विरूपण (गणित): Difference between revisions

Revision as of 08:54, 13 July 2023

गणित में, विरूपण सिद्धांत किसी समस्या के समाधान P को थोड़ा भिन्न समाधान P_ε में परिवर्तन से जुड़ी छोटी-छोटी स्थितियों का अध्ययन है, जहां ε एक छोटी संख्या है, या छोटी मात्राओं का सदिश है। अपरिमित स्थितियां बाधा (गणित) के साथ समस्या को निवारण करने के लिए विभेदक कैलकुलस के दृष्टिकोण को प्रस्तावित करने का परिणाम अतिसूक्ष्म स्थितियाँ हैं। नाम अन्य-कठोर संरचनाओं का ऐसा सादृश्य है जो बाहरी शक्तियों को समायोजित करने के लिए [[विरूपण (अभियांत्रिकी)]] करता है।

कुछ विशिष्ट घटनाएँ हैं: ε मात्राओं को नगण्य वर्ग मानकर प्रथम-क्रम समीकरणों की व्युत्पत्ति; भिन्न-भिन्न समाधानों की संभावना, जिसमें भिन्न-भिन्न समाधान संभव नहीं हो सकता है, या कुछ भी नया नहीं लाता है; और सवाल यह है कि क्या असीम बाधाएं वास्तव में 'एकीकृत' होती हैं, जिससे उनका समाधान छोटे परिवर्तन प्रदान कर सके। किसी न किसी रूप में इन विचारों का गणित के साथ-साथ भौतिकी और इंजीनियरिंग में भी सदियों प्राचीन इतिहास है। उदाहरण के लिए, संख्याओं की ज्यामिति में परिणामों के वर्ग को भिन्नाव प्रमेय कहा जाता है, जिसे किसी दिए गए समाधान के चारों ओर विवृत कक्षा (समूह क्रिया (गणित)) की टोपोलॉजिकल व्याख्या के साथ मान्यता दी गई थी। त्रुटि सिद्धांत सामान्यतः ऑपरेटर (गणित) की विकृतियों पर भी ध्यान देता है।

जटिल अनेक गुनाओं की विकृतियाँ

गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल मैनिफोल्ड्स और बीजगणितीय वर्ग का रहा है। इसे कुनिहिको कोदैरा और डोनाल्ड सी. स्पेंसर के मूलभूत कार्य द्वारा सशक्त आधार पर रखा गया था, जब विरूपण प्रौद्योगिकी को बीजीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल में अधिक अस्थायी अनुप्रयोग प्राप्त हुआ था। सहज रूप से, कोई अपेक्षा करता है कि पनिवारणे क्रम के विरूपण सिद्धांत को ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान को मॉड्यूलि स्थान के समान करना चाहिए। चूँकि, सामान्य स्थिति में घटनाएँ सूक्ष्म हो जाती हैं।

रीमैन सतहों के विषय में, कोई यह समझा सकता है कि रीमैन क्षेत्र पर जटिल संरचना पृथक है (कोई मॉड्यूल नहीं)। जीनस 1 के लिए, अण्डाकार वक्र में जटिल संरचनाओं का एक-पैरामीटर परिवार होता है, जैसा कि अण्डाकार फलन सिद्धांत में दिखाया गया है। सामान्य कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत विरूपण सिद्धांत की कुंजी के रूप में शीफ़ कोहोमोलोजी समूह की पहचान करता है,

