का एक स्थानीय तुच्छीकरण है: यहां मुख्य बिंदु यह है कि दोहरी सदिश स्थान लेने का संचालन [[ कार्यात्मक ]] है।
+उदाहरण के लिए, यदि E, X के ऊपर एक सदिश बंडल है, तो X के ऊपर एक बंडल E* है, जिसे 'दोहरी बंडल' कहा जाता है, जिसका फाइबर x ∈ X पर  दोहरी सदिश समष्टि है (E<sub>x</sub>)*. नियमित रूप से E* को जोड़े (x, φ) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ x ∈ X और φ ∈ (E<sub>''x''</sub>)*. दोहरी बंडल समष्टिीय रूप से तुच्छ है क्योंकि E के समष्टिीय तुच्छीकरण के व्युत्क्रम का समष्टिान्तरण E* का एक समष्टिीय तुच्छीकरण है: यहां मुख्य बिंदु यह है कि दोहरी सदिश समष्टि लेने का संचालन फलनात्मक है।
-कई कार्यात्मक संचालन हैं जो वेक्टर रिक्त स्थान के एक ही क्षेत्र पर किए जा सकते हैं, और ये सीधे वेक्टर बंडल E, F पर X जोड़े तक विस्तारित होते हैं और कुछ उदाहरण अनुसरण करते हैं।
+कई फलनात्मक संचालन हैं जो सदिश रिक्त समष्टि के एक ही क्षेत्र पर किए जा सकते हैं, और ये सीधे सदिश बंडल E, F पर X जोड़े तक विस्तारित होते हैं और कुछ उदाहरण अनुसरण करते हैं।
-* E और F का 'व्हिटनी योग' ([[ हस्लर व्हिटनी ]] के लिए नामित) या 'प्रत्यक्ष योग बंडल' एक सदिश बंडल E ⊕ FX पर है जिसका फाइबर X से अधिक मॉड्यूल E का प्रत्यक्ष योग है<sub>x</sub>⊕ एफ<sub>x</sub>सदिश रिक्त स्थान E<sub>x</sub>और F<sub>x</sub>.
+* E और F का 'व्हिटनी योग' (हस्लर व्हिटनी के लिए नामित) या 'प्रत्यक्ष योग बंडल' एक सदिश बंडल E ⊕ FX पर है जिसका फाइबर X से अधिक मॉड्यूल E का प्रत्यक्ष योग है<sub>x</sub>⊕ एफ<sub>x</sub>सदिश रिक्त समष्टि E<sub>x</sub>और F<sub>x</sub>.
-* 'टेंसर उत्पाद बंडल' E ⊗ F को इसी तरह से परिभाषित किया गया है, जिसमें वेक्टर स्पेस के फाइबरवाइज [[ टेंसर उत्पाद |टेंसर उत्पाद]]  का उपयोग किया जाता है।
+* 'टेंसर उत्पाद बंडल' E ⊗ F को इसी तरह से परिभाषित किया गया है, जिसमें सदिश समष्टि के फाइबरवाइज टेंसर उत्पाद का उपयोग किया जाता है।
-* 'होम-बंडल' होम (E, F) एक वेक्टर बंडल है जिसका फाइबर X पर E से रैखिक मानचित्रों का स्थान है| <sub>x</sub>F के लिए<sub>x</sub>(जिसे अक्सर होम के रूप में दर्शाया जाता है<sub>''x''</sub>, F<sub>x</sub>) या L (E<sub>''x''</sub>, F<sub>''x''</sub>))। होम-बंडल और उपयोगी है क्योंकि वेक्टर बंडल होमोमोर्फिज्म के बीच E से F से X और X के ऊपर होम (E, F) के वर्गों के बीच एक विभाजन है।
+* 'होम-बंडल' होम (E, F) एक सदिश बंडल है जिसका फाइबर X पर E से रैखिक मानचित्रों का समष्टि है| <sub>x</sub>F के लिए<sub>x</sub>(जिसे अक्सर होम के रूप में दर्शाया जाता है<sub>''x''</sub>, F<sub>x</sub>) या L (E<sub>''x''</sub>, F<sub>''x''</sub>))। होम-बंडल और उपयोगी है क्योंकि सदिश बंडल होमोमोर्फिज्म के बीच E से F से X और X के ऊपर होम (E, F) के वर्गों के बीच एक विभाजन है।
-* पिछले उदाहरण पर निर्माण, एक एंडोमोर्फिज्म बंडल होम (E, E) और एक फ़ंक्शन F:X → 'R' के एक खंड को देखते हुए, कोई एक बिंदु x X पर फाइबर ले कर एक 'ईजेनबंडल' का निर्माण कर सकता है। f(x)-आइजन्वेक्टर, ईजेनस्पेस और रैखिक मानचित्र s(x) का स्पेक्ट्रम हो: E<sub>''x''</sub> → ''E<sub>xx</sub>''. चूंकि यह निर्माण स्वाभाविक है, जब तक देखभाल नहीं की जाती है, परिणामी वस्तु में स्थानीय तुच्छता नहीं होगी। s के शून्य खंड होने और f के पृथक शून्य होने के घटना पर विचार करें। परिणामी  ईजेनबंडल में इन शून्यों पर फाइबर E में उनके ऊपर फाइबर के लिए आइसोमोर्फिक होगा, जबकि हर जगह फाइबर तुच्छ 0-आयामी वेक्टर स्थान है।
