अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण

अतिपरवलयिक चतुष्कोण गुणन

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	+1	k	−j
j	j	−k	+1	i
k	k	j	−i	+1

अमूर्त बीजगणित में, अतिपरवलयिक चतुष्कोणों के एक क्षेत्र पर बीजगणित वास्तविक संख्याओं पर एक गैर-साहचर्य बीजगणित होते है, जिसमें

$q=a+bi+cj+dk,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} \!$

रूप के अवयव होते हैं, जहां i, j, और k के वर्ग +1 होते हैं और {i, j, k} के अलग-अलग अवयव विरोधी क्रमविनिमेय गुण के साथ गुणा करते हैं।

अतिपरवलयिक चतुष्कोणों के चार-आयामी बीजगणित में द्विभाजितों के प्राचीन और बृहत्तर बीजगणित की कुछ विशेषताएं सम्मिलित हैं। उन दोनों में विभाजित-समिश्र संख्या समतल के उपबीजगणित समरूपी होते हैं। इसके अतिरिक्त, जिस प्रकार चतुष्कोणीय बीजगणित H को चतुष्कोणीय के रूप में देखा जा सकता है सम्मिश्र समतलों के संयुक्त के रूप में, इसलिए अतिपरवलयिक चतुर्धातुक बीजगणित विभाजित-सम्मिश्र संख्या वाले समतलों का एक संयुक्त है जो वास्तविक बीजगणित में समान वास्तविक रेखा साझा करते है।

यह अलेक्जेंडर मैकफर्लेन थे जिन्होंने 1890 के दशक में इस अवधारणा को 'भौतिकी के बीजगणित' के रूप में प्रचारित किया था, पहले 1891 में विज्ञान की प्रगति के लिए अमेरिकन एसोसिएशन के माध्यम से, फिर अपनी 1894 की पुस्तक 'पेपर्स इन स्पेस एनालिसिस' के माध्यम से, और 1900 में लेहाई विश्वविद्यालय में व्याख्यान की एक श्रृंखला के माध्यम से।

बीजगणितीय संरचना

चतुष्कोणों के जैसे, अतिपरवलयिक चतुष्कोणों का समूह आयाम 4 की वास्तविक संख्याओं पर सदिश समष्टि बनाते है। एक रैखिक संयोजन

$q=a+bi+cj+dk$

एक अतिपरवलयिक चतुष्कोण है जब $a,b,c,$ और $d$ वास्तविक संख्याएं और आधार समुच्चय $\{1,i,j,k\}$ में ये गुणनफल हैं:

$ij=k=-ji$

$jk=i=-kj$

$ki=j=-ik$

$i^{2}=+1=j^{2}=k^{2}$

वितरण गुण का उपयोग करके, इन संबंधों का उपयोग किसी भी दो अतिपरवलयिक चतुष्कोणों को गुणा करने के लिए किया जा सकता है।

साधारण चतुष्कोणों के विपरीत, अतिपरवलयिक चतुष्कोण साहचर्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए, $(ij)j=kj=-i$, जबकि $i(jj)=i$। वस्तुतः, यह उदाहरण दिखाता है कि अतिपरवलयिक चतुष्कोण एक वैकल्पिक बीजगणित भी नहीं हैं।

पहले तीन संबंधों से पता चलता है कि (गैर-वास्तविक) आधार अवयवों के गुणनफल प्रति-विनिमेय हैं। यद्यपि यह आधार समुच्चय एक समूह (गणित) नहीं बनाते है, समुच्चय

$\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$

अर्धसमूह बनाता है। एक यह भी ध्यान करता है कि अतिपरवलयिक चतुष्कोणों के समुच्चय M का कोई भी उप-समतल जिसमें वास्तविक अक्ष होता है, विभाजित-सम्मिश्र संख्याओं का समतल बनाता है। यदि

$q^{*}=a-bi-cj-dk$

$q$ का संयुग्मी है, तो गुणनफल

$q(q^{*})=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}$

दिक्-काल सिद्धांत में प्रयुक्त द्विघात रूप है। वस्तुतः, घटनाओं p और q के लिए, द्विरेखीय रूप

$\eta (p,q)=-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}$

अतिपरवलयिक चतुष्कोणीय गुणनफल pq* के वास्तविक भाग के ऋणात्मक के रूप में उत्पन्न होते है, और इसका उपयोग मिंकोवस्की समष्टि में किया जाता है।

ध्यान दें कि इकाई का समुच्चय (वलय सिद्धांत) U = {q : qq* ≠ 0} गुणन के अंतर्गत बंद नहीं है। विवरण के लिए संदर्भ (बाहरी सम्बन्ध) देखें।