H^{1}(\Theta )\,

जहां Θ होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल (वर्गों के जर्म (गणित) का शीफ) है। उसी शीफ के H² में रुकावट है;; जो आयाम के सामान्य कारणों से वक्र के विषय में सदैव शून्य होता है। जीनस 0 के विषय में H¹भी गायब हो जाता है. जीनस 1 के लिए आयाम हॉज नंबर h^1,0 है, जो इसलिए 1 है। यह ज्ञात है कि जीनस एक के सभी वक्रों में y² = x³ + ax + b के रूप के समीकरण होते हैं। ये स्पष्ट रूप से दो मापदंडों, a और b पर निर्भर करते हैं, जबकि ऐसे वक्रों के समरूपता वर्गों में केवल एक पैरामीटर होता है। इसलिए उन a और b से संबंधित समीकरण होना चाहिए जो आइसोमोर्फिक अण्डाकार वक्रों का वर्णन करता है। यह वह वक्र है जिसके लिए b²a⁻³ का मान समान है, समरूपी वक्रों का वर्णन करें। अर्थात a और b को भिन्न करना वक्र वाई की संरचना को विकृत करने का उपाय y² = x³ + ax + b है, परन्तु a,b के सभी रूपांतर वास्तव में वक्र के समरूपता वर्ग को नहीं परिवर्तित करते हैं।

H¹ से संबंधित करने के लिए सेरे द्वैत का उपयोग करते हुए, जीनस g > 1 के विषय में कोई आगे बढ़ सकता है,

H^{0}(\Omega ^{[2]})

जहां Ω होलोमोर्फिक कोटैंजेंट बंडल और अंकन Ω है^[2] का अर्थ टेंसर वर्ग (दूसरी बाहरी शक्ति नहीं)है। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक द्विघात भिन्नताओं द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मॉड्यूलि स्पेस का आयाम, जिसे इस विषय में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3g-3 के रूप में गणना की जाती है।

ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल मैनिफोल्ड्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत का प्रारम्भ हैं। आगामी विकास में सम्मिलित विभेदक ज्यामिति की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा प्रौद्योगिकी का विस्तार; ग्रोथेंडिक के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना हैं, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के काम की ठोस व्याख्या हुई; और अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित है।

विरूपण और समतल मानचित्र

विरूपण का सबसे सामान्य रूप समतल मानचित्र $f:X\to S$ , जटिल-विश्लेषणात्मक स्थानों की, योजना (गणित), या किसी स्थान पर कार्यों के रोगाणु है। ग्रोथेंडिक^[1] विकृतियों के लिए इस दूरगामी सामान्यीकरण को खोजने वाले प्रथम व्यक्ति थे और उस संदर्भ में सिद्धांत विकसित किया। सामान्य विचार यह है कि सार्वभौमिक परिवार ${\mathfrak {X}}\to B$ का अस्तित्व होना चाहिए, जैसे कि किसी भी विकृति को अद्वितीय पुलबैक वर्ग के रूप में पाया जा सकता है, ${\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &B\end{matrix}}$ कई विषयों में, यह सार्वभौमिक परिवार या तो हिल्बर्ट योजना या कोट योजना है, या उनमें से किसी का भागफल है। उदाहरण के लिए, वक्रों के मापांक के निर्माण में, इसका निर्माण हिल्बर्ट योजना में चिकने वक्रों के भागफल के रूप में किया गया है। यदि पुलबैक वर्ग अद्वितीय नहीं है, तो परिवार केवल बहुमुखी है।

विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ

विरूपण सिद्धांत के उपयोगी और सरलता से गणना योग्य क्षेत्रों में से जटिल स्थानों के रोगाणुओं के विरूपण सिद्धांत, जैसे कि स्टीन मैनिफोल्ड, कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड, या कॉम्प्लेक्स विश्लेषणात्मक विविधता से आता है।^[1]ध्यान दें कि इस सिद्धांत को होलोमोर्फिक फलन, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान आदि के रोगाणुओं के संचय पर विचार करके जटिल मैनिफोल्ड्स और जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों में वैश्वीकृत किया जा सकता है। ऐसे बीजगणित इस रूप में होते हैं $A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{I}}$ , जहाँ $\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}$ अभिसारी शक्ति-श्रृंखला का वलय है और $I$ आदर्श है, उदाहरण के लिए, कई लेखक विलक्षणता के कार्यों के रोगाणुओं का अध्ययन करते हैं, जैसे कि बीजगणित<ब्लॉककोट> $A ≅ C {z_{1}, \dots, z_{}$

[1]

