क्वांटम समूह

गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, "क्वांटम समूह" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह, संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह, और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है, यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं।

शब्द "क्वांटम समूह" पहली बार क्वांटम इंटीग्रेबल सिस्टम के सिद्धांत में दिखाई दिया, जिसे तब व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो द्वारा हॉपफ बीजगणित के एक विशेष वर्ग के रूप में औपचारिक रूप दिया गया था। इसी शब्द का उपयोग अन्य हॉपफ बीजगणितों के लिए भी किया जाता है जो विकृत हैं या ली बीजगणित के नज़दीक हैं, जैसे कि ड्रिनफेल्ड और जिम्बो के काम के कुछ समय बाद शाहन माजिद द्वारा शुरू किए गए क्वांटम समूहों का "बाइक्रॉसप्रोडक्ट" वर्ग।

ड्रिनफेल्ड के दृष्टिकोण में, क्वांटम समूह हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं जो एक सहायक पैरामीटर q या h पर निर्भर करते हैं, जो q = 1 या h = 0 होने पर एक विशेष प्रकार के ली बीजगणित के सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित बन जाते हैं। ये ली बीजगणितएं प्रायः अर्धसरल या अफाइन होती हैं। इनसे जुड़े कुछ संबंधित दोहरे विषय भी होते हैं, जो भी हॉप्फ़ बीजगणितएं होते हैं और जिन्हें क्वांटम समूह के रूप में जाना जाता है। इन्हें भी हम क्वांटम समूह कहते हैं। ये संबंधित अर्धसरल बीजगणित या एक सुसम्बद्ध ली समूह पर फलन के बीजगणित को विकृत करते हैं।

सहज अर्थ

क्वांटम समूह की खोज बहुत अप्रत्याशित थी क्योंकि यह लंबे समय से ज्ञात था कि सघन समूह और अर्धसरल ली बीजगणित "कठोर" वस्तुएं हैं, अर्थात उन्हें "विकृत" नहीं किया जा सकता। क्वांटम समूह के पीछे एक विचार था कि यदि हम एक ऐसी संरचना का विचार करें जो एक विधि से समान परंतु बड़ी हो, जैसे समूह बीजगणित सार्वभौमिक समूह का बीजगणित, तो एक समूह या आवरण बीजगणित को विकृत किया जा सकता है, यद्यपि विरूपण अब एक समूह या घेरने वाला बीजगणित नहीं रहेगा। अधिक सटीक रूप से, विरूपण को हॉपफ बीजगणित की श्रेणी के भीतर पूरा किया जा सकता है, जिन्हें क्रमविनिमेय या सहअनुक्रमिक होना आवश्यक नहीं है। एलेन कोन्स की गैर-अनुवांशिक ज्यामिति के अनुसार, विकृत वस्तु को एक गैर-अनुवांशिक यह सूचना लेनिनग्राद स्कूल द्वारा विकसित क्वांटम यांग-बैक्स्टर समीकरण और क्वांटम उलटी छिन्नन में क्वांटम समूहों की विशेष श्रेणियों के प्रयोगी होने का प्रमुख कारण था। उस समय कोई भी सहज,ज्ञान नहीं थी कि ये क्वांटम समूह अन्य भी क्षेत्रों में उपयुक्त होंगे। दूसरे तरफ, बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह की श्रेणी की पहचान भिन्न थी और इसे क्वांटम भूगोल के रूप में क्वांटम गुरुत्व-समा समाधान के लिए आत्म-द्वित्वीय वस्तुएं की खोज से प्राप्त किया गया था।

ड्रिनफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह

एक प्रकार की संरचना जिसे सामान्यतः "क्वांटम समूह" कहा जाता है, व्लादिमीर ड्रिंफेल्ड और मिचिओ जिम्बो के काम में प्रकट हुई जो हॉप्फ़ बीजगणितके वर्ग में एक अर्धसरल ली बीजगणितय, और अधिक सामान्य रूप में, एक कैक-मूडी बीजगणित के सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित का विकृतिकरण था। उत्पन्न बीजगणित में अतिरिक्त संरचना होती है, जिससे यह एक क्वासित्रिकोण हॉपफ बीजगणित बन जाता है।

यदि A = (aij) कार्टन आव्यूह है केएसी-मूडी बीजगणित की, और q ≠ 0, 1 एक जटिल संख्या है, तो क्वांटम समूह Uq(G), जहां G वह ली बीजगणित है जिसकी कार्तन आव्यूह A है, निम्नलिखित रूप में परिभाषित होता है:

यह एक एककीय एसोसिएटिव बीजगणित है जिसमें जनित्र k_λ जहां λ भार जाली का एक तत्व है, अर्थात् सभी i के लिए 2(λ, αi)/(αi, αi) एक पूर्णांक है, और सरल मूल αi के लिए ei और fi होते हैं, जो निम्नलिखित संबंधों के अधीन होते हैं:

$\begin{array}{rl}{k}_0& =1\\ k_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{k}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}& =k_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\\ k_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{e}_i{k}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}& =q^{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i)}{e}_i\\ k_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{f}_i{k}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}& =q^{-<!--\; -\; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i)}{f}_i\\ \left[e_i,f_j\right]& ={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}\frac{k_i-<!--\; -\; -->k_i^{-<!--\; -\; -->1}}{q_i-<!--\; -\; -->q_i^{-<!--\; -\; -->1}}& & k_i=k_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i},q_i=q^{\frac{1}{2}}\end{array}$