मूल व्यंजक: Difference between revisions

Latest revision as of 16:47, 5 September 2023

गणितीय तर्क में औपचारिक प्रणाली का मूल शब्द एक ऐसा शब्द है, जिसमें कोई चर के रूप में निहित नहीं होता है। इसी प्रकार ग्राउंड फॉर्मूला एक ऐसा फॉर्मूला है जिसमें कोई भी चर नहीं होता है।

प्रथम क्रम तर्क में समानता और उसके सिद्धांत के पहचान के साथ प्रथम क्रम तर्क वाक्य गणितीय तर्क $Q(a)\lor P(b)$ के रूप में एक मूल फार्मूला है, $a$ और $b$ निरंतर प्रतीक के रूप में होने चाहिए। मूल व्यंजक एक मूल शब्द या मूल फॉर्मूला है।

उदाहरण

स्थिर प्रतीकों वाले हस्ताक्षर गणितीय तर्क पर प्रथम क्रम तर्क में निम्नलिखित व्यंजकयों के रूप में विचार करते है, $0$ और $1$ क्रमशः संख्या 0 और 1 के लिए एकअंगी फलन प्रतीक $s$ उत्तराधिकारी फलन और द्विअंगी फलन प्रतीक के लिए $+$ जोड़ने के रूप में होता है.

$s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),\ldots$ मूल शर्तें हैं.
$0+1,\;0+1+1,\ldots$ मूल शर्तें हैं.
$0+s(0),\;s(0)+s(0),\;s(0)+s(s(0))+0$ मूल शर्तें हैं,
$x+s(1)$ और $s(x)$ शर्तें हैं, लेकिन मूल शर्तें नहीं हैं.
$s(0)=1$ और $0+0=0$ मूल फॉर्मूला हैं.

औपचारिक परिभाषाएँ

प्रथम क्रम भाषाओं के लिए एक औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है। प्रथम क्रम की भाषा दी जाए साथ $C$ निरंतर प्रतीकों का सेट $F$ कार्यात्मक संचालक का सेट और $P$ विधेय प्रतीकों का सेट होता है.

ग्राउंड टर्म

ग्राउंड टर्म एक शब्द तर्क के रूप में है, जिसमें कोई चर नहीं है। ग्राउंड टर्म्स को तार्किक रिकर्सन फॉर्मूला-रिकर्सन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

घटक $C$ मूल शर्तें हैं;
यदि $f\in F$ एक $n$ -एरी फलन प्रतीक और $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ तो फिर ये मूल शर्तें हैं $f\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)$ एक मूल शब्द के रूप में है.
प्रत्येक मूल शब्द को उपरोक्त दो नियमों के सीमित अनुप्रयोग द्वारा दिया जा सकता है, कोई अन्य मूल शर्तें नहीं हैं, चूंकि विशेष रूप से विधेय मूल शब्द नहीं हो सकते हैं।

सामान्यतः कहें तो, हेरब्रांड ब्रह्मांड सभी मूल शब्दों का समूह है।

भूमि परमाणु

एक ग्राउंड विधेय ग्राउंड परमाणु या ग्राउंड शाब्दिक एक परमाणु फॉर्मूला का रूप है, जिसके सभी तर्क शब्द मूल शर्तें हैं।

यदि $p\in P$ एक $n$ -एरी विधेय प्रतीक और $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ तो फिर ये मूल शर्तें हैं $p\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)$ एक मूल विधेय या मूल परमाणु है।

सामान्यतः कहें तो, हेरब्रांड मूल सभी मूल परमाणुओं का समूह है,^[1] जबकि हेरब्रांड व्याख्या मूल में प्रत्येक मूल परमाणु को एक सत्य मान के रूप में प्रदान करती है।

ग्राउंड फॉर्मूला

एक ग्राउंड फॉर्मूला या ग्राउंड क्लॉज चर के बिना एक फॉर्मूला है।

ग्राउंड फ़ार्मुलों को वाक्यविन्यास पुनरावर्तन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

एक मूल परमाणु एक मूल फॉर्मूला है।
यदि $\varphi$ और $\psi$ तो, ये मूल फॉर्मूला हैं $\lnot \varphi$ , $\varphi \lor \psi$ , और $\varphi \land \psi$ मूल फॉर्मूला हैं.

मूल फॉर्मूला एक विशेष प्रकार के वाक्य गणितीय तर्क के रूप में होते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Alex Sakharov. "Ground Atom". MathWorld. Retrieved October 20, 2022.

Dalal, M. (2000), "Logic-based computer programming paradigms", in Rosen, K.H.; Michaels, J.G. (eds.), Handbook of discrete and combinatorial mathematics, p. 68
Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
First-Order Logic: Syntax and Semantics

[1] Alex Sakharov. "Ground Atom". MathWorld. Retrieved October 20, 2022.