@@ Line 17: / Line 17: @@
 जहां Ω होलोमोर्फिक [[कोटैंजेंट बंडल]] और अंकन Ω है<sup>[2]</sup> का अर्थ टेंसर वर्ग (दूसरी [[बाहरी शक्ति]] नहीं)है। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक [[द्विघात अंतर|द्विघात भिन्नताओं]] द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मॉड्यूलि स्पेस का आयाम, जिसे इस विषय में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3g-3 के रूप में गणना की जाती है।
-ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल मैनिफोल्ड्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत का प्रारम्भ हैं। आगामी विकास में सम्मिलित  [[विभेदक ज्यामिति]] की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा प्रौद्योगिकी का विस्तार; [[ग्रोथेंडिक]] के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना हैं, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के काम की ठोस व्याख्या हुई; और अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित।
+ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल मैनिफोल्ड्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत का प्रारम्भ हैं। आगामी विकास में सम्मिलित  [[विभेदक ज्यामिति]] की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा प्रौद्योगिकी का विस्तार; [[ग्रोथेंडिक]] के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना हैं, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के काम की ठोस व्याख्या हुई; और अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित है।
 ==विरूपण और समतल मानचित्र==
-विरूपण का सबसे सामान्य रूप एक समतल मानचित्र है <math>f:X \to S</math> जटिल-विश्लेषणात्मक स्थानों की, [[योजना (गणित)]], या किसी स्थान पर कार्यों के रोगाणु। ग्रोथेंडिक<ref name=":0">{{Cite book|last=Palamodov|title=अनेक जटिल चर IV|chapter=Deformations of Complex Spaces|series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|year=1990|volume=10|isbn=978-3-642-64766-6|pages=105–194|doi=10.1007/978-3-642-61263-3_3}}</ref> विकृतियों के लिए इस दूरगामी सामान्यीकरण को खोजने वाले पनिवारणे व्यक्ति थे और उस संदर्भ में सिद्धांत विकसित किया। सामान्य विचार यह है कि एक सार्वभौमिक परिवार का अस्तित्व होना चाहिए <math>\mathfrak{X} \to B</math> जैसे कि किसी भी विकृति को एक अद्वितीय पुलबैक वर्ग<ब्लॉककोट> के रूप में पाया जा सकता है<math>\begin{matrix}
+विरूपण का सबसे सामान्य रूप समतल मानचित्र <math>f:X \to S</math>, जटिल-विश्लेषणात्मक स्थानों की, [[योजना (गणित)]], या किसी स्थान पर कार्यों के रोगाणु है। ग्रोथेंडिक<ref name=":0">{{Cite book|last=Palamodov|title=अनेक जटिल चर IV|chapter=Deformations of Complex Spaces|series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|year=1990|volume=10|isbn=978-3-642-64766-6|pages=105–194|doi=10.1007/978-3-642-61263-3_3}}</ref> विकृतियों के लिए इस दूरगामी सामान्यीकरण को खोजने वाले प्रथम व्यक्ति थे और उस संदर्भ में सिद्धांत विकसित किया। सामान्य विचार यह है कि सार्वभौमिक परिवार <math>\mathfrak{X} \to B</math> का अस्तित्व होना चाहिए, जैसे कि किसी भी विकृति को अद्वितीय पुलबैक वर्ग के रूप में पाया जा सकता है,<math>\begin{matrix}
 X & \to & \mathfrak{X} \\
 \downarrow & & \downarrow \\
 S & \to & B
