बिंदु (ज्यामिति): Difference between revisions

Latest revision as of 17:21, 17 November 2022

शास्त्रीय यूक्लिडियन ज्यामिति में, बिंदु एक पूर्वग धारणा जो समष्टि में यथार्थ समष्टि का प्रतिदर्श बनाती है, और इसकी कोई लंबाई, चौड़ाई या मोटाई नहीं होती है।^[1] आधुनिक गणित में, बिंदु आमतौर पर कुछ समुच्चय (गणित) के एक तत्व (गणित) को संदर्भित करता है जिसे एक समष्टि कहा जाता है।

पूर्वग धारणा होने का मतलब है कि बिंदु को पहले से परिभाषित वस्तुओं के संदर्भ में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। अर्थात्, एक बिंदु को केवल कुछ गुणों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिन्हें अभिगृहीत कहा जाता है, जिसे उसे संतुष्ट करना चाहिए, उदाहरण के लिए, "बिल्कुल रेखा (ज्यामिति) है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है"।

यूक्लिडियन ज्यामिति में अंक

File:ACP 3.svg

द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय।

यूक्लिडियन ज्यामिति के ढांचे के भीतर माने जाने वाले अंक, सबसे मौलिक वस्तुओं में से एक हैं। यूक्लिड ने मूल रूप से इस बिंदु को "जिसका कोई हिस्सा नहीं है" के रूप में परिभाषित किया। द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें, एक बिंदु को संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी ( $x$ , $y$ ) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां पहली संख्या रूढ़िता (आदर्श) से क्षैतिज का प्रतिनिधित्व करती है और अक्सर $x$ , द्वारा निरूपित की जाती है, और दूसरी संख्या पारंपरिक रूप से ऊर्ध्वाधर का प्रतिनिधित्व करती है और इसे अक्सर $y$ द्वारा दर्शाया जाता है।इस विचार को आसानी से त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें सामान्यीकृत किया जाता है, जहां एक बिंदु को एक क्रमबद्ध त्रिक ( $x$ , $y$ , $z$ ) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें अतिरिक्त तीसरी संख्या गहराई का प्रतिनिधित्व करती है और अक्सर $z$ द्वारा निरूपित होती है। आगे के सामान्यीकरणों को n पदों के एक क्रमबद्ध टपलेट द्वारा दर्शाया जाता है, $(a 1, a 2, \dots , a n)$ जहां $n$ उस समष्टि का आयाम (गणित) है जिसमें बिंदु स्थित है।

यूक्लिडियन ज्यामिति के भीतर कई निर्माणों में बिंदुओं का एक अनंत संग्रह होता है जो कुछ स्वयंसिद्धों के अनुरूप होता है। यह आमतौर पर बिंदुओं के एक समुच्चय द्वारा दर्शाया जाता है, एक उदाहरण के रूप में, एक रेखा (गणित) $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }$ , के रूप में बिंदुओं का एक अनंत समुच्चय है। जहां $c 1$ से $c n$ और $d$ स्थिरांक हैं और $n$ समष्टि का आयाम है। इसी तरह के निर्माण मौजूद हैं जो विमान, रेखा खंड और अन्य संबंधित अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। रेखा खंड जिसमें केवल एक बिंदु होता है, पतित रेखाखंड कहलाता है।

बिंदुओं से संबंधित बिंदुओं और संरचनाओं को परिभाषित करने के अलावा, यूक्लिड ने बिंदुओं के बारे में एक महत्वपूर्ण विचार भी रखा, कि किन्हीं दो बिंदुओं को सीधी रेखा से जोड़ा जा सकता है। यह यूक्लिडियन ज्यामिति के आधुनिक विस्तार के तहत आसानी से पुष्टि की जाती है, और इसके परिचय पर स्थायी परिणाम थे, उस समय ज्ञात लगभग सभी ज्यामितीय अवधारणाओं के निर्माण की अनुमति देते थे। हालांकि, यूक्लिड के अंक का निर्धारण न तो पूर्ण और न ही निश्चित था, और वह कभी-कभी उन बिंदुओं के बारे में तथ्यों को ग्रहण करता था जो सीधे उनके सिद्धांतों से नहीं चलते थे, जैसे कि रेखा पर बिंदुओं का क्रम या विशिष्ट बिंदुओं का अस्तित्व। इसके बावजूद, प्रणाली के आधुनिक विस्तार इन धारणाओं को दूर करने का काम करते हैं।

