प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत): Difference between revisions
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प्रतिच्छेदन प्रतीक <math>\cap</math> का उपयोग करके लिखा गया है, अर्थात् इंफिक्स नोटेशन के, उदाहरण निम्नलिखित है: | प्रतिच्छेदन प्रतीक <math>\cap</math> का उपयोग करके लिखा गया है, अर्थात् इंफिक्स नोटेशन के, उदाहरण निम्नलिखित है:<math display=block>\{1,2,3\}\cap\{2,3,4\}=\{2,3\}</math><math display=block>\{1,2,3\}\cap\{4,5,6\}=\varnothing</math><math display=block>\Z\cap\N=\N</math><math display=block>\{x\in\R:x^2=1\}\cap\N=\{1\}</math>दो से अधिक समुच्चयो के सामान्यीकृत प्रतिच्छेदन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:<math display=block>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>जो कैपिटल-सिग्मा नोटेशन के समान होते है। | ||
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दो से अधिक समुच्चयो के सामान्यीकृत प्रतिच्छेदन को इस प्रकार लिखा जा सकता है: | |||
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जो कैपिटल-सिग्मा नोटेशन के समान होते है। | |||
इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की सारणी देखें। | इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की सारणी देखें। |
Revision as of 12:20, 6 March 2023
समुच्चय सिद्धांत में, दो समुच्चय का प्रतिच्छेदन तथा द्वारा चिह्नित है, [1] और के सभी तत्वों से युक्त समुच्चय है I , से संबंधित है, या समकक्ष है, के सभी तत्व के भी हैI[2]
File:वेन0001.svg | |
Type | ऑपरेशन समुच्चय |
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Field | समुच्चयलिखित |
Statement | इंटरसेक्शन उन तत्वों का समूह है जो दोनों समुच्चय में उपस्थित हैं <गणित>A</गणित> एवं समुच्चय <गणित>B</गणित>. |
Symbolic statement | <गणित>A \कैप B = \{ x: x \A \ टेक्स्ट { एवं } x \ B में\}</गणित> |
संकेतन एवं शब्दावली
प्रतिच्छेदन प्रतीक का उपयोग करके लिखा गया है, अर्थात् इंफिक्स नोटेशन के, उदाहरण निम्नलिखित है:
इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की सारणी देखें।
परिभाषा
दो समुच्चयो का परस्पर तथा द्वारा चिह्नित ,[3] उन सभी वस्तुओं का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों तथा के सदस्य होते हैं I
यह प्रतीकों में इस प्रकार प्रदर्शित हैं I
उदाहरण के लिए:
- समुच्चय {1, 2, 3} एवं {2, 3, 4} का प्रतिच्छेदन {2, 3} है।
- अंक 9 अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} एवं विषम संख्याओं के समुच्चय {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} के प्रतिच्छेदन में, 9 प्रधान नहीं है।
इंटरसेक्टिंग एवं डिसजॉइंट समुच्चय
हम कहते हैं प्रतिच्छेद करता है (मिलता है) यदि कुछ उपस्थित है, जो दोनों का एक तत्व है तथा जिस स्थिति में हम भी यही कहते हैं, कि प्रतिच्छेद करता है (मिलता है) at , समान रूप से, प्रतिच्छेद करता है यदि उनका परस्पर वसित समुच्चय, जिसका अर्थ है कि कुछ उपस्थित है ऐसा है कि हम कहते हैं, यदि प्रतिच्छेद नहीं करता सरल भाषा में, उनके पास सामान्य तत्व नहीं हैं। तथा असंयुक्त हैं यदि उनका परस्पर अतिरिक्त समुच्चय है, चिह्नित है उदाहरण के लिए, समुच्चयो तथा असम्बद्ध हैं, जबकि सम संख्याओं का समुच्चय 3 के गुणजों के समुच्चय को 6 के गुणजों में काटता है।
बीजगणितीय गुण
बाइनरी परस्पर साहचर्य ऑपरेशन है; अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए तथा निम्नलिखित है:
परस्पर संघ पर वितरित करता है एवं संघ प्रतिच्छेदन पर वितरित करता है। अर्थात किसी भी समुच्चय के लिए तथा निम्नलिखित है
इच्छानुसार प्रतिच्छेदन
सामान्य धारणा समुच्चयो के स्वेच्छानुसार अतिरिक्त संग्रह का प्रतिच्छेदन है। यदि अतिरिक्त समुच्चय है जिसके तत्व स्वयं समुच्चय होते हैं I परस्पर का तत्व है I यदि केवल सार्वभौमिक परिमाणीकरण तत्व का का तत्व है, प्रतीकों में इस प्रकार है:
शून्य प्रतिच्छेदन
ध्यान दें कि पूर्व अनुभाग में, हमने उस हानि को बाहर कर दिया था जहाँ रिक्त () समुच्चय था I जिसका कारण इस प्रकार है: संग्रह का प्रतिच्छेदन समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है (समुच्चय -बिल्डर नोटेशन देखें)
प्रकार सिद्धांत में चूँकि, निर्धारित प्रकार का है I इसलिए परस्पर प्रकार का समझा जाता है I (समुच्चय का प्रकार जिसके तत्व अंदर हैं ), को हम परिभाषित कर सकते हैं I का सार्वभौमिक समुच्चय होना I (वह समुच्चय जिसके तत्व सभी प्रकार के पद हैं |)
यह भी देखें
- समुच्चयों का बीजगणित – Identities and relationships involving sets
- प्रमुखता
- पूरक – Set of the elements not in a given subset
- इंटरसेक्शन (यूक्लिडियन ज्यामिति)
- इंटरसेक्शन ग्राफ
- इंटरसेक्शन सिद्धांत
- समुच्चय पहचान एवं संबंधों की सूची
- तार्किक संयोजन – Logical connective AND
- मिनहाश
- समुच्चय सिद्धांत
- [[
सममित अंतर| सममित अंतर]] – Elements in exactly one of two sets
संदर्भ
- ↑ "सेट्स का चौराहा". web.mnstate.edu. Retrieved 2020-09-04.
- ↑ "आँकड़े: संभाव्यता नियम". People.richland.edu. Retrieved 2012-05-08.
- ↑ 3.0 3.1 "सेट ऑपरेशंस | यूनियन | चौराहे | पूरक | अंतर | पारस्परिक रूप से अनन्य | विभाजन | डी मॉर्गन का नियम | वितरण नियम | कार्तीय उत्पाद". www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-04.
- ↑ Megginson, Robert E. (1998). "Chapter 1". बनच अंतरिक्ष सिद्धांत का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183. New York: Springer-Verlag. pp. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.
अग्रिम पठन
- Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
- Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (Second ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (Sixth ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.