+* पिछले उदाहरण पर निर्माण, एक एंडोमोर्फिज्म बंडल होम (E, E) और एक फ़ंक्शन F:X → 'R' के एक खंड को देखते हुए, कोई एक बिंदु x X पर फाइबर ले कर एक 'ईजेनबंडल' का निर्माण कर सकता है। f(x)-आइजन्सदिश, ईजेनसमष्टि और रैखिक मानचित्र s(x) का स्पेक्ट्रम हो: E<sub>''x''</sub> → ''E<sub>xx</sub>''. चूंकि यह निर्माण स्वाभाविक है, जब तक देखभाल नहीं की जाती है, परिणामी वस्तु में समष्टिीय तुच्छता नहीं होगी। s के शून्य खंड होने और f के पृथक शून्य होने के घटना पर विचार करें। परिणामी  ईजेनबंडल में इन शून्यों पर फाइबर E में उनके ऊपर फाइबर के लिए आइसोमोर्फिक होगा, जबकि हर जगह फाइबर तुच्छ 0-आयामी सदिश समष्टि है।
-* दोहरा बंडल E*, E के बंडल समरूपता का होम बंडल होम (E, 'R' × X) और तुच्छ बंडल 'R' × X है। एक कैनोनिकल वेक्टर बंडल आइसोमॉर्फिज़्म होम (E, F) = E*⊗F है।
+* दोहरा बंडल E*, E के बंडल समरूपता का होम बंडल होम (E, 'R' × X) और तुच्छ बंडल 'R' × X है। एक कैनोनिकल सदिश बंडल आइसोमॉर्फिज़्म होम (E, F) = E*⊗F है।
-इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन बंडलों की एक सामान्य विशेषता का एक विशेष उदाहरण है: वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी पर किए जा सकने वाले कई ऑपरेशन वेक्टर बंडलों की श्रेणी पर एक कार्यात्मक उपाय से भी किए जा सकते हैं। यह चिकनी  [[ functor |फ़ैक्टर  ]]s की भाषा में उपयुक्त बनाया गया है। एक अलग प्रकृति का संचालन 'पुलबैक बंडल' निर्माण है। एक सदिश बंडल E → Y और एक  नक्शा f: X → Y दिया गया है, कोई E को X के ऊपर एक सदिश बंडल f * E पर वापस खींच सकता है। एक बिंदु x ∈ X पर फाइबर अनिवार्य रूप से केवल f(x) ∈ पर फाइबर है। Y इसलिए, व्हिटनी योग E ⊕ F को X से X × X के विकर्ण मानचित्र के पुलबैक बंडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां X × X पर बंडल E × × F है।
+इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन बंडलों की एक सामान्य विशेषता का एक विशेष उदाहरण है: सदिश रिक्त समष्टि की श्रेणी पर किए जा सकने वाले कई ऑपरेशन सदिश बंडलों की श्रेणी पर एक फलनात्मक उपाय से भी किए जा सकते हैं। यह चिकनी  गुणक  s की भाषा में उपयुक्त बनाया गया है। एक अलग प्रकृति का संचालन 'पुलबैक बंडल' निर्माण है। एक सदिश बंडल E → Y और एक  नक्शा f: X → Y दिया गया है, कोई E को X के ऊपर एक सदिश बंडल f * E पर वापस खींच सकता है। एक बिंदु x ∈ X पर फाइबर अनिवार्य रूप से केवल f(x) ∈ पर फाइबर है। Y इसलिए, व्हिटनी योग E ⊕ F को X से X × X के विकर्ण मानचित्र के पुलबैक बंडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां X × X पर बंडल E × × F है।
-'टिप्पणी': मान लीजिए X एक सघन स्थान है। X के ऊपर कोई सदिश बंडल E एक तुच्छ बंडल का सीधा जोड़ है; एक बंडल E  है{{'}} ऐसा है किE ⊕ E{{'}} तुच्छ है। यह विफल हो जाता है यदि X कॉम्पैक्ट नहीं है: उदाहरण के लिए, अनंत वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान पर  [[ टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल ]] में यह गुण नहीं है।{{sfn|Hatcher|2003|loc=Example 3.6}}