बिंदु का आयाम

गणित में आयाम (गणित और भौतिकी) की कई असमान परिभाषाएँ हैं। सभी सामान्य परिभाषाओं में, एक बिंदु 0-आयामी है।

सदिश समष्टि आयाम

सदिश समष्टि का आयाम एक रैखिकतः स्वतंत्र उपसमुच्चय का अधिकतम आकार है। सदिश समष्टि में एक बिंदु होता है (जो शून्य सदिश 0 होना चाहिए), जो कोई रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय नहीं होता है। शून्य सदिश स्वयं रैखिक रूप से स्वतंत्रनहीं है, क्योंकि एक गैर तुच्छ रैखिक संयोजन है जो इसे शून्य बनाता है: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ .

सांस्थितिक आयाम

सांस्थितिक समष्टि का सांस्थितिक आयाम $X$ , n के न्यूनतम मान के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि प्रत्येक परिमित विवृत आवरक ${\mathcal {A}}$ का $X$ एक सीमित विवृत आवरक स्वीकार करता है ${\mathcal {B}}$ का $X$ कौन सा शोधन (टोपोलॉजी) ${\mathcal {A}}$ जिसमें n+1 से अधिक तत्वों में कोई बिंदु शामिल नहीं है। यदि ऐसा कोई न्यूनतम n मौजूद नहीं है, तो समष्टि को अनंत आवरण आयाम का कहा जाता है।

बिंदु शून्य-आयामी समष्टि है | आवरक आयाम के संबंध में शून्य-आयामी क्योंकि समष्टिके प्रत्येक विवृत आवरक में एकल खुले समुच्चय से मिलकर शोधन होता है।

हॉसडॉर्फ आयाम

मान लीजिए कि X एक मीट्रिक समष्टि है। यदि S ⊂ X और d ∈ [0, ∞), S की d-आयामी 'हॉसडॉर्फ सामग्री' संख्याओं के समुच्चय का न्यूनतम है 0 ऐसा है कि मीट्रिक समष्टि का कुछ (अनुक्रमित) संग्रह है $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ r के साथ S को आवरण करना_i> 0 प्रत्येक के लिए मैं मैं जो संतुष्ट करता हूं $\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$ .

X का हॉसडॉर्फ आयाम किसके द्वारा परिभाषित किया गया है?

\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.

बिंदु में हॉसडॉर्फ आयाम 0 है क्योंकि इसे मनमाने ढंग से छोटे त्रिज्या की एक गेंद द्वारा आवरण किया जा सकता है।

बिना अंक के ज्यामिति

यद्यपि एक बिंदु की धारणा को आम तौर पर मुख्यधारा की ज्यामिति और सांस्थिति में मौलिक माना जाता है, लेकिन कुछ प्रणालियाँ हैं जो इसे छोड़ देती हैं, उदा गैर-अनुवांशिक ज्यामिति और व्यर्थ सांस्थिति। व्यर्थ या बिंदु रहित समष्टि को समुच्चय (गणित) के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन कुछ संरचना ((क्रमशः बीजगणितीय या तार्किक)) के माध्यम से जो समुच्चय पर एक प्रसिद्ध फलन समष्टि की तरह दिखता है: निरंतर कार्य का एक बीजगणित या एक समुच्चय का बीजगणित क्रमशः। अधिक यथार्थ रूप से, ऐसी संरचनाएं फलन (गणित) के प्रसिद्ध रिक्त समष्टि को इस तरह से सामान्यीकृत करती हैं कि सिद्धांत इस बिंदु पर एक मूल्य लेता है परिभाषित नहीं किया जा सकता है। एक और परंपरा ए.एन. व्हाइटहेड की कुछ पुस्तकों से शुरू होती है जिसमें क्षेत्र (गणित) की धारणा को समावेश या संयोजन के साथ एक आद्य के रूप में माना जाता है।