-\end{matrix}</math>कई मामलों में, यह सार्वभौमिक परिवार या तो [[हिल्बर्ट योजना]] या कोट योजना है, या उनमें से किसी एक का भागफल है। उदाहरण के लिए, वक्रों के मॉड्यूली के निर्माण में, इसका निर्माण हिल्बर्ट योजना में चिकने वक्रों के भागफल के रूप में किया गया है। यदि पुलबैक वर्ग अद्वितीय नहीं है, तो परिवार केवल बहुमुखी है।
+\end{matrix}</math>कई विषयों में, यह सार्वभौमिक परिवार या तो [[हिल्बर्ट योजना]] या कोट योजना है, या उनमें से किसी का भागफल है। उदाहरण के लिए, वक्रों के मापांक के निर्माण में, इसका निर्माण हिल्बर्ट योजना में चिकने वक्रों के भागफल के रूप में किया गया है। यदि पुलबैक वर्ग अद्वितीय नहीं है, तो परिवार केवल बहुमुखी है।
 ==विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ==
-विरूपण सिद्धांत के उपयोगी और आसानी से गणना योग्य क्षेत्रों में से एक जटिल स्थानों के रोगाणुओं के विरूपण सिद्धांत से आता है, जैसे कि [[स्टीन मैनिफोल्ड]], कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड, या कॉम्प्लेक्स विश्लेषणात्मक विविधता।<ref name=":0" />ध्यान दें कि इस सिद्धांत को होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान आदि के रोगाणुओं के ढेर पर विचार करके जटिल मैनिफोल्ड्स और जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों में वैश्वीकृत किया जा सकता है। ऐसे बीजगणित <ब्लॉककोट> के रूप में होते हैं<math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots, z_n\}}{I}</math> </ब्लॉकक्वॉट>कहां <math>\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n \}</math> अभिसारी शक्ति-श्रृंखला का वलय है और <math>I</math> एक आदर्श है. उदाहरण के लिए, कई लेखक एक विलक्षणता के कार्यों के रोगाणुओं का अध्ययन करते हैं, जैसे कि बीजगणित<ब्लॉककोट><math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(y^2 - x^n)}</math></blockquote>एक समतल-वक्र विलक्षणता का प्रतिनिधित्व करता है। विश्लेषणात्मक बीजगणित का एक रोगाणु ऐसे बीजगणित की विपरीत श्रेणी में एक वस्तु है। फिर, विश्लेषणात्मक बीजगणित के एक रोगाणु का विरूपण <math>X_0</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं के एक समतल मानचित्र द्वारा दिया गया है <math>f:X \to S</math> कहाँ <math>S</math> एक विशिष्ट बिंदु है <math>0</math> ऐसे कि <math>X_0</math> पुलबैक वर्ग<ब्लॉककोट> में फिट बैठता है<math>\begin{matrix}
+विरूपण सिद्धांत के उपयोगी और सरलता से गणना योग्य क्षेत्रों में से जटिल स्थानों के रोगाणुओं के विरूपण सिद्धांत, जैसे कि [[स्टीन मैनिफोल्ड]], कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड, या कॉम्प्लेक्स विश्लेषणात्मक विविधता से आता है।<ref name=":0" />ध्यान दें कि इस सिद्धांत को होलोमोर्फिक फलन, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान आदि के रोगाणुओं के संचय पर विचार करके जटिल मैनिफोल्ड्स और जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों में वैश्वीकृत किया जा सकता है। ऐसे बीजगणित इस रूप में होते हैं<math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots, z_n\}}{I}</math>, जहाँ <math>\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n \}</math> अभिसारी शक्ति-श्रृंखला का वलय है और <math>I</math> आदर्श है, उदाहरण के लिए, कई लेखक विलक्षणता के कार्यों के रोगाणुओं का अध्ययन करते हैं, जैसे कि बीजगणित<ब्लॉककोट><math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(y^2 - x^n)}</math>एक समतल-वक्र विलक्षणता का प्रतिनिधित्व करता है। विश्लेषणात्मक बीजगणित का एक रोगाणु ऐसे बीजगणित की विपरीत श्रेणी में एक वस्तु है। फिर, विश्लेषणात्मक बीजगणित के एक रोगाणु का विरूपण <math>X_0</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं के एक समतल मानचित्र द्वारा दिया गया है <math>f:X \to S</math> जहाँ <math>S</math> एक विशिष्ट बिंदु है <math>0</math> ऐसे कि <math>X_0</math> पुलबैक वर्ग<ब्लॉककोट> में फिट बैठता है<math>\begin{matrix}
 X_0 & \to & X \\
 \downarrow & & \downarrow \\
 * & \xrightarrow[0]{} & S
-\end{matrix}</math></blockquote>इन विकृतियों में क्रमविनिमेय वर्गों द्वारा दिया गया एक तुल्यता संबंध होता है<blockquote><math>\begin{matrix}
+\end{matrix}</math>इन विकृतियों में क्रमविनिमेय वर्गों द्वारा दिया गया एक तुल्यता संबंध होता है<blockquote><math>\begin{matrix}
 X'& \to & X \\
 \downarrow & & \downarrow \\
@@ Line 42: / Line 42: @@
 === विकृतियों की सह-समसामयिक व्याख्या ===
-यह स्पष्ट होना चाहिए कि विश्लेषणात्मक कार्यों के एक ही रोगाणु में कई विकृतियाँ हो सकती हैं। इस वजह से, इस सारी जानकारी को व्यवस्थित करने के लिए कुछ बही-खाता उपकरणों की आवश्यकता होती है। इन संगठनात्मक उपकरणों का निर्माण टेंगेंट कोहोमोलॉजी का उपयोग करके किया गया है।<ref name=":0" />यह कोसज़ुल-टेट रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करके और अन्य-नियमित बीजगणित के लिए अतिरिक्त जनरेटर जोड़कर इसे संभावित रूप से संशोधित करके बनाया गया है। <math>A</math>. विश्लेषणात्मक बीजगणित के विषय में इन संकल्पों को गणितज्ञ [[गैलिना ट्यूरिना]] के लिए तजुरिना संकल्प कहा जाता है, जिन्होंने सबसे पनिवारणे ऐसी वस्तुओं का अध्ययन किया था। यह एक ग्रेडेड-कम्यूटेटिव डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित है <math>(R_\bullet, s)</math> ऐसा है कि <math>R_0 \to A</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित का एक विशेषण मानचित्र है, और यह मानचित्र एक सटीक अनुक्रम में फिट बैठता है<ब्लॉककोट><math>\cdots \xrightarrow{s} R_{-2} \xrightarrow{s} R_{-1} \xrightarrow{s} R_0 \xrightarrow{p} A \to 0</math>फिर, व्युत्पत्तियों के विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल को लेकर <math>(\text{Der}(R_\bullet), d)</math>, इसकी सह-समरूपता विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणु की स्पर्शरेखा सह-समरूपता बनाती है <math>A</math>. इन सहसंयोजी समूहों को दर्शाया गया है <math>T^k(A)</math>. <math>T^1(A)</math> h> की सभी विकृतियों के बारे में जानकारी सम्मिलित है <math>A</math> और सटीक अनुक्रम<ब्लॉककोट> का उपयोग करके आसानी से गणना की जा सकती है<math>0 \to T^0(A) \to \text{Der}(R_0) \xrightarrow{d} \text{Hom}_{R_0}(I,A) \to T^1(A) \to 0</math>अगर <math>A</math> बीजगणित<ब्लॉककोट> के लिए समरूपी है<math>\frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(f_1,\ldots, f_m)}</math>तो इसकी विकृतियाँ<blockquote> के समान होती हैं<math>T^1(A) \cong \frac{A^m}{df \cdot A^n}</math></blockquote>थे <math>df</math> का जैकोबियन मैट्रिक्स है <math>f = (f_1,\ldots, f_m): \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m</math>. उदाहरण के लिए, हाइपरसतह की