अतिपरवलयिक कोण

अतिशयोक्तिपूर्ण वह आकृति है जो दो किरणों और अतिपरवलयिक चाप से घिरी होती है। यदि a = 11 है तो छायांकित अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र मानक स्थिति में है।

ज्यामिति में, अतिपरवलयिक कोण एक वास्तविक संख्या है जो कार्तीय तल के चतुर्थांश I में xy = 1 के संबंधित अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल द्वारा निर्धारित होती है। अतिपरवलयिक कोण इकाई अतिपरवलय को पैरामीटराइज़ करता है, जिसमें निर्देशांक के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण फलन होते हैं। गणित में, अतिपरवलयिक कोण एक अपरिवर्तनीय माप है क्योंकि इसे अतिपरवलयिक घूर्णन के तहत संरक्षित किया जाता है।

अतिपरवलय xy = 1, ${\sqrt {2}}$ के अर्ध-प्रमुख अक्ष के साथ आयताकार है, जो त्रिज्या ${\sqrt {2}}$, वाले एक वृत्त में एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के अनुरूप वृत्ताकार कोण के परिमाण के अनुरूप है।

अतिपरवलयिक कोण का उपयोग अतिपरवलयिक फलन ज्या (sinh), कोज्या (कोज) (cos h) तथा स्पर्शज्या (स्पर) (tan h) के लिए स्वतंत्र चर के रूप में किया जाता है, क्योंकि ये फलन अतिपरवलयिक त्रिकोण को परिभाषित करने के रूप में अतिपरवलयिक कोण के संबंध में संबंधित परिपत्र त्रिकोणमितीय फलन के अतिपरवलयिक उपमाओं पर आधारित हो सकते हैं। इस प्रकार यह मापदण्ड वास्तविक चरों की गणना में सबसे उपयोगी में से एक बन जाता है।

परिभाषा

आयताकार अतिपरवलय $\textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}$ पर विचार करें, और (सम्मेलन के अनुसार) शाखा $x>1$ पर विशेष ध्यान दें।

पहले परिभाषित करें:

• मानक स्थिति में अतिपरवलयिक कोण किरण से $(1,1)$ और किरण से $\textstyle (x,{\frac {1}{x}})$ के बीच $(0,0)$ पर बना कोण है, जहाँ $x>1$ है।
• इस कोण का परिमाण संबंधित अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है, जो $\operatorname {ln} x$ प्राप्त होता है।

ध्यान दें, प्राकृतिक लघुगणक द्वारा निभाई गई भूमिका के कारण:

• वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीमित होता है (क्योंकि $\operatorname {ln} x$ असीमित है); यह इस तथ्य से संबंधित है कि हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) असीमित है।
• कोण के परिमाण का सूत्र बताता है कि, $0<x<1$ के लिए, अतिपरवलयिक कोण ऋणात्मक होना चाहिए। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि, जैसा परिभाषित किया गया है, कोण निर्देशित है।

अंत में, अतिपरवलय पर किसी भी अंतराल द्वारा अंतरित अतिपरवलयिक कोण की परिभाषा का विस्तार करें। मान लीजिए कि $a,b,c,d$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे $ab=cd=1$ और $c>a>1$, ताकि $(a,b)$ और $(c,d)$ अतिपरवलय $xy=1$ पर बिंदु हों और उस पर एक अंतराल निर्धारित करें।फिर स्क्वीज़ मानचित्रण $\textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)$ कोण $\angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)$ को मानक स्थिति कोण $\angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)$ पर मैप करता है। ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट के परिणाम के अनुसार, इन कोणों द्वारा निर्धारित अतिपरवलयिक क्षेत्रों का क्षेत्रफल समान होता है, जिसे कोण का परिमाण माना जाता है। यह परिमाण $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$ है।

वृत्ताकार कोण से तुलना

इकाई अतिपरवलय में एक त्रिज्यखंड होता है जिसका क्षेत्रफल अतिपरवलयिक कोण का आधा होता है।

वृत्ताकार बनाम अतिपरवलयिक कोण

एक इकाई वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ में एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड है जिसका क्षेत्रफल रेडियन (कांति) में वृत्ताकार कोण का आधा है। अनुरूप रूप से, एक इकाई अतिपरवलय $x^{2}-y^{2}=1$ में एक अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड होता है जिसका क्षेत्रफल अतिपरवलयिक कोण का आधा होता है।

वृत्ताकार और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थिति के बीच एक प्रक्षेप्य संकल्प भी है: दोनों वक्र शंकु खंड हैं, और इसलिए प्रक्षेप्य ज्यामिति में प्रक्षेप्य श्रेणियों के रूप में माना जाता है। इनमें से किसी एक श्रेणी पर एक मूल बिंदु दिए जाने पर, अन्य बिंदु कोणों के अनुरूप होते हैं। कोणों को जोड़ने का विचार, जो विज्ञान का मूल सिद्धांत है, इन श्रेणियों में से किसी एक पर बिंदुओं को जोड़ने से मेल खाता है:

वृत्ताकार कोणों को ज्यामितीय रूप से इस गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है कि यदि दो जीवाएं (ज्यामिति) P₀P₁ और P₀P₂ एक वृत्त के केंद्र पर कोण L₁ और L₂ बनाती हैं, तो उनका योग L₁ + L₂ जीवा PQ द्वारा अंतरित कोण है, जहां PQ को P₁P₂ के समानांतर होना आवश्यक है।

यही संरचना अतिपरवलय पर भी लागू कि जा सकता है। यदि P₀ को बिंदु (1, 1), P₁ को बिंदु (x₁, 1/x₁), और P₂ को बिंदु (x₂, 1/x₂) माना जाता है, तो समानांतर स्थिति के लिए आवश्यक है कि Q बिंदु(x₁x₂, 1/x₁1/x₂) हो। इस प्रकार P₀ से वक्र पर एक स्वेच्छाचारी बिंदु तक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण को बिंदु के x के मान के लघुगणकीय फलन के रूप में परिभाषित करना समझ में आता है।

जबकि यूक्लिडियन ज्यामिति में मूल बिंदु से एक किरण की ओर लगातार आयतीय दिशा में चलते हुए एक वृत्त का पता चलता है, छद्म-यूक्लिडियन विमान में मूल से किरण की ओर आयतीय दिशा में लगातार बढ़ते हुए एक अतिपरवलय का पता चलता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, किसी दिए गए कोण का गुणज एक वृत्त के चारों ओर समान दूरी का पता लगाता है जबकि यह अतिपरवलयिक रेखा पर घातांकीय दूरियों का पता लगाता है।

वृत्ताकार और अतिपरवलयिक दोनों कोण अपरिवर्तनीय माप के उदाहरण प्रदान करते हैं। एक वृत्त पर कोणीय परिमाण वाले चाप वृत्त पर कुछ मापनीय सेटों पर एक माप (गणित) उत्पन्न करते हैं जिसका परिमाण वृत्त के घूमने या घूमने पर भिन्न नहीं होता है। अतिपरवलय के लिए टर्निंग (मोड़) निष्पीडित प्रतिचित्रण द्वारा होता है, और जब विमान को प्रतिचित्रण (x, y) ↦ (rx, y / r), r > 0 द्वारा निष्पीडित किया जाता है तो अतिपरवलयिक कोण परिमाण समान रहते हैं।

मिन्कोवस्की रेखा तत्व से संबंध

अतिपरवलयिक कोण और मिन्कोव्स्की स्पेस पर परिभाषित मीट्रिक के बीच भी एक विचित्र संबंध है। जिस प्रकार द्विआयामी यूक्लिडियन ज्यामिति अपने रेखा तत्व को

$ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},$

के रूप में परिभाषित करती है, उसी प्रकार मिंकोनवस्की स्थान पर रेखा तत्व

$ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}$ है।

दो आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, $x=f(t),y=$