बिंदु द्रव्यमान और डिराक डेल्टा फलन

अक्सर भौतिकी और गणित में, बिंदु को गैर-शून्य द्रव्यमान या आवेशित के रूप में सोचना उपयोगी होता है (यह शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में विशेष रूप से आम है, जहां इलेक्ट्रॉनों को गैर-शून्य आवेशित वाले बिंदुओं के रूप में आदर्शित किया जाता है)। डिराक डेल्टा फलन, या $δ$ फलन, (अनौपचारिक रूप से) वास्तविक संख्या रेखा पर एक सामान्यीकृत फलन है जो शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, जिसमें संपूर्ण वास्तविक रेखा पर एक का अभिन्न अंग है।^[2]^[3]^[4] डेल्टा फलन को कभी-कभी मूल रूप से एक असीम रूप से उच्च, असीम रूप से पतली स्पाइक के रूप में माना जाता है, जिसमें कणिश के नीचे कुल क्षेत्रफल होता है, और शारीरिक रूप से एक आदर्श बिंदु द्रव्यमान या बिंदु आवेशित का प्रतिनिधित्व करता है।^[5] यह सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा पेश किया गया था। संकेत प्रसंस्करण के संदर्भ में इसे अक्सर इकाई आवेग प्रतीक (या फलन) के रूप में जाना जाता है।^[6] इसका असतत समधर्मी क्रोनकर डेल्टा फलन है जिसे आमतौर पर एक परिमित प्रक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है और मान 0 और 1 लेता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Ohmer, Merlin M. (1969). शिक्षकों के लिए प्राथमिक ज्यामिति. Reading: Addison-Wesley. p. 34–37. OCLC 00218666.
↑ Dirac 1958, §15 The δ function, p. 58
↑ Gel'fand & Shilov 1968, Volume I, §§1.1, 1.3
↑ Schwartz 1950, p. 3
↑ Arfken & Weber 2000, p. 84
↑ Bracewell 1986, Chapter 5

Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
Whitehead, A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
Whitehead, A. N., 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
Whitehead, A. N., 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.

बाहरी संबंध

"Point". PlanetMath.
Weisstein, Eric W. "Point". MathWorld.

[1] Ohmer, Merlin M. (1969). शिक्षकों के लिए प्राथमिक ज्यामिति. Reading: Addison-Wesley. p. 34–37. OCLC 00218666.

