क्वांटम समूह: Difference between revisions
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गणित और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, क्वांटम समूह शब्द | गणित और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, "क्वांटम समूह" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है, यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं। | ||
क्वांटम समूह शब्द | "क्वांटम समूह" शब्द पहले क्वांटम एकीकरणीय प्रणालियों के सिद्धांत में प्रकट हुआ था, जिसे फिर [[व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड]] और [[मिचियो जिम्बो]] ने एक विशेष प्रकार के हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में सार्वजनिक बनाया गया। यही शब्द दूसरी भी हॉप्फ़ बीजगणितओं के लिए उपयोग किया जाता है जो गणितीय लिए समान्तर रूप से या क्लासिकल ली समूहों या ली बीजगणितओं के निग्रानीयता से अलग होते हैं, जैसे एक "बाईक्रॉसप्रोडक्ट" क्वांटम समूह जिसे शाहन मजिद ने ड्रिंफेल्ड और जिम्बो के काम के बाद थोड़ी देर बाद प्रस्तुत किया गया था। | ||
ड्रिंफेल्ड के दृष्टिकोण से, क्वांटम समूह हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं जो एक सहायक पैरामीटर q या h पर निर्भर करते हैं, जो q = 1 या h = 0 होने पर एक विशेष प्रकार के ली बीजगणित के [[सार्वभौमिक आवरण बीजगणित|सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित]] बन जाते हैं। ये ली बीजगणितएं प्रायः अर्धसरल या अफाइन होती हैं। इनसे जुड़े कुछ संबंधित दोहरे विषय भी होते हैं, जो भी हॉप्फ़ बीजगणितएं होते हैं और जिन्हें क्वांटम समूह के रूप में जाना जाता है। इन्हें भी हम क्वांटम समूह कहते हैं। ये संबंधित सेमीसिम्पल बीजगणितीय बीजगणित या एक सुसम्बद्ध ली समूह पर फलन के बीजगणित को विकृत करते हैं। | |||
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एक प्रकार की वस्तुएं जिन्हें आमतौर पर क्वांटम समूह कहा जाता है, व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो के काम में हॉपफ बीजगणित की श्रेणी में एक अर्धसरल ले बीजगणित या, अधिक सामान्यतः, एक काक-मूडी बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के विरूपण के रूप में दिखाई दीं। परिणामी बीजगणित में अतिरिक्त संरचना होती है, जो इसे अर्ध-त्रिकोणीय हॉपफ बीजगणित बनाती है। | एक प्रकार की वस्तुएं जिन्हें आमतौर पर क्वांटम समूह कहा जाता है, व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो के काम में हॉपफ बीजगणित की श्रेणी में एक अर्धसरल ले बीजगणित या, अधिक सामान्यतः, एक काक-मूडी बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के विरूपण के रूप में दिखाई दीं। परिणामी बीजगणित में अतिरिक्त संरचना होती है, जो इसे अर्ध-त्रिकोणीय हॉपफ बीजगणित बनाती है। | ||
माना A = (a<sub>ij</sub>) केएसी-मूडी बीजगणित का [[कार्टन मैट्रिक्स]] बनें, और मान लें कि q ≠ 0, 1 एक जटिल संख्या है, तो क्वांटम समूह, यू<sub>q</sub>(जी), जहां जी झूठ बीजगणित है जिसका कार्टन | माना A = (a<sub>ij</sub>) केएसी-मूडी बीजगणित का [[कार्टन मैट्रिक्स|कार्टन आव्यूह]] बनें, और मान लें कि q ≠ 0, 1 एक जटिल संख्या है, तो क्वांटम समूह, यू<sub>q</sub>(जी), जहां जी झूठ बीजगणित है जिसका कार्टन आव्यूह ए है, जेनरेटर के के साथ यूनिटल बीजगणित सहयोगी बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है<sub>λ</sub>(जहां λ [[वजन जाली]] का एक तत्व है, यानी 2(λ, α<sub>''i''</sub>)/(ए<sub>''i''</sub>, ए<sub>''i''</sub>) सभी i), और e के लिए एक पूर्णांक है<sub>i</sub>और एफ<sub>i</sub>(जड़ प्रणाली के लिए#सकारात्मक जड़ें और सरल जड़ें, α<sub>''i''</sub>), निम्नलिखित संबंधों के अधीन: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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====केस 1: क्यू एकता की जड़ नहीं है==== | ====केस 1: क्यू एकता की जड़ नहीं है==== | ||