+'टिप्पणी': मान लीजिए X एक सघन समष्टि है। X के ऊपर कोई सदिश बंडल E एक तुच्छ बंडल का सीधा जोड़ है; एक बंडल E  है{{'}} ऐसा है किE ⊕ E{{'}} तुच्छ है। यह विफल हो जाता है यदि X कॉम्पैक्ट नहीं है: उदाहरण के लिए, अनंत वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि पर  टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल  में यह गुण नहीं है।{{sfn|Hatcher|2003|loc=Example 3.6}}
 == अतिरिक्त संरचनाएं और सामान्यीकरण ==
-सदिश बंडलों को प्रायः अधिक संरचना दी जाती है। उदाहरण के लिए, सदिश बंडल एक [[ मीट्रिक (वेक्टर बंडल) | मीट्रिक]] से युक्त हो सकते हैं। सामान्यतः इस मीट्रिक को निश्चित द्विरेखीय रूप की आवश्यकता होती है, इस स्थिति में E का प्रत्येक फाइबर एक इयूक्लिडियन स्थान बन जाता है। एक [[ रैखिक जटिल संरचना ]] के साथ एक सदिश बंडल एक जटिल सदिश बंडल से मेल खाता है, जिसे जटिल वेक्टर के साथ परिभाषा में वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है और यह आवश्यक है कि सभी मैपिंग फाइबर में जटिल-रैखिक हों। सामान्यतः एक बंडल के संरचना समूह के परिणामी कमी के संदर्भ में एक वेक्टर बंडल पर लगाए गए अतिरिक्त संरचना को सामान्यतः समझ सकता है। अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल क्षेत्रों पर वेक्टर बंडलों का भी उपयोग किया जा सकता है।
+सदिश बंडलों को प्रायः अधिक संरचना दी जाती है। उदाहरण के लिए, सदिश बंडल एक मीट्रिक से युक्त हो सकते हैं। सामान्यतः इस मीट्रिक को निश्चित द्विरेखीय रूप की आवश्यकता होती है, इस स्थिति में E का प्रत्येक फाइबर एक इयूक्लिडियन समष्टि बन जाता है। एक  रैखिक सम्मिश्र संरचना  के साथ एक सदिश बंडल एक सम्मिश्र सदिश बंडल से मेल खाता है, जिसे सम्मिश्र सदिश के साथ परिभाषा में वास्तविक सदिश रिक्त समष्टि को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है और यह आवश्यक है कि सभी मैपिंग फाइबर में सम्मिश्र-रैखिक हों। सामान्यतः एक बंडल के संरचना समूह के परिणामी कमी के संदर्भ में एक सदिश बंडल पर लगाए गए अतिरिक्त संरचना को सामान्यतः समझ सकता है। अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल क्षेत्रों पर सदिश बंडलों का भी उपयोग किया जा सकता है।
-यदि एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान के जगह, यदि फाइबर F को एक [[ बनच स्थान ]] के रूप में लिया जाता है, तो एक '[[ बनच बंडल ]]' प्राप्त होता है।{{sfn|Lang|1995}} विशेष रूप से, यह आवश्यक होना चाहिए कि स्थानीय तुच्छीकरण प्रत्येक फाइबर पर बनच स्पेस आइसोमोर्फिज्म  हों और इसके अतिरिक्त, संक्रमण
+यदि एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि के जगह, यदि फाइबर F को एक बनच समष्टि के रूप में लिया जाता है, तो एक 'बनच बंडल' प्राप्त होता है।{{sfn|Lang|1995}} विशेष रूप से, यह आवश्यक होना चाहिए कि समष्टिीय तुच्छीकरण प्रत्येक फाइबर पर बनच समष्टि आइसोमोर्फिज्म  हों और इसके अतिरिक्त, संक्रमण
 :<math>g_{UV} \colon U\cap V \to \operatorname{GL}(F)</math>
-[[ बनच कई गुना ]] की निरंतर मैपिंग कर रहे हैं। C . के संगत सिद्धांत में<sup>p</sup> बंडल, सभी मैपिंग का C होना आवश्यक हैI<sup>पी</sup>.
