निहित सतह: Difference between revisions

Latest revision as of 17:24, 17 May 2023

निहित सतह टोरस

(R = 40, a = 15)

.

File:Impl-flaeche-geschl2.svg

जीनस 2 की निहित सतह।

File:Impl-flaeche-weinglas.svg

निहित गैर-बीजीय सतह (शराब का गिलास)।

गणित में, एक निहित सतह एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सतह है जिसे एक समानता द्वारा परिभाषित किया जाता है

F(x,y,z)=0.

एक निहित सतह तीन परिवर्तनीयों के कार्य के शून्यों का सेट है। अनुमानित का मतलब है कि संतुलन x या y या z के लिए हल नहीं किया गया है।

किसी फलन का ग्राफ़ प्रायः एक समीकरण $z=f(x,y)$ द्वारा वर्णित किया जाता है और इसे एक स्पष्ट निरूपण कहा जाता है। सतह का तीसरा आवश्यक विवरण पैरामीट्रिक है: $(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$ , जहां सतह बिंदुओं के $x$ -, $y$ - और $z$ - निर्देशांक सामान्य पैरामीटर $s,t$ के आधार पर तीन फलन $x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)$ द्वारा दर्शाए जाते हैं। प्रायः अभ्यावेदन का परिवर्तन केवल तभी सरल होता है जब स्पष्ट निरूपण $z=f(x,y)$ दिया जाता है: $z-f(x,y)=0$ (निहित ), $(s,t,f(s,t))$ (पैरामीट्रिक)।

उदाहरण:

समतल (ज्यामिति) $x+2y-3z+1=0.$
वृत्त (ज्यामिति) $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.$
द टोरस (गणित) $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.$
जीनस (गणित) की एक सतह 2: $2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0$ (रेखाचित्र देखें)।
परिक्रमण की सतह $x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0$ (वाइनग्लास रेखाचित्र देखें)।

एक फ्लैट, एक क्षेत्र, और एक टोरस के लिए, सरल पैरामीटर प्रतिनिधित्व हैं। यह चौथा उदाहरण के लिए सच नहीं है।

निहित कार्य सिद्धांत उन स्थितियों का वर्णन करता है जिनके तहत एक समीकरण $F(x,y,z)=0$ को $x$ , $y$ या $z$ के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है। लेकिन आम तौर पर समाधान स्पष्ट रूप से नहीं किया जा सकता है। ययह सिद्धांत एक सतह की आवश्यक भौगोलिक विशेषताओं की गणना करने की कुंजी है: स्पर्शरेखा समतल, सतह सामान्य और वक्रता (नीचे देखें)। लेकिन उनमें एक आवश्यक कमी है: उनका प्रत्योक्षकरण कठिन है।

यदि $F(x,y,z)$ $x$ , $y$ और $z$ में बहुपद है, तो सतह को बीजगणितीय कहा जाता है। उदाहरण 5 गैर-बीजीय है।

प्रत्योक्षकरण की कठिनाई के बावजूद, निहित सतहें सैद्धांतिक रूप से (जैसे स्टेनर सतह) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतहों को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं।

सूत्र

निम्नलिखित विचारों के दौरान, निहित सतह को एक समीकरण $F(x,y,z)=0$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ फलन $F$ अवकलनीयता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है।

$F$ के आंशिक अवकलज $F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots$ हैं

स्पर्शरेखा समतल (प्लेन) और सामान्य वेक्टर

एक सतह बिंदु $(x_{0},y_{0},z_{0})$ नियमित कहा जाता है यदि और केवल यदि की ढाल $F$ पर $(x_{0},y_{0},z_{0})$ शून्य सदिश नहीं है $(0,0,0)$ , जिसका अर्थ है

(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)

.

यदि सतह बिंदु $(x_{0},y_{0},z_{0})$ नियमित नहीं है, उसे 'एकवचन' कहते हैं।

एक नियमित बिंदु पर स्पर्शरेखा समतल का समीकरण $(x_{0},y_{0},z_{0})$ है

F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,

और एक सामान्य वेक्टर है

\mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.

सामान्य वक्रता

सूत्र को सरल रखने के लिए तर्क $(x_{0},y_{0},z_{0})$ छोड़े गए हैं:

\kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}

इकाई स्पर्शरेखा दिशा $\mathbf {v}$ के लिए एक नियमित बिंदु पर सतह की सामान्य वक्रता है। $H_{F}$ , $F$ का हेसियन आव्यूह है (दूसरा डेरिवेटिव का आव्यूह)।

इस सूत्र का प्रमाण निहित फलन प्रमेय और एक पैरामीट्रिक सतह के सामान्य वक्रता के सूत्र पर निर्भर करता है (जैसा कि एक निहित वक्र के मामले में होता है)।

निहित सतहों के अनुप्रयोग

निहित वक्रों के मामले में सरल आदिम पर बीजगणितीय संक्रियाओं (जोड़, गुणन) को लागू करके वांछित आकारों के साथ अनिवार्य सतहों को उत्पन्न करना एक आसान कार्य है।

File:Epotfl-4ladung.svg

4 बिंदु आवेशों की समविभव सतह

बिन्दु आवेशों की समविभव सतह

बिंदु $\mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ पर एक बिंदु आवेश $q_{i}$ की विद्युत क्षमता बिंदु $\mathbf {p} =(x,y,z)$ पर उत्पन्न होती है, संभावित (भौतिक स्थिरांक को छोड़कर)

F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.