[Dirac1958p58-2] Dirac 1958, §15 The δ function, p. 58

[3] Gel'fand & Shilov 1968, Volume I, §§1.1, 1.3

[4] Schwartz 1950, p. 3

[5] Arfken & Weber 2000, p. 84

[Bracewell_1986_loc=Chapter_5-6] Bracewell 1986, Chapter 5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{General geometry |0d/1d}}
 {{More citations needed|date=March 2022}}
-शास्त्रीय [[ यूक्लिडियन ज्यामिति ]] में,  बिंदु एक [[ आदिम धारणा |पूर्वग धारणा]] जो समष्टि में यथार्थ स्थिति का प्रतिदर्श बनाती है, और इसकी कोई लंबाई, चौड़ाई या मोटाई नहीं होती है।<ref>{{cite book |first=Merlin M. |last=Ohmer |title=शिक्षकों के लिए प्राथमिक ज्यामिति|url=https://archive.org/details/elementarygeomet00ohme |url-access=registration |location=Reading |publisher=Addison-Wesley |year=1969 |page=[https://archive.org/details/elementarygeomet00ohme/page/34 34–37] |oclc=00218666 }}</ref> आधुनिक गणित में, बिंदु आमतौर पर कुछ [[ सेट (गणित) |समुच्चय (गणित)]] के एक [[ तत्व (गणित) |तत्व (गणित)]] को संदर्भित करता है जिसे एक समष्टि कहा जाता है।
+शास्त्रीय [[ यूक्लिडियन ज्यामिति ]] में,  बिंदु एक [[ आदिम धारणा |पूर्वग धारणा]] जो समष्टि में यथार्थ समष्टि का प्रतिदर्श बनाती है, और इसकी कोई लंबाई, चौड़ाई या मोटाई नहीं होती है।<ref>{{cite book |first=Merlin M. |last=Ohmer |title=शिक्षकों के लिए प्राथमिक ज्यामिति|url=https://archive.org/details/elementarygeomet00ohme |url-access=registration |location=Reading |publisher=Addison-Wesley |year=1969 |page=[https://archive.org/details/elementarygeomet00ohme/page/34 34–37] |oclc=00218666 }}</ref> आधुनिक गणित में, बिंदु आमतौर पर कुछ [[ सेट (गणित) |समुच्चय (गणित)]] के एक [[ तत्व (गणित) |तत्व (गणित)]] को संदर्भित करता है जिसे एक समष्टि कहा जाता है।
 पूर्वग धारणा होने का मतलब है कि बिंदु को पहले से परिभाषित वस्तुओं के संदर्भ में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। अर्थात्, एक बिंदु को केवल कुछ गुणों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिन्हें अभिगृहीत कहा जाता है, जिसे उसे संतुष्ट करना चाहिए, उदाहरण के लिए, "बिल्कुल ''[[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा (ज्यामिति)]]'' है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है"।
@@ Line 8: / Line 8: @@
 ==यूक्लिडियन ज्यामिति में अंक==
 {{Unreferenced section|date=March 2022}}
-[[Image:ACP 3.svg|thumb|द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय।]][[ यूक्लिड |यूक्लिडियन]] ज्यामिति के ढांचे के भीतर माने जाने वाले अंक, सबसे मौलिक वस्तुओं में से एक हैं। यूक्लिड ने मूल रूप से इस बिंदु को "जिसका कोई हिस्सा नहीं है" के रूप में परिभाषित किया। द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें, एक बिंदु को संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां पहली संख्या  [[ कन्वेंशन (आदर्श) |रूढ़िता (आदर्श)]] से क्षैतिज का प्रतिनिधित्व करती है और अक्सर {{mvar|x}}, द्वारा निरूपित की जाती है, और दूसरी संख्या पारंपरिक रूप से [[ लंबवत दिशा |ऊर्ध्वाधर]] का प्रतिनिधित्व करती है और इसे अक्सर {{mvar|y}} द्वारा दर्शाया जाता है।इस विचार को आसानी से त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें सामान्यीकृत किया जाता है, जहां एक बिंदु को एक क्रमबद्ध त्रिक ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}}) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें अतिरिक्त तीसरी संख्या गहराई का प्रतिनिधित्व करती है और अक्सर {{mvar|z}} द्वारा निरूपित होती है। आगे के सामान्यीकरणों को n पदों के एक क्रमबद्ध टपलेट द्वारा दर्शाया जाता है,{{math|(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … , ''a''<sub>''n''</sub>)}} जहां {{mvar|n}} उस  स्थिति का [[ आयाम (गणित) |आयाम (गणित)]] है जिसमें बिंदु स्थित है।