+बनच कई गुना की निरंतर मैपिंग कर रहे हैं। C . के संगत सिद्धांत में<sup>p</sup> बंडल, सभी मैपिंग का C होना आवश्यक हैI<sup>पी</sup>.
-वेक्टर बंडल विशेष फाइबर बंडल होते हैं, जिनके फाइबर वेक्टर रिक्त स्थान होते हैं और जिनके चक्र वेक्टर अंतरिक्ष संरचना का सम्मान करते हैं। अधिक सामान्य फाइबर बंडलों का निर्माण किया जा सकता है जिसमें फाइबर में अन्य संरचनाएं हो सकती हैं; उदाहरण के लिए गोले के बंडल गोले द्वारा रेशेदार होते हैं।
+सदिश बंडल विशेष फाइबर बंडल होते हैं, जिनके फाइबर सदिश रिक्त समष्टि होते हैं और जिनके चक्र सदिश समष्टि संरचना का सम्मान करते हैं। अधिक सामान्य फाइबर बंडलों का निर्माण किया जा सकता है जिसमें फाइबर में अन्य संरचनाएं हो सकती हैं; उदाहरण के लिए गोले के बंडल गोले द्वारा रेशेदार होते हैं।
-== चिकना सदिश बंडल ==
+== स्मूथ सदिश बंडल ==
-[[File:Smooth vs non-smooth vector bundle.png|thumb|300px|वेक्टर बंडल का वर्णन करने वाले संक्रमण कार्यों की नियमितता वेक्टर बंडल के प्रकार को निर्धारित करती है। यदि निरंतर संक्रमण कार्य करता है g<sub>UV</sub>उपयोग किया जाता है, परिणामी वेक्टर बंडल E केवल निरंतर है लेकिन चिकना नहीं है। यदि सुचारू संक्रमण कार्य करता है h<sub>UV</sub>उपयोग किया जाता है, तो परिणामी वेक्टर बंडल F एक स्मूथ वेक्टर बंडल है।]]एक सदिश बंडल (E, P, M) 'चिकनी' है, यद Eऔर M चिकने कई गुना हैं, P: E → M एक चिकना नक्शा है, और स्थानीय तुच्छीकरण भिन्नताएं हैं। चिकनाई की आवश्यक डिग्री के आधार पर, C<sup>p</sup> बंडलों की विभिन्न संबंधित धारणाएँ हैं| C<sup>p</sup> [[ असीम रूप से भिन्न | अनन्त  रूप से भिन्न]] C<sup>∞</sup>-बंडल और [[ वास्तविक विश्लेषणात्मक ]] C<sup>ω</sup>-बंडल। इस खंड में हम C . पर ध्यान केंद्रित करेंगे<sup>∞</sup>-बंडल। C. का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है<sup>∞</sup>-वेक्टर बंडल स्पर्शरेखा बंडल है (TM, {{pi}}<sub>''TM''</sub>, M) एक C . K<sup>∞</sup>-कई गुना M.