संभावित मान $c$ के लिए समविभव सतह निहित सतह $F_{i}(x,y,z)-c=0$ है जो बिंदु $\mathbf {p} _{i}$ पर केंद्र के साथ एक गोला है।

4 बिंदु आवेशों की क्षमता को $F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

रेखाचित्र के लिए, चार आवेश 1 के बराबर हैं और बिंदुओं $(\pm 1,\pm 1,0)$ पर स्थित हैं। प्रदर्शित सतह समविभव सतह (निहित सतह) $F(x,y,z)-2.8=0$ है।

लगातार दूरी उत्पाद सतह

एक कैसीनी अंडाकार को उस बिंदु सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए दो दिए गए बिंदियों के दूरी का उत्पाद स्थिर होता है (इसके विपरीत, दीर्घवृत्त के लिए, योग स्थिर होता है). इसी तरह, निहित सतहों को कई निश्चित बिंदुओं के लिए एक निरंतर दूरी उत्पाद द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

रेखाचित्र में रूपांतरित ऊपरी बाएँ सतह इस नियम द्वारा उत्पन्न होती है: ${\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}$ के साथ स्थिर दूरी उत्पाद सतह $F(x,y,z)-1.1=0$ प्रदर्शित होती है।

File:Metamorphose-torus-4ppfl.svg

दो निहित सतहों के बीच कायांतरण: एक टोरस और एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह।

निहित सतहों का कायांतरण

नए निहित सतहों को उत्पन्न करने का एक और सरल तरीका निहित सतह का कायापलट कहा जाता है:

दो निहित सतहों के लिए $F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0$ (रेखाचित्र में: एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह और एक टोरस) डिजाइन पैरामीटर $\mu \in [0,1]$ का उपयोग करके नई सतहों को परिभाषित करता है:

$F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0$

रेखाचित्र में डिज़ाइन पैरामीटर क्रमिक रूप से $\mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1$ है।

File:Approx-3tori.svg

तीन तोरी (समानांतर प्रक्षेपण) का अनुमान

तीन टोरी के एक अनुमान की पीओवी-रे छवि (केंद्रीय प्रक्षेपण)।

कई निहित सतहों का चिकना अनुमान

$\Pi$ -सतहों^[1] का उपयोग $R^{3}$ में किसी भी चिकनी और बंधी हुई वस्तु का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, जिसकी सतह को सहायक बहुपदों के उत्पाद के रूप में एकल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, हम किसी भी चिकनी वस्तु को एक बीजगणितीय सतह के साथ डिज़ाइन कर सकते हैं। परिभाषित बहुपदों को $f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)$ के रूप में निरूपित करते हैं। फिर, अनुमानित वस्तु को बहुपद $F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r$ ^[1] द्वारा परिभाषित किया जाता है जहाँ $r\in \mathbb {R}$ सम्मिश्रण पैरामीटर के लिए है जो अनुमान त्रुटि को नियंत्रित करता है।

निहित वक्रों के साथ सहज सन्निकटन के अनुरूप, समीकरण

F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0

उपयुक्त मापदंडों के लिए प्रतिनिधित्व करता है $c$ समीकरणों के साथ तीन अन्तर्विभाजक तोरी का सहज सन्निकटन

{\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}

(रेखाचित्र में पैरामीटर $R=1,\,a=0.2,\,r=0.01$ हैं)

File:Metamorphose-kugel-6pfl.png

पीओवी-रे छवि: एक गोले और एक स्थिर दूरी उत्पाद सतह (6 अंक) के बीच रूपांतरित होती है।

निहित सतहों का प्रत्योक्षकरण

निहित सतहों को प्रतिपादन करने के लिए विभिन्न एल्गोरिदम हैं,^[2] मार्चिंग क्यूब्स एल्गोरिदम सहित।^[3] मूल रूप से, एक निहित सतह को दर्शाने के लिए दो विचार हैं:: एक बहुभुज का एक जाल उत्पन्न करता है जिसे दर्शाया जाता है (सतह त्रिभुज देखें) और दूसरा किरण अनुरेखण पर निर्भर करता है जो सतह के साथ किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करता है।^[4] सतह की दूरी का पता लगाने के लिए एक हस्ताक्षरित दूरी फलन का उपयोग करके, प्रतिच्छेद बिंदुओं को वृत्तअनुरेखण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।^[5]

यह भी देखें

निहित वक्र

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Adriano N. Raposo; Abel J.P. Gomes (2019). "Pi-surfaces: products of implicit surfaces towards constructive composition of 3D objects". WSCG 2019 27. International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. arXiv:1906.06751.
↑ Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 August 1997). अंतर्निहित सतहों का परिचय. Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5.
↑ Ian Stephenson (1 December 2004). Production Rendering: Design and Implementation. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.
↑ Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems, Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2
↑ Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). सी#कार्यान्वयन के साथ कंप्यूटर ग्राफिक्स में गणितीय उपकरण (in English). World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3.

अग्रिम पठन

Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms, 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882-405-8
Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry, Springer-Verlag, New York, 1979, ISBN 0-387-90357-7

बाहरी संबंध

[RaposoGomes2019-1] 1.0 ^1.1 Adriano N. Raposo; Abel J.P. Gomes (2019). "Pi-surfaces: products of implicit surfaces towards constructive composition of 3D objects". WSCG 2019 27. International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. arXiv:1906.06751.

[BloomenthalBajaj1997-2] Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 August 1997). अंतर्निहित सतहों का परिचय. Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5.

[Stephenson2004-3] Ian Stephenson (1 December 2004). Production Rendering: Design and Implementation. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.

[4] Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems, Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2

[5] Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). सी#कार्यान्वयन के साथ कंप्यूटर ग्राफिक्स में गणितीय उपकरण (in English). World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Surface in 3D space defined by an implicit function of three variables}}
-[[File:Torus-40-15.svg|thumb|निहित सतह टोरस {{math|1=(''R'' = 40, ''a'' = 15)}}.]]
+[[File:Torus-40-15.svg|thumb|निहित सतह टोरस {{math|1=(''R'' = 40, ''a'' = 15)}}.|253x253px]]
-[[File:Impl-flaeche-geschl2.svg|thumb|जीनस 2 की अंतर्निहित सतह।]]
+[[File:Impl-flaeche-geschl2.svg|thumb|जीनस 2 की निहित सतह।|251x251px]]
-[[File:Impl-flaeche-weinglas.svg|150px|thumb|अंतर्निहित गैर-बीजीय सतह (शराब का गिलास)।]]गणित में, एक अंतर्निहित सतह एक समीकरण द्वारा परिभाषित [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक [[सतह (ज्यामिति)]] है
+[[File:Impl-flaeche-weinglas.svg|150px|thumb|निहित गैर-बीजीय सतह (शराब का गिलास)।]][[गणित]] में, एक '''निहित सतह''' एक [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक [[सतह]] है जिसे एक समानता द्वारा परिभाषित किया जाता है
-: <math>F(x,y,z)=0.</math> एक अन्तर्निहित सतह कई वास्तविक चरों के एक फलन के एक फलन के शून्य का समुच्चय है। अंतर्निहित फ़ंक्शन का अर्थ है कि समीकरण को हल नहीं किया गया है {{mvar|x}} या {{mvar|y}} या {{mvar|z}}.
+: <math>F(x,y,z)=0.</math>
-किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ आमतौर पर एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है <math>z=f(x,y)</math> और एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व कहा जाता है। सतह का तीसरा आवश्यक विवरण [[पैरामीट्रिक समीकरण]] एक है:
+एक ''निहित सतह''  [[शून्यों|तीन परिवर्तनीयों के कार्य के शून्यों]] का सेट है। [[अनुमानित]] का मतलब है कि संतुलन x या y या z के लिए हल नहीं किया गया है।
- <math>(x(s,t),y(s,t), z(s,t))</math>, जहां {{mvar|x}}-, {{mvar|y}}- और {{mvar|z}}-सतह बिंदुओं के निर्देशांक तीन कार्यों द्वारा दर्शाए जाते हैं <math>x(s,t)\, , y(s,t)\, , z(s,t)</math> सामान्य मापदंडों के आधार पर <math>s,t</math>. आम तौर पर प्रतिनिधित्व का परिवर्तन स्पष्ट प्रतिनिधित्व होने पर ही सरल होता है <math>z=f(x,y)</math> दिया हुआ है: <math>z-f(x,y)=0</math> (अंतर्निहित), <math> (s,t,f(s,t)) </math> (पैरामीट्रिक)।
-उदाहरण:
+किसी फलन का ग्राफ़ प्रायः एक समीकरण <math>z=f(x,y)</math> द्वारा वर्णित किया जाता है और इसे एक ''स्पष्ट''  निरूपण कहा जाता है। सतह का तीसरा आवश्यक विवरण [[पैरामीट्रिक|''पैरामीट्रिक'']] है: <math>(x(s,t),y(s,t), z(s,t))</math>, जहां सतह बिंदुओं के {{mvar|x}}-, {{mvar|y}}- और {{mvar|z}}- निर्देशांक सामान्य पैरामीटर <math>s,t</math> के आधार पर तीन फलन <math>x(s,t)\, , y(s,t)\, , z(s,t)</math> द्वारा दर्शाए जाते हैं। प्रायः अभ्यावेदन का परिवर्तन केवल तभी सरल होता है जब स्पष्ट निरूपण <math>z=f(x,y)</math> दिया जाता है: <math>z-f(x,y)=0</math> (निहित ),<math> (s,t,f(s,t)) </math> (पैरामीट्रिक)।
-#विमान (ज्यामिति) <math> x+2y-3z+1=0.</math>
-#[[क्षेत्र (ज्यामिति)]] <math> x^2+y^2+z^2-4=0.</math>
+''उदाहरण:''
+#[[समतल]] (ज्यामिति) <math> x+2y-3z+1=0.</math>
+#[[वृत्त]] (ज्यामिति) <math> x^2+y^2+z^2-4=0.</math>
 # द [[टोरस (गणित)]] <math>(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0. </math>
-# [[जीनस (गणित)]] की एक सतह 2: <math>2y(y^2-3x^2)(1-z^2)+(x^2+y^2)^2-(9z^2-1)(1-z^2)=0</math> (आरेख देखें)।
+# [[जीनस (गणित)]] की एक सतह 2: <math>2y(y^2-3x^2)(1-z^2)+(x^2+y^2)^2-(9z^2-1)(1-z^2)=0</math> (रेखाचित्र देखें)।
-#[[क्रांति की सतह]] <math> x^2+y^2-(\ln(z+3.2))^2-0.02=0</math> (डायग्राम वाइनग्लास देखें)।
+#[[परिक्रमण की सतह]] <math> x^2+y^2-(\ln(z+3.2))^2-0.02=0</math> (वाइनग्लास रेखाचित्र देखें)।
-एक विमान, एक गोले और एक टोरस के लिए सरल पैरामीट्रिक अभ्यावेदन मौजूद हैं। यह चौथे उदाहरण के लिए सही नहीं है।
+एक फ्लैट, एक क्षेत्र, और एक टोरस के लिए, सरल पैरामीटर प्रतिनिधित्व हैं। यह चौथा उदाहरण के लिए सच नहीं है।
-निहित कार्य प्रमेय उन स्थितियों का वर्णन करता है जिनके तहत एक समीकरण <math>F(x,y,z)=0</math> के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है {{mvar|x}}, {{mvar|y}} या {{mvar|z}}. लेकिन सामान्य तौर पर समाधान को स्पष्ट नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय एक सतह की आवश्यक ज्यामितीय विशेषताओं की गणना की कुंजी है: [[स्पर्शरेखा विमान]], [[सतह सामान्य]], [[गॉसियन वक्रता]] (नीचे देखें)। लेकिन उनमें एक आवश्यक कमी है: उनका विज़ुअलाइज़ेशन कठिन है।
+[[निहित कार्य सिद्धांत]] उन स्थितियों का वर्णन करता है जिनके तहत एक समीकरण <math>F(x,y,z)=0</math> को {{mvar|x}}, {{mvar|y}} या {{mvar|z}} के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है। लेकिन आम तौर पर समाधान स्पष्ट रूप से नहीं किया जा सकता है। ययह सिद्धांत एक सतह की आवश्यक भौगोलिक विशेषताओं की गणना करने की कुंजी है: [[स्पर्शरेखा समतल]], [[सतह सामान्य]] और [[वक्रता]] (नीचे देखें)। लेकिन उनमें एक आवश्यक कमी है: उनका प्रत्योक्षकरण कठिन है।
-अगर <math>F(x,y,z)</math> में बहुपद है {{mvar|x}}, {{mvar|y}} और {{mvar|z}}, सतह को [[बीजगणितीय सतह]] कहा जाता है। उदाहरण 5 गैर-बीजीय है।
+यदि <math>F(x,y,z)</math>  {{mvar|x}}, {{mvar|y}} और {{mvar|z}} में बहुपद है, तो सतह को [[बीजगणितीय]] कहा जाता है। उदाहरण 5 ''गैर-बीजीय'' है।
-विज़ुअलाइज़ेशन की कठिनाई के बावजूद, निहित सतहें सैद्धांतिक रूप से (जैसे [[स्टेनर सतह]]) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतहों को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं।
+प्रत्योक्षकरण की कठिनाई के बावजूद, निहित सतहें सैद्धांतिक रूप से (जैसे [[स्टेनर सतह]]) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतहों को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं।
 == सूत्र ==
-निम्नलिखित विचारों के दौरान निहित सतह को एक समीकरण द्वारा दर्शाया गया है
+निम्नलिखित विचारों के दौरान, निहित सतह को एक समीकरण <math>F(x,y,z)=0</math> द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ फलन <math>F</math> अवकलनीयता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है।
-<math>F(x,y,z)=0</math> जहां समारोह <math>F</math> भिन्नता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है। का आंशिक डेरिवेटिव
-<math>F</math> हैं <math>F_x,F_y,F_z,F_{xx},\ldots</math>.
+<math>F</math> के [[आंशिक अवकलज]] <math>F_x,F_y,F_z,F_{xx},\ldots</math> हैं
-=== स्पर्शरेखा विमान और सामान्य वेक्टर ===
+=== स्पर्शरेखा समतल (प्लेन) और सामान्य वेक्टर ===
-एक सतह बिंदु <math>(x_0, y_0,z_0)</math> नियमित कहा जाता है [[अगर और केवल अगर]] की ढाल <math>F</math> पर <math>(x_0, y_0,z_0)</math> शून्य सदिश नहीं है <math>(0, 0, 0)</math>, अर्थ
+एक सतह बिंदु <math>(x_0, y_0,z_0)</math> '''नियमित''' कहा जाता है [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] की ढाल <math>F</math> पर <math>(x_0, y_0,z_0)</math> शून्य सदिश नहीं है <math>(0, 0, 0)</math>, जिसका अर्थ है
 :<math> (F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))\ne (0,0,0)</math>.
-यदि सतह बिंदु <math>(x_0, y_0,z_0)</math> नियमित नहीं है, उसे 'एकवचन' कहते हैं।
+यदि सतह बिंदु <math>(x_0, y_0,z_0)</math> नियमित नहीं है, उसे ''''एकवचन'''<nowiki/>' कहते हैं।
-एक नियमित बिंदु पर स्पर्शरेखा विमान का समीकरण <math>(x_0,y_0,z_0)</math> है
+एक नियमित बिंदु पर स्पर्शरेखा समतल का समीकरण <math>(x_0,y_0,z_0)</math> है
 :<math>F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0,</math>
-और एक सामान्य वेक्टर है
+और एक ''सामान्य वेक्टर'' है
 :<math> \mathbf n(x_0,y_0,z_0)=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))^T.</math>
 === सामान्य वक्रता ===
 सूत्र को सरल रखने के लिए तर्क <math>(x_0,y_0,z_0)</math> छोड़े गए हैं:
 : <math>\kappa_n = \frac{\mathbf v^\top H_F\mathbf v}{\|\operatorname{grad} F\|}</math>
-इकाई स्पर्शरेखा दिशा के लिए एक नियमित बिंदु पर सतह की सामान्य वक्रता है <math> \mathbf v</math>. <math>H_F</math> का [[हेसियन मैट्रिक्स]] है <math>F</math> (दूसरे डेरिवेटिव का मैट्रिक्स)।
+इकाई स्पर्शरेखा दिशा <math> \mathbf v</math> के लिए एक नियमित बिंदु पर सतह की सामान्य वक्रता है। <math>H_F</math>, <math>F</math> का [[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]] है (दूसरा डेरिवेटिव का आव्यूह)।
-इस सूत्र का प्रमाण अंतर्निहित कार्य प्रमेय और एक [[पैरामीट्रिक सतह]] के सामान्य वक्रता के सूत्र पर निर्भर करता है (जैसा कि एक अंतर्निहित वक्र के मामले में)।
+इस सूत्र का प्रमाण निहित फलन प्रमेय और एक [[पैरामीट्रिक सतह]] के सामान्य वक्रता के सूत्र पर निर्भर करता है (जैसा कि एक निहित वक्र के मामले में होता है)।
-== अंतर्निहित सतहों के अनुप्रयोग ==
+== निहित सतहों के अनुप्रयोग ==
-निहित वक्रों के मामले में सरल आदिम पर बीजगणितीय संचालन (जोड़, गुणन) लागू करके वांछित आकृतियों के साथ निहित सतहों को उत्पन्न करना एक आसान काम है।
+निहित वक्रों के मामले में सरल आदिम पर बीजगणितीय संक्रियाओं (जोड़, गुणन) को लागू करके वांछित आकारों के साथ अनिवार्य सतहों को उत्पन्न करना एक आसान कार्य है।
   [[File:Epotfl-4ladung.svg|thumb|4 बिंदु आवेशों की समविभव सतह]]
 === बिन्दु आवेशों की समविभव सतह ===
-एक बिंदु आवेश की विद्युत क्षमता  <math>q_i</math> बिंदु पर <math>\mathbf p_i=(x_i,y_i,z_i)</math> बिन्दु पर उत्पन्न करता है <math> \mathbf p=(x,y,z)</math> संभावित (भौतिक स्थिरांक छोड़कर)
+बिंदु <math>\mathbf p_i=(x_i,y_i,z_i)</math> पर एक बिंदु आवेश <math>q_i</math> की विद्युत क्षमता बिंदु <math> \mathbf p=(x,y,z)</math> पर उत्पन्न होती है, संभावित (भौतिक स्थिरांक को छोड़कर)
 : <math>F_i(x,y,z)=\frac{q_i}{\|\mathbf p -\mathbf p_i\|}.</math>
-संभावित मूल्य के लिए समविभव सतह <math>c</math> निहित सतह है  <math> F_i(x,y,z)-c=0 </math> जो बिंदु पर केंद्र के साथ एक गोला है <math>\mathbf p_i</math>.
+संभावित मान <math>c</math> के लिए समविभव सतह निहित सतह <math> F_i(x,y,z)-c=0 </math> है जो बिंदु <math>\mathbf p_i</math> पर केंद्र के साथ एक गोला है।