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-{{Short description|Term that does not contain any variables}}
+[[गणितीय तर्क]] में [[औपचारिक प्रणाली]] का मूल शब्द एक ऐसा शब्द है, जिसमें कोई [[चर (गणित)|चर]] के रूप में  निहित नहीं होता है। इसी प्रकार ग्राउंड फॉर्मूला एक ऐसा फॉर्मूला है जिसमें कोई भी चर नहीं होता है।
-[[गणितीय तर्क]] में [[औपचारिक प्रणाली]] का एक जमीनी शब्द एक ऐसा शब्द होता है जिसमें कोई  [[चर (गणित)|चर]]  के रूप में  नहीं होता है। इसी प्रकार, एक जमीनी सूत्र एक ऐसा फॉर्मूला है जिसमें कोई चर नहीं होता है।
-प्रथम क्रम तर्क में समानता और उसके सिद्धांत के पहचान के साथ प्रथम क्रम तर्क [[वाक्य (गणितीय तर्क)|वाक्य गणितीय तर्क]] <math>Q(a) \lor P(b)</math> के रूप में  एक जमीनी फार्मूला है,  <math>a</math> और <math>b</math> निरंतर प्रतीक के रूप में होने चाहिए। जमीनी अभिव्यक्ति एक जमीनी शब्द या जमीनी सूत्र है।
+प्रथम क्रम तर्क में समानता और उसके सिद्धांत के पहचान के साथ प्रथम क्रम तर्क [[वाक्य (गणितीय तर्क)|वाक्य गणितीय तर्क]] <math>Q(a) \lor P(b)</math> के रूप में एक मूल फार्मूला है, <math>a</math> और <math>b</math> निरंतर प्रतीक के रूप में होने चाहिए। मूल व्यंजक एक मूल शब्द या मूल फॉर्मूला है।
-==उदाहरण==
+=='''उदाहरण'''==
-स्थिर प्रतीकों वाले [[हस्ताक्षर (गणितीय तर्क)]] पर [[प्रथम क्रम तर्क]] में निम्नलिखित अभिव्यक्तियों पर विचार करें <math>0</math> और <math>1</math> क्रमशः संख्या 0 और 1 के लिए, एक यूनरी फ़ंक्शन प्रतीक <math>s</math> उत्तराधिकारी फ़ंक्शन और बाइनरी फ़ंक्शन प्रतीक के लिए <math>+</math> जोड़ने के लिए.
+स्थिर प्रतीकों वाले [[हस्ताक्षर (गणितीय तर्क)|हस्ताक्षर गणितीय तर्क]] पर [[प्रथम क्रम तर्क]] में निम्नलिखित व्यंजकयों के रूप में विचार करते है, <math>0</math> और <math>1</math> क्रमशः संख्या 0 और 1 के लिए एकअंगी फलन प्रतीक <math>s</math> उत्तराधिकारी फलन और द्विअंगी फलन प्रतीक के लिए <math>+</math> जोड़ने के रूप में होता है.
-* <math>s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), \ldots</math> जमीनी शर्तें हैं;
+* <math>s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), \ldots</math> मूल शर्तें हैं.
-* <math>0 + 1, \; 0 + 1 + 1, \ldots</math> जमीनी शर्तें हैं;
+* <math>0 + 1, \; 0 + 1 + 1, \ldots</math> मूल शर्तें हैं.
-* <math>0+s(0), \; s(0)+ s(0), \; s(0)+s(s(0))+0</math> जमीनी शर्तें हैं;
+* <math>0+s(0), \; s(0)+ s(0), \; s(0)+s(s(0))+0</math> मूल शर्तें हैं,
-* <math>x + s(1)</math> और <math>s(x)</math> शर्तें हैं, लेकिन जमीनी शर्तें नहीं;
+* <math>x + s(1)</math> और <math>s(x)</math> शर्तें हैं, लेकिन मूल शर्तें नहीं हैं.
-* <math>s(0) = 1</math> और <math>0 + 0 = 0</math> जमीनी सूत्र हैं.
+* <math>s(0) = 1</math> और <math>0 + 0 = 0</math> मूल फॉर्मूला हैं.
 ==औपचारिक परिभाषाएँ==
-प्रथम-क्रम भाषाओं के लिए एक औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है। प्रथम-क्रम की भाषा दी जाए, साथ <math>C</math> निरंतर प्रतीकों का सेट, <math>F</math> कार्यात्मक ऑपरेटरों का सेट, और <math>P</math> [[विधेय प्रतीक]]ों का सेट.
+प्रथम क्रम भाषाओं के लिए एक औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है। प्रथम क्रम की भाषा दी जाए साथ <math>C</math> निरंतर प्रतीकों का सेट <math>F</math> कार्यात्मक संचालक का सेट और <math>P</math> [[विधेय प्रतीक|विधेय प्रतीकों]] का सेट होता है.
 ===ग्राउंड टर्म===
-ए{{visible anchor|ground term}} एक शब्द (तर्क) है जिसमें कोई चर नहीं है। ग्राउंड टर्म्स को तार्किक रिकर्सन (सूत्र-रिकर्सन) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
+ग्राउंड टर्म एक शब्द तर्क के रूप में है, जिसमें कोई चर नहीं है। ग्राउंड टर्म्स को तार्किक रिकर्सन फॉर्मूला-रिकर्सन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
-# घटक <math>C</math> जमीनी शर्तें हैं;
+# घटक <math>C</math> मूल शर्तें हैं;
-# यदि <math>f \in F</math> एक <math>n</math>-एरी फ़ंक्शन प्रतीक और <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n</math> तो फिर ये जमीनी शर्तें हैं <math>f\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right)</math> एक जमीनी शब्द है.