+[[File:Smooth vs non-smooth vector bundle.png|thumb|300px|सदिश बंडल का वर्णन करने वाले संक्रमण फलनों की नियमितता सदिश बंडल के प्रकार को निर्धारित करती है। यदि निरंतर संक्रमण फलन करता है g<sub>UV</sub>उपयोग किया जाता है, परिणामी सदिश बंडल E केवल निरंतर है लेकिन स्मूथ नहीं है। यदि सुचारू संक्रमण फलन करता है h<sub>UV</sub>उपयोग किया जाता है, तो परिणामी सदिश बंडल F एक स्मूथ सदिश बंडल है।]]एक सदिश बंडल (E, P, M) 'चिकनी' है,यदि Eऔर M चिकने कई गुना हैं, P: E → M एक स्मूथ नक्शा है, और समष्टिीय तुच्छीकरण भिन्नताएं हैं। स्मूथई की आवश्यक डिग्री के आधार पर, C<sup>p</sup> बंडलों की विभिन्न संबंधित धारणाएँ हैं| अनन्त  रूप से भिन्न C<sup>∞</sup>-बंडल और  वास्तविक विश्लेषणात्मक  C<sup>ω</sup>-बंडल है। इस भाग में हम ''C''<sup>∞</sup>बडलों पर ध्यान केंद्रित करेंगे। ''C''<sup>∞</sup> का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है<sup>∞</sup>-C∞-कई गुना M का स्पर्शरेखा बंडल (TM, πTM, M) है।
-एक चिकने वेक्टर बंडल को इस तथ्य से चित्रित किया जा सकता है कि यह ऊपर वर्णित ट्रांज़िशन फ़ंक्शन को स्वीकार करता है जो तुच्छ चार्ट U और Vके ओवरलैप पर सुचारू फ़ंक्शन हैं। एक वेक्टर बंडल E चिकना है अगर यह खुले सेटों को तुच्छ बनाकर एक कवर को स्वीकार करता है जैसे कि किन्हीं दो ऐसे समुच्चयों U और V के लिए, संक्रमण फलन
+चिकने सदिश बंडल को इस तथ्य से चित्रित किया जा सकता है कि यह ऊपर वर्णित संक्रमण फलनों को स्वीकार करता है जो तुच्छ चार्ट यू और वी के परस्पर पर सुचारू रूप से फलन करते हैं। एक सदिश बंडल E स्मूथ है यदि यह खुले सेटों को छोटा करके एक कवर को स्वीकार करता है जैसे कि किन्हीं दो ऐसे समुच्चयों U और V के लिए, संक्रमण फलन,
 :<math>g_{UV}: U\cap V \to \operatorname{GL}(k,\mathbb{R})</math>
-मैट्रिक्स समूह GL (K, R) में एक सहज कार्य है, जो एक लाइ समूह है।
+मैट्रिक्स समूह GL (K, R) में एक सहज फलन है, जो एक लाइ समूह है।
-इसी प्रकार, यदि संक्रमण कार्य हैं:
+इसी प्रकार, यदि संक्रमण फलन हैं:
-* ''<sup>Cr</sup> तो वेक्टर बंडल एक 'C' है<sup>r</sup> वेक्टर बंडल',''
+* ''<sup>Cr</sup> तो सदिश बंडल 'C' है<sup>r</sup> सदिश बंडल',''
-* वास्तविक विश्लेषणात्मक तो वेक्टर बंडल एक 'वास्तविक विश्लेषणात्मक वेक्टर बंडल' है (इसके लिए मैट्रिक्स समूह को वास्तविक विश्लेषणात्मक संरचना की आवश्यकता होती है),
+* वास्तविक विश्लेषणात्मक तो सदिश बंडल एक 'वास्तविक विश्लेषणात्मक सदिश बंडल' है ,
-* होलोमोर्फिक तो वेक्टर बंडल एक '[[ होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल ]]' है (इसके लिए मैट्रिक्स समूह को एक [[ जटिल झूठ समूह ]] होना आवश्यक है),
+* होलोमोर्फिक तो सदिश बंडल एक '[[ होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल | होलोमॉर्फिक सदिश बंडल]] ' है (इसके लिए मैट्रिक्स समूह को एक [[ जटिल झूठ समूह | सम्मिश्र झूठ समूह]]  होना आवश्यक है),
-* बीजगणितीय कार्य तब वेक्टर बंडल एक 'बीजगणितीय वेक्टर बंडल' होता है (इसके लिए मैट्रिक्स समूह को बीजगणितीय समूह होना आवश्यक है)।
+* बीजगणितीय फलन तब सदिश बंडल एक 'बीजगणितीय सदिश बंडल' होता है।