-की क्षमता <math>4</math> बिंदु शुल्क द्वारा दर्शाया गया है
+बिंदु आवेशों की क्षमता को<math>F(x,y,z)=\frac{q_1}{\|\mathbf p -\mathbf p_1\|}+ \frac{q_2}{\|\mathbf p -\mathbf p_2\|}+ \frac{q_3}{\|\mathbf p -\mathbf p_3\|}+\frac{q_4}{\|\mathbf p -\mathbf p_4\|}</math> द्वारा दर्शाया जाता है।
-: <math>F(x,y,z)=\frac{q_1}{\|\mathbf p -\mathbf p_1\|}+ \frac{q_2}{\|\mathbf p -\mathbf p_2\|}+ \frac{q_3}{\|\mathbf p -\mathbf p_3\|}+\frac{q_4}{\|\mathbf p -\mathbf p_4\|}.</math>
-चित्र के लिए चार आवेश 1 के बराबर हैं और बिंदुओं पर स्थित हैं
- <math>(\pm 1,\pm 1,0)</math>. प्रदर्शित सतह समविभव सतह (अंतर्निहित सतह) है <math>F(x,y,z)-2.8=0</math>.
+रेखाचित्र के लिए, चार आवेश 1 के बराबर हैं और बिंदुओं <math>(\pm 1,\pm 1,0)</math> पर स्थित हैं। प्रदर्शित सतह समविभव सतह (निहित सतह) <math>F(x,y,z)-2.8=0</math> है।
 === लगातार दूरी उत्पाद सतह ===
-एक कैसिनी अंडाकार को उस बिंदु सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का गुणनफल स्थिर होता है (इसके विपरीत, दीर्घवृत्त के लिए योग स्थिर होता है)। इसी तरह अंतर्निहित सतहों को निरंतर दूरी उत्पाद द्वारा कई निश्चित बिंदुओं पर परिभाषित किया जा सकता है।
+एक कैसीनी अंडाकार  को उस बिंदु सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए दो दिए गए बिंदियों के दूरी का उत्पाद स्थिर होता है (इसके विपरीत, दीर्घवृत्त के लिए, ''योग'' स्थिर होता है). इसी तरह, निहित सतहों को कई निश्चित बिंदुओं के लिए एक निरंतर दूरी उत्पाद द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।
-आरेख में रूपांतर में ऊपरी बाएँ सतह इस नियम द्वारा उत्पन्न होती है: साथ
-: <math>
+रेखाचित्र में रूपांतरित ऊपरी बाएँ सतह इस नियम द्वारा उत्पन्न होती है: <math>
 \begin{align}
 F(x,y,z) = {} & \Big( \sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}\cdot \sqrt{(x+1)^2+y^2+z^2} \\
 & \qquad \cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2}\cdot\sqrt{x^2+(y+1)^2+z^2} \Big)
 \end{align}
-</math>
+</math> के साथ स्थिर दूरी उत्पाद सतह <math>F(x,y,z)-1.1=0</math> प्रदर्शित होती है।
-निरंतर दूरी उत्पाद सतह  <math>F(x,y,z)-1.1=0</math> यह प्रदर्शित है।
-[[File:Metamorphose-torus-4ppfl.svg|400px|thumb|दो अंतर्निहित सतहों के बीच कायापलट: एक टोरस और एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह।]]
+[[File:Metamorphose-torus-4ppfl.svg|340x340px|thumb|दो निहित सतहों के बीच कायांतरण: एक टोरस और एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह।]]
+=== निहित सतहों का कायांतरण ===
+नए निहित सतहों को उत्पन्न करने का एक और सरल तरीका निहित सतह का ''कायापलट'' कहा जाता है:
-=== अन्तर्निहित सतहों का कायांतरण ===
+दो निहित सतहों के लिए <math>F_1(x,y,z)=0, F_2(x,y,z)=0</math> (रेखाचित्र में: एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह और एक टोरस) डिजाइन पैरामीटर <math> \mu \in [0,1]</math> का उपयोग करके नई सतहों को परिभाषित करता है:
-नई अन्तर्निहित सतहों को उत्पन्न करने के लिए एक और सरल विधि को अन्तर्निहित सतहों का कायापलट कहा जाता है:
-दो अंतर्निहित सतहों के लिए <math>F_1(x,y,z)=0, F_2(x,y,z)=0</math> (आरेख में: एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह और एक टोरस) डिजाइन पैरामीटर का उपयोग करके नई सतहों को परिभाषित करता है <math> \mu \in [0,1]</math>:
+<math>F(x,y,z)=\mu F_1(x,y,z)+(1-\mu)F_2(x,y,z)=0</math>
-:<math>F(x,y,z)=\mu F_1(x,y,z)+(1-\mu)F_2(x,y,z)=0</math> आरेख में डिजाइन पैरामीटर क्रमिक रूप से है <math>\mu=0, \, 0.33, \, 0.66, \, 1</math> .
-[[File:Approx-3tori.svg|240px|thumb|तीन तोरी ([[समानांतर प्रक्षेपण]]) का अनुमान]]
