पोंकारे समूह

For एक सांस्थितिक स्थान का पोंकारे समूह (मौलिक समूह)।, see मौलिक समूह.

हेनरी पोंकारे

पोंकारे समूह जिसका नाम हेनरी पोंकारे (1906) के नाम पर रखा गया था, पहली बार हरमन मिन्कोव्स्की (1908) द्वारा इसे परिभाषित किया गया था, जो मिंकोव्स्की स्पेस के समूह (गणित) लोरेंत्ज़ परिवर्तन और समरूपता के रूप में सारांशित किया गया था। यह दस-आयामी गैर-अबेलियन समूह या गैर-अबेलियन असत्य समूह है जो भौतिकी के सबसे मौलिक सिद्धांतों की हमारी समझ में मॉडल के रूप में महत्वपूर्ण माना जाता है।

अवलोकन

ए मिन्कोवस्की स्पेस लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन एंड सिमेट्री में यह गुण है कि घटना (सापेक्षता) के बीच के अंतराल को अपरिवर्तनीयता को पृथक कर देता है। उदाहरण के लिए, यदि सब कुछ दो घंटे के लिए स्थगित कर दिया गया था, जिसमें दो घटनाएं और एक-दूसरे में जाने के लिए आपके द्वारा उपयोग किये गए मार्ग को सम्मिलित किया है, तो आपके द्वारा अपने साथ ले जाने वाली स्टॉप-वॉच द्वारा रिकॉर्ड की गई घटनाओं के बीच का समय अंतराल समान होता हैं। इस प्रकार यदि हर चीज को पांच किलोमीटर पश्चिम की ओर खिसका दिया जाए या 60 डिग्री तक दाईं ओर मोड़ दिया जाता हैं। इसके अतिरिक्त भी आपको इस अंतराल में कोई परवर्तन नहीं दिखाई देगा। इस प्रकार यह पता चला है कि इस प्रकार के परिवर्तन से किसी वस्तु की उचित लंबाई भी अप्रभावित रहती है। इसके कारण समय या स्थान उत्क्रमण भी इस समूह का आइसोमेट्री में रखते हैं।

मिन्कोव्स्की स्पेस में (अर्ताथ गुरुत्वाकर्षण के प्रभावों की अनदेखी) मिन्कोवस्की स्पेस की स्वतंत्रता की दस डिग्री हैं, इसके अनुसार लोरेंत्ज़ परिवर्तन और समरूपता, जिसे समय या स्थान के माध्यम से अनुवाद के रूप में माना जाता है (चार डिग्री, प्रति आयाम) स्पेस के माध्यम से प्रतिबिंब (तीन डिग्री, इस स्पेस के उन्मुखीकरण में स्वतंत्रता) या तीन स्थानिक दिशाओं (तीन डिग्री) में से किसी में लोरेंत्ज़ परिवर्तन के लिए माना जाता हैं। इन परिवर्तनों की संरचना पोंकारे समूह का संचालन करती है, अनुचित घूर्णन के साथ अप्रत्यक्ष आइसोमेट्री के रूप में प्रतिबिंबों की समान संख्या की संरचना के रूप में उत्पादित किया जा रहा है।

मौलिक भौतिकी में, गैलिलियन समूह तुलनीय दस-पैरामीटर समूह है जो निरपेक्ष समय और स्थान पर कार्य करता है। बूस्ट के अतिरिक्त इस संदर्भ के सह फ्रेम को संयोजित करने के लिए कतरनी मैपिंग की सुविधा प्रदान करता है।

पॉइनकेयर समरूपता

पोंकारे समरूपता विशेष सापेक्षता की पूर्ण समरूपता है। इसमें सम्मिलित है:

• अनुवाद (भौतिकी) (विस्थापन) समय और स्थान (P) में, स्पेस-समय पर अनुवादों के एबेलियन लाइ समूह का गठन,