-<sup>C∞</sup>-वेक्टर बंडल (E, P, M) में एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है जो अधिक सामान्य सी द्वारा साझा नहीं की जाती है-फाइबर बंडल। अर्थात्, स्पर्शरेखा स्थान T<sub>v</sub>(तथा<sub>''x''</sub>) किसी भी V ∈ E पर<sub>''x''</sub> फाइबर E के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है<sub>''x''</sub> अपने आप। यह पहचान ऊर्ध्वाधर लिफ्ट vl . के माध्यम से प्राप्त की जाती है<sub>''v''</sub>: E<sub>x</sub>→ T<sub>''v''</sub>(E<sub>''x''</sub>), के रूप में परिभाषित किया गया है
+<sup>C∞</sup>-सदिश बंडल (E, P, M) में एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है जो अधिक सामान्य सी द्वारा साझा नहीं की जाती है-फाइबर बंडल। अर्थात्, स्पर्शरेखा समष्टि T<sub>v</sub>(तथा<sub>''x''</sub>) किसी भी V ∈ E पर<sub>''x''</sub> फाइबर E के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है<sub>''x''</sub> अपने आप। यह पहचान ऊर्ध्वाधर लिफ्ट vl . के द्वारा प्राप्त की जाती है<sub>''v''</sub>: E<sub>x</sub>→ T<sub>''v''</sub>(E<sub>''x''</sub>), के रूप में परिभाषित किया गया है
 :<math>\operatorname{vl}_vw[f] := \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(v + tw), \quad f\in C^\infty(E_x).</math>
-लंबवत उपाय को प्राकृतिक C के रूप में भी देखा जा सकता है<sup>∞</sup>-वेक्टर बंडल समरूपता p*E → VE, जहां (p*E, p*p, E) E से p: E → M, के ऊपर (E, p, M) का पुल-बैक बंडल है। और VE:= KR(P<sub>*</sub>) TE ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा बंडल है, स्पर्शरेखा बंडल का एक प्राकृतिक वेक्टर उप-बंडल (TE, {{pi}}<sub>''TE''</sub>, E) कुल अंतरिक्ष ई की।
+लंबवत उपाय को प्राकृतिक C के रूप में भी देखा जा सकता है<sup>∞</sup>-सदिश बंडल समरूपता p*E → VE, जहां (p*E, p*p, E) E से p: E → M, के ऊपर (E, p, M) का पुल-बैक बंडल है। और VE:= KR(P<sub>*</sub>) TE ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा बंडल है, स्पर्शरेखा बंडल का एक प्राकृतिक सदिश उप-बंडल (TE, {{pi}}<sub>''TE''</sub>, E) कुल समष्टि ई की।
-किसी भी चिकने वेक्टर बंडल का कुल स्थान E एक प्राकृतिक वेक्टर क्षेत्र V को वहन करता है<sub>''v''</sub> := V.L<sub>''v''</sub>v, विहित सदिश क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, V (TE, {{pi}}<sub>''TE''</sub>, E), और इसे लाइ-ग्रुप एक्शन केअनंत जनरेटर के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है <math>(t,v) \mapsto e^{tv}</math> फाइबरवाइज अदिश गुणन द्वारा दिया गया। विहित वेक्टर क्षेत्र V निम्नलिखित उपाय से पूरी तरह से चिकनी वेक्टर बंडल संरचना की विशेषता है। एक तैयारी के रूप में, ध्यान दें कि जब X एक चिकनी कई गुना M और X ∈ एम पर एक चिकनी वेक्टर क्षेत्र है जैसे किX<sub>''x''</sub> = 0, रैखिक मानचित्रण
+किसी भी चिकने सदिश बंडल का कुल समष्टि E एक प्राकृतिक सदिश क्षेत्र ''V<sub>v</sub>'' := vl<sub>''v''</sub>''v'' को वहन करता है, विहित सदिश क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, V (TE, {{pi}}<sub>''TE''</sub>, E)का एक स्मूथ खंड है,और इसे लाइ-ग्रुप एक्शन के अनंत जनरेटर के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है <math>(t,v) \mapsto e^{tv}</math> फाइबरवाइज अदिश गुणन द्वारा। विहित सदिश क्षेत्र V निम्नलिखित उपाय से पूरी तरह से चिकनी सदिश बंडल संरचना की विशेषता है। तैयारी के रूप में, ध्यान दें कि जब X एक चिकनी कई गुना M और X ∈ एम पर एक चिकनी सदिश क्षेत्र है जैसे किX<sub>''x''</sub> = 0, रैखिक मानचित्रण
