बिनेट समीकरण

जैक्स फिलिप मैरी बिनेट द्वारा व्युत्पन्न बिनेट समीकरण, तलीय ध्रुवीय निर्देशांक में कक्षीय गति के आकार को देखते हुए एक केंद्रीय बल का रूप प्रदान करता है। किसी दिए गए बल सिद्धांत के लिए कक्षा के आकार को प्राप्त करने के लिए समीकरण का भी उपयोग किया जा सकता है, लेकिन इसमें सामान्यतः दूसरे क्रम के गैर-रैखिक साधारण अवकलन समीकरण का समाधान सम्मिलित होता है। बल के केंद्र के बारे में वृत्तीय गति के कारक में एक अनूठा समाधान असंभव है।

समीकरण

कक्षा के आकार को प्राय: सापेक्ष दूरी $r$ के संदर्भ में कोण $\theta$ के कार्य के रूप में आसानी से वर्णित किया जाता है। बिनेट समीकरण के लिए, कक्षीय आकार को पारस्परिक रूप से $u=1/r$ के एक फलन $\theta$ के रूप में अधिक संक्षिप्त रूप से वर्णित किया गया है।विशिष्ट कोणीय संवेग को $h=L/m$ इस रूप में परिभाषित कीजिए जहाँ $L$ कोणीय गति है और $m$ द्रव्यमान है। अगले खंड में व्युत्पन्न बिनेट समीकरण, फलन $u(\theta )$ के संदर्भ में बल देता है:

$$F(u^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).$$

अवकलन

शुद्ध रूप से केंद्रीय बल के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम है

$$F(r)=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right).$$

कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए इसकी आवश्यकता होती है

$$r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constant}}.$$

समय के सापेक्ष $r$ के व्युत्पन्न को कोण के सापेक्ष $u=1/r$ के व्युत्पन्न रूप में फिर से लिखा जा सकता है :

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\end{array}$$