अतिपरवलयिक कोण

अतिशयोक्तिपूर्ण वह आकृति है जो दो किरणों और अतिपरवलयिक चाप से घिरी होती है। यदि a = 11 है तो छायांकित अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र मानक स्थिति में है।

ज्यामिति में, अतिपरवलयिक कोण एक वास्तविक संख्या है जो कार्तीय तल के चतुर्थांश I में xy = 1 के संबंधित अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल द्वारा निर्धारित होती है। अतिपरवलयिक कोण इकाई अतिपरवलय को पैरामीटराइज़ करता है, जिसमें निर्देशांक के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण फलन होते हैं। गणित में, अतिपरवलयिक कोण एक अपरिवर्तनीय माप है क्योंकि इसे अतिपरवलयिक घूर्णन के तहत संरक्षित किया जाता है।

अतिपरवलय xy = 1, ${\sqrt {2}}$ के अर्ध-प्रमुख अक्ष के साथ आयताकार है, जो त्रिज्या ${\sqrt {2}}$, वाले एक वृत्त में एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के अनुरूप वृत्ताकार कोण के परिमाण के अनुरूप है।

अतिपरवलयिक कोण का उपयोग अतिपरवलयिक फलन ज्या (sinh), कोज्या (कोज) (cos h) तथा स्पर्शज्या (स्पर) (tan h) के लिए स्वतंत्र चर के रूप में किया जाता है, क्योंकि ये फलन अतिपरवलयिक त्रिकोण को परिभाषित करने के रूप में अतिपरवलयिक कोण के संबंध में संबंधित परिपत्र त्रिकोणमितीय फलन के अतिपरवलयिक उपमाओं पर आधारित हो सकते हैं। इस प्रकार यह मापदण्ड वास्तविक चरों की गणना में सबसे उपयोगी में से एक बन जाता है।

परिभाषा

आयताकार अतिपरवलय $\textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}$ पर विचार करें, और (सम्मेलन के अनुसार) शाखा $x>1$ पर विशेष ध्यान दें।

पहले परिभाषित करें:

• मानक स्थिति में अतिपरवलयिक कोण किरण से $(1,1)$ और किरण से $\textstyle (x,{\frac {1}{x}})$ के बीच $(0,0)$ पर बना कोण है, जहाँ $x>1$ है।
• इस कोण का परिमाण संबंधित अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है, जो $\operatorname {ln} x$ प्राप्त होता है।

ध्यान दें, प्राकृतिक लघुगणक द्वारा निभाई गई भूमिका के कारण:

• वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीमित होता है (क्योंकि $\operatorname {ln} x$ असीमित है); यह इस तथ्य से संबंधित है कि हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) असीमित है।
• कोण के परिमाण का सूत्र बताता है कि, $0<x<1$ के लिए, अतिपरवलयिक कोण ऋणात्मक होना चाहिए। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि, जैसा परिभाषित किया गया है, कोण निर्देशित है।

अंत में, अतिपरवलय पर किसी भी अंतराल द्वारा अंतरित अतिपरवलयिक कोण की परिभाषा का विस्तार करें। मान लीजिए कि $a,b,c,d$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे $ab=cd=1$ और $c>a>1$, ताकि $(a,b)$ और $(c,d)$ अतिपरवलय $xy=1$ पर बिंदु हों और उस पर एक अंतराल निर्धारित करें।फिर स्क्वीज़ मानचित्रण $\textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)$ कोण $\angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)$ को मानक स्थिति कोण $\angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)$ पर मैप करता है। ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट के परिणाम के अनुसार, इन कोणों द्वारा निर्धारित अतिपरवलयिक क्षेत्रों का क्षेत्रफल समान होता है, जिसे कोण का परिमाण माना जाता है। यह परिमाण $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ है।

वृत्ताकार कोण से तुलना

इकाई अतिपरवलय में एक त्रिज्यखंड होता है जिसका क्षेत्रफल अतिपरवलयिक कोण का आधा होता है।