 :<math>C_x(X): T_x M \to T_x M; \quad C_x(X) Y = (\nabla_Y X)_x</math>
 M पर रैखिक सहपरिवर्ती व्युत्पन्न ∇ के चयन पर निर्भर नहीं करता। E पर विहित सदिश क्षेत्र V अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है
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 # V का शून्य सेट E का एक चिकनी सबमनीफोल्ड है जिसका कोडिमेंशन C के पद के बराबर है<sub>v</sub>(V)।
-इसके विपरीत, यदि E कोई कोमल  मैनिफोल्ड है और V E पर एक कोमल  वेक्टर क्षेत्र है जो 1-4 को संतुष्ट करता है, तो E पर एक यूनिक वेक्टर बंडल संरचना  है जिसका  विहित वेक्टर क्षेत्र V है।
+इसके विपरीत, यदि E चिकनी कई गुना है और V E पर एक चिकनी सदिश क्षेत्र है जो 1-4 को संतुष्ट करता है  इसके विपरीत, यदि E कोई चिकनी कई गुना है और V E पर एक चिकनी सदिश फील्ड है जो 1–4 को संतुष्ट करता है,, तो E पर एक यूनिक सदिश बंडल संरचना है जिसका विहित सदिश क्षेत्र V है।
-किसी भी चिकने वेक्टर बंडल (E, p, M) के लिए उसके स्पर्शरेखा बंडल (TE, {{pi}}<sub>''TE''</sub>, ई) में एक प्राकृतिक [[ माध्यमिक वेक्टर बंडल संरचना ]] है (TE, P<sub>*</sub>, TM), जहां P<sub>*</sub> विहित प्रक्षेपण p: E → M का बढ़ना है। इस द्वितीयक वेक्टर बंडल संरचना में बढ़ना  संचालन पुश-फ़ॉरवर्ड हैं +<sub>*</sub>: T (E × E) →TE और λ<sub>*</sub>: TE → मूल जोड़ का TE +: E × E → E और अदिश गुणन λ: E → E।
+किसी भी चिकने सदिश बंडल (E, p, M) के लिए उसके स्पर्शरेखा बंडल (TE, {{pi}}<sub>''TE''</sub>, ई) में एक प्राकृतिक [[ माध्यमिक वेक्टर बंडल संरचना | माध्यमिक सदिश बंडल संरचना]] है (TE, P<sub>*</sub>, TM), जहां P<sub>*</sub> विहित प्रक्षेपण p: E → M का बढ़ना है। इस द्वितीयक सदिश बंडल संरचना में बढ़ना संचालन पुश-फ़ॉरवर्ड हैं +<sub>*</sub>: T (E × E) →TE और λ<sub>*</sub>: TE → मूल जोड़ का TE +: E × E → E और अदिश गुणन λ: E → E।
 == K-सिद्धांत ==
-के-सिद्धांत समूह, {{math|''K''(''X'')}}, एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस को आइसोमोर्फिज्म वर्गों द्वारा उत्पन्न एबेलियन समूह के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|[''E'']}} जटिल वेक्टर बंडलों के संबंध को सापेक्ष करते हैं कि जब भी हमारे पास एक उपयुक्त अनुक्रम होता है।
+के-सिद्धांत समूह, {{math|''K''(''X'')}}, एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समष्टि को आइसोमोर्फिज्म वर्गों द्वारा उत्पन्न एबेलियन समूह के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|[''E'']}} सम्मिश्र सदिश बंडलों के संबंध को सापेक्ष करते हैं कि जब भी हमारे पास एक उपयुक्त अनुक्रम होता है।
 :<math> 0 \to A \to B \to C \to 0 </math>
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 टोपोलॉजिकल [[ केओ सिद्धांत ]] में। KO-सिद्धांत इस निर्माण का संस्करण है जो वास्तविक सदिश बंडलों पर विचार करता है। [[ कॉम्पैक्ट समर्थन ]] के साथ के-सिद्धांत को भी परिभाषित किया जा सकता है, साथ ही उच्च के-सिद्धांत समूहों को भी परिभाषित किया जा सकता है।
-[[ राउल बोत्तो ]]ल की प्रसिद्ध [[ बॉट आवधिकता ]] किसी भी स्थान के-सिद्धांत का आशय  करती है {{math|''X''}} के समरूपी है {{math|''S''<sup>2</sup>''X''}}, का दोहरा निलंबन {{math|''X''}}.