स्पेस में * घूर्णन, त्रि-आयामी वलयों (J) के गैर-अबेलियन असत्य समूह का गठन,

• लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन, दो समान रूप से गतिमान निकायों (B) को जोड़ने वाले ट्रांसफ़ॉर्मेशन।

अंतिम दो समरूपताएँ, J और K, मिलकर लोरेंत्ज़ समूह बनाते हैं (लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस भी देखें), अनुवाद समूह और लोरेंत्ज़ समूह के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद तब पोंकारे समूह का उत्पादन करते हैं। ऑब्जेक्ट जो इस समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं, इस कारण कहा जाता है कि पोंकारे आपेक्षिकीय व्युत्क्रमण का व्युत्क्रम के उत्तरदायी हैं।

नोथेर के प्रमेय द्वारा पोइनकेयर समरूपता से जुड़े 10 जनरेटर (चार दिक्-समय आयामों में), 10 संरक्षण नियमों का अर्थ है: 1 ऊर्जा के लिए, 3 संवेग के लिए, 3 कोणीय संवेग के लिए और 3 द्रव्यमान के केंद्र के वेग के लिए इत्यादि।

पॉइनकेयर समूह

पोंकारे समूह मिन्कोव्स्की स्पेस टाइम आइसोमेट्री का समूह है। यह दस-आयामी कॉम्पैक्ट जगह लाइ समूह है। अनुवाद (ज्यामिति) का एबेलियन समूह सामान्य उपसमूह है, जबकि लोरेंत्ज़ समूह भी समूह क्रिया (गणित) कक्षक और मूल के स्टेबलाइजर्स के उपसमूह है। प्वाइनकेयर समूह स्वयं से परिभाषित समूहों का न्यूनतम उपसमूह है जिसमें सभी अनुवाद और लोरेंत्ज़ रूपांतरण सम्मिलित हैं। इस प्रकार अधिक सही रूप से, यह अनुवादों और लोरेंत्ज़ समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है,

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,$

समूह गुणन के साथ

$(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)$.

इसे उपयोग करने का अन्य तरीका यह है कि पॉइनकेयर समूह लोरेंत्ज़ समूह का सदिश समूह प्रतिनिधित्व द्वारा इसका समूह विस्तार है, इसे कभी-कभी, अनौपचारिक रूप से, अमानवीय लोरेंत्ज़ समूह के रूप में डब किया जाता है। इसके अतिरिक्त इसे डी सिटर ग्रुप SO(4,1) ~ Sp(2,2) के समूह संकुचन के रूप में भी प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि सिटर स्पेस द्वारा अनंत तक जाता है।

इसकी धनात्मक ऊर्जा एकात्मक अलघुकरणीय लाइ समूह का प्रतिनिधित्व द्रव्यमान (धनात्मक संख्या) और घू्र्णन (भौतिकी) (पूर्णांक या आधा पूर्णांक) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है और क्वांटम यांत्रिकी में कणों से संयोजित होता है।

एर्लांगेन कार्यक्रम के अनुसार, मिन्कोव्स्की स्पेस की ज्यामिति को पोंकारे समूह द्वारा परिभाषित किया गया है: मिन्कोव्स्की स्पेस को समूह के लिए सजातीय स्थान माना जाता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, पोंकारे समूह का सार्वभौमिक आवरण

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),$

जिसे दोहरे आवरण से पहचाना जा सकता है

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),$

अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि का प्रतिनिधित्व $\operatorname {SO} (1,3)$ घू्र्णन 1/2 वाले क्षेत्रों का वर्णन करने में सक्षम नहीं हैं, अर्ताथ फरमिओन्स । यहाँ $\operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )$ कॉम्प्लेक्स $2\times 2$ का समूह है, इस प्रकार इस इकाई निर्धारक के साथ मेट्रिसेस, घू्र्णन समूह के लिए आइसोमोर्फिक अनिश्चित हस्ताक्षर या लोरेंट्ज़-सिग्नेचर घू्र्णन समूह $\operatorname {Spin} (1,3)$ के रूप में किया जाता हैं।