विरूपण (गणित): Difference between revisions

Revision as of 21:23, 12 July 2023

गणित में, विरूपण सिद्धांत किसी समस्या के समाधान पी को थोड़ा भिन्न समाधान पी में परिवर्तन से जुड़ी छोटी-छोटी स्थितियों का अध्ययन है।_ε, जहां ε एक छोटी संख्या है, या छोटी मात्राओं का सदिश है। अपरिमित स्थितियां बाधा (गणित) के साथ समस्या को निवारण करने के लिए विभेदक कैलकुलस के दृष्टिकोण को प्रस्तावित करने का परिणाम हैं। नाम अन्य-कठोर संरचनाओं का ऐसा सादृश्य है जो बाहरी ताकतों को समायोजित करने के लिए थोड़ा [[विरूपण (अभियांत्रिकी )]] करता है।

कुछ विशिष्ट घटनाएँ हैं: ε मात्राओं को नगण्य वर्ग मानकर प्रथम-क्रम समीकरणों की व्युत्पत्ति; भिन्न-भिन्न समाधानों की संभावना, जिसमें भिन्न-भिन्न समाधान संभव नहीं हो सकता है, या कुछ भी नया नहीं लाता है; और सवाल यह है कि क्या असीम बाधाएं वास्तव में 'एकीकृत' होती हैं, जिससे उनका समाधान छोटे परिवर्तन प्रदान कर सके। किसी न किसी रूप में इन विचारों का गणित के साथ-साथ भौतिकी और इंजीनियरिंग में भी सदियों प्राचीन इतिहास है। उदाहरण के लिए, संख्याओं की ज्यामिति में परिणामों के वर्ग को भिन्नाव प्रमेय कहा जाता है, जिसे किसी दिए गए समाधान के चारों ओर खुली कक्षा (समूह क्रिया (गणित)) की टोपोलॉजिकल व्याख्या के साथ मान्यता दी गई थी। गड़बड़ी सिद्धांत सामान्यतः ऑपरेटर (गणित) की विकृतियों पर भी ध्यान देता है।

जटिल अनेक गुनाओं की विकृतियाँ

गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल मैनिफोल्ड्स और बीजगणितीय किस्मों का रहा है। इसे कुनिहिको कोदैरा और डोनाल्ड सी. स्पेंसर के मूलभूत कार्य द्वारा एक मजबूत आधार पर रखा गया था, जब विरूपण तकनीकों को बीजीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल में अधिक अस्थायी अनुप्रयोग प्राप्त हुआ था। सहज रूप से, कोई अपेक्षा करता है कि पनिवारणे क्रम के विरूपण सिद्धांत को ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान को मॉड्यूलि स्थान के बराबर करना चाहिए। हालाँकि, सामान्य स्थिति में घटनाएँ सूक्ष्म हो जाती हैं।

रीमैन सतहों के विषय में, कोई यह समझा सकता है कि रीमैन क्षेत्र पर जटिल संरचना पृथक है (कोई मॉड्यूल नहीं)। जीनस 1 के लिए, अण्डाकार वक्र में जटिल संरचनाओं का एक-पैरामीटर परिवार होता है, जैसा कि अण्डाकार फ़ंक्शन सिद्धांत में दिखाया गया है। सामान्य कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत विरूपण सिद्धांत की कुंजी के रूप में शीफ़ कोहोमोलोजी समूह की पहचान करता है

H^{1}(\Theta )\,

जहां Θ होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल (वर्गों के जर्म (गणित) का शीफ) है। एच में रुकावट है²एक ही पूले का; जो आयाम के सामान्य कारणों से वक्र के विषय में हमेशा शून्य होता है। जीनस 0 के विषय में एच¹भी गायब हो जाता है. जीनस 1 के लिए आयाम हॉज नंबर एच है^1,0जो इसलिए 1 है। यह ज्ञात है कि जीनस एक के सभी वक्रों में फॉर्म y के समीकरण होते हैं²=x³ + कुल्हाड़ी + बी. ये स्पष्ट रूप से दो मापदंडों, ए और बी पर निर्भर करते हैं, जबकि ऐसे वक्रों के समरूपता वर्गों में केवल एक पैरामीटर होता है। इसलिए उन ए और बी से संबंधित एक समीकरण होना चाहिए जो आइसोमोर्फिक अण्डाकार वक्रों का वर्णन करता है। यह वह वक्र निकलता है जिसके लिए बी²a⁻³ का मान समान है, समरूपी वक्रों का वर्णन करें। अर्थात। ए और बी को भिन्न करना वक्र वाई की संरचना को विकृत करने का एक तरीका है²=x³ + ax + b, लेकिन a,b के सभी रूपांतर वास्तव में वक्र के समरूपता वर्ग को नहीं बदलते हैं।