+रेखाचित्र में डिज़ाइन पैरामीटर क्रमिक रूप से <math>\mu=0, \, 0.33, \, 0.66, \, 1</math> है। [[File:Approx-3tori.svg|240px|thumb|तीन तोरी ([[समानांतर प्रक्षेपण]]) का अनुमान]]
 [[File:Approx-3tori-pov.png|280px|thumb|तीन टोरी के एक अनुमान की पीओवी-रे छवि (केंद्रीय प्रक्षेपण)।]]
-=== कई अंतर्निहित सतहों का चिकना अनुमान ===
+=== कई निहित सतहों का चिकना अनुमान ===
+<math>\Pi</math>-सतहों<ref name="RaposoGomes2019">{{cite news|author1=Adriano N. Raposo|author2=Abel J.P. Gomes|title=Pi-surfaces: products of implicit surfaces towards constructive composition of 3D objects|date=2019|publisher=WSCG 2019 27. International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision|arxiv=1906.06751}}</ref> का उपयोग <math>R^3</math> में किसी भी चिकनी और बंधी हुई वस्तु का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, जिसकी सतह को सहायक बहुपदों के उत्पाद के रूप में एकल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, हम किसी भी चिकनी वस्तु को एक बीजगणितीय सतह के साथ डिज़ाइन कर सकते हैं। परिभाषित बहुपदों को <math>f_i\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n](i=1,\ldots,k)</math> के रूप में निरूपित करते हैं। फिर, अनुमानित वस्तु को बहुपद <math>F(x,y,z) = \prod_i f_i(x,y,z) - r</math> <ref name="RaposoGomes2019" /> द्वारा परिभाषित किया जाता है जहाँ <math>r\in\mathbb{R}</math> सम्मिश्रण पैरामीटर के लिए है जो अनुमान त्रुटि को नियंत्रित करता है।
-<math>\Pi</math>-सतहों <ref name="RaposoGomes2019">{{cite news|author1=Adriano N. Raposo|author2=Abel J.P. Gomes|title=Pi-surfaces: products of implicit surfaces towards constructive composition of 3D objects|date=2019|publisher=WSCG 2019 27. International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision|arxiv=1906.06751}}</ref> किसी भी चिकनी और बंधी हुई वस्तु का अनुमान लगाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है <math>R^3</math> जिसकी सतह को सहायक बहुपदों के उत्पाद के रूप में एकल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, हम किसी भी चिकनी वस्तु को एक बीजगणितीय सतह के साथ डिज़ाइन कर सकते हैं। आइए हम परिभाषित बहुपदों को निरूपित करें <math>f_i\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n](i=1,\ldots,k)</math>. फिर, अनुमानित वस्तु को बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है
-:<math>F(x,y,z) = \prod_i f_i(x,y,z) - r</math><ref name="RaposoGomes2019"/>कहाँ <math>r\in\mathbb{R}</math> सम्मिश्रण पैरामीटर के लिए खड़ा है जो अनुमानित त्रुटि को नियंत्रित करता है।
 निहित वक्रों के साथ सहज सन्निकटन के अनुरूप, समीकरण
@@ Line 100: / Line 95: @@
 \end{align}
 </math>
-(आरेख में पैरामीटर हैं <math> R=1, \, a=0.2, \, r=0.01.</math>)
+(रेखाचित्र में पैरामीटर <math> R=1, \, a=0.2, \, r=0.01</math> हैं)
 [[File:Metamorphose-kugel-6pfl.png|400px|thumb|पीओवी-रे छवि: एक गोले और एक स्थिर दूरी उत्पाद सतह (6 अंक) के बीच रूपांतरित होती है।]]
-== अंतर्निहित सतहों का दृश्य ==
+== निहित सतहों का प्रत्योक्षकरण ==
-रेंडरिंग (कंप्यूटर ग्राफिक्स) निहित सतहों के लिए विभिन्न एल्गोरिदम हैं,<ref name="BloomenthalBajaj1997">{{cite book|author1=Jules Bloomenthal|author2=Chandrajit Bajaj|author3=Brian Wyvill|title=अंतर्निहित सतहों का परिचय|url=https://books.google.com/books?id=T3SSqIVnS4YC&q=%22implicit+surface%22+rendering|date=15 August 1997|publisher=Morgan Kaufmann|isbn=978-1-55860-233-5}}</ref> [[मार्चिंग क्यूब्स एल्गोरिदम]] सहित।