प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत): Difference between revisions
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== बीजगणितीय गुण == | == बीजगणितीय गुण == | ||
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== शून्य प्रतिच्छेदन == | == शून्य प्रतिच्छेदन == | ||
[[File:Multigrade operator AND.svg|thumb|कोष्ठकों में तर्कों का तार्किक संयोजन | [[File:Multigrade operator AND.svg|thumb|कोष्ठकों में तर्कों का तार्किक संयोजन बिना किसी तर्क का संयोजन टॉटोलॉजी है (तुलना करें: अतिरिक्त उत्पाद); तदनुसार बिना समुच्चय का प्रतिच्छेदन ब्रह्मांड (समुच्चय सिद्धांत) है।]]ध्यान दें कि पूर्व अनुभाग में, हमने उस हानि को बाहर कर दिया था जहाँ <math>M</math> रिक्त (<math>\varnothing</math>) समुच्चय था I जिसका कारण इस प्रकार है: संग्रह का प्रतिच्छेदन <math>M</math> समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है (समुच्चय -बिल्डर नोटेशन देखें)<math display=block>\bigcap_{A \in M} A = \{x : \text{ for all } A \in M, x \in A\}.</math>यदि <math>M</math> रिक्त समुच्चय है, तो <math>A</math> में <math>M,</math> तो प्रश्न बन जाता है कौन सा <math>x</math> कथित पणित को पूरा करते हैं? उत्तर लगता है {{em|सब संभव <math>x</math>}}. जब <math>M</math> रिक्त समुच्चय है, ऊपर दी गई पणित रिक्त समुच्चय का उदाहरण है। रिक्त समुच्चय का परस्पर सार्वभौमिक समुच्चय होना चाहिए,<ref>{{cite book|last=Megginson|first=Robert E.|author-link=Robert Megginson|title=बनच अंतरिक्ष सिद्धांत का परिचय|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=183|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1998|pages=xx+596|isbn=0-387-98431-3|chapter=Chapter 1}}</ref>परन्तु मानक (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत) समुच्चय सिद्धांत में, सार्वभौमिक समुच्चय नहीं है। | ||
Revision as of 12:52, 6 March 2023
समुच्चय सिद्धांत में, दो समुच्चय का प्रतिच्छेदन तथा द्वारा चिह्नित है, [1] और के सभी तत्वों से युक्त समुच्चय है I , से संबंधित है, या समकक्ष है, के सभी तत्व के भी हैI[2]
File:वेन0001.svg | |
Type | ऑपरेशन समुच्चय |
---|---|
Field | समुच्चयलिखित |
Statement | इंटरसेक्शन उन तत्वों का समूह है जो दोनों समुच्चय में उपस्थित हैं <गणित>A</गणित> एवं समुच्चय <गणित>B</गणित>. |
Symbolic statement | <गणित>A \कैप B = \{ x: x \A \ टेक्स्ट { एवं } x \ B में\}</गणित> |
संकेतन एवं शब्दावली
प्रतिच्छेदन प्रतीक का उपयोग करके लिखा गया है, अर्थात् इंफिक्स नोटेशन के, उदाहरण निम्नलिखित है:
इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की सारणी देखें।
परिभाषा
दो समुच्चयो का परस्पर तथा द्वारा चिह्नित ,[3] उन सभी वस्तुओं का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों तथा के सदस्य होते हैं I
यह प्रतीकों में इस प्रकार प्रदर्शित हैं I
उदाहरण के लिए:
- समुच्चय {1, 2, 3} एवं {2, 3, 4} का प्रतिच्छेदन {2, 3} है।
- अंक 9 अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} एवं विषम संख्याओं के समुच्चय {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} के प्रतिच्छेदन में, 9 प्रधान नहीं है।
इंटरसेक्टिंग एवं डिसजॉइंट समुच्चय
कहाँ जाता है कि, यदि उपस्थित हो तो, प्रतिच्छेद करता है I का तत्व तथा है I जिस स्थिति में प्रतिच्छेद करता है, at प्राप्त होता है , समान रूप से, , को प्रतिच्छेद करता है I यदि उनका परस्पर वसित समुच्चय है, जिसे द्वारा प्रदर्शित करते हैं I यदि , को प्रतिच्छेद नहीं करता है, तो इसे सरल भाषा में सामान्य तत्व नहीं मानते हैं। यदि तथा असंयुक्त हैं और परस्पर रिक्त समुच्चय है, तो प्रकार प्रदर्शित करते है, उदाहरण के लिए, समुच्चयो तथा असम्बद्ध हैं, जबकि सम संख्याओं का समुच्चय 3 के गुणज के समुच्चय को 6 के गुणज में विभक्त करता है।
बीजगणितीय गुण
बाइनरी परस्पर साहचर्य ऑपरेशन है; अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए तथा निम्नलिखित है:
परस्पर संघ पर वितरित करता है एवं संघ प्रतिच्छेदन पर वितरित करता है। अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए तथा निम्नलिखित है
इच्छानुसार प्रतिच्छेदन
सामान्य धारणा समुच्चयो के स्वेच्छानुसार अतिरिक्त संग्रह का प्रतिच्छेदन है। यदि अतिरिक्त समुच्चय है जिसके तत्व स्वयं समुच्चय होते हैं I परस्पर का तत्व है I यदि केवल सार्वभौमिक परिमाणीकरण तत्व का का तत्व है, प्रतीकों में इस प्रकार है:
शून्य प्रतिच्छेदन
ध्यान दें कि पूर्व अनुभाग में, हमने उस हानि को बाहर कर दिया था जहाँ रिक्त () समुच्चय था I जिसका कारण इस प्रकार है: संग्रह का प्रतिच्छेदन समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है (समुच्चय -बिल्डर नोटेशन देखें)
प्रकार सिद्धांत में चूँकि, निर्धारित प्रकार का है I इसलिए परस्पर प्रकार का समझा जाता है I (समुच्चय का प्रकार जिसके तत्व अंदर हैं ), को हम परिभाषित कर सकते हैं I का सार्वभौमिक समुच्चय होना I (वह समुच्चय जिसके तत्व सभी प्रकार के पद हैं |)
यह भी देखें
- समुच्चयों का बीजगणित – Identities and relationships involving sets
- प्रमुखता
- पूरक – Set of the elements not in a given subset
- इंटरसेक्शन (यूक्लिडियन ज्यामिति)
- इंटरसेक्शन ग्राफ
- इंटरसेक्शन सिद्धांत
- समुच्चय पहचान एवं संबंधों की सूची
- तार्किक संयोजन – Logical connective AND
- मिनहाश
- समुच्चय सिद्धांत
- [[
सममित अंतर| सममित अंतर]] – Elements in exactly one of two sets
संदर्भ
- ↑ "सेट्स का चौराहा". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.
- ↑ "आँकड़े: संभाव्यता नियम". People.richland.edu. Retrieved 2012-05-08.
- ↑ 3.0 3.1 "सेट ऑपरेशंस | यूनियन | चौराहे | पूरक | अंतर | पारस्परिक रूप से अनन्य | विभाजन | डी मॉर्गन का नियम | वितरण नियम | कार्तीय उत्पाद". www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-04.
- ↑ Megginson, Robert E. (1998). "Chapter 1". बनच अंतरिक्ष सिद्धांत का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183. New York: Springer-Verlag. pp. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.
अग्रिम पठन
- Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
- Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (Second ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (Sixth ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.