एच से संबंधित करने के लिए सेरे द्वैत का उपयोग करते हुए, जीनस जी > 1 के विषय में कोई आगे बढ़ सकता है¹को

H^{0}(\Omega ^{[2]})

जहां Ω होलोमोर्फिक कोटैंजेंट बंडल और अंकन Ω है^[2] का अर्थ है टेंसर वर्ग (दूसरी बाहरी शक्ति नहीं)। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक द्विघात अंतरों द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मॉड्यूलि स्पेस का आयाम, जिसे इस विषय में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3 जी - 3 के रूप में गणना की जाती है।

ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल मैनिफोल्ड्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत की शुरुआत हैं। आगे के विकास में शामिल हैं: विभेदक ज्यामिति की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा तकनीकों का विस्तार; ग्रोथेंडिक के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के काम की ठोस व्याख्या हुई; और अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित।

विरूपण और समतल मानचित्र

विरूपण का सबसे सामान्य रूप एक समतल मानचित्र है $f:X\to S$ जटिल-विश्लेषणात्मक स्थानों की, योजना (गणित), या किसी स्थान पर कार्यों के रोगाणु। ग्रोथेंडिक^[1] विकृतियों के लिए इस दूरगामी सामान्यीकरण को खोजने वाले पनिवारणे व्यक्ति थे और उस संदर्भ में सिद्धांत विकसित किया। सामान्य विचार यह है कि एक सार्वभौमिक परिवार का अस्तित्व होना चाहिए ${\mathfrak {X}}\to B$ जैसे कि किसी भी विकृति को एक अद्वितीय पुलबैक वर्ग<ब्लॉककोट> के रूप में पाया जा सकता है ${\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &B\end{matrix}}$ कई मामलों में, यह सार्वभौमिक परिवार या तो हिल्बर्ट योजना या कोट योजना है, या उनमें से किसी एक का भागफल है। उदाहरण के लिए, वक्रों के मॉड्यूली के निर्माण में, इसका निर्माण हिल्बर्ट योजना में चिकने वक्रों के भागफल के रूप में किया गया है। यदि पुलबैक वर्ग अद्वितीय नहीं है, तो परिवार केवल बहुमुखी है।

विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ

विरूपण सिद्धांत के उपयोगी और आसानी से गणना योग्य क्षेत्रों में से एक जटिल स्थानों के रोगाणुओं के विरूपण सिद्धांत से आता है, जैसे कि स्टीन मैनिफोल्ड, कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड, या कॉम्प्लेक्स विश्लेषणात्मक विविधता।^[1]ध्यान दें कि इस सिद्धांत को होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान आदि के रोगाणुओं के ढेर पर विचार करके जटिल मैनिफोल्ड्स और जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों में वैश्वीकृत किया जा सकता है। ऐसे बीजगणित <ब्लॉककोट> के रूप में होते हैं $A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{I}}$ </ब्लॉकक्वॉट>कहां $\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}$ अभिसारी शक्ति-श्रृंखला का वलय है और $I$ एक आदर्श है. उदाहरण के लिए, कई लेखक एक विलक्षणता के कार्यों के रोगाणुओं का अध्ययन करते हैं, जैसे कि बीजगणित<ब्लॉककोट> $A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(y^{2}-x^{n})}}$ एक समतल-वक्र विलक्षणता का प्रतिनिधित्व करता है। विश्लेषणात्मक बीजगणित का एक रोगाणु ऐसे बीजगणित की विपरीत श्रेणी में एक वस्तु है। फिर, विश्लेषणात्मक बीजगणित के एक रोगाणु का विरूपण $X_{0}$ विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं के एक समतल मानचित्र द्वारा दिया गया है $f:X\to S$ कहाँ $S$ एक विशिष्ट बिंदु है $0$ ऐसे कि $X_{0}$ पुलबैक वर्ग<ब्लॉककोट> में फिट बैठता है ${\begin{matrix}X_{0}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\*&{\xrightarrow[{0}]{}}&S\end{matrix}}$ इन विकृतियों में क्रमविनिमेय वर्गों द्वारा दिया गया एक तुल्यता संबंध होता है

[1]