<ref name="Stephenson2004">{{cite book|author=Ian Stephenson|title=Production Rendering: Design and Implementation|url=https://books.google.com/books?id=krTfLA5b940C|date=1 December 2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-85233-821-3}}</ref> अनिवार्य रूप से एक निहित सतह को देखने के लिए दो विचार हैं: एक बहुभुज का जाल उत्पन्न करता है जिसे देखा जाता है (सतह त्रिभुज देखें) और दूसरा [[ किरण अनुरेखण (ग्राफिक्स) ]] पर निर्भर करता है जो सतह के साथ किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करता है।<ref>Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: ''Ray Tracing Gems'', Springer, 2019, {{ISBN|978-1-4842-4427-2}}</ref> सतह की दूरी का पता लगाने के लिए एक हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन का उपयोग करके चौराहे के बिंदुओं को गोलाकार अनुरेखण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|last1=Hardy|first1=Alexandre|url=https://books.google.com/books?id=IGtIWmM2GWIC&dq=%22sphere+tracing%22&pg=PA369|title=सी#कार्यान्वयन के साथ कंप्यूटर ग्राफिक्स में गणितीय उपकरण|last2=Steeb|first2=Willi-Hans|date=2008|publisher=World Scientific|isbn=978-981-279-102-3|language=en}}</ref>
+निहित सतहों को [[प्रतिपादन (कंप्यूटर ग्राफिक्स)|प्रतिपादन]] करने के लिए विभिन्न एल्गोरिदम हैं,<ref name="BloomenthalBajaj1997">{{cite book|author1=Jules Bloomenthal|author2=Chandrajit Bajaj|author3=Brian Wyvill|title=अंतर्निहित सतहों का परिचय|url=https://books.google.com/books?id=T3SSqIVnS4YC&q=%22implicit+surface%22+rendering|date=15 August 1997|publisher=Morgan Kaufmann|isbn=978-1-55860-233-5}}</ref> [[मार्चिंग क्यूब्स एल्गोरिदम]] सहित।<ref name="Stephenson2004">{{cite book|author=Ian Stephenson|title=Production Rendering: Design and Implementation|url=https://books.google.com/books?id=krTfLA5b940C|date=1 December 2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-85233-821-3}}</ref> मूल रूप से, एक निहित सतह को दर्शाने के लिए दो विचार हैं:: एक बहुभुज का एक जाल उत्पन्न करता है जिसे दर्शाया जाता  है ([[सतह त्रिभुज]] देखें) और दूसरा [[किरण अनुरेखण (भौतिकी)|किरण अनुरेखण]] पर निर्भर करता है जो सतह के साथ किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करता है।<ref>Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: ''Ray Tracing Gems'', Springer, 2019, {{ISBN|978-1-4842-4427-2}}</ref> सतह की दूरी का पता लगाने के लिए एक [[हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन|हस्ताक्षरित दूरी फलन]] का उपयोग करके, प्रतिच्छेद बिंदुओं को ''वृत्तअनुरेखण'' द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|last1=Hardy|first1=Alexandre|url=https://books.google.com/books?id=IGtIWmM2GWIC&dq=%22sphere+tracing%22&pg=PA369|title=सी#कार्यान्वयन के साथ कंप्यूटर ग्राफिक्स में गणितीय उपकरण|last2=Steeb|first2=Willi-Hans|date=2008|publisher=World Scientific|isbn=978-981-279-102-3|language=en}}</ref>
 == यह भी देखें ==
-* अंतर्[[निहित वक्र]]
+* [[निहित वक्र]]
 == संदर्भ ==
@@ Line 128: / Line 121: @@
 {{Dimension topics}}
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v t e आयाम
आयामी स्थान	वेक्टर स्पेस यूक्लिडियन स्पेस Affine अंतरिक्ष प्रोजेक्टिव स्पेस मुक्त मॉड्यूल कई गुना बीजगणितीय किस्म अंतरिक्ष समय	Animated tesseract
अन्य आयाम	क्रुल Lebesgue कवरिंग आगमनात्मक हौसडॉर्फ मिंकोव्स्की फ्रैक्टल स्वतंत्रता की कोटियां
पॉलीटोप और आकार	हाइपरप्लेन हाइपरसुरफेस हाइपरक्यूब हाइपररेक्टंगल DemihyperCube हाइपरफेयर क्रॉस-पॉलीटोप सिम्प्लेक्स हाइपरपाइरामिड
संख्या द्वारा आयाम	शून्य एक दो तीन चार पांच छह सात आठ n -आयाम
यह सभी देखें	हाइपरस्पेस Codimension
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