सख्ती से, क्वांटम समूह यू<sub>''q''</sub>(जी) अर्धत्रिकोणीय नहीं है, लेकिन इसे लगभग अर्धत्रिकोणीय माना जा सकता है क्योंकि इसमें एक अनंत औपचारिक योग मौजूद है जो आर- | सख्ती से, क्वांटम समूह यू<sub>''q''</sub>(जी) अर्धत्रिकोणीय नहीं है, लेकिन इसे लगभग अर्धत्रिकोणीय माना जा सकता है क्योंकि इसमें एक अनंत औपचारिक योग मौजूद है जो आर-आव्यूह|आर-आव्यूह की भूमिका निभाता है। यह अनंत औपचारिक योग जेनरेटर ई के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है<sub>i</sub>और एफ<sub>i</sub>, और कार्टन जनरेटर टी<sub>''λ''</sub>, जहां के<sub>λ</sub>औपचारिक रूप से q से पहचाना जाता है<sup>t<sub>''λ''</sub></सुपर>. अनंत औपचारिक योग दो कारकों का गुणनफल है,{{citation needed|reason=I could not find this in references or anywhere else. Chari-Pressley has a different formula.|date=July 2016}} | ||
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}</math> | :<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}</math> | ||
और एक अनंत औपचारिक योग, जहां λ<sub>''j''</sub> कार्टन उपबीजगणित और μ के दोहरे स्थान का आधार है<sub>''j''</sub> दोहरा आधार है, और η = ±1. | और एक अनंत औपचारिक योग, जहां λ<sub>''j''</sub> कार्टन उपबीजगणित और μ के दोहरे स्थान का आधार है<sub>''j''</sub> दोहरा आधार है, और η = ±1. | ||
औपचारिक अनंत योग जो आर- | औपचारिक अनंत योग जो आर-आव्यूह | आर-आव्यूह का हिस्सा निभाता है, दो अपरिवर्तनीय उच्चतम वजन मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद पर और दो सबसे कम वजन वाले मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद पर एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्रवाई करता है। विशेष रूप से, यदि v का भार α है और w का भार β है, तो | ||
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}\cdot(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w,</math> | :<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}\cdot(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w,</math> | ||
और तथ्य यह है कि मॉड्यूल दोनों उच्चतम वजन वाले मॉड्यूल हैं या दोनों सबसे कम वजन वाले मॉड्यूल v ⊗ W पर अन्य कारक की कार्रवाई को एक सीमित योग तक कम कर देते हैं। | और तथ्य यह है कि मॉड्यूल दोनों उच्चतम वजन वाले मॉड्यूल हैं या दोनों सबसे कम वजन वाले मॉड्यूल v ⊗ W पर अन्य कारक की कार्रवाई को एक सीमित योग तक कम कर देते हैं। | ||
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[[File:Dynkin Diagram Triangle.jpg|thumb|एक परिमित-आयामी निकोल्स बीजगणित से संबंधित रैंक 3 डायनकिन आरेख]]* इस बीच, श्नाइडर और हेकेनबर्गर<ref>Heckenberger, Schneider: Root system and Weyl gruppoid for Nichols algebras, 2008.</ref> आम तौर पर नॉनबेलियन मामले में भी एक अंकगणितीय जड़ प्रणाली के अस्तित्व को साबित किया है, जिससे पोंकारे-बिरखॉफ-विट प्रमेय का निर्माण होता है, जैसा कि एबेलियन मामले में खारचेको द्वारा सिद्ध किया गया है (परिमित आयाम पर धारणा के बिना)। इसका उपयोग किया जा सकता है<ref>Heckenberger, Schneider: Right coideal subalgebras of Nichols algebras and the Duflo order of the Weyl grupoid, 2009.</ref> विशिष्ट मामलों पर यू<sub>q</sub>('जी') और उदाहरण के लिए समझाता है इन क्वांटम समूहों के कुछ सहबद्ध उपबीजगणित और ली बीजगणित 'जी' के वेइल समूह के क्रम के बीच संख्यात्मक संयोग। | [[File:Dynkin Diagram Triangle.jpg|thumb|एक परिमित-आयामी निकोल्स बीजगणित से संबंधित रैंक 3 डायनकिन आरेख]]* इस बीच, श्नाइडर और हेकेनबर्गर<ref>Heckenberger, Schneider: Root system and Weyl gruppoid for Nichols algebras, 2008.</ref> आम तौर पर नॉनबेलियन मामले में भी एक अंकगणितीय जड़ प्रणाली के अस्तित्व को साबित किया है, जिससे पोंकारे-बिरखॉफ-विट प्रमेय का निर्माण होता है, जैसा कि एबेलियन मामले में खारचेको द्वारा सिद्ध किया गया है (परिमित आयाम पर धारणा के बिना)। इसका उपयोग किया जा सकता है<ref>Heckenberger, Schneider: Right coideal subalgebras of Nichols algebras and the Duflo order of the Weyl grupoid, 2009.</ref> विशिष्ट मामलों पर यू<sub>q</sub>('जी') और उदाहरण के लिए समझाता है इन क्वांटम समूहों के कुछ सहबद्ध उपबीजगणित और ली बीजगणित 'जी' के वेइल समूह के क्रम के बीच संख्यात्मक संयोग। | ||
