विभेदक: Difference between revisions

Revision as of 14:56, 17 March 2023

गणित में, बहुपद का विभेदक एक राशि है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ का विभेदक

b^{2}-4ac,

है, वह राशि जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि $a\neq 0,$ यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।^[1] इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।

अधिक सामान्यतः, बहुपद की धनात्मक घात के अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज(गणित) है(कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद, या प्रक्षेपी ऊनविम सतह के रूप(गणित) का विभेदक(ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।^[2]

परिभाषा

मान लीजिए

A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

घात $n$ का बहुपद(इसका अर्थ है $a_{n}\neq 0$ ), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र(गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। $A$ और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,

A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}

का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ

a_{0},\ldots ,a_{n}

में एक बहुपद है, जो

A

और

A'

सिल्वेस्टर आव्यूह का सारणिक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ

a_{n}

और

na_{n}

हैं, और परिणामी इस प्रकार

a_{n}

का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को

a_{n}

:

\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')

द्वारा

A

और

A'

के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है

ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय(गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो $a_{n}$ द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। सारणिक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में $a_{n}$ को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले $a_{0},\ldots ,a_{n}$ में एक बहुपद है।

मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति

जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र(गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार में इसके $n$ मूल, $r 1 comma r 2 comma ellipsis comma r Subscript n Baseline$

[1]

[2]

@@ Line 9: / Line 9: @@
 अधिक सामान्यतः, बहुपद की धनात्मक घात के अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज(गणित) है(कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।
-कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; [[द्विघात रूप]] का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]], या प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक [[रूप (गणित)|रूप(गणित)]] का विभेदक(ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।
+कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; [[द्विघात रूप]] का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]], या प्रक्षेपी ऊनविम सतह के [[रूप (गणित)|रूप(गणित)]] का विभेदक(ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।
 ==उत्पत्ति==
@@ Line 39: / Line 39: @@
 ==निम्न घात==
-एक रेखीय बहुपद(घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है([[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] के लिए सामान्य परिपाटी का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो कक्षों में से एक [[खाली मैट्रिक्स|रिक्त आव्यूह]] है)। एक अचर बहुपद(अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है।
+एक रेखीय बहुपद(घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है([[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] के लिए सामान्य परिपाटी का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो कक्षों में से एक [[खाली मैट्रिक्स|रिक्त आव्यूह]] है)। अचर बहुपद(अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है।
 छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है(नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह स्थूल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह|चतुर्थक फलन]] के विभेदक के 16 पद हैं,<ref>{{cite book
@@ Line 160: / Line 160: @@
 === वलय समरूपता के अंतर्गत व्युत्क्रम===
-मान लीजिए कि <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों का एक समरूपता है। {{math|''R''[''x'']}} में एक बहुपद
+मान लीजिए कि <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों की एक समरूपता है। {{math|''R''[''x'']}} में एक बहुपद
 :<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math>
 दिया गया है, समरूपता <math>\varphi</math> {{math|''S''[''x'']}} में बहुपद
@@ Line 264: / Line 264: @@
 द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है(जो कि सदिश स्थान के आधार पर परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का रैखिक परिवर्तन एक गैर- विचित्र आव्यूह {{math|''S''}} द्वारा परिभाषित किया गया है, आव्यूह {{math|''A''}} को <math>S^\mathrm T A\,S</math> में बदलता है, और इस प्रकार विभेदक को {{math|''S''}} सारणिक के वर्ग से गुणा करता है। इस प्रकार विभेदक मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही ठीक रूप से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, क्षेत्र {{math|''K''}} पर द्विघात रूप का विभेदक {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}} का एक अवयव है, गैर-शून्य वर्गों के [[उपसमूह]] द्वारा {{math|''K''}} के गुणात्मक [[मोनोइड]] का [[भागफल मोनोइड]](अर्थात, {{math|''K''}} के दो अवयव समान [[तुल्यता वर्ग]] में यदि एक दूसरे का गुणनफल शून्येतर वर्ग से है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विभेदक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विभेदक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, विभेदक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त पूर्णांक के बराबर होता है ।
-[[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के एक प्रमेय द्वारा, 2 से भिन्न विशेषता के एक क्षेत्र पर द्विघात रूप, चर के रैखिक परिवर्तन के बाद, विकर्ण रूप में
+[[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] की एक प्रमेय द्वारा, 2 से भिन्न विशेषता के एक क्षेत्र पर द्विघात रूप, चर के रैखिक परिवर्तन के बाद, विकर्ण रूप में
 :<math>a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2</math>
 :के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
@@ Line 273: / Line 273: @@
 ज्यामितीय रूप से, तीन चरों में द्विघात रूप का विभेदक [[प्रक्षेपी वक्र]] का समीकरण है। विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि वक्र रेखाओं में विघटित हो(संभवतः क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर)।
-चार चरों में एक द्विघात रूप प्रक्षेपी सतह का समीकरण है। सतह में बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु है यदि और मात्र इसका विभेदक शून्य है। इस विषय में, या तो सतह [[कोन|शंकु]] समतल में विघटित किया जा सकता है, या इसका एक अद्वितीय विलक्षण बिंदु है, और यह एक शंकु या एक [[सिलेंडर|बेलन]] है। वास्तविक पर, यदि विभेदक धनात्मक है, तो सतह का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है या प्रत्येक जगह एक ऋणात्मक [[गॉसियन वक्रता]] है। यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो सतह के वास्तविक बिंदु होते हैं, और एक ऋणात्मक गाऊसी वक्रता होती है।
+चार चरों में एक द्विघात रूप प्रक्षेपी सतह का समीकरण है। सतह में बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु है यदि और मात्र इसका विभेदक शून्य है। इस विषय में, या तो सतह [[कोन|शंकु]] समतल में विघटित किया जा सकता है, या इसका एक अद्वितीय विलक्षण बिंदु है, और यह एक शंकु या एक [[सिलेंडर|बेलन]] है। वास्तविक पर, यदि विभेदक धनात्मक है, तो सतह का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है या प्रत्येक स्थान एक ऋणात्मक [[गॉसियन वक्रता]] है। यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो सतह के वास्तविक बिंदु होते हैं, और एक ऋणात्मक गाऊसी वक्रता होती है।
 ===शंकु परिच्छेद===

Anonymous

Search

विभेदक: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 14:56, 17 March 2023

Contents

उत्पत्ति

परिभाषा

मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति