अवरोही और आरोही भाज्य: Difference between revisions

Latest revision as of 16:13, 29 August 2023

गणित में, अवरोही भाज्य (कभी-कभी अवरोही भाज्य भी कहा जाता है,^[1] अवरोही अनुक्रमिक उत्पाद, या निम्न भाज्य) को बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है

{\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{aligned}}

उभरता हुआ भाज्य (कभी-कभी पोचाम्मर फलन, पोचामर बहुपद, आरोही भाज्य, कहा जाता है) ^[1] बढ़ते अनुक्रमिक उत्पाद, या ऊपरी भाज्य के रूप में परिभाषित किया गया है

{\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}

प्रत्येक का मान 1 (एक खाली उत्पाद) माना जाता है

n = 0

. इन प्रतीकों को सामूहिक रूप से भाज्य पॉवर कहा जाता है।^[2] लियो अगस्त पोचहैमर द्वारा प्रस्तुत पोचहैमर प्रतीक, संकेतन है

(x) n

, जहाँ

n

गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। यह अलग-अलग लेखों और लेखकों द्वारा अलग-अलग परंपराओं का उपयोग करते हुए बढ़ते या अवरोही तथ्य का प्रतिनिधित्व कर सकता है। पोचहैमर ने वास्तव में स्वयं इसका उपयोग

(x) n

किया था और अर्थ के साथ, अर्थात् द्विपद गुणांक

{\tbinom {x}{n}}.

को निरूपित करने के लिए ^[3]

इस लेख में प्रतीक $(x) n$ का उपयोग अवरोही भाज्य और प्रतीक को दर्शाने के लिए किया जाता है $x (n)$ का उपयोग बढ़ते भाज्य के लिए किया जाता है। इन सम्मेलनों का उपयोग साहचर्य में किया जाता है,^[4] चूँकि डोनाल्ड नुथ की अंडरलाइन और ओवरलाइन नोटेशन $x^{\underline {n}}$ और $x^{\overline {n}}$ तेजी से लोकप्रिय हो रहे हैं.^[2]^[5]

विशेष कार्य के सिद्धांत में (विशेष रूप से हाइपरजियोमेट्रिक फलन) और मानक संदर्भ कार्य अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन में, पोचहैमर प्रतीक $(x) n$ का उपयोग बढ़ते भाज्य को दर्शाने के लिए किया जाता है।^[6]^[7]

जब $x$ धनात्मक पूर्णांक है, $(x) n$ k-क्रमपरिवर्तन की संख्या देता है | $n$ -एक से क्रमपरिवर्तन (विभिन्न तत्वों का अनुक्रम) $x$ -तत्व समुच्चय, या समकक्ष आकार के समुच्चय से इंजेक्शन कार्यों की संख्या $n$ आकार के समुच्चय $x$ के लिए. बढ़ती भाज्य $x (n)$ समुच्चय के विभाजन $n$ -तत्व में समुच्चय $x$ आदेशित अनुक्रम की संख्या देता है।^{[lower-alpha 1]}

उदाहरण और संयुक्त व्याख्या

पहले कुछ अवरोही तथ्य इस प्रकार हैं:

{\begin{array}{rll}(x)_{0}&&=1\\(x)_{1}&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{array}}

पहले कुछ उभरते तथ्य इस प्रकार हैं:

{\begin{array}{rll}x^{(0)}&&=1\\x^{(1)}&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{array}}

विस्तार में दिखाई देने वाले गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याएँ हैं।

जब चर $x$ धनात्मक पूर्णांक, संख्या है $(x) n$ k-क्रमपरिवर्तन की संख्या के सामान्य है $n$ -के समुच्चय से क्रमपरिवर्तन $x$ आइटम, अर्थात, लंबाई की क्रमबद्ध सूची चुनने के विधियों की संख्या $n$ आकार के संग्रह से निकाले गए अलग-अलग तत्वों $x$ से मिलकर बना है . उदाहरण के लिए, $(8) 3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$ आठ व्यक्तियों की दौड़ में संभव विभिन्न पोडियमों की संख्या - स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक संभव है। इस सन्दर्भ में अन्य नोटेशन जैसे $x P n$ , $x P n$ , $P n x$ , या $P (x, n)$ का प्रयोग भी कभी-कभी किया जाता है। वहीं दूसरी ओर, $x (n)$ व्यवस्था करने के विधियों की संख्या है $n$ झंडे चालू $x$ ध्वजदंड ,^[8] जहां सभी झंडों का उपयोग किया जाना चाहिए और प्रत्येक ध्वजस्तंभ में किसी भी संख्या में झंडे हो सकते हैं। समान रूप से, यह आकार के समुच्चय को विभाजित करने के विधियों की संख्या है $n$ (झंडे) में $x$ अलग-अलग भाग (ध्रुव), प्रत्येक भाग को निर्दिष्ट तत्वों पर रैखिक क्रम (किसी दिए गए ध्रुव पर झंडे का क्रम) के साथ किया जाता है।

गुण

बढ़ते और अवरोही भाज्य बस दूसरे से संबंधित हैं:

{\begin{array}{rll}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{array}}

पूर्णांकों के घटते और बढ़ते भाज्य सीधे सामान्य भाज्य से संबंधित होते हैं:

{\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(m-n)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}

आधे पूर्णांकों के बढ़ते भाज्य सामान्यतः दोहरे भाज्य से संबंधित हैं:

{\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}

द्विपद गुणांक को व्यक्त करने के लिए अवरोही और बढ़ते भाज्य का उपयोग किया जा सकता है:

{\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}

इस प्रकार द्विपद गुणांकों पर कई सर्वसमिकाएँ घटते और बढ़ते हुए भाज्यों को आगे बढ़ाती हैं।

बढ़ते और अवरोही भाज्य को किसी भी यूनिटल रिंग रिंग (गणित) में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, और इसलिए $x$ को, उदाहरण के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों सहित जटिल संख्या, या जटिल गुणांकों वाला बहुपद, या कोई जटिल-मूल्यवान फलन माना जा सकता है।

अवरोही भाज्य को वास्तविक संख्या मानों तक बढ़ाया जा सकता है $x$ प्रदान किए गए गामा फलन का उपयोग करना $x$ और $x + n$ वास्तविक संख्याएँ हैं जो ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं:

(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,

और इसी तरह बढ़ती भाज्य भी हो सकती है:

x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .

अवरोही भाज्य सरल पॉवर कार्यों के एकाधिक व्युत्पन्न में दिखाई देते हैं:

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.

बढ़ती भाज्य भी हाइपरजियोमेट्रिक फलन की परिभाषा का अभिन्न अंग है: हाइपरजियोमेट्रिक फलन को इसके लिए परिभाषित किया गया है

| z | < 1

पॉवर श्रृंखला द्वारा किया जाता है

{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}

उसे उपलब्ध कराया

c \neq 0, -1, -2, ...

. चूँकि, ध्यान दें कि हाइपरजियोमेट्रिक फलन साहित्य सामान्यतः नोटेशन

(a) n

का उपयोग करता है।

अंब्रल कैलकुलस से संबंध

अवरोही भाज्य सूत्र में होता है जो फॉरवर्ड अंतर ऑपरेटर का उपयोग करके बहुपदों $\Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),$ का प्रतिनिधित्व करता है और जो औपचारिक रूप से टेलर के प्रमेय के समान है:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.

इस सूत्र में और कई अन्य स्थानों पर, अवरोही भाज्य

(x) n

परिमित अंतर की गणना में भूमिका निभाता है डिफरेंशियल कैलकुलस

x n

में उदाहरण के लिए समानता पर ध्यान दें

Δ (x) n = n (x) n -1

को

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d/d x xn = n xn−1

.

एक समान परिणाम बढ़ते भाज्य और पश्चांतर ऑपरेटर के लिए है।

इस प्रकार की उपमाओं के अध्ययन को अम्ब्रल कैलकुलस के रूप में जाना जाता है। ऐसे संबंधों को कवर करने वाला सामान्य सिद्धांत, जिसमें घटते और बढ़ते तथ्यात्मक कार्य सम्मिलित हैं, द्विपद प्रकार और शेफ़र अनुक्रम के सिद्धांत द्वारा दिया गया है। अवरोही और बढ़ते भाज्य द्विपद प्रकार के शेफ़र अनुक्रम हैं, जैसा कि संबंधों द्वारा दिखाया गया है:

{\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}\end{aligned}}

जहां गुणांक द्विपद प्रमेय के समान हैं।

इसी प्रकार, पोचहैमर बहुपदों का जनक फलन तब अम्ब्रल घातांक के सामान्य होता है,

\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},

तब से

\operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.

संबंध गुणांक और पहचान

अवरोही और बढ़ते भाज्य लाह संख्याओं के माध्यम से दूसरे से संबंधित हैं:^[9]

{\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}x^{(k)}\\&=(-1)^{n}(-x)^{(n)}=(x-n+1)^{(n)}\\[6pt]x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}(x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x+n-1)_{n}\ .\end{aligned}}

निम्नलिखित सूत्र चर की अभिन्न पॉवर्स

x

से संबंधित हैं दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करके योगों के माध्यम से, तरंगित कोष्ठक

{n k}

द्वारा अंकित है :^[9]

{\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}

चूँकि अवरोही हुए भाज्य बहुपद वलय का आधार हैं, इसलिए उनमें से दो के गुणनफल को अवरोही हुए भाज्यों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।^[10]:

(x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .

गुणांक

{\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!

संबंध गुणांक कहा जाता है, और पहचानने के विधियों की संख्या के रूप में संयुक्त व्याख्या होती है

k

आकार के समुच्चय से प्रत्येक तत्व

m

और

n

आकार का समुच्चय होता है .

दो बढ़ते भाज्य के अनुपात के लिए संबंध सूत्र भी दिया गया है

{\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.

इसके अतिरिक्त, हम निम्नलिखित पहचानों के माध्यम से सामान्यीकृत प्रतिपादक नियमो और ऋणात्मक बढ़ती और गिरती पॉवर्स का विस्तार कर सकते हैं:^[11]^(p 52)

{\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}

[8] Here the parts are distinct; for example, when $x = n = 2$ , the $(2) (2) = 6$ partitions are $(12,-)$ , $(21,-)$ , $(1,2)$ , $(2,1)$ , $(-,12)$ , and $(-,21)$ , where − denotes an empty part.

[Steffensen-1] 1.0 ^1.1 Steffensen, J.F. (17 March 2006). Interpolation (2nd ed.). Dover Publications. p. 8. ISBN 0-486-45009-0. — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.

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[Knuth-3] 3.0 ^3.1 Knuth, D.E. (1992). "Two notes on notation". American Mathematical Monthly. 99 (5): 403–422. arXiv:math/9205211. doi:10.2307/2325085. JSTOR 2325085. S2CID 119584305. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.

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Contents

उदाहरण और संयुक्त व्याख्या

गुण

अंब्रल कैलकुलस से संबंध

संबंध गुणांक और पहचान

वैकल्पिक संकेतन

सामान्यीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Mathematical functions}}
-गणित में, गिरता हुआ भाज्य (कभी-कभी अवरोही भाज्य भी कहा जाता है,<ref name=Steffensen/>गिरते अनुक्रमिक उत्पाद, या निम्न भाज्य) को बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है
+गणित में, अवरोही भाज्य (कभी-कभी अवरोही भाज्य भी कहा जाता है,<ref name=Steffensen/> अवरोही अनुक्रमिक उत्पाद, या निम्न भाज्य) को बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है<math display="block">
-<math display="block">
 \begin{align}
 (x)_n = x^\underline{n} &= \overbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}^{n\text{ factors}} \\
 &= \prod_{k=1}^n(x-k+1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x-k) .
 \end{align}</math>
-उभरता हुआ भाज्य (कभी-कभी पोचाम्मर फ़ंक्शन, पोचामर बहुपद, आरोही भाज्य, कहा जाता है)<ref name=Steffensen>
+उभरता हुआ भाज्य (कभी-कभी पोचाम्मर फलन, पोचामर बहुपद, आरोही भाज्य, कहा जाता है) <ref name=Steffensen>
 {{cite book
   | last = Steffensen | first = J.F. | author-link = Johan Frederik Steffensen
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   | page = 8
 }} — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.
-</ref> बढ़ते अनुक्रमिक उत्पाद, या ऊपरी भाज्य) के रूप में परिभाषित किया गया है
+</ref> बढ़ते अनुक्रमिक उत्पाद, या ऊपरी भाज्य के रूप में परिभाषित किया गया है
 <math display="block">
 \begin{align}
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 &= \prod_{k=1}^n(x+k-1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k) .
 \end{align}</math>
-प्रत्येक का मान 1 (एक [[खाली उत्पाद]]) माना जाता है {{nobr| {{math|''n'' {{=}} 0}} .}} इन प्रतीकों को सामूहिक रूप से भाज्य शक्तियां कहा जाता है।<ref name="The Art of Computer Programming">
+प्रत्येक का मान 1 (एक [[खाली उत्पाद]]) माना जाता है {{nobr| {{math|''n'' {{=}} 0}} .}} इन प्रतीकों को सामूहिक रूप से भाज्य पॉवर कहा जाता है।<ref name="The Art of Computer Programming">
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-</ref>
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-लियो अगस्त पोचहैमर द्वारा प्रस्तुत पोचहैमर प्रतीक, संकेतन है {{math|(''x''){{sub|''n''}} }}, कहाँ {{mvar|n}} गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। यह अलग-अलग लेखों और लेखकों द्वारा अलग-अलग परंपराओं का उपयोग करते हुए बढ़ते या गिरते तथ्य का प्रतिनिधित्व कर सकता है। पोचहैमर ने वास्तव में स्वयं इसका उपयोग किया था {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} और अर्थ के साथ, अर्थात् [[द्विपद गुणांक]] को निरूपित करने के लिए <math>\tbinom{x}{n}.</math><ref name=Knuth>
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-इस लेख में प्रतीक {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} का उपयोग गिरते फैक्टोरियल और प्रतीक को दर्शाने के लिए किया जाता है {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} का उपयोग बढ़ते फैक्टोरियल के लिए किया जाता है। इन सम्मेलनों का उपयोग [[साहचर्य]] में किया जाता है,<ref>
+इस लेख में प्रतीक {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} का उपयोग अवरोही भाज्य और प्रतीक को दर्शाने के लिए किया जाता है {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} का उपयोग बढ़ते भाज्य के लिए किया जाता है। इन सम्मेलनों का उपयोग [[साहचर्य]] में किया जाता है,<ref>
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-हालाँकि [[डोनाल्ड नुथ]] की अंडरलाइन और ओवरलाइन नोटेशन <math>x^\underline{n}</math> और <math>x^\overline{n}</math> तेजी से लोकप्रिय हो रहे हैं.<ref name="The Art of Computer Programming"/><ref>
 {{cite book
   |last1=Harris
@@ Line 61: / Line 59: @@
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 </ref>
-[[विशेष कार्य]]ों के सिद्धांत में (विशेष रूप से [[हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन]]) और मानक संदर्भ कार्य [[अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन]] में, पोचहैमर प्रतीक {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} का उपयोग बढ़ते फैक्टोरियल को दर्शाने के लिए किया जाता है।<ref>
+[[विशेष कार्य]] के सिद्धांत में (विशेष रूप से [[हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन|हाइपरजियोमेट्रिक फलन]]) और मानक संदर्भ कार्य [[अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन]] में, पोचहैमर प्रतीक {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} का उपयोग बढ़ते भाज्य को दर्शाने के लिए किया जाता है।<ref>
 {{cite book
   |editor1=Abramowitz, Milton
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   |mr=0201688 |at=Appendix&nbsp;I
 }} — Gives a useful list of formulas for manipulating the rising factorial in {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} notation.