चर्चा

अतिपरवलयिक चतुष्कोण एक गैर-साहचर्य वलय बनाते हैं; इस बीजगणित में साहचर्य की विफलता रूपांतरण सिद्धांत में इस बीजगणित की सुविधा को कम कर देती है। फिर भी, इस बीजगणित ने गणितीय मॉडल का सुझाव देकर विश्लेषणात्मक शुद्धगतिकी पर ध्यान केंद्रित किया: जब कोई अतिपरवलयिक चतुष्कोणों में एक इकाई सदिश r का चयन करता है, तो r ² = +1। अतिपरवलयिक चतुष्कोणीय गुणन के साथ समतल $D_{r}=\lbrace t+xr:t,x\in R\rbrace$ विभाजित-मिश्रित संख्या समतल के लिए एक क्रमविनिमेय और साहचर्य उपबीजगणित समरूपी है।

अतिपरवलयिक छंद $\exp(ar)=\cosh(a)+r\sinh(a)$, D_r को

${\begin{aligned}t+xr&&\mapsto \quad &\exp(ar)(t+xr)\\&&=\quad &(\cosh(a)t+x\sinh(a))+(\sinh(a)t+x\cosh(a))r\end{aligned}}$से रूपांतरित करते है।

चूँकि समष्टि में r की दिशा यादृच्छिक है, यह अतिपरवलयिक चतुष्कोण गुणन पैरामीटर a का उपयोग करके किसी भी लोरेंत्ज़ वर्धन को अभिव्यक्त कर सकता है जिसे द्रुतता कहा जाता है। यद्यपि, अतिपरवलयिक चतुष्कोणीय बीजगणित पूर्ण लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए कमी है (इसके अतिरिक्त द्विभाजन देखें)।

1967 में 1890 के दशक में सदिश विधियों पर संवाद के विषय में लिखते हुए एक इतिहासकार ने टिप्पणी की

सदिश विश्लेषण की अन्य प्रणाली का प्रारम्भ, यहां तक ​​​​कि एक प्रकार की समझौता प्रणाली जैसे कि मैकफर्लेन, पहले से स्थित प्रणालियों के अधिवक्ताओं द्वारा सम्भवतः ठीक रूप से प्राप्त की जा सकती है और इसके अतिरिक्त सम्भवतः अभी तक असंबद्ध पाठक की समझ के अतिरिक्त प्रश्न को व्यापक बनाने के लिए कार्य किया है।

ज्यामिति

बाद में, मैकफर्लेन ने 1900 में प्रोसीडिंग्स ऑफ द रॉयल सोसाइटी ऑफ एडिनबर्ग में एक लेख प्रकाशित किया। इसमें वह अतिपरवलयज

$H^{3}=\{q\in M:q(q^{*})=1\}$ पर अतिपरवलयिक समष्टि H³ के लिए एक मॉडल का उपचार करते है।

इस समदैशिक मॉडल को अतिपरवलयज मॉडल कहा जाता है और इसमें अतिपरवलयिक चतुष्कोणों की वलय में सभी अतिपरवलयिक छंद होते हैं।

ऐतिहासिक समीक्षा

1890 के दशक में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड के मरणोपरांत प्रकाशनों और सोफस ली के निरंतर समूहों के प्रभाव को अनुभव किया। एक-पैरामीटर समूह का उदाहरण अतिपरवलयिक कोण पैरामीटर के साथ अतिपरवलयिक छंद है। यह पैरामीटर विभाजित-सम्मिश्र संख्या के ध्रुवीय अपघटन का भाग है। परन्तु यह परिमित गणित का आश्चर्यजनक गुण है जो अतिपरवलयिक चतुष्कोणीय वलय को अलग बनाते है:

अतिपरवलयिक चतुष्कोणों के सदिश समष्टि का आधार $\{1,\,i,\,j,\,k\}$ गुणन के अंतर्गत बंद नहीं है: उदाहरण के लिए, $ji=-\!k$। फिर भी, समुच्चय $\{1,\,i,\,j,\,k,\,-\!1,\,-\!i,\,-\!j,\,-\!k\}$ गुणन के अंतर्गत बंद है। यह साहचर्य गुण को छोड़कर अमूर्त समूह के सभी गुणों को संतुष्ट करते है; परिमित होने के कारण, यह एक लैटिन वर्ग या अर्धसमूह है, एक परिधीय गणितीय संरचना है। अर्धसमूह सिद्धांत में पाए जाने वाले गुणन की साहचर्यता गुण की हानि रेखीय बीजगणित के अनुरूप नहीं है क्योंकि सभी रेखीय परिवर्तन साहचर्य विधि से बनते हैं। फिर भी भौतिक वैज्ञानिक 1890 के दशक में $i$,$j$, और $k$ के वर्गों को $+1$ के अतिरिक्त $-1$ होने के लिए बुला रहे थे : येल विश्वविद्यालय के भौतिक विज्ञानी विलार्ड गिब्स के निकट अपनी त्रि-आयामी सदिश प्रणाली में धन एक वर्ग वाले पत्रक थे। इंग्लैंड में ओलिवर हीविसाइड ने धनात्मक वर्ग की वकालत करते हुए एक व्यापार पत्रिका इलेक्ट्रीशियन में स्तम्भ लिखा। 1892 में उन्होंने रॉयल सोसाइटी ए के लेन-देन में अपने कार्य को एक साथ लाया जहां उनका कहना है कि उनकी सदिश प्रणाली है

मात्र चतुष्कोणों के बिना चतुष्कोणों के अवयव, संकेतन के साथ पूर्ण रूप से सरलीकृत, और अदिश गुणनफल के साथ समाप्त होने से पहले बहुत असुविधाजनक ऋण चिह्न के साथ।

तो मैकफर्लेन के अतिपरवलयिक चतुष्कोणों की उपस्थिति में कुछ प्रेरणा थी, परन्तु असहनीय गैर-साहचर्य ने प्रतिक्रिया को तीव्र कर दिया। कारगिल गिलस्टन नॉट को निम्नलिखित की प्रस्तुति करने के लिए प्रेरित किया गया था:

'प्रमेय' (नॉट 1892)

यदि $\{1,\,i,\,j,\,k\}$ के आधार पर 4-बीजगणित साहचर्य है और अप विकर्ण गुणनफल तब हैमिल्टन के नियमों द्वारा दिए गए हैं तो $i^{2}=-\!1=j^{2}=k^{2}$।

प्रमाण:

$j=ki=(-ji)i=-j(ii)$, इसलिए $i^{2}=-1$। $i^{2}=-1=j^{2}=k^{2}$ प्राप्त करने के लिए अक्षरों $i$, $j$, $k$ को चक्रित करें। QED।

इस प्रमेय को भौतिकविदों और इलेक्ट्रीशियन के आह्वान के प्रतिरोध को उचित ठहराने के लिए कथन की आवश्यकता थी। अर्धसमूह ने 1890 के दशक में अत्यधिक संक्षोभ मचाया: पत्रिका प्रकृति (पत्रिका) नॉट के कार्य के साथ-साथ कई अन्य सदिश सिद्धांतकारों के दो संग्रह देकर जो ज्ञात था, उसके प्रदर्शन के लिए विशेष रूप से अनुकूल था। माइकल जे क्रो ने अपनी पुस्तक सदिश विश्लेषण का इतिहास के अध्याय छह को विभिन्न प्रकाशित विचारों के लिए समर्पित किया है, और अतिपरवलयिक चतुर्भुज को ध्यान किया है:

मैकफर्लेन ने चतुष्कोणीय प्रणाली की तुलना में गिब्स-हेविसाइड प्रणाली के साथ अधिक सद्भाव में सदिश विश्लेषण की नवीन प्रणाली का निर्माण किया। ...उसने...दो सदिशों के पूर्ण गुणनफल को परिभाषित किया जो पूर्ण चतुष्कोणीय गुणनफल के बराबर था, अतिरिक्त इसके कि अदिश भाग धनात्मक था, न कि ऋणात्मक जैसा कि प्राचीन व्यवस्था में था।

1899 में चार्ल्स जैस्पर जोली ने अतिपरवलयिक चतुर्भुज और गैर-साहचर्य गुण का उल्लेख किया, जबकि इसकी उत्पत्ति ओलिवर हीविसाइड को बताया।

भौतिकी के बीजगणित के रूप में अतिपरवलयिक चतुष्कोण, इस अनुरोध को कम करते हैं कि भौतिकी पर बने सामान्य चतुष्कोण। गणित के लिए, अतिपरवलयिक चतुष्कोण एक अन्य अति सम्मिश्र संख्या है, जैसा कि उस समय ऐसी संरचनाओं को कहा जाता था। 1890 के दशक तक रिचर्ड डेडेकिंड ने वलय (गणित) की अवधारणा को क्रमविनिमेय बीजगणित में प्रस्तुत किया था, और सदिश समष्टि अवधारणा को ग्यूसेप पीनो द्वारा अमूर्त किया जा रहा था। 1899 में अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने समावेशिता की वकालत करते हुए सार्वभौमिक बीजगणित को बढ़ावा दिया। क्षेत्र पर अर्धसमूह और बीजगणित की अवधारणाएं अतिपरवलयिक चतुष्कोणों का वर्णन करने वाली गणितीय संरचनाओं के उदाहरण हैं।

