अवरोही और आरोही भाज्य

गणित में, गिरता हुआ भाज्य (कभी-कभी अवरोही भाज्य भी कहा जाता है,गिरते अनुक्रमिक उत्पाद, या निम्न भाज्य) को बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है

$${\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{aligned}}$$

उभरता हुआ भाज्य (कभी-कभी पोचाम्मर फ़ंक्शन, पोचामर बहुपद, आरोही भाज्य, कहा जाता है) बढ़ते अनुक्रमिक उत्पाद, या ऊपरी भाज्य) के रूप में परिभाषित किया गया है

$${\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}$$

प्रत्येक का मान 1 (एक खाली उत्पाद) माना जाता है n = 0 . इन प्रतीकों को सामूहिक रूप से भाज्य शक्तियां कहा जाता है। लियो अगस्त पोचहैमर द्वारा प्रस्तुत पोचहैमर प्रतीक, संकेतन है (x)_n , कहाँ n गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। यह अलग-अलग लेखों और लेखकों द्वारा अलग-अलग परंपराओं का उपयोग करते हुए बढ़ते या गिरते तथ्य का प्रतिनिधित्व कर सकता है। पोचहैमर ने वास्तव में स्वयं इसका उपयोग किया था (x)_n और अर्थ के साथ, अर्थात् द्विपद गुणांक को निरूपित करने के लिए ${\tbinom {x}{n}}.$ इस लेख में प्रतीक (x)_n का उपयोग गिरते फैक्टोरियल और प्रतीक को दर्शाने के लिए किया जाता है x⁽ⁿ⁾ का उपयोग बढ़ते फैक्टोरियल के लिए किया जाता है। इन सम्मेलनों का उपयोग साहचर्य में किया जाता है, हालाँकि डोनाल्ड नुथ की अंडरलाइन और ओवरलाइन नोटेशन $x^{\underline {n}}$ और $x^{\overline {n}}$ तेजी से लोकप्रिय हो रहे हैं. विशेष कार्यों के सिद्धांत में (विशेष रूप से हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन) और मानक संदर्भ कार्य अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन में, पोचहैमर प्रतीक (x)_n का उपयोग बढ़ते फैक्टोरियल को दर्शाने के लिए किया जाता है। कब x धनात्मक पूर्णांक है, (x)_n k-क्रमपरिवर्तन की संख्या देता है|n-एक से क्रमपरिवर्तन (विभिन्न तत्वों का अनुक्रम)। x-तत्व सेट, या समकक्ष आकार के सेट से इंजेक्शन कार्यों की संख्या n आकार के सेट के लिएx. बढ़ती फैक्टोरियल x⁽ⁿ⁾ सेट के विभाजन की संख्या देता है n-तत्व में सेट x आदेशित अनुक्रम (संभवतः खाली)।

उदाहरण और संयुक्त व्याख्या

पहले कुछ गिरते तथ्य इस प्रकार हैं:

$${\begin{array}{rll}(x)_{0}&&=1\\(x)_{1}&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{array}}$$

पहले कुछ उभरते तथ्य इस प्रकार हैं:

$${\begin{array}{rll}x^{(0)}&&=1\\x^{(1)}&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{array}}$$

विस्तार में दिखाई देने वाले गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याएँ हैं।

जब चर x धनात्मक पूर्णांक, संख्या है (x)_n k-क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है|n-के सेट से क्रमपरिवर्तन x आइटम, यानी, लंबाई की क्रमबद्ध सूची चुनने के तरीकों की संख्या n आकार के संग्रह से निकाले गए अलग-अलग तत्वों से मिलकर बना है x. उदाहरण के लिए, (8)₃ = 8 × 7 × 6 = 336 आठ व्यक्तियों की दौड़ में संभव विभिन्न पोडियमों की संख्या - स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक - संभव है। इस सन्दर्भ में अन्य नोटेशन जैसे _xP_n, ^xP_n, P_n^x, या P(x, n) का प्रयोग भी कभी-कभी किया जाता है। वहीं दूसरी ओर, x⁽ⁿ⁾ व्यवस्था करने के तरीकों की संख्या है n झंडे चालू x ध्वजदंड , जहां सभी झंडों का उपयोग किया जाना चाहिए और प्रत्येक ध्वजस्तंभ में किसी भी संख्या में झंडे हो सकते हैं। समान रूप से, यह आकार के सेट को विभाजित करने के तरीकों की संख्या है n (झंडे) में x अलग-अलग हिस्से (ध्रुव), प्रत्येक भाग को निर्दिष्ट तत्वों पर रैखिक क्रम (किसी दिए गए ध्रुव पर झंडे का क्रम) के साथ।

गुण

बढ़ते और गिरते फैक्टोरियल बस दूसरे से संबंधित हैं:

$${\begin{array}{rll}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{array}}$$

पूर्णांकों के घटते और बढ़ते कारख़ाने का सीधे सामान्य फैक्टोरियल से संबंधित होते हैं:

$${\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(m-n)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}$$