वृत्ताकार बनाम अतिपरवलयिक कोण

एक इकाई वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ में एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड है जिसका क्षेत्रफल रेडियन (कांति) में वृत्ताकार कोण का आधा है। अनुरूप रूप से, एक इकाई अतिपरवलय $x^{2}-y^{2}=1$ में एक अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड होता है जिसका क्षेत्रफल अतिपरवलयिक कोण का आधा होता है।

वृत्ताकार और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थिति के बीच एक प्रक्षेप्य संकल्प भी है: दोनों वक्र शंकु खंड हैं, और इसलिए प्रक्षेप्य ज्यामिति में प्रक्षेप्य श्रेणियों के रूप में माना जाता है। इनमें से किसी एक श्रेणी पर एक मूल बिंदु दिए जाने पर, अन्य बिंदु कोणों के अनुरूप होते हैं। कोणों को जोड़ने का विचार, जो विज्ञान का मूल सिद्धांत है, इन श्रेणियों में से किसी एक पर बिंदुओं को जोड़ने से मेल खाता है:

वृत्ताकार कोणों को ज्यामितीय रूप से इस गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है कि यदि दो जीवाएं (ज्यामिति) P₀P₁ और P₀P₂ एक वृत्त के केंद्र पर कोण L₁ और L₂ बनाती हैं, तो उनका योग L₁ + L₂ जीवा PQ द्वारा अंतरित कोण है, जहां PQ को P₁P₂ के समानांतर होना आवश्यक है।

यही संरचना अतिपरवलय पर भी लागू कि जा सकता है। यदि P₀ को बिंदु (1, 1), P₁ को बिंदु (x₁, 1/x₁), और P₂ को बिंदु (x₂, 1/x₂) माना जाता है, तो समानांतर स्थिति के लिए आवश्यक है कि Q बिंदु(x₁x₂, 1/x₁1/x₂) हो। इस प्रकार P₀ से वक्र पर एक स्वेच्छाचारी बिंदु तक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण को बिंदु के x के मान के लघुगणकीय फलन के रूप में परिभाषित करना समझ में आता है।

जबकि यूक्लिडियन ज्यामिति में मूल बिंदु से एक किरण की ओर लगातार आयतीय दिशा में चलते हुए एक वृत्त का पता चलता है, छद्म-यूक्लिडियन विमान में मूल से किरण की ओर आयतीय दिशा में लगातार बढ़ते हुए एक अतिपरवलय का पता चलता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, किसी दिए गए कोण का गुणज एक वृत्त के चारों ओर समान दूरी का पता लगाता है जबकि यह अतिपरवलयिक रेखा पर घातांकीय दूरियों का पता लगाता है।

वृत्ताकार और अतिपरवलयिक दोनों कोण अपरिवर्तनीय माप के उदाहरण प्रदान करते हैं। एक वृत्त पर कोणीय परिमाण वाले चाप वृत्त पर कुछ मापनीय सेटों पर एक माप (गणित) उत्पन्न करते हैं जिसका परिमाण वृत्त के घूमने या घूमने पर भिन्न नहीं होता है। अतिपरवलय के लिए टर्निंग (मोड़) निष्पीडित प्रतिचित्रण द्वारा होता है, और जब विमान को प्रतिचित्रण (x, y) ↦ (rx, y / r), r > 0 द्वारा निष्पीडित किया जाता है तो अतिपरवलयिक कोण परिमाण समान रहते हैं।

मिन्कोवस्की रेखा तत्व से संबंध

अतिपरवलयिक कोण और मिन्कोव्स्की स्पेस पर परिभाषित मीट्रिक के बीच भी एक विचित्र संबंध है। जिस प्रकार द्विआयामी यूक्लिडियन ज्यामिति अपने रेखा तत्व को

$ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},$

के रूप में परिभाषित करती है, उसी प्रकार मिंकोनवस्की स्थान पर रेखा तत्व

$ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}$ है।

दो आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, $x=f(t),y=g(t)$ में अंतर्निहित एक वक्र पर विचार करें।

जहां पैरामीटर $t$ एक वास्तविक संख्या है जो $a$ और $b$ ($a\leqslant t<b$) बीच में चलती है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में इस वक्र की चाप लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है:

$S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt.$

अगर $x^{2}+y^{2}=1$ एक इकाई वृत्त को परिभाषित करता है, इस समीकरण के लिए सेट एक एकल मापदण्ड युक्त समाधान $x=\cos t$ और $y=\sin t$ है । $0\leqslant t<\theta$ को देते हुए, चाप की लम्बाई $S$ करने पर $S=\theta$ मिलता है। अब यूक्लिडियन तत्व को मिन्कोव्स्की लाइन तत्व से बदलने के अतिरिक्त, वही प्रक्रिया कर रहे हैं,

$S=\int _{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt,$

और एक "इकाई" अतिपरवलय को इसके संबंधित पैरामीटर युक्त समाधान सेट $y=\cosh t$ और $x=\sinh t$ के साथ $y^{2}-x^{2}=1$ के रूप में परिभाषित किया गया है, और $0\leqslant t<\eta$ (हाइपरबॉलिक कोण) देकर, हम $S=\eta$ के परिणाम पर पहुंचते हैं। दूसरे शब्दों में, इसका मतलब यह है कि जिस प्रकार वृत्ताकार कोण को यूक्लिडियन परिभाषित मीट्रिक का उपयोग करके उसी कोण द्वारा अंतरित इकाई वृत्त पर चाप की लंबाई के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अतिपरवलयिक कोण मिन्कोव्स्की परिभाषित मीट्रिक का उपयोग करके अतिपरवलयिक कोण द्वारा अंतरित "इकाई" अतिपरवलय पर चाप की लंबाई है।

इतिहास

अतिपरवलय का चतुर्भुज (गणित) अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का मूल्यांकन है। इसे एक अनंतस्पर्शी के विरुद्ध संगत क्षेत्र के बराबर दिखाया जा सकता है। चतुर्भुज को पहली बार ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट द्वारा 1647 में ओपस जियोमेट्रिकम क्वाडरेचर सर्कुली एट सेक्शनम कोनी में पूरा किया गया था। जैसा कि एक इतिहासकार ने व्यक्त किया है,

[उन्होंने] अतिशयोक्ति का चतुर्भुज उसके अनंतस्पर्शी बनाया, और दिखाया कि जैसे-जैसे अंकगणितीय श्रृंखला में क्षेत्र बढ़ता है, ज्यामितीय श्रृंखला में भुज भी बढ़ता है।

ए. ए. डी सरसा ने चतुर्भुज की व्याख्या एक लघुगणक के रूप में की और इस प्रकार ज्यामितीय रूप से परिभाषित प्राकृतिक लघुगणक (या "अतिपरवलयिक लघुगणक") को x = 1 के दाईं ओर y = 1/x के अंतर्गत क्षेत्र के रूप में समझा जाता है। एक पारलौकिक फलन के उदाहरण के रूप में, लघुगणक इसके प्रेरक, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण से अधिक परिचित है। फिर भी, जब सेंट-विंसेंट की स्क्वीज़ प्रतिचित्रण प्रमेय को स्क्वीज़ प्रतिचित्रण के साथ उन्नत किया जाता है, तो अतिपरवलयिक कोण एक भूमिका निभाता है।

सर्कुलर त्रिकोणमिति को ऑगस्टस डीमॉर्गन ने अपनी पाठ्यपुस्तक त्रिकोणमिति और डबल बीजगणित में अतिपरवलय तक विस्तारित किया था। 1878 में डब्ल्यू.के.क्लिफोर्ड ने एक इकाई अतिपरवलय को पैरामीट्रिक समीकरण करने के लिए अतिपरवलयिक कोण का उपयोग किया, इसे "अर्ध-सुसंगत गति" के रूप में वर्णित किया।

1894 में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने अपने निबंध 'द इमेजिनरी ऑफ अलजेब्रा' को अपनी पुस्तक पेपर्स ऑन स्पेस एनालिसिस में प्रसारित किया, जिसमें अतिपरवलयिक छंद उत्पन्न करने के लिए अतिपरवलयिक कोणों का उपयोग किया गया था। अगले वर्ष अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी के बुलेटिन ने मेलेन डब्ल्यू हास्केल की अतिशयोक्तिपूर्ण फलन की रूपरेखा प्रकाशित की।