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 गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल मैनिफोल्ड्स और बीजगणितीय किस्मों का रहा है। इसे [[कुनिहिको कोदैरा]] और डोनाल्ड सी. स्पेंसर के मूलभूत कार्य द्वारा एक मजबूत आधार पर रखा गया था, जब विरूपण तकनीकों को बीजीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल में अधिक अस्थायी अनुप्रयोग प्राप्त हुआ था। सहज रूप से, कोई अपेक्षा करता है कि पनिवारणे क्रम के विरूपण सिद्धांत को [[ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान]] को मॉड्यूलि स्थान के बराबर करना चाहिए। हालाँकि, सामान्य स्थिति में घटनाएँ सूक्ष्म हो जाती हैं।
-[[रीमैन सतह]]ों के मामले में, कोई यह समझा सकता है कि [[रीमैन क्षेत्र]] पर जटिल संरचना पृथक है (कोई मॉड्यूल नहीं)। जीनस 1 के लिए, एक [[अण्डाकार वक्र]] में जटिल संरचनाओं का एक-पैरामीटर परिवार होता है, जैसा कि अण्डाकार फ़ंक्शन सिद्धांत में दिखाया गया है। सामान्य कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत विरूपण सिद्धांत की कुंजी के रूप में [[शीफ़ कोहोमोलोजी]] समूह की पहचान करता है
+[[रीमैन सतह]]ों के विषय में, कोई यह समझा सकता है कि [[रीमैन क्षेत्र]] पर जटिल संरचना पृथक है (कोई मॉड्यूल नहीं)। जीनस 1 के लिए, [[अण्डाकार वक्र]] में जटिल संरचनाओं का एक-पैरामीटर परिवार होता है, जैसा कि अण्डाकार फ़ंक्शन सिद्धांत में दिखाया गया है। सामान्य कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत विरूपण सिद्धांत की कुंजी के रूप में [[शीफ़ कोहोमोलोजी]] समूह की पहचान करता है
 : <math> H^1(\Theta) \, </math>
-जहां Θ होलोमोर्फिक [[स्पर्शरेखा बंडल]] (वर्गों के [[जर्म (गणित)]] का शीफ) है। एच में रुकावट है<sup>2</sup>एक ही पूले का; जो आयाम के सामान्य कारणों से वक्र के मामले में हमेशा शून्य होता है। जीनस 0 के मामले में एच<sup>1</sup>भी गायब हो जाता है. जीनस 1 के लिए आयाम [[हॉज नंबर]] एच है<sup>1,0</sup>जो इसलिए 1 है। यह ज्ञात है कि जीनस एक के सभी वक्रों में फॉर्म y के समीकरण होते हैं<sup>2</sup>=x<sup>3</sup> + कुल्हाड़ी + बी. ये स्पष्ट रूप से दो मापदंडों, ए और बी पर निर्भर करते हैं, जबकि ऐसे वक्रों के समरूपता वर्गों में केवल एक पैरामीटर होता है। इसलिए उन ए और बी से संबंधित एक समीकरण होना चाहिए जो आइसोमोर्फिक अण्डाकार वक्रों का वर्णन करता है। यह वह वक्र निकलता है जिसके लिए बी<sup>2</sup>a<sup>−3</sup> का मान समान है, समरूपी वक्रों का वर्णन करें। अर्थात। ए और बी को भिन्न करना वक्र वाई की संरचना को विकृत करने का एक तरीका है<sup>2</sup>=x<sup>3</sup> + ax + b, लेकिन a,b के सभी रूपांतर वास्तव में वक्र के समरूपता वर्ग को नहीं बदलते हैं।
+जहां Θ होलोमोर्फिक [[स्पर्शरेखा बंडल]] (वर्गों के [[जर्म (गणित)]] का शीफ) है। एच में रुकावट है<sup>2</sup>एक ही पूले का; जो आयाम के सामान्य कारणों से वक्र के विषय में हमेशा शून्य होता है। जीनस 0 के विषय में एच<sup>1</sup>भी गायब हो जाता है. जीनस 1 के लिए आयाम [[हॉज नंबर]] एच है<sup>1,0</sup>जो इसलिए 1 है। यह ज्ञात है कि जीनस एक के सभी वक्रों में फॉर्म y के समीकरण होते हैं<sup>2</sup>=x<sup>3</sup> + कुल्हाड़ी + बी. ये स्पष्ट रूप से दो मापदंडों, ए और बी पर निर्भर करते हैं, जबकि ऐसे वक्रों के समरूपता वर्गों में केवल एक पैरामीटर होता है। इसलिए उन ए और बी से संबंधित एक समीकरण होना चाहिए जो आइसोमोर्फिक अण्डाकार वक्रों का वर्णन करता है। यह वह वक्र निकलता है जिसके लिए बी<sup>2</sup>a<sup>−3</sup> का मान समान है, समरूपी वक्रों का वर्णन करें। अर्थात। ए और बी को भिन्न करना वक्र वाई की संरचना को विकृत करने का एक तरीका है<sup>2</sup>=x<sup>3</sup> + ax + b, लेकिन a,b के सभी रूपांतर वास्तव में वक्र के समरूपता वर्ग को नहीं बदलते हैं।
-एच से संबंधित करने के लिए [[सेरे द्वैत]] का उपयोग करते हुए, जीनस जी > 1 के मामले में कोई आगे बढ़ सकता है<sup>1</sup>को