+# यदि <math>f \in F</math> एक <math>n</math>-एरी फलन प्रतीक और <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n</math> तो फिर ये मूल शर्तें हैं <math>f\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right)</math> एक मूल शब्द के रूप में है.
-# प्रत्येक मूल पद को उपरोक्त दो नियमों के सीमित अनुप्रयोग द्वारा दिया जा सकता है (कोई अन्य आधार पद नहीं हैं; विशेष रूप से, विधेय आधार पद नहीं हो सकते हैं)।
+# प्रत्येक मूल  शब्द को उपरोक्त दो नियमों के सीमित अनुप्रयोग द्वारा दिया जा सकता है, कोई अन्य मूल शर्तें नहीं हैं, चूंकि विशेष रूप से विधेय मूल शब्द नहीं हो सकते हैं।
-सामान्यतः कहें तो, [[हेरब्रांड ब्रह्मांड]] सभी जमीनी शब्दों का समूह है।
+सामान्यतः कहें तो, [[हेरब्रांड ब्रह्मांड]] सभी मूल शब्दों का समूह है।
 ===भूमि परमाणु===
-ए{{visible anchor|ground predicate}},{{visible anchor|ground atom}} या{{visible anchor|ground literal}} एक [[परमाणु सूत्र]] है जिसके सभी तर्क पद जमीनी पद हैं।
+एक ग्राउंड विधेय ग्राउंड परमाणु या ग्राउंड शाब्दिक एक [[परमाणु सूत्र|परमाणु फॉर्मूला]] का रूप है, जिसके सभी तर्क  शब्द मूल शर्तें हैं।
-यदि <math>p \in P</math> एक <math>n</math>-एरी विधेय प्रतीक और <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n</math> तो फिर ये जमीनी शर्तें हैं <math>p\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right)</math> एक जमीनी विधेय या जमीनी परमाणु है।
+यदि <math>p \in P</math> एक <math>n</math>-एरी विधेय प्रतीक और <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n</math> तो फिर ये मूल शर्तें हैं <math>p\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right)</math> एक मूल विधेय या मूल परमाणु है।
-सामान्यतः कहें तो, [[हेरब्रांड आधार]] सभी जमीनी परमाणुओं का समूह है,<ref>{{MathWorld |id=GroundAtom |title=Ground Atom |author=Alex Sakharov |access-date=October 20, 2022 |ref= }}</ref> जबकि हेरब्रांड व्याख्या आधार में प्रत्येक जमीनी परमाणु को एक सत्य मान प्रदान करती है।
+सामान्यतः कहें तो, [[हेरब्रांड आधार|हेरब्रांड मूल]] सभी मूल परमाणुओं का समूह है,<ref>{{MathWorld |id=GroundAtom |title=Ground Atom |author=Alex Sakharov |access-date=October 20, 2022 |ref= }}</ref> जबकि हेरब्रांड व्याख्या मूल में प्रत्येक मूल परमाणु को एक सत्य मान के रूप में प्रदान करती है।
 ===ग्राउंड फॉर्मूला===
-ए{{visible anchor|ground formula}} या{{visible anchor|ground clause}} चर रहित एक सूत्र है।
+एक ग्राउंड फॉर्मूला या ग्राउंड क्लॉज चर के बिना एक फॉर्मूला है।
-ग्राउंड फ़ार्मुलों को सिंटैक्टिक रिकर्सन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:
+ग्राउंड फ़ार्मुलों को वाक्यविन्यास पुनरावर्तन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:
-# एक जमीनी परमाणु एक जमीनी सूत्र है।
+# एक मूल परमाणु एक मूल फॉर्मूला है।
-# यदि <math>\varphi</math> और <math>\psi</math> तो, ये जमीनी सूत्र हैं <math>\lnot \varphi</math>, <math>\varphi \lor \psi</math>, और <math>\varphi \land \psi</math> जमीनी सूत्र हैं.
+# यदि <math>\varphi</math> और <math>\psi</math> तो, ये मूल फॉर्मूला हैं <math>\lnot \varphi</math>, <math>\varphi \lor \psi</math>, और <math>\varphi \land \psi</math> मूल फॉर्मूला हैं.
-जमीनी सूत्र एक विशेष प्रकार के वाक्य (गणितीय तर्क) होते हैं।
+मूल फॉर्मूला एक विशेष प्रकार के वाक्य गणितीय तर्क के रूप में होते हैं।
 ==यह भी देखें==
-* {{annotated link|Open formula}}
+* [[विवृत सूत्र|विवृत फॉर्मूला]]
-* {{annotated link|Sentence (mathematical logic)}}
+* [[वाक्य गणितीय तर्क]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 58: / Line 57: @@
 {{Mathematical logic}}
-[[Category: तार्किक अभिव्यक्तियाँ]] [[Category: गणितीय तर्क]]
+[[Category:Collapse templates]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 07/07/2023]]
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