 </ref>
-कब {{mvar|x}} धनात्मक पूर्णांक है, {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} k-क्रमपरिवर्तन की संख्या देता है|{{mvar|n}}-एक से क्रमपरिवर्तन (विभिन्न तत्वों का अनुक्रम)। {{mvar|x}}-तत्व सेट, या समकक्ष आकार के सेट से इंजेक्शन कार्यों की संख्या {{mvar|n}} आकार के सेट के लिए{{mvar|x}}. बढ़ती फैक्टोरियल {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} सेट के विभाजन की संख्या देता है {{mvar|n}}-तत्व में सेट {{mvar|x}} आदेशित अनुक्रम (संभवतः खाली)।{{efn|Here the parts are distinct; for example, when {{math|1=''x'' = ''n'' = 2}}, the {{math|1=(2){{sup|(2)}} = 6}} partitions are <math>(12, -)</math>, <math>(21, -)</math>, <math>(1, 2)</math>, <math>(2, 1)</math>, <math>(-, 12)</math>, and <math>(-, 21)</math>, where − denotes an empty part.}}
+जब {{mvar|x}} धनात्मक पूर्णांक है, {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} k-क्रमपरिवर्तन की संख्या देता है | {{mvar|n}}-एक से क्रमपरिवर्तन (विभिन्न तत्वों का अनुक्रम) {{mvar|x}}-तत्व समुच्चय, या समकक्ष आकार के समुच्चय से इंजेक्शन कार्यों की संख्या {{mvar|n}} आकार के समुच्चय {{mvar|x}} के लिए. बढ़ती भाज्य {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} समुच्चय के विभाजन {{mvar|n}}-तत्व में समुच्चय {{mvar|x}} आदेशित अनुक्रम की संख्या देता है।{{efn|Here the parts are distinct; for example, when {{math|1=''x'' = ''n'' = 2}}, the {{math|1=(2){{sup|(2)}} = 6}} partitions are <math>(12, -)</math>, <math>(21, -)</math>, <math>(1, 2)</math>, <math>(2, 1)</math>, <math>(-, 12)</math>, and <math>(-, 21)</math>, where − denotes an empty part.}}
-==उदाहरण और संयुक्त व्याख्या==
+==उदाहरण और संयुक्त व्याख्या                                                                                                                                                         ==
-पहले कुछ गिरते तथ्य इस प्रकार हैं:
+पहले कुछ अवरोही तथ्य इस प्रकार हैं:
 <math display="block">
 \begin{array}{rll}
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 (x)_4 &= x(x-1)(x-2)(x-3) &= x^4-6x^3+11x^2-6x
 \end{array}</math>
 पहले कुछ उभरते तथ्य इस प्रकार हैं:
 <math display="block">
 \begin{array}{rll}
@@ Line 107: / Line 107: @@
 विस्तार में दिखाई देने वाले गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याएँ हैं।
-जब चर {{mvar|x}} धनात्मक पूर्णांक, संख्या है {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} k-क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है|{{mvar|n}}-के सेट से क्रमपरिवर्तन {{mvar|x}} आइटम, यानी, लंबाई की क्रमबद्ध सूची चुनने के तरीकों की संख्या {{mvar|n}} आकार के संग्रह से निकाले गए अलग-अलग तत्वों से मिलकर बना है {{mvar|x}}. उदाहरण के लिए, {{nobr|{{math|(8){{sub|3}} {{=}} 8 × 7 × 6 {{=}} 336}}}} आठ व्यक्तियों की दौड़ में संभव विभिन्न पोडियमों की संख्या - स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक - संभव है। इस सन्दर्भ में अन्य नोटेशन जैसे {{math|{{sub|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}, {{math|{{sup|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}, {{math|''P''{{sub|''n''}}{{sup|''x''}}}}, या {{math|''P''(''x'', ''n'')}} का प्रयोग भी कभी-कभी किया जाता है। वहीं दूसरी ओर, {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} व्यवस्था करने के तरीकों की संख्या है {{mvar|n}} झंडे चालू {{mvar|x}} ध्वजदंड ,<ref name=Feller>
+जब चर {{mvar|x}} धनात्मक पूर्णांक, संख्या है {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} k-क्रमपरिवर्तन की संख्या के सामान्य है {{mvar|n}}-के समुच्चय से क्रमपरिवर्तन {{mvar|x}} आइटम, अर्थात, लंबाई की क्रमबद्ध सूची चुनने के विधियों की संख्या {{mvar|n}} आकार के संग्रह से निकाले गए अलग-अलग तत्वों {{mvar|x}} से मिलकर बना है . उदाहरण के लिए, {{nobr|{{math|(8){{sub|3}} {{=}} 8 × 7 × 6 {{=}} 336}}}} आठ व्यक्तियों की दौड़ में संभव विभिन्न पोडियमों की संख्या - स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक संभव है। इस सन्दर्भ में अन्य नोटेशन जैसे {{math|{{sub|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}, {{math|{{sup|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}, {{math|''P''{{sub|''n''}}{{sup|''x''}}}}, या {{math|''P''(''x'', ''n'')}} का प्रयोग भी कभी-कभी किया जाता है। वहीं दूसरी ओर, {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} व्यवस्था करने के विधियों की संख्या है {{mvar|n}} झंडे चालू {{mvar|x}} ध्वजदंड ,<ref name=Feller>
 {{cite book
   |first=William |last=Feller
@@ Line 113: / Line 113: @@
   |volume=1 |at=Ch. 2
 }}
-</ref>
+</ref> जहां सभी झंडों का उपयोग किया जाना चाहिए और प्रत्येक ध्वजस्तंभ में किसी भी संख्या में झंडे हो सकते हैं। समान रूप से, यह आकार के समुच्चय को विभाजित करने के विधियों की संख्या है {{mvar|n}} (झंडे) में {{mvar|x}} अलग-अलग भाग (ध्रुव), प्रत्येक भाग को निर्दिष्ट तत्वों पर रैखिक क्रम (किसी दिए गए ध्रुव पर झंडे का क्रम) के साथ किया जाता है।