+[[Image:ACP 3.svg|thumb|द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय।]][[ यूक्लिड |यूक्लिडियन]] ज्यामिति के ढांचे के भीतर माने जाने वाले अंक, सबसे मौलिक वस्तुओं में से एक हैं। यूक्लिड ने मूल रूप से इस बिंदु को "जिसका कोई हिस्सा नहीं है" के रूप में परिभाषित किया। द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें, एक बिंदु को संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां पहली संख्या  [[ कन्वेंशन (आदर्श) |रूढ़िता (आदर्श)]] से क्षैतिज का प्रतिनिधित्व करती है और अक्सर {{mvar|x}}, द्वारा निरूपित की जाती है, और दूसरी संख्या पारंपरिक रूप से [[ लंबवत दिशा |ऊर्ध्वाधर]] का प्रतिनिधित्व करती है और इसे अक्सर {{mvar|y}} द्वारा दर्शाया जाता है।इस विचार को आसानी से त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें सामान्यीकृत किया जाता है, जहां एक बिंदु को एक क्रमबद्ध त्रिक ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}}) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें अतिरिक्त तीसरी संख्या गहराई का प्रतिनिधित्व करती है और अक्सर {{mvar|z}} द्वारा निरूपित होती है। आगे के सामान्यीकरणों को n पदों के एक क्रमबद्ध टपलेट द्वारा दर्शाया जाता है,{{math|(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … , ''a''<sub>''n''</sub>)}} जहां {{mvar|n}} उस  समष्टि का [[ आयाम (गणित) |आयाम (गणित)]] है जिसमें बिंदु स्थित है।
 यूक्लिडियन ज्यामिति के भीतर कई निर्माणों में बिंदुओं का एक अनंत संग्रह होता है जो कुछ स्वयंसिद्धों के अनुरूप होता है। यह आमतौर पर बिंदुओं के एक समुच्चय द्वारा दर्शाया जाता है, एक उदाहरण के रूप में, एक[[ रेखा (गणित) | रेखा (गणित)]] <math>\scriptstyle {L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace}</math>, के रूप में बिंदुओं का एक अनंत समुच्चय है। जहां {{math|''c''<sub>1</sub>}} से {{math|''c<sub>n</sub>''}} और {{mvar|d}}  स्थिरांक हैं और {{mvar|n}} समष्टि का आयाम है। इसी तरह के निर्माण मौजूद हैं जो विमान, रेखा खंड और अन्य संबंधित अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। [[ रेखा खंड |रेखा खंड]] जिसमें केवल एक बिंदु होता है, पतित रेखाखंड कहलाता है।
@@ Line 14: / Line 14: @@
 बिंदुओं से संबंधित बिंदुओं और संरचनाओं को परिभाषित करने के अलावा, यूक्लिड ने बिंदुओं के बारे में एक महत्वपूर्ण विचार भी रखा, कि किन्हीं दो बिंदुओं को सीधी रेखा से जोड़ा जा सकता है। यह यूक्लिडियन ज्यामिति के आधुनिक विस्तार के तहत आसानी से पुष्टि की जाती है, और इसके परिचय पर स्थायी परिणाम थे, उस समय ज्ञात लगभग सभी ज्यामितीय अवधारणाओं के निर्माण की अनुमति देते थे। हालांकि, यूक्लिड के अंक का निर्धारण न तो पूर्ण और न ही निश्चित था, और वह कभी-कभी उन बिंदुओं के बारे में तथ्यों को ग्रहण करता था जो सीधे उनके सिद्धांतों से नहीं चलते थे, जैसे कि रेखा पर बिंदुओं का क्रम या विशिष्ट बिंदुओं का अस्तित्व। इसके बावजूद, प्रणाली के आधुनिक विस्तार इन धारणाओं को दूर करने का काम करते हैं।
-==एक बिंदु का आयाम==
+==बिंदु का आयाम==
 {{Unreferenced section|date=March 2022}}
-गणित में [[ आयाम (गणित और भौतिकी) | आयाम (गणित और भौतिकी)]]की कई असमान परिभाषाएँ हैं। सभी सामान्य परिभाषाओं में, एक बिंदु 0-आयामी है।
+गणित में [[ आयाम (गणित और भौतिकी) |आयाम (गणित और भौतिकी)]] की कई असमान परिभाषाएँ हैं। सभी सामान्य परिभाषाओं में, एक बिंदु 0-आयामी है।
-=== वेक्टर समष्टिआयाम ===
+=== सदिश समष्टि आयाम ===
-{{Main|Dimension (vector space)}}
+{{Main| आयाम (सदिश समष्टि)}}