जब लुडविग सिलबरस्टीन ने सापेक्षता के नए सिद्धांत पर अपनी लोकप्रिय 1914 की पाठ्यपुस्तक लिखी, तो उन्होंने अतिपरवलयिक कोण a पर आधारित शीघ्रता अवधारणा का उपयोग किया, जहां tanh a = v/c, वेग v और प्रकाश की गति का अनुपात है। उन्होंने लिखा है:

यह उल्लेख करने योग्य प्रतीत होता है कि इकाई तीव्रता एक विशाल वेग से मेल खाती है, जो प्रकाश के वेग का 3/4 है; अधिक सटीक रूप से हमारे पास a = 1 के लिए v = (.7616)c है।

[...] तेजी a = 1, [...] परिणामस्वरूप वेग .76 c का प्रतिनिधित्व करेगा जो पानी में प्रकाश के वेग से थोड़ा ऊपर है।

सिल्बरस्टीन भी cos Π(a) = v/c प्राप्त करने के लिए लोबचेव्स्की की समानता के कोण Π(a) की अवधारणा का भी उपयोग करता है।

काल्पनिक वृत्ताकार कोण

अतिपरवलयिक कोण को प्रायः ऐसे प्रस्तुत किया जाता है जैसे कि यह काल्पनिक संख्या हो, ${\textstyle \cos ix=\cosh x}$ और ${\textstyle \sin ix=i\sinh x,}$ हो ताकि अतिपरवलयिक फलन कोज्या और ज्या को वृत्ताकार फलन के माध्यम से प्रस्तुत किया जा सके। लेकिन यूक्लिडियन तल में हम वैकल्पिक रूप से वृत्ताकार कोण मापों को काल्पनिक और अतिपरवलयिक कोण मापों को वास्तविक अदिश ${\textstyle \cosh ix=\cos x}$ और ${\textstyle \sinh ix=i\sin x}$ मान सकते हैं।

इन संबंधों को घातीय फलन के संदर्भ में समझा जा सकता है, जो एक जटिल तर्क ${\textstyle z}$ के लिए क्रमशः सम और विषम भागों ${\textstyle \cosh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})}$ और ${\textstyle \sinh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z}),}$ में तोड़ा जा सकता है। फिर

$$e^{z}=\cosh z+\sinh z=\cos(iz)-i\sin(iz),$$

या यदि तर्क को वास्तविक और काल्पनिक भागों ${\textstyle z=x+iy,}$ में विभाजित किया गया है तो घातांक को प्रवर्धन ${\textstyle e^{x}}$ और घूर्णन ${\textstyle e^{iy}}$ ,

$$e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)$$

के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है।

अनंत श्रृंखला के रूप में,

$${\begin{alignedat}{3}e^{z}&=\,\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+z+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\cosh z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\sinh z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=z+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}+\dots \\\cos z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=1-{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}-\dots \\i\sin z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=i\left(z-{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}-\dots \right)\\\end{alignedat}}$$

कोसाइन के लिए अनंत श्रृंखला को कोज्या (कोज) (cos h) से एक वैकल्पिक श्रृंखला में बदलकर प्राप्त की जाती है, और साइन के लिए श्रृंखला ज्या (sinh) को एक वैकल्पिक श्रृंखला में बदलकर प्राप्त की जाती है।

यह भी देखें

• उत्कृष्ट कोण

संदर्भ

• Janet Heine Barnett (2004) "Enter, stage center: the early drama of the hyperbolic functions", available in (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 or (b) chapter 7 of Euler at 300, RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer editors, Mathematical Association of America ISBN 0-88385-565-8 .
• Arthur Kennelly (1912) Application of hyperbolic functions to electrical engineering problems
• William Mueller, Exploring Precalculus, § The Number e, Hyperbolic Trigonometry.
• John Stillwell (1998) Numbers and Geometry exercise 9.5.3, p. 298, Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2.