विभेदक: Difference between revisions

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गणित में, बहुपद का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ का विभेदक

b^{2}-4ac,

है, वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि $a\neq 0,$ यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।^[1] इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।

अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक रूप (गणित) का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।^[2]

परिभाषा

मान लीजिए

A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

घात $n$ का एक बहुपद (इसका अर्थ है $a_{n}\neq 0$ ), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। $A$ और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,

A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}

का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ

a_{0},\ldots ,a_{n}

में एक बहुपद है, जो

A

और

A'

सिल्वेस्टर आव्यूह का निर्धारक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ

a_{n}

और

na_{n}

हैं, और परिणामी इस प्रकार

a_{n}

का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को

a_{n}

:

\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')

द्वारा

A

और

A'

के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है

ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो $a_{n}$ द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। निर्धारक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में $a_{n}$ को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले $a_{0},\ldots ,a_{n}$ म

[1]

[2]

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 विभेदक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है, जो [[द्विघात क्षेत्र|द्विघात क्षेत्रों]] सहित कुछ विषयों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विभेदक है।
-गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के भेदभाव उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के  लोपी होने की समस्या के  निपात उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विभेदक का विषय है, जो दो मूलों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश स्थिति, जहां इस प्रकार के सामान्यीकृत विभेदक को परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित के उदाहरण हैं।
+गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के विभेदक उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के  लोपी होने की समस्या के  निपात उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विभेदक का विषय है, जो दो मूलों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश स्थिति, जहां इस प्रकार के सामान्यीकृत विभेदक को परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित के उदाहरण हैं।
-मान लीजिए कि {{math|''A''}} में एक सजातीय बहुपद  {{math|''n''}} हो विशेषता (बीजगणित) 0, या एक [[अभाज्य संख्या]] विशेषता के क्षेत्र में अनिश्चित है जो बहुपद की घात को विभाजित नहीं करता है। बहुपद {{math|''A''}} एक प्रक्षेपीय ऊनविम पृष्ठ को परिभाषित करता है, जिसमें बीजगणितीय विविधता का विलक्षण बिंदु होता है यदि और मात्र {{math|''n''}} का आंशिक व्युत्पन्न  {{math|''A''}} में एक फलन का एक गैर-तुच्छ सामान्य शून्य है। यह विषय है यदि और मात्र यदि इन आंशिक व्युत्पन्न  का बहुभिन्नरूपी परिणाम शून्य है, और इस परिणामी को  {{math|''A''}} विभेदक के रूप में माना जा सकता है। यद्यपि, व्युत्पत्ति के परिणामस्वरूप पूर्णांक गुणांक के कारण, यह बहुभिन्नरूपी परिणामी की शक्ति से विभाज्य हो सकता है {{math|''n''}}, और एक विभेदक के रूप में लेना बेहतर है, परिणामी का [[आदिम भाग]], सामान्य गुणांक के साथ गणना की जाती है। विशेषता पर प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि अन्यथा आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्य शून्य आवश्यक रूप से बहुपद का शून्य नहीं है (सजातीय बहुपदों के लिए यूलर की पहचान देखें)।
+मान लीजिए कि {{math|''A''}} में एक सजातीय बहुपद  {{math|''n''}} हो विशेषता (बीजगणित) 0, या एक [[अभाज्य संख्या]] विशेषता के क्षेत्र में अनिश्चित है जो बहुपद की घात को विभाजित नहीं करता है। बहुपद {{math|''A''}} एक प्रक्षेपीय ऊनविम पृष्ठ को परिभाषित करता है, जिसमें बीजगणितीय विविधता का विलक्षण बिंदु होता है यदि और मात्र {{math|''n''}} का आंशिक व्युत्पन्न  {{math|''A''}} में एक फलन का एक गैर-तुच्छ सामान्य शून्य है। यह विषय है यदि और मात्र यदि इन आंशिक व्युत्पन्न  का बहुभिन्नरूपी परिणाम शून्य है, और इस परिणामी को  {{math|''A''}} विभेदक के रूप में माना जा सकता है। यद्यपि, व्युत्पत्ति के परिणामस्वरूप पूर्णांक गुणांक के कारण, यह बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''n''}} की घात से विभाज्य हो सकता है , और एक विभेदक के रूप में, परिणामी के [[आदिम भाग]] को लेना ठीक होता है, जिसकी गणना सामान्य गुणांक के साथ की जाती है।  विशेषता पर प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि अन्यथा आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्य शून्य आवश्यक रूप से बहुपद का शून्य नहीं है (सजातीय बहुपदों के लिए यूलर की पहचान देखें)।
-घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में {{math|''d''}}, यह सामान्य विभेदक है <math>d^{d-2}</math> विभेदक में परिभाषित गुना {{slink||Homogeneous bivariate polynomial}}। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं।
+{{math|''d''}} घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में , यह सामान्य विभेदक {{slink||सजातीय द्विभाजित बहुपद}} <math>d^{d-2}</math>में परिभाषित विभेदक  गुना है। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के विभेदक, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं।
 ===द्विघात रूप ===
-{{See also|Fundamental discriminant}}
+{{See also|मौलिक  विभेदक}}
-एक द्विघात रूप एक सदिश स्थान पर एक कार्य है, जिसे घात 2 के एक सजातीय बहुपद द्वारा कुछ [[आधार ([[सदिश स्थल]])]] पर परिभाषित किया गया है:
+एक द्विघात रूप एक सदिश स्थान पर एक कार्य है, जिसे कुछ आधार ([[सदिश स्थल|सदिश स्थान]] ) पर घात 2 के एक सजातीय बहुपद द्वारा  परिभाषित किया गया है:
 :<math>Q(x_1,\ldots,x_n) \ =\ \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\le i <j\le n}a_{ij}x_i x_j,</math>
 या, आव्यूह रूप में,
 :<math>Q(X) =X A X^\mathrm T,</math>
-के लिए <math>n\times n</math> [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] <math>A=(a_{ij})</math>, द <math>1\times n</math> पंक्ति वेक्टर <math>X=(x_1,\ldots,x_n)</math>, और यह <math>n\times 1</math> स्तंभ वेक्टर <math>X^{\mathrm{T}}</math>। विशेषता (बीजगणित) में 2 से भिन्न,<ref>In characteristic 2, the discriminant of a quadratic form is not defined, and is replaced by the [[Arf invariant]].</ref> का विभेदक या निर्धारक {{math|''Q''}} का निर्धारक है {{math|''A''}}।<ref>{{cite book | first=J. W. S. | last=Cassels | author-link=J. W. S. Cassels | title=वाजिब द्विघात रूप| series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=[[Academic Press]] | year=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 | page=6 }}</ref>
+<math>n\times n</math>  के लिए, [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] <math>A=(a_{ij})</math>,  <math>1\times n</math> पंक्ति सदिश  <math>X=(x_1,\ldots,x_n)</math>, और <math>n\times 1</math> स्तंभ सदिश <math>X^{\mathrm{T}}</math>। विशेषता (बीजगणित) में 2 से भिन्न,<ref>In characteristic 2, the discriminant of a quadratic form is not defined, and is replaced by the [[Arf invariant]].</ref> का विभेदक या निर्धारक {{math|''Q''}} का निर्धारक है {{math|''A''}}।<ref>{{cite book | first=J. W. S. | last=Cassels | author-link=J. W. S. Cassels | title=वाजिब द्विघात रूप| series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=[[Academic Press]] | year=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 | page=6 }}</ref>
-का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके भेदभाव का समय। के आंशिक व्युत्पन्न  का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष विषय है।
+का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके विभेदक का समय। के आंशिक व्युत्पन्न  का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष विषय है।
 एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''S''}}, आव्यूह को बदलता है {{math|''A''}} में <math>S^\mathrm T A\,S,</math> और इस प्रकार विभेदक को के सारणिक के वर्ग से गुणा करता है {{math|''S''}}। इस प्रकार विभेदक मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही ठीक रूप से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, एक क्षेत्र पर द्विघात रूप का विभेदक {{math|''K''}} का एक तत्व है {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}}, के गुणक [[मोनोइड]] का [[भागफल मोनोइड]] {{math|''K''}} गैर-शून्य वर्गों के [[उपसमूह]] द्वारा (अर्थात, के दो तत्व {{math|''K''}} समान [[तुल्यता वर्ग]] में हैं यदि एक दूसरे का गैर-शून्य वर्ग द्वारा उत्पाद है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विभेदक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विभेदक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, एक विभेदक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त के बराबर होता है पूर्णांक।

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