-सदिश समष्टि का आयाम एक रैखिकतः स्वतंत्र उपसमुच्चय का अधिकतम आकार है। एक सदिश समष्टि में जिसमें एक बिंदु होता है (जो शून्य सदिश 0 होना चाहिए), कोई रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय नहीं होता है। शून्य वेक्टर स्वयं [[ रैखिक रूप से स्वतंत्र |रैखिक रूप से स्वतंत्र]]नहीं है, क्योंकि एक गैर तुच्छ रैखिक संयोजन है जो इसे शून्य बनाता है: <math>1 \cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}</math>.
-=== टोपोलॉजिकल आयाम ===
+सदिश समष्टि का आयाम एक रैखिकतः स्वतंत्र उपसमुच्चय का अधिकतम आकार है। सदिश समष्टि में एक बिंदु होता है (जो शून्य सदिश 0 होना चाहिए), जो कोई रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय नहीं होता है। शून्य सदिश स्वयं [[ रैखिक रूप से स्वतंत्र |रैखिक रूप से स्वतंत्र]]नहीं है, क्योंकि एक गैर तुच्छ रैखिक संयोजन है जो इसे शून्य बनाता है: <math>1 \cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}</math>.
-{{Main|Lebesgue covering dimension}}
-टोपोलॉजिकल स्पेस का टोपोलॉजिकल आयाम <math>X</math> n के न्यूनतम मान के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि प्रत्येक परिमित ओपन कवर <math>\mathcal{A}</math> का <math>X</math> एक्स एक सीमित खुला कवर स्वीकार करता है <math>\mathcal{B}</math> का <math>X</math> कौन सा [[ शोधन (टोपोलॉजी) ]] <math>\mathcal{A}</math> जिसमें n+1 से अधिक तत्वों में कोई बिंदु शामिल नहीं है। यदि ऐसा कोई न्यूनतम n मौजूद नहीं है, तो समष्टिको अनंत आवरण आयाम का कहा जाता है।
-एक बिंदु [[ शून्य-आयामी स्थान | शून्य-आयामी  स्थिति]] है | कवरिंग आयाम के संबंध में शून्य-आयामी क्योंकि समष्टिके प्रत्येक खुले आवरण में एक एकल खुले समुच्चय से मिलकर एक शोधन होता है।
+=== सांस्थितिक आयाम ===
+{{Main|लेबसग़ई  कवरिंग  डायमेंशन}}
+सांस्थितिक समष्टि का सांस्थितिक आयाम <math>X</math>, n के न्यूनतम मान के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि प्रत्येक परिमित विवृत आवरक <math>\mathcal{A}</math> का <math>X</math>  एक सीमित विवृत आवरक स्वीकार करता है <math>\mathcal{B}</math> का <math>X</math> कौन सा [[ शोधन (टोपोलॉजी) |शोधन (टोपोलॉजी)]] <math>\mathcal{A}</math> जिसमें n+1 से अधिक तत्वों में कोई बिंदु शामिल नहीं है। यदि ऐसा कोई न्यूनतम n मौजूद नहीं है, तो समष्टि को अनंत आवरण आयाम का कहा जाता है।
+बिंदु [[ शून्य-आयामी स्थान |शून्य-आयामी समष्टि]] है | आवरक आयाम के संबंध में शून्य-आयामी क्योंकि समष्टिके प्रत्येक विवृत आवरक में एकल खुले समुच्चय से मिलकर शोधन होता है।
 === हॉसडॉर्फ आयाम ===
-मान लीजिए कि X एक [[ मीट्रिक स्थान | मीट्रिक  स्थिति]] है। यदि एस ⊂ एक्स और डी ∈ [0, ∞), एस की डी-आयामी 'हॉसडॉर्फ सामग्री' संख्याओं के समुच्चय का न्यूनतम है 0 ऐसा है कि मीट्रिक  स्थिति का कुछ (अनुक्रमित) संग्रह है <math>\{B(x_i,r_i):i\in I\}</math> r के साथ S को कवर करना<sub>i</sub>> 0 प्रत्येक के लिए मैं मैं जो संतुष्ट करता हूं <math>\sum_{i\in I} r_i^d<\delta </math>.
+मान लीजिए कि X एक[[ मीट्रिक स्थान | मीट्रिक  समष्टि]] है। यदि ''S'' ⊂ ''X''  और ''d'' ∈ [0, ∞), S की d-आयामी 'हॉसडॉर्फ सामग्री' संख्याओं के समुच्चय का न्यूनतम है 0 ऐसा है कि मीट्रिक समष्टि का कुछ (अनुक्रमित) संग्रह है <math>\{B(x_i,r_i):i\in I\}</math> r के साथ S को आवरण करना<sub>i</sub>> 0 प्रत्येक के लिए मैं मैं जो संतुष्ट करता हूं <math>\sum_{i\in I} r_i^d<\delta </math>.
 ''X'' का हॉसडॉर्फ आयाम किसके द्वारा परिभाषित किया गया है?
 :<math>\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: C_H^d(X)=0\}.</math>
-एक बिंदु में हॉसडॉर्फ आयाम 0 है क्योंकि इसे मनमाने ढंग से छोटे त्रिज्या की एक गेंद द्वारा कवर किया जा सकता है।