==कॉम्पैक्ट | ==कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह== | ||
{{Main|Compact quantum group}} | {{Main|Compact quantum group}} | ||
एस. एल. वोरोनोविज़ ने कॉम्पैक्ट | एस. एल. वोरोनोविज़ ने कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूहों की शुरुआत की। कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह अमूर्त संरचनाएं हैं जिन पर संरचना पर निरंतर कार्य C*-बीजगणित के तत्वों द्वारा दिए जाते हैं। एक कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह की ज्यामिति एक गैर-अनुवांशिक ज्यामिति का एक विशेष मामला है। | ||
कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित बनाते हैं। [[गेलफैंड प्रतिनिधित्व]] के अनुसार, एक कम्यूटेटिव सी*-बीजगणित एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर जटिल-मूल्य वाले कार्यों के सी*-बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है, और टोपोलॉजिकल स्पेस को [[होमियोमोर्फिज्म]] तक सी*-बीजगणित द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। | कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित बनाते हैं। [[गेलफैंड प्रतिनिधित्व]] के अनुसार, एक कम्यूटेटिव सी*-बीजगणित एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर जटिल-मूल्य वाले कार्यों के सी*-बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है, और टोपोलॉजिकल स्पेस को [[होमियोमोर्फिज्म]] तक सी*-बीजगणित द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। | ||
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===सामान्य परिभाषा=== | ===सामान्य परिभाषा=== | ||
सामान्यीकरण के रूप में, एक कॉम्पैक्ट | सामान्यीकरण के रूप में, एक कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह को एक जोड़ी (सी, यू) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां सी एक सी*-बीजगणित है और <math>u = (u_{ij})_{i,j = 1,\dots,n}</math> C में प्रविष्टियों वाला एक आव्यूह है जैसे कि | ||
:*द *-उपबीजगणित, सी<sub>0</sub>, C का, जो u के | :*द *-उपबीजगणित, सी<sub>0</sub>, C का, जो u के आव्यूह तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, C में सघन है; | ||
:*एक C*-बीजगणित समरूपता मौजूद है जिसे सहगुणन Δ कहा जाता है: C → C ⊗ C (जहाँ C ⊗ C, C*-बीजगणित टेंसर उत्पाद है - C और C के बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का पूरा होना) जैसे कि सभी के लिए मैं, जे हमारे पास है: | :*एक C*-बीजगणित समरूपता मौजूद है जिसे सहगुणन Δ कहा जाता है: C → C ⊗ C (जहाँ C ⊗ C, C*-बीजगणित टेंसर उत्पाद है - C और C के बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का पूरा होना) जैसे कि सभी के लिए मैं, जे हमारे पास है: | ||
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सामान्य तौर पर, C एक द्विफलगणित नहीं है, और C<sub>0</sub> एक हॉपफ*-बीजगणित है। | सामान्य तौर पर, C एक द्विफलगणित नहीं है, और C<sub>0</sub> एक हॉपफ*-बीजगणित है। | ||
अनौपचारिक रूप से, C को कॉम्पैक्ट | अनौपचारिक रूप से, C को कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह पर निरंतर जटिल-मूल्यवान कार्यों के *-बीजगणित के रूप में माना जा सकता है, और u को कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह के एक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में माना जा सकता है। | ||
===अभ्यावेदन=== | ===अभ्यावेदन=== | ||