-जहां सभी झंडों का उपयोग किया जाना चाहिए और प्रत्येक ध्वजस्तंभ में किसी भी संख्या में झंडे हो सकते हैं। समान रूप से, यह आकार के सेट को विभाजित करने के तरीकों की संख्या है {{mvar|n}} (झंडे) में {{mvar|x}} अलग-अलग हिस्से (ध्रुव), प्रत्येक भाग को निर्दिष्ट तत्वों पर रैखिक क्रम (किसी दिए गए ध्रुव पर झंडे का क्रम) के साथ।
 ==गुण==
-बढ़ते और गिरते फैक्टोरियल बस दूसरे से संबंधित हैं:
+बढ़ते और अवरोही भाज्य बस दूसरे से संबंधित हैं:
 <math display="block">
 \begin{array}{rll}
@@ Line 124: / Line 123: @@
 x^{(n)} &= {(x+n-1)}_{n} &= (-1)^n (-x)_n.
 \end{array}</math>
-पूर्णांकों के घटते और बढ़ते [[ कारख़ाने का ]] सीधे सामान्य फैक्टोरियल से संबंधित होते हैं:
+पूर्णांकों के घटते और बढ़ते [[ कारख़ाने का |भाज्य]] सीधे सामान्य भाज्य से संबंधित होते हैं:
 <math display="block">
 \begin{align}
@@ Line 131: / Line 130: @@
 m^{(n)} &= \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!}.
 \end{align}</math>
-आधे पूर्णांकों के बढ़ते भाज्य सीधे तौर पर दोहरे भाज्य से संबंधित हैं:
+आधे पूर्णांकों के बढ़ते भाज्य सामान्यतः दोहरे भाज्य से संबंधित हैं:
 <math display="block">
 \begin{align}
@@ Line 137: / Line 136: @@
 \left[\frac{2m+1}{2}\right]^{(n)} = \frac{(2(n+m)-1)!!}{2^n(2m-1)!!}.
 \end{align}</math>
-द्विपद गुणांक को व्यक्त करने के लिए गिरते और बढ़ते फैक्टोरियल का उपयोग किया जा सकता है:
+द्विपद गुणांक को व्यक्त करने के लिए अवरोही और बढ़ते भाज्य का उपयोग किया जा सकता है:
 <math display="block">
 \begin{align}
@@ Line 143: / Line 142: @@
 \frac{x^{(n)}}{n!} &= \binom{x+n-1}{n}.
 \end{align}</math>
 इस प्रकार द्विपद गुणांकों पर कई सर्वसमिकाएँ घटते और बढ़ते हुए भाज्यों को आगे बढ़ाती हैं।
-बढ़ते और गिरते फैक्टोरियल को किसी भी [[यूनिटल रिंग]] रिंग (गणित) में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, और इसलिए {{mvar|x}} को, उदाहरण के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों सहित [[जटिल संख्या]], या जटिल गुणांकों वाला [[बहुपद]], या कोई [[जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन]] माना जा सकता है।
+बढ़ते और अवरोही भाज्य को किसी भी [[यूनिटल रिंग]] रिंग (गणित) में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, और इसलिए {{mvar|x}} को, उदाहरण के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों सहित [[जटिल संख्या]], या जटिल गुणांकों वाला [[बहुपद]], या कोई [[जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन|जटिल-मूल्यवान फलन]] माना जा सकता है।
-गिरते फैक्टोरियल को [[वास्तविक संख्या]] मानों तक बढ़ाया जा सकता है {{mvar|x}} प्रदान किए गए [[गामा फ़ंक्शन]] का उपयोग करना {{mvar|x}} और {{math|''x'' + ''n''}} वास्तविक संख्याएँ हैं जो ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं:
+अवरोही भाज्य को [[वास्तविक संख्या]] मानों तक बढ़ाया जा सकता है {{mvar|x}} प्रदान किए गए [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] का उपयोग करना {{mvar|x}} और {{math|''x'' + ''n''}} वास्तविक संख्याएँ हैं जो ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं:
 <math display="block">
 (x)_n = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}\ ,
 </math>
-और इसी तरह बढ़ती फैक्टोरियल भी हो सकती है:
+और इसी तरह बढ़ती भाज्य भी हो सकती है:
 <math display="block">
 x^{(n)} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}\ .
 </math>
-गिरते फैक्टोरियल सरल शक्ति कार्यों के एकाधिक व्युत्पन्न में दिखाई देते हैं:
+अवरोही भाज्य सरल पॉवर कार्यों के एकाधिक व्युत्पन्न में दिखाई देते हैं:
 <math display="block">
 \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^n x^a = (a)_n \cdot x^{a-n}.
 </math>
-बढ़ती फैक्टोरियल भी हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन की परिभाषा का अभिन्न अंग है: हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन को इसके लिए परिभाषित किया गया है {{math|{{abs|''z''}} < 1}} शक्ति श्रृंखला द्वारा
+बढ़ती भाज्य भी हाइपरजियोमेट्रिक फलन की परिभाषा का अभिन्न अंग है: हाइपरजियोमेट्रिक फलन को इसके लिए परिभाषित किया गया है {{math|{{abs|''z''}} < 1}} पॉवर श्रृंखला द्वारा किया जाता है
 <math display="block">
 {}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)} b^{(n)}}{c^{(n)}}  \frac{z^n}{n!}
 </math>
-उसे उपलब्ध कराया {{nobr| {{math|''c'' ≠ 0, −1, −2, ...}} .}} हालाँकि, ध्यान दें कि हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन साहित्य आमतौर पर नोटेशन का उपयोग करता है {{math|(''a''){{sub|''n''}}}} बढ़ते फैक्टोरियल के लिए।
+उसे उपलब्ध कराया {{nobr| {{math|''c'' ≠ 0, −1, −2, ...}} .}} चूँकि, ध्यान दें कि हाइपरजियोमेट्रिक फलन साहित्य सामान्यतः नोटेशन {{math|(''a''){{sub|''n''}}}} का उपयोग करता है।
 ==अंब्रल कैलकुलस से संबंध==
-गिरता हुआ फैक्टोरियल सूत्र में होता है जो फॉरवर्ड [[ अंतर ऑपरेटर ]] का उपयोग करके बहुपदों का प्रतिनिधित्व करता है <math>\Delta f(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x{+}1)-f(x),</math> और जो औपचारिक रूप से टेलर के प्रमेय के समान है:
+अवरोही भाज्य सूत्र में होता है जो फॉरवर्ड [[ अंतर ऑपरेटर |अंतर ऑपरेटर]] का उपयोग करके बहुपदों <math>\Delta f(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x{+}1)-f(x),</math> का प्रतिनिधित्व करता है और जो औपचारिक रूप से टेलर के प्रमेय के समान है:
 <math display="block">
 f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Delta^n f(0)}{n!} (x)_n.
-</math> इस सूत्र में और कई अन्य स्थानों पर, गिरता हुआ भाज्य {{math|(''x''){{sub|''n''}}}}[[परिमित अंतर]]ों की गणना में भूमिका निभाता है {{math|''x''{{sup|''n''}}}}डिफरेंशियल कैलकुलस में। उदाहरण के लिए समानता पर ध्यान दें {{nobr| {{math|Δ (''x''){{sub|''n''}} {{=}} ''n'' (''x''){{sub|''n''−1}}}} }} को {{nobr| {{math|{{sfrac| d |d ''x''}} ''x''{{sup|''n''}} {{=}} ''n x''{{sup|''n''−1}}}} .}}
+</math> इस सूत्र में और कई अन्य स्थानों पर, अवरोही भाज्य {{math|(''x''){{sub|''n''}}}}[[परिमित अंतर]] की गणना में भूमिका निभाता है डिफरेंशियल कैलकुलस {{math|''x''{{sup|''n''}}}} में उदाहरण के लिए समानता पर ध्यान दें {{nobr| {{math|Δ (''x''){{sub|''n''}} {{=}} ''n'' (''x''){{sub|''n''−1}}}} }} को {{nobr| {{math|{{sfrac| d |d ''x''}} ''x''{{sup|''n''}} {{=}} ''n x''{{sup|''n''−1}}}} .}}
-एक समान परिणाम बढ़ते फैक्टोरियल और पिछड़े अंतर ऑपरेटर के लिए है।
+एक समान परिणाम बढ़ते भाज्य और पश्चांतर ऑपरेटर के लिए है।
-इस प्रकार की उपमाओं के अध्ययन को [[अम्ब्रल कैलकुलस]] के रूप में जाना जाता है। ऐसे संबंधों को कवर करने वाला सामान्य सिद्धांत, जिसमें घटते और बढ़ते तथ्यात्मक कार्य शामिल हैं, [[द्विपद प्रकार]] और [[शेफ़र अनुक्रम]]ों के सिद्धांत द्वारा दिया गया है। गिरते और बढ़ते फैक्टोरियल द्विपद प्रकार के शेफ़र अनुक्रम हैं, जैसा कि संबंधों द्वारा दिखाया गया है:
+इस प्रकार की उपमाओं के अध्ययन को [[अम्ब्रल कैलकुलस]] के रूप में जाना जाता है। ऐसे संबंधों को कवर करने वाला सामान्य सिद्धांत, जिसमें घटते और बढ़ते तथ्यात्मक कार्य सम्मिलित हैं, [[द्विपद प्रकार]] और [[शेफ़र अनुक्रम]] के सिद्धांत द्वारा दिया गया है। अवरोही और बढ़ते भाज्य द्विपद प्रकार के शेफ़र अनुक्रम हैं, जैसा कि संबंधों द्वारा दिखाया गया है:
 <math display="block">
@@ Line 182: / Line 181: @@
 जहां गुणांक [[द्विपद प्रमेय]] के समान हैं।
-इसी प्रकार, पोचहैमर बहुपदों का जनक फलन तब अम्ब्रल घातांक के बराबर होता है,
+इसी प्रकार, पोचहैमर बहुपदों का जनक फलन तब अम्ब्रल घातांक के सामान्य होता है,
 <math display="block"> \sum_{n=0}^\infty  (x)_n  \frac{t^n}{n!} = \left(1+t\right)^x , </math>
@@ Line 188: / Line 187: @@
 <math display="block"> \operatorname \Delta_x \left( 1 + t \right)^x = t \cdot \left( 1 + t \right)^x .</math>
+== संबंध गुणांक और पहचान ==
+अवरोही और बढ़ते भाज्य [[लाह संख्या]]ओं के माध्यम से दूसरे से संबंधित हैं:<ref name=Wolfram_functions>
-== कनेक्शन गुणांक और पहचान ==
-गिरते और बढ़ते फैक्टोरियल [[लाह संख्या]]ओं के माध्यम से दूसरे से संबंधित हैं:<ref name=Wolfram_functions>
 {{cite web
   |title=भाज्य और द्विपद का परिचय|url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/
@@ Line 207: / Line 203: @@
 \end{align}
 </math>
-निम्नलिखित सूत्र चर की अभिन्न शक्तियों से संबंधित हैं {{mvar|x}} दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करके योगों के माध्यम से, घुंघराले कोष्ठक द्वारा अंकित {{math|<big>{</big>{{su|p=''n''|b=''k''}}<big>}</big>}}:<ref name=Wolfram_functions/>
+निम्नलिखित सूत्र चर की अभिन्न पॉवर्स {{mvar|x}} से संबंधित हैं दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करके योगों के माध्यम से, तरंगित कोष्ठक {{math|<big>{</big>{{su|p=''n''|b=''k''}}<big>}</big>}} द्वारा अंकित है :<ref name=Wolfram_functions/>
 <math display="block">
 \begin{align}
@@ Line 214: / Line 210: @@
 \end{align}
 </math>
-चूँकि गिरते हुए भाज्य [[बहुपद वलय]] का आधार हैं, इसलिए उनमें से दो के गुणनफल को गिरते हुए भाज्यों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Rosas|first1=Mercedes H.|year= 2002|title=मैकमोहन सममित कार्यों और बहुपद बीजगणित की विशेषज्ञता|volume=246|number=1-3|journal=Disc. Math.|doi=10.1016/S0012-365X(01)00263-1|pages=285-293}}</ref>:
+चूँकि अवरोही हुए भाज्य [[बहुपद वलय]] का आधार हैं, इसलिए उनमें से दो के गुणनफल को अवरोही हुए भाज्यों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Rosas|first1=Mercedes H.|year= 2002|title=मैकमोहन सममित कार्यों और बहुपद बीजगणित की विशेषज्ञता|volume=246|number=1-3|journal=Disc. Math.|doi=10.1016/S0012-365X(01)00263-1|pages=285-293}}</ref>:
 <math display="block">
 (x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \binom{n}{k} k! \cdot (x)_{m+n-k} \ .</math>
-गुणांक <math>\tbinom{m}{k} \tbinom{n}{k} k! </math> कनेक्शन गुणांक कहा जाता है, और पहचानने (या साथ चिपकाने) के तरीकों की संख्या के रूप में संयुक्त व्याख्या होती है {{mvar|k}} आकार के सेट से प्रत्येक तत्व {{mvar|m}} और आकार का सेट {{mvar|n}}.