आधे पूर्णांकों के बढ़ते भाज्य सीधे तौर पर दोहरे भाज्य से संबंधित हैं:

$${\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}$$

द्विपद गुणांक को व्यक्त करने के लिए गिरते और बढ़ते फैक्टोरियल का उपयोग किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}$$

इस प्रकार द्विपद गुणांकों पर कई सर्वसमिकाएँ घटते और बढ़ते हुए भाज्यों को आगे बढ़ाती हैं।

बढ़ते और गिरते फैक्टोरियल को किसी भी यूनिटल रिंग रिंग (गणित) में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, और इसलिए x को, उदाहरण के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों सहित जटिल संख्या, या जटिल गुणांकों वाला बहुपद, या कोई जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन माना जा सकता है।

गिरते फैक्टोरियल को वास्तविक संख्या मानों तक बढ़ाया जा सकता है x प्रदान किए गए गामा फ़ंक्शन का उपयोग करना x और x + n वास्तविक संख्याएँ हैं जो ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं:

$$(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,$$

और इसी तरह बढ़ती फैक्टोरियल भी हो सकती है:

$$x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .$$

गिरते फैक्टोरियल सरल शक्ति कार्यों के एकाधिक व्युत्पन्न में दिखाई देते हैं:

$$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.$$

बढ़ती फैक्टोरियल भी हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन की परिभाषा का अभिन्न अंग है: हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन को इसके लिए परिभाषित किया गया है |z| < 1 शक्ति श्रृंखला द्वारा

$${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}$$

उसे उपलब्ध कराया c ≠ 0, −1, −2, ... . हालाँकि, ध्यान दें कि हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन साहित्य आमतौर पर नोटेशन का उपयोग करता है (a)_n बढ़ते फैक्टोरियल के लिए।

अंब्रल कैलकुलस से संबंध

गिरता हुआ फैक्टोरियल सूत्र में होता है जो फॉरवर्ड अंतर ऑपरेटर का उपयोग करके बहुपदों का प्रतिनिधित्व करता है $\Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),$ और जो औपचारिक रूप से टेलर के प्रमेय के समान है:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.$$

इस सूत्र में और कई अन्य स्थानों पर, गिरता हुआ भाज्य (x)_nपरिमित अंतरों की गणना में भूमिका निभाता है xⁿडिफरेंशियल कैलकुलस में। उदाहरण के लिए समानता पर ध्यान दें Δ (x)_n = n (x)_n−1 को d/d x xⁿ = n xⁿ⁻¹ .

एक समान परिणाम बढ़ते फैक्टोरियल और पिछड़े अंतर ऑपरेटर के लिए है।

इस प्रकार की उपमाओं के अध्ययन को अम्ब्रल कैलकुलस के रूप में जाना जाता है। ऐसे संबंधों को कवर करने वाला सामान्य सिद्धांत, जिसमें घटते और बढ़ते तथ्यात्मक कार्य शामिल हैं, द्विपद प्रकार और शेफ़र अनुक्रमों के सिद्धांत द्वारा दिया गया है। गिरते और बढ़ते फैक्टोरियल द्विपद प्रकार के शेफ़र अनुक्रम हैं, जैसा कि संबंधों द्वारा दिखाया गया है:

$${\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}\end{aligned}}$$

जहां गुणांक द्विपद प्रमेय के समान हैं।

इसी प्रकार, पोचहैमर बहुपदों का जनक फलन तब अम्ब्रल घातांक के बराबर होता है,

$$\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},$$

तब से

$$\operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.$$

कनेक्शन गुणांक और पहचान

गिरते और बढ़ते फैक्टोरियल लाह संख्याओं के माध्यम से दूसरे से संबंधित हैं:

$${\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}x^{(k)}\\&=(-1)^{n}(-x)^{(n)}=(x-n+1)^{(n)}\\[6pt]x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}(x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x+n-1)_{n}\ .\end{aligned}}$$

निम्नलिखित सूत्र चर की अभिन्न शक्तियों से संबंधित हैं x दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करके योगों के माध्यम से, घुंघराले कोष्ठक द्वारा अंकित {ⁿ
_k}:

$${\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}$$

चूँकि गिरते हुए भाज्य बहुपद वलय का आधार हैं, इसलिए उनमें से दो के गुणनफल को गिरते हुए भाज्यों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।:

$$(x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .$$

गुणांक ${\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!$ कनेक्शन गुणांक कहा जाता है, और पहचानने (या साथ चिपकाने) के तरीकों की संख्या के रूप में संयुक्त व्याख्या होती है k आकार के सेट से प्रत्येक तत्व m और आकार का सेट n.

दो बढ़ते फैक्टोरियल के अनुपात के लिए कनेक्शन सूत्र भी दिया गया है

$${\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.$$

इसके अतिरिक्त, हम निम्नलिखित पहचानों के माध्यम से सामान्यीकृत प्रतिपादक कानूनों और नकारात्मक बढ़ती और गिरती शक्तियों का विस्तार कर सकते हैं:

$${\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}$$