कॉम्पैक्ट | कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह का एक प्रतिनिधित्व हॉपफ *-बीजगणित के एक कोलजेब्रा द्वारा दिया गया है (एक कोइनिटल कोअसोसिएटिव कोलजेब्रा ए का एक मुख्य प्रस्तुतीकरण एक वर्ग आव्यूह है) <math>v = (v_{ij})_{i,j = 1,\dots,n}</math> A में प्रविष्टियों के साथ (इसलिए v, M(n, A) से संबंधित है) जैसे कि | ||
:<math>\Delta(v_{ij}) = \sum_{k=1}^n v_{ik} \otimes v_{kj}</math> | :<math>\Delta(v_{ij}) = \sum_{k=1}^n v_{ik} \otimes v_{kj}</math> | ||
सभी i, j और ε(v) के लिए<sub>ij</sub>) = डी<sub>''ij''</sub> सभी के लिए मैं, जे). इसके अलावा, एक प्रतिनिधित्व v को एकात्मक कहा जाता है यदि v के लिए | सभी i, j और ε(v) के लिए<sub>ij</sub>) = डी<sub>''ij''</sub> सभी के लिए मैं, जे). इसके अलावा, एक प्रतिनिधित्व v को एकात्मक कहा जाता है यदि v के लिए आव्यूह एकात्मक है (या समकक्ष, यदि κ(v)<sub>ij</sub>) = वी*<sub>ij</sub>सभी के लिए मैं, जे). | ||
===उदाहरण=== | ===उदाहरण=== | ||
कॉम्पैक्ट | कॉम्पैक्ट आव्यूह क्वांटम समूह का एक उदाहरण एसयू है<sub>μ</sub>(2), जहां पैरामीटर μ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है। तो एसयू<sub>μ</sub>(2) = (सी(एसयू<sub>μ</sub>(2)), यू), जहां सी(एसयू<sub>μ</sub>(2)) α और γ द्वारा उत्पन्न C*-बीजगणित है, जिसके अधीन है | ||
:<math>\gamma \gamma^* = \gamma^* \gamma, </math> | :<math>\gamma \gamma^* = \gamma^* \gamma, </math> | ||
| Line 207: | Line 207: | ||
==बाइक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह== | ==बाइक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह== | ||
जबकि कॉम्पैक्ट | जबकि कॉम्पैक्ट आव्यूह स्यूडोग्रुप आमतौर पर दोहरे फ़ंक्शन बीजगणित फॉर्मूलेशन में ड्रिनफेल्ड-जिम्बो क्वांटम समूहों के संस्करण होते हैं, अतिरिक्त संरचना के साथ, बाइक्रोसप्रोडक्ट क्वांटम समूहों का एक अलग दूसरा परिवार है, जो अर्ध-सरल झूठ समूहों के बजाय हल करने योग्य विकृतियों के रूप में बढ़ते महत्व के हैं। वे लाई बीजगणित के लाई विभाजन या लाई समूहों के स्थानीय गुणनखंडन से जुड़े हुए हैं और इन्हें बीजगणित के लिए दूसरे पर कार्य करने वाले कारकों में से एक के क्रॉस उत्पाद या मैके परिमाणीकरण के रूप में देखा जा सकता है और दूसरे कारक के साथ सहउत्पाद Δ के लिए एक समान कहानी है। पहले पर वापस अभिनय करना। | ||
सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण स्थानीय रूप से एक-दूसरे पर कार्य करने वाली आर की दो प्रतियों से मेल खाता है और जनरेटर ''पी'', ''के'', ''के'' के साथ एक क्वांटम समूह (यहां बीजगणितीय रूप में दिया गया) में परिणत होता है।<sup>−1</sup>, कहते हैं, और सहउत्पाद | सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण स्थानीय रूप से एक-दूसरे पर कार्य करने वाली आर की दो प्रतियों से मेल खाता है और जनरेटर ''पी'', ''के'', ''के'' के साथ एक क्वांटम समूह (यहां बीजगणितीय रूप में दिया गया) में परिणत होता है।<sup>−1</sup>, कहते हैं, और सहउत्पाद | ||
Revision as of 18:46, 22 July 2023
| बीजगणितीय संरचना → 'समूह सिद्धांत' समूह सिद्धांत |
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गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, "क्वांटम समूह" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है, यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं।
"क्वांटम समूह" शब्द पहले क्वांटम एकीकरणीय प्रणालियों के सिद्धांत में प्रकट हुआ था, जिसे फिर व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो ने एक विशेष प्रकार के हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में सार्वजनिक बनाया गया। यही शब्द दूसरी भी हॉप्फ़ बीजगणितओं के लिए उपयोग किया जाता है जो गणितीय लिए समान्तर रूप से या क्लासिकल ली समूहों या ली बीजगणितओं के निग्रानीयता से अलग होते हैं, जैसे एक "बाईक्रॉसप्रोडक्ट" क्वांटम समूह जिस