+गुणांक <math>\tbinom{m}{k} \tbinom{n}{k} k! </math> संबंध गुणांक कहा जाता है, और पहचानने के विधियों की संख्या के रूप में संयुक्त व्याख्या होती है {{mvar|k}} आकार के समुच्चय से प्रत्येक तत्व {{mvar|m}} और {{mvar|n}} आकार का समुच्चय होता है .
-दो बढ़ते फैक्टोरियल के अनुपात के लिए कनेक्शन सूत्र भी दिया गया है
+दो बढ़ते भाज्य के अनुपात के लिए संबंध सूत्र भी दिया गया है
 <math display="block">
 \frac{x^{(n)}}{x^{(i)}} = (x+i)^{(n-i)} ,\quad \text{for }n \geq i .</math>
-इसके अतिरिक्त, हम निम्नलिखित पहचानों के माध्यम से सामान्यीकृत प्रतिपादक कानूनों और नकारात्मक बढ़ती और गिरती शक्तियों का विस्तार कर सकते हैं:<ref name=Graham-Knuth-Patashnik-1988>
+इसके अतिरिक्त, हम निम्नलिखित पहचानों के माध्यम से सामान्यीकृत प्रतिपादक नियमो और ऋणात्मक बढ़ती और गिरती पॉवर्स का विस्तार कर सकते हैं:<ref name=Graham-Knuth-Patashnik-1988>
 {{cite book
   |first1=Ronald L. |last1=Graham    |author1-link=Ronald L. Graham
@@ Line 245: / Line 241: @@
 \end{align}
 </math>
-अंत में, घटते और बढ़ते फैक्टोरियल के लिए [[दोहराव सूत्र]] और [[गुणन सूत्र]] अगले संबंध प्रदान करते हैं:
+अंत में, घटते और बढ़ते भाज्य के लिए [[दोहराव सूत्र]] और [[गुणन सूत्र]] अगले संबंध प्रदान करते हैं:
 <math display="block">
 \begin{align}
@@ Line 253: / Line 249: @@
 (2x)^{(2n)} &= 2^{2n} x^{(n)} \left(x+\frac{1}{2}\right)^{(n)} .
 \end{align}</math>
 ==वैकल्पिक संकेतन==
-बढ़ते फैक्टोरियल के लिए वैकल्पिक संकेतन
+बढ़ते भाज्य के लिए वैकल्पिक संकेतन
 <math display="block">
 x^\overline{m} \equiv (x)_{+m} \equiv (x)_m = \overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m \text{ factors}} \quad \text{for integer } m\ge0 </math>
-और गिरते फैक्टोरियल के लिए
+और अवरोही भाज्य के लिए
 <math display="block">
 x^\underline{m} \equiv (x)_{-m} = \overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m \text{ factors}} \quad \text{for integer } m \ge 0</math>
-क्रमशः ए. कैपेली (1893) और एल. टोस्कानो (1939) तक जाता है।<ref name="The Art of Computer Programming"/>ग्रैहम, क्नुथ, एंड पाताशनिक<ref name=Graham-Knuth-Patashnik-1988/>{{rp|style=ama|pp= 47, 48}}
+क्रमशः ए. कैपेली (1893) और एल. टोस्कानो (1939) तक जाता है।<ref name="The Art of Computer Programming"/> ग्रैहम, क्नुथ, एंड पाताशनिक <ref name=Graham-Knuth-Patashnik-1988/>{{rp|style=ama|pp= 47, 48}} इन भावों को इस प्रकार उच्चारित {{mvar|x}} करने का प्रस्ताव करें {{mvar|m}} बढ़ रहा है और {{mvar|x}} तक {{mvar|m}} क्रमशः अवरोही है।
-इन भावों को इस प्रकार उच्चारित करने का प्रस्ताव करें{{mvar|x}} तक {{mvar|m}} बढ़ रहा है और{{mvar|x}} तक {{mvar|m}} क्रमशः गिरना।
-गिरते फैक्टोरियल के लिए अन्य संकेतन शामिल हैं {{math|''P''(''x'',''n'')}}, {{math|{{sup|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}, {{math|''P''{{sub|''x'',''n''}}}}, {{math|''P''{{sub|''n''}}{{sup|''x''}}}}, या {{math|{{sub|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}. (क्रम[[परिवर्तन]] और [[संयोजन]] देखें।)
+अवरोही भाज्य के लिए अन्य संकेतन में {{math|''P''(''x'',''n'')}}, {{math|{{sup|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}, {{math|''P''{{sub|''x'',''n''}}}}, {{math|''P''{{sub|''n''}}{{sup|''x''}}}}, या {{math|{{sub|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}} सम्मिलित हैं (क्रम[[परिवर्तन]] और [[संयोजन]] देखें।)
-बढ़ते फैक्टोरियल के लिए वैकल्पिक संकेतन {{math|''x''{{sup|(''n'')}} }} कम आम है {{math|(''x''){{su|p=+|b=''n''}} }}. कब {{math|(''x''){{su|p=+|b=''n''}}}} का उपयोग बढ़ते फैक्टोरियल, अंकन को दर्शाने के लिए किया जाता है {{math|(''x''){{su|p=&minus;|b=''n''}}}}भ्रम से बचने के लिए, आमतौर पर सामान्य गिरने वाले फैक्टोरियल के लिए उपयोग किया जाता है।<ref name=Knuth/>
+बढ़ते भाज्य के लिए वैकल्पिक संकेतन {{math|''x''{{sup|(''n'')}} }} कम समानीय {{math|(''x''){{su|p=+|b=''n''}} }} है . जब {{math|(''x''){{su|p=+|b=''n''}}}} का उपयोग बढ़ते भाज्य, {{math|(''x''){{su|p=&minus;|b=''n''}}}} अंकन को दर्शाने के लिए किया जाता है सामान्यतः सामान्य अवरोही वाले भाज्य के लिए उपयोग किया जाता है।<ref name=Knuth/>
+==सामान्यीकरण                                                                                                                                                                                ==
+पोचहैमर प्रतीक का सामान्यीकृत संस्करण है जिसे सामान्यीकृत पोचहैमर प्रतीक कहा जाता है, जिसका उपयोग बहुभिन्नरूपी [[गणितीय विश्लेषण]] में किया जाता है।
-==सामान्यीकरण==
+अवरोही भाज्य का सामान्यीकरण जिसमें पूर्णांकों के अवरोही अंकगणितीय अनुक्रम पर फलन का मूल्यांकन किया जाता है और मानों को गुणा किया जाता है:
-पोचहैमर प्रतीक का सामान्यीकृत संस्करण है जिसे सामान्यीकृत पोचहैमर प्रतीक कहा जाता है, जिसका उपयोग बहुभिन्नरूपी [[गणितीय विश्लेषण]] में किया जाता है। q-एनालॉग| भी है{{mvar|q}}-एनालॉग, क्यू-पोचहैमर प्रतीक|{{mvar|q}}-पोचहैमर चिन्ह।