विकृतियाँ दी गई हैं <math>f</math> विकृतियाँ <ब्लॉककोट> हैं<math>T^1(A) \cong \frac{A^n}{\left( \frac{\partial f}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial z_n} \right)}</math></blockquote>एकवचनता के लिए <math>y^2 - x^3</math> यह मॉड्यूल<ब्लॉककोट> है<math>\frac{A^2}{(y, x^2)}</math></blockquote>इसलिए केवल स्थिरांक या रैखिक कारकों को जोड़कर विकृतियां दी जाती हैं, इसलिए एक सामान्य विकृति <math>f(x,y) = y^2 - x^3</math> है <math>F(x,y,a_1,a_2) = y^2 - x^3 + a_1 + a_2x </math> जहां <math>a_i</math> विरूपण पैरामीटर हैं.
+यह स्पष्ट होना चाहिए कि विश्लेषणात्मक कार्यों के एक ही रोगाणु में कई विकृतियाँ हो सकती हैं। इस वजह से, इस सारी जानकारी को व्यवस्थित करने के लिए कुछ बही-खाता उपकरणों की आवश्यकता होती है। इन संगठनात्मक उपकरणों का निर्माण टेंगेंट कोहोमोलॉजी का उपयोग करके किया गया है।<ref name=":0" />यह कोसज़ुल-टेट रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करके और अन्य-नियमित बीजगणित के लिए अतिरिक्त जनरेटर जोड़कर इसे संभावित रूप से संशोधित करके बनाया गया है। <math>A</math>. विश्लेषणात्मक बीजगणित के विषय में इन संकल्पों को गणितज्ञ [[गैलिना ट्यूरिना]] के लिए तजुरिना संकल्प कहा जाता है, जिन्होंने सबसे पनिवारणे ऐसी वस्तुओं का अध्ययन किया था। यह एक ग्रेडेड-कम्यूटेटिव डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित है <math>(R_\bullet, s)</math> ऐसा है कि <math>R_0 \to A</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित का एक विशेषण मानचित्र है, और यह मानचित्र एक सटीक अनुक्रम में फिट बैठता है<ब्लॉककोट><math>\cdots \xrightarrow{s} R_{-2} \xrightarrow{s} R_{-1} \xrightarrow{s} R_0 \xrightarrow{p} A \to 0</math>फिर, व्युत्पत्तियों के विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल को लेकर <math>(\text{Der}(R_\bullet), d)</math>, इसकी सह-समरूपता विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणु की स्पर्शरेखा सह-समरूपता बनाती है <math>A</math>. इन सहसंयोजी समूहों को दर्शाया गया है <math>T^k(A)</math>. <math>T^1(A)</math> h> की सभी विकृतियों के बारे में जानकारी सम्मिलित है <math>A</math> और सटीक अनुक्रम<ब्लॉककोट> का उपयोग करके सरलता से गणना की जा सकती है<math>0 \to T^0(A) \to \text{Der}(R_0) \xrightarrow{d} \text{Hom}_{R_0}(I,A) \to T^1(A) \to 0</math>अगर <math>A</math> बीजगणित<ब्लॉककोट> के लिए समरूपी है<math>\frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(f_1,\ldots, f_m)}</math>तो इसकी विकृतियाँ<blockquote> के समान होती हैं<math>T^1(A) \cong \frac{A^m}{df \cdot A^n}</math></blockquote>थे <math>df</math> का जैकोबियन मैट्रिक्स है <math>f = (f_1,\ldots, f_m): \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m</math>. उदाहरण के लिए, हाइपरसतह की विकृतियाँ दी गई हैं <math>f</math> विकृतियाँ <ब्लॉककोट> हैं<math>T^1(A) \cong \frac{A^n}{\left( \frac{\partial f}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial z_n} \right)}</math></blockquote>एकवचनता के लिए <math>y^2 - x^3</math> यह मॉड्यूल<ब्लॉककोट> है<math>\frac{A^2}{(y, x^2)}</math></blockquote>इसलिए केवल स्थिरांक या रैखिक कारकों को जोड़कर विकृतियां दी जाती हैं, इसलिए एक सामान्य विकृति <math>f(x,y) = y^2 - x^3</math> है <math>F(x,y,a_1,a_2) = y^2 - x^3 + a_1 + a_2x </math> जहां <math>a_i</math> विरूपण पैरामीटर हैं.