+एच से संबंधित करने के लिए [[सेरे द्वैत]] का उपयोग करते हुए, जीनस जी > 1 के विषय में कोई आगे बढ़ सकता है<sup>1</sup>को
 : <math> H^0(\Omega^{[2]}) </math>
-जहां Ω होलोमोर्फिक [[कोटैंजेंट बंडल]] और अंकन Ω है<sup>[2]</sup> का अर्थ है टेंसर वर्ग (दूसरी [[बाहरी शक्ति]] नहीं)। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक [[द्विघात अंतर]]ों द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मॉड्यूलि स्पेस का आयाम, जिसे इस मामले में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3 जी - 3 के रूप में गणना की जाती है।
+जहां Ω होलोमोर्फिक [[कोटैंजेंट बंडल]] और अंकन Ω है<sup>[2]</sup> का अर्थ है टेंसर वर्ग (दूसरी [[बाहरी शक्ति]] नहीं)। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक [[द्विघात अंतर]]ों द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मॉड्यूलि स्पेस का आयाम, जिसे इस विषय में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3 जी - 3 के रूप में गणना की जाती है।
 ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल मैनिफोल्ड्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत की शुरुआत हैं। आगे के विकास में शामिल हैं: [[विभेदक ज्यामिति]] की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा तकनीकों का विस्तार; [[ग्रोथेंडिक]] के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के काम की ठोस व्याख्या हुई; और अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित।
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 === विकृतियों की सह-समसामयिक व्याख्या ===
-यह स्पष्ट होना चाहिए कि विश्लेषणात्मक कार्यों के एक ही रोगाणु में कई विकृतियाँ हो सकती हैं। इस वजह से, इस सारी जानकारी को व्यवस्थित करने के लिए कुछ बही-खाता उपकरणों की आवश्यकता होती है। इन संगठनात्मक उपकरणों का निर्माण टेंगेंट कोहोमोलॉजी का उपयोग करके किया गया है।<ref name=":0" />यह कोसज़ुल-टेट रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करके और अन्य-नियमित बीजगणित के लिए अतिरिक्त जनरेटर जोड़कर इसे संभावित रूप से संशोधित करके बनाया गया है। <math>A</math>. विश्लेषणात्मक बीजगणित के मामले में इन संकल्पों को गणितज्ञ [[गैलिना ट्यूरिना]] के लिए तजुरिना संकल्प कहा जाता है, जिन्होंने सबसे पनिवारणे ऐसी वस्तुओं का अध्ययन किया था। यह एक ग्रेडेड-कम्यूटेटिव डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित है <math>(R_\bullet, s)</math> ऐसा है कि <math>R_0 \to A</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित का एक विशेषण मानचित्र है, और यह मानचित्र एक सटीक अनुक्रम में फिट बैठता है<ब्लॉककोट><math>\cdots \xrightarrow{s} R_{-2} \xrightarrow{s} R_{-1} \xrightarrow{s} R_0 \xrightarrow{p} A \to 0</math>फिर, व्युत्पत्तियों के विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल को लेकर <math>(\text{Der}(R_\bullet), d)</math>, इसकी सह-समरूपता विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणु की स्पर्शरेखा सह-समरूपता बनाती है <math>A</math>. इन सहसंयोजी समूहों को दर्शाया गया है <math>T^k(A)</math>. <math>T^1(A)</math> h> की सभी विकृतियों के बारे में जानकारी शामिल है <math>A</math> और सटीक अनुक्रम<ब्लॉककोट> का उपयोग करके आसानी से गणना की जा सकती है<math>0 \to T^0(A) \to \text{Der}(R_0) \xrightarrow{d} \text{Hom}_{R_0}(I,A) \to T^1(A) \to 0</math>अगर <math>A</math> बीजगणित<ब्लॉककोट> के लिए समरूपी है<math>\frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(f_1,\ldots, f_m)}</math>तो इसकी विकृतियाँ<blockquote> के बराबर होती हैं<math>T^1(A) \cong \frac{A^m}{df \cdot A^n}</math></blockquote>थे <math>df</math> का जैकोबियन मैट्रिक्स है <math>f = (f_1,\ldots, f_m): \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m</math>. उदाहरण के लिए, हाइपरसतह की विकृतियाँ दी गई हैं <math>f</math> विकृतियाँ <ब्लॉककोट> हैं<math>T^1(A) \cong \frac{A^n}{\left( \frac{\partial f}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial z_n} \right)}</math></blockquote>एकवचनता के लिए <math>y^2 - x^3</math> यह मॉड्यूल<ब्लॉककोट> है<math>\frac{A^2}{(y, x^2)}</math></blockquote>इसलिए केवल स्थिरांक या रैखिक कारकों को जोड़कर विकृतियां दी जाती हैं, इसलिए एक सामान्य विकृति <math>f(x,y) = y^2 - x^3</math> है <math>F(x,y,a_1,a_2) = y^2 - x^3 + a_1 + a_2x </math> जहां <math>a_i</math> विरूपण पैरामीटर हैं.
+यह स्पष्ट होना चाहिए कि विश्लेषणात्मक कार्यों के एक ही रोगाणु में कई विकृतियाँ हो सकती हैं। इस वजह से, इस सारी जानकारी को व्यवस्थित करने के लिए कुछ बही-खाता उपकरणों की आवश्यकता होती है। इन संगठनात्मक उपकरणों का निर्माण टेंगेंट कोहोमोलॉजी का उपयोग करके किया गया है।<ref name=":0" />यह कोसज़ुल-टेट रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करके और अन्य-नियमित बीजगणित के लिए अतिरिक्त जनरेटर जोड़कर इसे संभावित रूप से संशोधित करके बनाया गया है। <math>A</math>. विश्लेषणात्मक बीजगणित के विषय में इन संकल्पों को गणितज्ञ [[गैलिना ट्यूरिना]] के लिए तजुरिना संकल्प कहा जाता है, जिन्होंने सबसे पनिवारणे ऐसी वस्तुओं का अध्ययन किया था। यह एक ग्रेडेड-कम्यूटेटिव डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित है <math>(R_\bullet, s)</math> ऐसा है कि <math>R_0 \to A</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित का एक विशेषण मानचित्र है, और यह मानचित्र एक सटीक अनुक्रम में फिट बैठता है<ब्लॉककोट><math>\cdots \xrightarrow{s} R_{-2} \xrightarrow{s} R_{-1} \xrightarrow{s} R_0 \xrightarrow{p} A \to 0</math>फिर, व्युत्पत्तियों के विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल को लेकर <math>(\text{Der}(R_\bullet), d)</math>, इसकी सह-समरूपता विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणु की स्पर्शरेखा सह-समरूपता बनाती है <math>A</math>. इन सहसंयोजी समूहों को दर्शाया गया है <math>T^k(A)</math>. <math>T^1(A)</math> h> की सभी विकृतियों के बारे में जानकारी शामिल है <math>A</math> और सटीक अनुक्रम<ब्लॉककोट> का उपयोग करके आसानी से गणना की जा सकती है<math>0 \to T^0(A) \to \text{Der}(R_0) \xrightarrow{d} \text{Hom}_{R_0}(I,A) \to T^1(A) \to 0</math>अगर <math>A</math> बीजगणित<ब्लॉककोट> के लिए समरूपी है<math>\frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(f_1,\ldots, f_m)}</math>तो इसकी विकृतियाँ<blockquote> के बराबर होती हैं<math>T^1(A) \cong \frac{A^m}{df \cdot A^n}</math></blockquote>थे <math>df</math> का जैकोबियन मैट्रिक्स है <math>f = (f_1,\ldots, f_m): \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m</math>. उदाहरण के लिए, हाइपरसतह की विकृतियाँ दी गई हैं <math>f</math> विकृतियाँ <ब्लॉककोट> हैं<math>T^1(A) \cong \frac{A^n}{\left( \frac{\partial f}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial z_n} \right)}</math></blockquote>एकवचनता के लिए <math>y^2 - x^3</math> यह मॉड्यूल<ब्लॉककोट> है<math>\frac{A^2}{(y, x^2)}</math></blockquote>इसलिए केवल स्थिरांक या रैखिक कारकों को जोड़कर विकृतियां दी जाती हैं, इसलिए एक सामान्य विकृति <math>f(x,y) = y^2 - x^3</math> है <math>F(x,y,a_1,a_2) = y^2 - x^3 + a_1 + a_2x </math> जहां <math>a_i</math> विरूपण पैरामीटर हैं.
 ==कार्यात्मक वर्णन==

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जटिल अनेक गुनाओं की विकृतियाँ

विरूपण और समतल मानचित्र

विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