+राउल बोत्तो ल की प्रसिद्ध [[ बॉट आवधिकता ]] किसी भी समष्टि के-सिद्धांत का आशय  करती है {{math|''X''}} के समरूपी है {{math|''S''<sup>2</sup>''X''}}, का दोहरा निलंबन {{math|''X''}}.
-[[ बीजगणितीय ज्यामिति |बीजगणितीय ज्यामिति]]  में,K -सिद्धांत समूहों पर विचार किया जाता है जिसमें एक योजना {{math|''X''}} पर सुसंगत ढेर होते हैं, साथ ही उपरोक्त समतुल्य संबंध के साथ योजना पर वेक्टर बंडलों के K-सिद्धांत समूह होते हैं। दो निर्माण समान हैं, बशर्ते कि अंतर्निहित योजना सुचारू हो।
+[[ बीजगणितीय ज्यामिति |बीजगणितीय ज्यामिति]]  में,K -सिद्धांत समूहों पर विचार किया जाता है जिसमें एक योजना {{math|''X''}} पर सुसंगत ढेर होते हैं, साथ ही उपरोक्त समतुल्य संबंध के साथ योजना पर सदिश बंडलों के K-सिद्धांत समूह होते हैं। दो निर्माण समान हैं, बशर्ते कि अंतर्निहित योजना सुचारू हो।
 ==यह भी देखें==
 === सामान्य धारणाएं ===
-* [[ ग्रासमैनियन ]]: वेक्टर बंडल के लिए रिक्त स्थान को वर्गीकृत करना, जिसमें लाइन बंडलों के लिए [[ प्रक्षेप्य स्थान ]] शामिल हैं
+* [[ ग्रासमैनियन ]]: सदिश बंडल के लिए रिक्त समष्टि को वर्गीकृत करना, जिसमें लाइन बंडलों के लिए [[ प्रक्षेप्य स्थान | प्रक्षेप्य समष्टि]]  शामिल हैं
 *[[ विशेषता वर्ग ]]
 *[[ विभाजन सिद्धांत ]]
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 === टोपोलॉजी और विभेदक ज्योमेट्री ===
-* [[ गेज सिद्धांत (गणित) ]]: वेक्टर बंडलों और प्रमुख बंडलों पर कनेक्शन का सामान्य अध्ययन और भौतिकी के साथ उनका संबंध।
+* गेज सिद्धांत (गणित) : सदिश बंडलों और प्रमुख बंडलों पर कनेक्शन का सामान्य अध्ययन और भौतिकी के साथ उनका संबंध।
-* [[ कनेक्शन (वेक्टर बंडल) ]]: वेक्टर बंडलों के वर्गों को अलग करने के लिए आवश्यक धारणा।
+* [[ कनेक्शन (वेक्टर बंडल) | कनेक्शन (सदिश बंडल)]] : सदिश बंडलों के वर्गों को अलग करने के लिए आवश्यक धारणा।
 === बीजीय और विश्लेषणात्मक ज्यामिति ===
-* बीजीय वेक्टर बंडल
+* बीजीय सदिश बंडल
 * [[ पिकार्ड समूह ]]
-* होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल
+* होलोमोर्फिक सदिश बंडल
 ==टिप्पणियाँ==
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 * [https://mathoverflow.net/q/16240 Why is it useful to classify the vector bundles of a space ?]
-{{Manifolds}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with short description]]
+[[Category:Collapse templates]]
+[[Category:Created On 13/11/2022]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
 [[Category:वेक्टर बंडल| ]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
-[[Category:Created On 13/11/2022]]

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