 ==कार्यात्मक वर्णन==
 विरूपण सिद्धांत को औपचारिक बनाने की एक अन्य विधि श्रेणी पर फलनलर्स का उपयोग करना है <math>\text{Art}_k</math> एक क्षेत्र पर स्थानीय आर्टिन बीजगणित की। एक पूर्व-विरूपण फ़नकार को फ़नकार के रूप में परिभाषित किया गया है
 ::::::::::::::::::::<math>F: \text{Art}_k \to \text{Sets}</math>
-ऐसा है कि <math>F(k)</math> एक बिंदु है. विचार यह है कि हम एक बिंदु के चारों ओर कुछ मॉड्यूलि स्पेस की असीम संरचना का अध्ययन करना चाहते हैं जहां उस बिंदु के ऊपर रुचि का स्थान है। आम तौर पर ऐसा होता है कि वास्तविक स्थान खोजने के बजाय मॉड्यूली समस्या के लिए फ़ैक्टर का वर्णन करना आसान होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम डिग्री के हाइपरसर्फेस के मॉड्यूलि-स्पेस पर विचार करना चाहते हैं <math>d</math> में <math>\mathbb{P}^n</math>, तो हम फ़नकार पर विचार कर सकते हैं
+ऐसा है कि <math>F(k)</math> एक बिंदु है. विचार यह है कि हम एक बिंदु के चारों ओर कुछ मॉड्यूलि स्पेस की असीम संरचना का अध्ययन करना चाहते हैं जहां उस बिंदु के ऊपर रुचि का स्थान है। आम तौर पर ऐसा होता है कि वास्तविक स्थान खोजने के बजाय मापांक समस्या के लिए फ़ैक्टर का वर्णन करना आसान होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम डिग्री के हाइपरसर्फेस के मॉड्यूलि-स्पेस पर विचार करना चाहते हैं <math>d</math> में <math>\mathbb{P}^n</math>, तो हम फ़नकार पर विचार कर सकते हैं
 :<math>F: \text{Sch} \to \text{Sets}</math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>
 F(S) = \left\{
@@ Line 93: / Line 93: @@
 \end{matrix}
 </math>
-कहाँ <math>a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4</math>. फिर, दाहिने हाथ के कोने पर मौजूद स्थान एक अतिसूक्ष्म विरूपण का एक उदाहरण है: निलपोटेंट तत्वों की अतिरिक्त योजना सैद्धांतिक संरचना <math>\operatorname{Spec}(k[\varepsilon])</math> (जो स्थलाकृतिक रूप से एक बिंदु है) हमें इस अतिसूक्ष्म डेटा को व्यवस्थित करने की अनुमति देता है। चूँकि हम सभी संभावित विस्तारों पर विचार करना चाहते हैं, इसलिए हम अपने पूर्वविरूपण फ़ैक्टर को वस्तुओं पर इस प्रकार परिभाषित करने देंगे
+जहाँ <math>a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4</math>. फिर, दाहिने हाथ के कोने पर मौजूद स्थान एक अतिसूक्ष्म विरूपण का एक उदाहरण है: निलपोटेंट तत्वों की अतिरिक्त योजना सैद्धांतिक संरचना <math>\operatorname{Spec}(k[\varepsilon])</math> (जो स्थलाकृतिक रूप से एक बिंदु है) हमें इस अतिसूक्ष्म डेटा को व्यवस्थित करने की अनुमति देता है। चूँकि हम सभी संभावित विस्तारों पर विचार करना चाहते हैं, इसलिए हम अपने पूर्वविरूपण फ़ैक्टर को वस्तुओं पर इस प्रकार परिभाषित करने देंगे
 :<math>
 F(A) = \left\{
@@ Line 103: / Line 103: @@
 \right\}
 </math>
-कहाँ <math>A</math> एक स्थानीय कलाकार है <math>k</math>-बीजगणित.
+जहाँ <math>A</math> एक स्थानीय कलाकार है <math>k</math>-बीजगणित.
 ===चिकना पूर्व-विरूपण फलनल===

Anonymous

Search

विरूपण (गणित): Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 08:54, 13 July 2023

Contents

जटिल अनेक गुनाओं की विकृतियाँ

विरूपण और समतल मानचित्र

विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