-गिरते फैक्टोरियल का सामान्यीकरण जिसमें पूर्णांकों के अवरोही अंकगणितीय अनुक्रम पर फ़ंक्शन का मूल्यांकन किया जाता है और मानों को गुणा किया जाता है:{{citation needed|date=July 2019}}
 <math display="block">
 \bigl[f(x)\bigr]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f\bigl(x-(k-1)h\bigr),</math>
-कहाँ {{math|&minus;''h''}} वेतन वृद्धि है और {{math|''k''}} कारकों की संख्या है. बढ़ते फैक्टोरियल का संगत सामान्यीकरण है
+जहाँ {{math|&minus;''h''}} वेतन वृद्धि है और {{math|''k''}} कारकों की संख्या है. बढ़ते भाज्य का संगत सामान्यीकरण है
 <math display="block">
 \bigl[f(x)\bigr]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f\bigl(x+(k-1)h\bigr).</math>
-यह अंकन बढ़ते और गिरते फैक्टोरियल को एकीकृत करता है, जो हैं {{math|[''x'']{{sup|''k''/+1}}}} और {{math|[''x'']{{sup|''k''/&minus;1}}}} क्रमश।
+यह अंकन बढ़ते और अवरोही भाज्य को एकीकृत करता है, जो क्रमश {{math|[''x'']{{sup|''k''/+1}}}} और {{math|[''x'']{{sup|''k''/&minus;1}}}} हैं।
-किसी भी निश्चित अंकगणितीय फ़ंक्शन के लिए <math>f: \mathbb{N} \rarr \mathbb{C}</math> और प्रतीकात्मक पैरामीटर {{mvar|x}}, {{mvar|t}}, प्रपत्र के संबंधित सामान्यीकृत तथ्यात्मक उत्पाद
+किसी भी निश्चित अंकगणितीय फलन <math>f: \mathbb{N} \rarr \mathbb{C}</math> के लिए और प्रतीकात्मक मापदंड {{mvar|x}}, {{mvar|t}}, प्रपत्र के संबंधित सामान्यीकृत तथ्यात्मक उत्पाद है
 <math display="block">
 (x)_{n,f,t} := \prod_{k=0}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</math>
-की शक्तियों के निम्नलिखित गुणांक द्वारा परिभाषित पहली तरह की सामान्यीकृत स्टर्लिंग संख्याओं के वर्गों के दृष्टिकोण से अध्ययन किया जा सकता है {{mvar|x}} के विस्तार में {{math|(''x'')<sub>''n'',''f'',''t''</sub>}} और फिर अगले संगत त्रिकोणीय पुनरावृत्ति संबंध द्वारा:
+पॉवर्स के निम्नलिखित गुणांक द्वारा परिभाषित पहली तरह की सामान्यीकृत स्टर्लिंग संख्याओं के वर्गों के दृष्टिकोण से अध्ययन किया जा सकता है {{mvar|x}} के विस्तार में {{math|(''x'')<sub>''n'',''f'',''t''</sub>}} और फिर अगले संगत त्रिकोणीय पुनरावृत्ति संबंध द्वारा:
 <math display="block">
@@ Line 293: / Line 285: @@
 \end{align}
 </math>
-ये गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के साथ-साथ पुनरावृत्ति संबंधों और कार्यात्मक समीकरणों से संबंधित कई अनुरूप गुणों को संतुष्ट करते हैं। {{mvar|f}}-हार्मोनिक संख्याएं,<ref>{{cite arXiv |title=Combinatorial identities for generalized Stirling numbers expanding ''f''-factorial functions and the ''f''-harmonic numbers <!-- orig-year=2016 --> |date=29 March 2017  |first=Maxie D. |last=Schmidt |class=math.CO |eprint=1611.04708v2}}</ref>
+ये गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के साथ-साथ पुनरावृत्ति संबंधों और कार्यात्मक समीकरणों से संबंधित कई {{mvar|f}}-हार्मोनिक संख्याएं के अनुरूप गुणों को संतुष्ट करते हैं।,<ref>{{cite arXiv |title=Combinatorial identities for generalized Stirling numbers expanding ''f''-factorial functions and the ''f''-harmonic numbers <!-- orig-year=2016 --> |date=29 March 2017  |first=Maxie D. |last=Schmidt |class=math.CO |eprint=1611.04708v2}}</ref>
 <math display="block">
 F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} \frac{ t^k }{ f(k)^r }\,.</math>
@@ Line 299: / Line 291: @@
 <math display="block">
 x^\underline\overline{m} \equiv \frac{x^\overline{m} x^\underline{m}}{x} = x^{\overline{m} + \underline{m} - 1}.</math>
+==यह भी देखें                                                                                                                                                                         ==
+*पोन्चाम्मर {{mvar|k}}-प्रतीक
-==सी भी==
-*पोन्चाम्मर के-प्रतीक|पोन्चाम्मर {{mvar|k}}-प्रतीक
 *वैंडरमोंडे की पहचान
-==संदर्भ==
+==संदर्भ                                                                                                                                                                                       ==
 {{notelist}}
 {{reflist|25em}}
 ==बाहरी संबंध==
 * {{MathWorld |title=Pochhammer Symbol |urlname=PochhammerSymbol}}
 * {{cite web |title=A Compilation of mathematical demonstrations |website=scribd.com |url=https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathematical-Demonstrations  |url-status=dead <!-- presumed --> |archive-url=https://web.archive.org/web/20160214031616/https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathematical-Demonstrations |archive-date=2016-02-14}} — Elementary proofs
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अवरोही और आरोही भाज्य: Difference between revisions

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गुण

अंब्रल कैलकुलस से संबंध

संबंध गुणांक और पहचान

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सामान्यीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

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