1900 का मैकफर्लेन का अतिपरवलयिक चतुष्कोणीय लेख्य

एडिनबर्ग की रॉयल सोसाइटी की कार्यवाही ने 1900 में अतिपरवलयिक चतुर्भुज प्रकाशित किया, एक लेख्य जिसमें मैकफर्लेन सम्मिश्र चतुर्भुजों पर वापस लौटकर गुणन के लिए साहचर्यता को पुन: प्राप्त करते है। जबकि वहां उन्होंने वोल्फगैंग पाउली द्वारा बाद में प्रसिद्ध किए गए कुछ अभिव्यक्तियों का उपयोग किया: जहां मैकफर्लेन ने : जहां मैकफर्लेन ने लिखा था

$ij=k{\sqrt {-1}}$ :$jk=i{\sqrt {-1}}$

$ki=j{\sqrt {-1}},$

लिखा, वहीं पॉल आव्यूह

$\sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{3}{\sqrt {-1}}$

$\sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{1}{\sqrt {-1}}$

$\sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{2}{\sqrt {-1}}$

को संतुष्ट करते हैं जबकि समान सम्मिश्र चतुष्कोणों की चर्चा करते हैं।

लेख्य का प्रारंभिक वाक्य है "यह सर्वविदित है कि चतुर्भुज गोलाकार त्रिकोणमिति के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं और वस्तुतः वे विषय को बीजगणित की शाखा तक कम कर देते हैं।" इस कथन को समकालीन कार्य सदिश विश्लेषण के संदर्भ में सत्यापित किया जा सकता है जो बिंदु गुणनफल और अन्योन्य गुणन के आधार पर कम चतुर्भुज प्रणाली के साथ कार्य करते है। मैकफर्लेन के लेख्य में अतिपरवलयिक चतुष्कोणों के बीजगणित के माध्यम से समबाहु अतिपरवलयज की सतह पर त्रिकोणमिति का गुणनफलन करने का प्रयास किया गया है, जिसे अब आठ वास्तविक आयामों के साहचर्य वलय में फिर से पहचाना गया है। प्रयास को पृष्ठ 181 पर नौ अंकों की पट्टिका द्वारा प्रबलित किया गया है। वे उसकी समष्टि विश्लेषण पद्धति की वर्णनात्मक शक्ति का वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 7. सामान्य मिन्कोव्स्की आरेख का उपयोग आज विशेष सापेक्षता में संदर्भ के एक फ्रेम के वेग के परिवर्तन और एक साथ की सापेक्षता पर चर्चा करने के लिए किया जाता है।

पृष्ठ 173 पर मैकफर्लेन चतुष्कोणीय चर के अपने बड़े सिद्धांत पर विस्तार करते है। इसके विपरीत वह ध्यान करता है कि फेलिक्स क्लेन चतुर्भुज और आकाशीय घूर्णन के सिद्धांत के अतिरिक्त नहीं दिखता है।

संदर्भ

• Heaviside, Oliver (1892). "On the forces, stresses, and fluxes of energy in the electromagnetic field". Philosophical Transactions of the Royal Society of London A. 183: 423–480. Bibcode:1892RSPTA.183..423H. doi:10.1098/rsta.1892.0011. JSTOR 90590.
• Macfarlane, A. (1891). "Principles of the Algebra of Physics". Proceedings of the American Association for the Advancement of Science. 40: 65–117.
• Macfarlane, A. (1894). "Paper 2: The Imaginary of the Algebra". Papers on Space Analysis. New York: B. Westerman.
• Macfarlane, A. (1900). "Space-Analysis: a brief of twelve lectures". Lehigh University.
• Macfarlane, A. (January 1902). "Hyperbolic Quaternions". Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 23: 169–180. doi:10.1017/S0370164600010385. Internet Archive (free), or Google Books (free). (Note: P. 177 and figures plate incompletely scanned in free versions.)
• Mathews, G.B.M. (1913). "An Algebra for Physicists". Nature. 91 (2284): 595–6. Bibcode:1913Natur..91..595G. doi:10.1038/091595b0.
• Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions