क्वांटम समूह: Difference between revisions
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गणित और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, "क्वांटम समूह" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह, संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह, और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है, यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं। | गणित और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, "'''क्वांटम समूह'''" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह, संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह, और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है, यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं। | ||
शब्द "क्वांटम समूह" पहली बार क्वांटम इंटीग्रेबल सिस्टम के सिद्धांत में दिखाई दिया, जिसे तब व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो द्वारा हॉपफ बीजगणित के एक विशेष वर्ग के रूप में औपचारिक रूप दिया गया था। इसी शब्द का उपयोग अन्य हॉपफ बीजगणितों के लिए भी किया जाता है जो विकृत हैं या ली बीजगणित के नज़दीक हैं, जैसे कि ड्रिनफेल्ड और जिम्बो के काम के कुछ समय बाद शाहन माजिद द्वारा शुरू किए गए क्वांटम समूहों का "बाइक्रॉसप्रोडक्ट" वर्ग। | शब्द "क्वांटम समूह" पहली बार क्वांटम इंटीग्रेबल सिस्टम के सिद्धांत में दिखाई दिया, जिसे तब व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो द्वारा हॉपफ बीजगणित के एक विशेष वर्ग के रूप में औपचारिक रूप दिया गया था। इसी शब्द का उपयोग अन्य हॉपफ बीजगणितों के लिए भी किया जाता है जो विकृत हैं या ली बीजगणित के नज़दीक हैं, जैसे कि ड्रिनफेल्ड और जिम्बो के काम के कुछ समय बाद शाहन माजिद द्वारा शुरू किए गए क्वांटम समूहों का "बाइक्रॉसप्रोडक्ट" वर्ग। | ||
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उच्चतम-भार अनुखंण्डो के एक टेंसर गुणन के विषय में, उनके उप-अनुखंण्डो में विभाजन का वही समान होता है जो कैक-मूडी बीजगणित के संबंधितअनुखंण्डों के टेंसर गुणन के विषय में होता है उच्चतम-भार समान होते हैं, उनकी अधिकतमता भी समान होती है। | उच्चतम-भार अनुखंण्डो के एक टेंसर गुणन के विषय में, उनके उप-अनुखंण्डो में विभाजन का वही समान होता है जो कैक-मूडी बीजगणित के संबंधितअनुखंण्डों के टेंसर गुणन के विषय में होता है उच्चतम-भार समान होते हैं, उनकी अधिकतमता भी समान होती है। | ||
====केस 2: q एकता की जड़ है==== | ====केस 2: q एकता की जड़ है==== | ||
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===अभ्यावेदन=== | ===अभ्यावेदन=== | ||
कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह का एक प्रतिनिधित्व हॉपफ *-बीजगणित की एक मुख्य प्रस्तुति द्वारा दिया गया है एक कोईंटेल सहसमसंघटक कोल्बेरा "A" की एक मुख्य प्रस्तुति का एक वर्गक्षेत्र <math>v = (v_{ij})_{i,j = 1,\dots,n}</math> है जिसके तत्व "A" में होते हैं जिसके लिए निम्नलिखित होता है: | |||
:<math>\Delta(v_{ij}) = \sum_{k=1}^n v_{ik} \otimes v_{kj}</math> | :<math>\Delta(v_{ij}) = \sum_{k=1}^n v_{ik} \otimes v_{kj}</math> | ||
इसके लिए सभी i, j के लिए वे तत्व v_{ij} और ε(v_{ij}) = δ_{ij} से संबंधित होते हैं। इसके अतिरिक्त, एक प्रतिनिधित्व v, को संबोधित किया जाता है यदि v के लिए | इसके लिए सभी i, j के लिए वे तत्व v_{ij} और ε(v_{ij}) = δ_{ij} से संबंधित होते हैं। इसके अतिरिक्त, एक प्रतिनिधित्व v, को संबोधित किया जाता है यदि v के लिए आव्यूह यूनिटरी होती है या समानांतर रूप से, यदि κ(v_{ij}) = v_{ij} हर एक i, j के लिए। यहां आव्यूह v_{ij} एकांशी वर्ग को दर्शाता है। इससे यह प्रतिनिधित्व v एक यूनिटरी प्रतिनिधित्व कहलाता है। | ||
===उदाहरण=== | ===उदाहरण=== | ||
एक संक्षिप्त | एक संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह का एक उदाहरण SU_μ(2) है, जहां पैरामीटर μ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है। इसलिए SU_μ(2) = (C(SU_μ(2)), u), जहां C(SU_μ(2)) α और γ द्वारा उत्पन्न C*-बीजगणित है, जिसमें निम्नलिखित शर्तें होती हैं: | ||
:<math>\gamma \gamma^* = \gamma^* \gamma, </math> | :<math>\gamma \gamma^* = \gamma^* \gamma, </math> | ||
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:<math>u = \left( \begin{matrix} \alpha & \gamma \\ - \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right),</math> | :<math>u = \left( \begin{matrix} \alpha & \gamma \\ - \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right),</math> | ||
जिससे सहगुणन ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α* द्वारा निर्धारित हो, और संयोग κ(α) = α*, κ(γ) = −μ<sup>−1</sup द्वारा निर्धारित हो >γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. ध्यान दें कि ''u'' एक प्रतिनिधित्व है,परंतु एकात्मक प्रतिनिधित्व नहीं है। | |||
:<math>v = \left( \begin{matrix} \alpha & \sqrt{\mu} \gamma \\ - \frac{1}{\sqrt{\mu}} \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right).</math> | :<math>v = \left( \begin{matrix} \alpha & \sqrt{\mu} \gamma \\ - \frac{1}{\sqrt{\mu}} \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right).</math> | ||
समान रूप से, SU<sub>μ</sub>(2) = (C(SU<sub>μ</sub>(2)), ''w''), जहां C(SU<sub>μ</sub>(2)) α और β द्वारा उत्पन्न C*-बीजगणित के अधीन है, | |||
:<math>\beta \beta^* = \beta^* \beta,</math> | :<math>\beta \beta^* = \beta^* \beta,</math> | ||
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:<math>w = \left( \begin{matrix} \alpha & \mu \beta \\ - \beta^* & \alpha^* \end{matrix} \right),</math> | :<math>w = \left( \begin{matrix} \alpha & \mu \beta \\ - \beta^* & \alpha^* \end{matrix} \right),</math> | ||
जिससे सहगुणन ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α* द्वारा निर्धारित किया जाए, और संयोग व्युत्क्रम κ(α) = α*, κ द्वारा निर्धारित किया जाए (β) = −एम<sup>−1</sup>β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α. ध्यान दें कि w एक एकात्मक निरूपण है। अहसासों को बराबर करके पहचाना जा सकता है <math>\gamma = \sqrt{\mu} \beta</math>. | |||
जब μ = 1, तो SU<sub>μ</sub>(2) कंक्रीट संक्षिप्त समूह SU(2) पर कार्यों के बीजगणित C(SU(2)) के बराबर है। | |||
==बाइक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह== | ==बाइक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह== | ||
जबकि | जबकि संक्षिप्त आव्यूह स्यूडोग्रुप सामान्यतः दोहरे फलन बीजगणित सूत्रीकरण में ड्रिनफेल्ड-जिम्बो क्वांटम समूहों के संस्करण होते हैं, अतिरिक्त संरचना के साथ, बाइक्रोसप्रोडक्ट क्वांटम समूहों का एक अलग दूसरा समूह होता है, जो अर्ध-सरल ली समूहों के अतिरिक्त हल करने योग्य विकृतियों के रूप में इसका महत्व बढ़ता हैं। वे ली वे लाई बीजगणित के लाई विभाजन या लाई समूहों के स्थानीय गुणनखंडन से जुड़े हुए हैं और इन्हें बीजगणित के लिए दूसरे पर कार्य करने वाले कारकों में से एक के क्रॉस उत्पाद या मैके परिमाणीकरण के रूप में देखा जा सकता है और दूसरे कारक के साथ सहउत्पाद Δ के लिए एक समान कहानी पहले पर वापस कार्य कर रही है। | ||
सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण स्थानीय रूप से एक-दूसरे पर कार्य | सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण आर की दो प्रतियों से मेल खाता है जो स्थानीय रूप से एक-दूसरे पर कार्य करते हैं और जनरेटर पी, के, के-1, मान लीजिए, और सह-उत्पाद के साथ एक क्वांटम समूह का परिणाम है। | ||
:<math>[p, K]=h K(K-1)</math> | :<math>[p, K]=h K(K-1)</math> | ||
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जहां h विरूपण पैरामीटर है। | जहां h विरूपण पैरामीटर है। | ||
क्वांटम यांत्रिकी के [[हाइजेनबर्ग बीजगणित]] के विरूपण के रूप में देखे जाने पर यह क्वांटम समूह बोर्न पारस्परिकता को लागू करने वाले प्लैंक स्केल भौतिकी के एक खिलौना मॉडल से जुड़ा हुआ था। इसके | क्वांटम यांत्रिकी के [[हाइजेनबर्ग बीजगणित]] के विरूपण के रूप में देखे जाने पर यह क्वांटम समूह बोर्न पारस्परिकता को लागू करने वाले प्लैंक स्केल भौतिकी के एक खिलौना मॉडल से जुड़ा हुआ था। इसके अअतिरिक्त, अर्धसरल ली बीजगणित '<nowiki/>'''g'''<nowiki/>' के किसी भी संक्षिप्त वास्तविक रूप से प्रारंभ करते हुए, दोगुने आयाम के वास्तविक ली बीजगणित के रूप में इसकी जटिलता ''''g'''<nowiki/>' और एक निश्चित हल करने योग्य ली बीजगणित में विभाजित हो जाती है, और यह एक विहित बाइक्रोसप्रोडक्ट प्रदान करता है।'''g'''<nowiki/>' से संबंधित क्वांटम समूह। 'सु' के लिए 3 आयामों में गतियों के [[यूक्लिडियन समूह]] ई का क्वांटम समूह विरूपण प्राप्त होता है। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
* हॉपफ बीजगणित | * हॉपफ बीजगणित | ||
*बायलजेब्रा | *बायलजेब्रा ली | ||
*पॉइसन-लाई समूह | *पॉइसन-लाई समूह | ||
*क्वांटम एफ़िन बीजगणित | *क्वांटम एफ़िन बीजगणित | ||
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