+बिंदु में हॉसडॉर्फ आयाम 0 है क्योंकि इसे मनमाने ढंग से छोटे त्रिज्या की एक गेंद द्वारा आवरण किया जा सकता है।
 ==बिना अंक के ज्यामिति ==
 {{Unreferenced section|date=March 2022}}
-यद्यपि एक बिंदु की धारणा को आम तौर पर मुख्यधारा की ज्यामिति और टोपोलॉजी में मौलिक माना जाता है, लेकिन कुछ प्रणालियाँ हैं जो इसे छोड़ देती हैं, उदा। [[ गैर-अनुवांशिक ज्यामिति ]] और [[ व्यर्थ टोपोलॉजी ]]। एक व्यर्थ या बिंदु रहित  स्थिति को एक समुच्चय (गणित) के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन कुछ संरचना (सी * -बीजगणित या पूर्ण हेटिंग बीजगणित क्रमशः) के माध्यम से जो समुच्चय पर एक प्रसिद्ध फ़ंक्शन स्पेस की तरह दिखता है: [[ निरंतर कार्य ]]ों का एक बीजगणित या एक [[ सेट का बीजगणित | समुच्चय का बीजगणित]] क्रमशः। अधिक  यथार्थ रूप से, ऐसी संरचनाएं फ़ंक्शन (गणित) के प्रसिद्ध रिक्त  स्थिति को इस तरह से सामान्यीकृत करती हैं कि ऑपरेशन इस बिंदु पर एक मूल्य लेता है परिभाषित नहीं किया जा सकता है।
+यद्यपि एक बिंदु की धारणा को आम तौर पर मुख्यधारा की ज्यामिति और सांस्थिति में मौलिक माना जाता है, लेकिन कुछ प्रणालियाँ हैं जो इसे छोड़ देती हैं, उदा [[ गैर-अनुवांशिक ज्यामिति | गैर-अनुवांशिक ज्यामिति]] और [[ व्यर्थ टोपोलॉजी |व्यर्थ  सांस्थिति]]। व्यर्थ या बिंदु रहित समष्टि को समुच्चय (गणित) के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन कुछ संरचना ((क्रमशः बीजगणितीय या तार्किक)) के माध्यम से जो समुच्चय पर एक प्रसिद्ध फलन समष्टि की तरह दिखता है: [[ निरंतर कार्य | निरंतर कार्य]] का एक बीजगणित या एक [[ सेट का बीजगणित | समुच्चय का बीजगणित]] क्रमशः। अधिक  यथार्थ रूप से, ऐसी संरचनाएं  फलन (गणित) के प्रसिद्ध रिक्त  समष्टि को इस तरह से सामान्यीकृत करती हैं कि  सिद्धांत इस बिंदु पर एक मूल्य लेता है परिभाषित नहीं किया जा सकता है। एक और परंपरा ए.एन. व्हाइटहेड की कुछ पुस्तकों से शुरू होती है जिसमें [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र (गणित)]] की धारणा को समावेश या संयोजन के साथ एक आद्य के रूप में माना जाता है।
-एक और परंपरा ए.एन. व्हाइटहेड की कुछ पुस्तकों से शुरू होती है जिसमें [[ क्षेत्र (गणित) ]] की धारणा को समावेश या कनेक्शन के साथ एक आदिम के रूप में माना जाता है।
-== बिंदु द्रव्यमान और डिराक डेल्टा फ़ंक्शन ==
+== बिंदु द्रव्यमान और डिराक डेल्टा  फलन ==
-{{Main|Dirac delta function}}
+{{Main|डिराक  डेल्टा फलन}}
-अक्सर भौतिकी और गणित में, एक बिंदु को गैर-शून्य द्रव्यमान या चार्ज के रूप में सोचना उपयोगी होता है (यह [[ शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व ]] में विशेष रूप से आम है, जहां इलेक्ट्रॉनों को गैर-शून्य चार्ज वाले बिंदुओं के रूप में आदर्शित किया जाता है)। डिराक डेल्टा फ़ंक्शन, या{{mvar|δ}} फ़ंक्शन, (अनौपचारिक रूप से) वास्तविक संख्या रेखा पर एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन है जो शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, जिसमें संपूर्ण वास्तविक रेखा पर एक का [[ अभिन्न ]] अंग है।<ref name=Dirac1958p58>{{harvnb|Dirac|1958|loc=§15 The δ function}}, p. 58</ref><ref>{{harvnb|Gel'fand|Shilov|1968|loc=Volume I, §§1.1, 1.3}}</ref><ref>{{harvnb|Schwartz|1950|p=3}}</ref> डेल्टा फ़ंक्शन को कभी-कभी मूल रूप से एक असीम रूप से उच्च, असीम रूप से पतली स्पाइक के रूप में माना जाता है, जिसमें स्पाइक के नीचे कुल क्षेत्रफल होता है, और शारीरिक रूप से एक आदर्श [[ बिंदु द्रव्यमान ]] या बिंदु चार्ज का प्रतिनिधित्व करता है।<ref>{{harvnb|Arfken|Weber|2000|p=84}}</ref> यह सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी [[ पॉल डिराका ]] द्वारा पेश किया गया था। [[ संकेत का प्रक्रमण ]] के संदर्भ में इसे अक्सर यूनिट इंपल्स सिंबल (या फंक्शन) के रूप में जाना जाता है।<ref name="Bracewell 1986 loc=Chapter 5">{{harvnb|Bracewell|1986|loc=Chapter 5}}</ref> इसका असतत एनालॉग [[ क्रोनकर डेल्टा ]] फ़ंक्शन है जिसे आमतौर पर एक परिमित डोमेन पर परिभाषित किया जाता है और मान 0 और 1 लेता है।
+अक्सर भौतिकी और गणित में,  बिंदु को गैर-शून्य द्रव्यमान या आवेशित के रूप में सोचना उपयोगी होता है (यह [[ शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व |शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व]] में विशेष रूप से आम है, जहां इलेक्ट्रॉनों को गैर-शून्य आवेशित वाले बिंदुओं के रूप में आदर्शित किया जाता है)। डिराक डेल्टा फलन, या {{mvar|δ}} फलन, (अनौपचारिक रूप से) वास्तविक संख्या रेखा पर एक सामान्यीकृत फलन है जो शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, जिसमें संपूर्ण वास्तविक रेखा पर एक का [[ अभिन्न |अभिन्न]] अंग है।<ref name=Dirac1958p58>{{harvnb|Dirac|1958|loc=§15 The δ function}}, p. 58</ref><ref>{{harvnb|Gel'fand|Shilov|1968|loc=Volume I, §§1.1, 1.3}}</ref><ref>{{harvnb|Schwartz|1950|p=3}}</ref> डेल्टा फलन को कभी-कभी मूल रूप से एक असीम रूप से उच्च, असीम रूप से पतली स्पाइक के रूप में माना जाता है, जिसमें कणिश के नीचे कुल क्षेत्रफल होता है, और शारीरिक रूप से एक आदर्श [[ बिंदु द्रव्यमान |बिंदु द्रव्यमान]] या बिंदु आवेशित का प्रतिनिधित्व करता है।<ref>{{harvnb|Arfken|Weber|2000|p=84}}</ref> यह सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी [[ पॉल डिराका |पॉल डिराक]] द्वारा पेश किया गया था। [[ संकेत का प्रक्रमण |संकेत प्रसंस्करण]] के संदर्भ में इसे अक्सर इकाई आवेग प्रतीक (या फलन) के रूप में जाना जाता है।<ref name="Bracewell 1986 loc=Chapter 5">{{harvnb|Bracewell|1986|loc=Chapter 5}}</ref> इसका असतत समधर्मी [[ क्रोनकर डेल्टा |क्रोनकर डेल्टा]]  फलन है जिसे आमतौर पर एक परिमित  प्रक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है और मान 0 और 1 लेता है।
 ==यह भी देखें==
 {{Div col|colwidth=25em}}
 *[[ संचय बिंदु ]]
-*[[ एफ़िन स्पेस ]]
+*[[ एफ़िन  समष्टि ]]
 *[[ सीमा बिंदु ]]
 *[[ महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) ]]गणित)
@@ Line 79: / Line 80: @@
 {{Dimension topics}}
 {{Authority control}}
-[[Category:बिंदु (ज्यामिति)| ]]
+[[Category:AC with 0 elements]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles needing additional references]]
+[[Category:Articles needing additional references from March 2022]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
+[[Category:Articles with short description]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 10/11/2022]]
+[[Category:Exclude in print]]
+[[Category:Interwiki category linking templates]]
+[[Category:Interwiki link templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikimedia Commons templates]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:बिंदु (ज्यामिति)| ]]

v t e आयाम
आयामी स्थान	वेक्टर स्पेस यूक्लिडियन स्पेस Affine अंतरिक्ष प्रोजेक्टिव स्पेस मुक्त मॉड्यूल कई गुना बीजगणितीय किस्म अंतरिक्ष समय	Animated tesseract
अन्य आयाम	क्रुल Lebesgue कवरिंग आगमनात्मक हौसडॉर्फ मिंकोव्स्की फ्रैक्टल स्वतंत्रता की कोटियां
पॉलीटोप और आकार	हाइपरप्लेन हाइपरसुरफेस हाइपरक्यूब हाइपररेक्टंगल DemihyperCube हाइपरफेयर क्रॉस-पॉलीटोप सिम्प्लेक्स हाइपरपाइरामिड
संख्या द्वारा आयाम	शून्य एक दो तीन चार पांच छह सात आठ n -आयाम
यह सभी देखें	हाइपरस्पेस Codimension
'Category '

Anonymous

Search

बिंदु (ज्यामिति): Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Latest revision as of 17:21, 17 November 2022

Contents

यूक्लिडियन ज्यामिति में अंक