वलय सिद्धांत

This article is about a mathematical concept. For other uses, see वलय सिद्धांत (disambiguation).

बीजगणित में, वलय सिद्धांत वलय (गणित) का अध्ययन है—बीजगणितीय संरचनाएं जिनमें जोड़ और गुणन परिभाषित हैं और पूर्णांकों के लिए परिभाषित उन संक्रियाओं के समान गुण हैं। वलय सिद्धांत छल्लों की संरचना का अध्ययन करता है, एक बीजगणित का उनका प्रतिनिधित्व, या, अलग-अलग भाषा में, मॉड्यूल (अंगूठी सिद्धांत), छल्लों की विशेष कक्षाएं (समूह के छल्ले, विभाजन के छल्ले, सार्वभौमिक आवरण बीजगणित), साथ ही गुणों की एक सरणी जो सिद्धांत के भीतर और इसके अनुप्रयोगों के लिए, जैसे समरूप बीजगणित और बहुपद पहचान वलय, दोनों के लिए रुचिकर साबित हुआ।

क्रमविनिमेय वलय गैर क्रमविनिमेय वाले की तुलना में बहुत बेहतर समझे जाते हैं। बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, जो क्रमविनिमेय वलयों के कई प्राकृतिक उदाहरण प्रदान करते हैं, ने क्रमविनिमेय वलय सिद्धांत के विकास को बहुत प्रेरित किया है, जो अब क्रमविनिमेय बीजगणित के नाम से आधुनिक गणित का एक प्रमुख क्षेत्र है। क्योंकि ये तीन क्षेत्र (बीजगणितीय ज्यामिति, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और क्रमविनिमेय बीजगणित) इतने घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं कि आमतौर पर यह तय करना मुश्किल और अर्थहीन होता है कि कोई विशेष परिणाम किस क्षेत्र से संबंधित है। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसज़ एक प्रमेय है जो बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मौलिक है, और इसे कम्यूटेटिव बीजगणित के संदर्भ में कहा और सिद्ध किया गया है। इसी तरह, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को प्राथमिक अंकगणित के संदर्भ में कहा गया है, जो क्रमविनिमेय बीजगणित का एक हिस्सा है, लेकिन इसके प्रमाण में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति दोनों के गहरे परिणाम शामिल हैं।

गैर-अनुवर्ती छल्ले स्वाद में काफी भिन्न होते हैं, क्योंकि अधिक असामान्य व्यवहार उत्पन्न हो सकता है। जबकि सिद्धांत अपने आप में विकसित हुआ है, हाल ही की एक प्रवृत्ति ने एक ज्यामितीय फैशन में गैर-अनुक्रमिक रिंगों के कुछ वर्गों के सिद्धांत का निर्माण करके क्रमविनिमेय विकास को समानांतर करने की मांग की है जैसे कि वे फ़ंक्शन (गणित) के छल्ले थे (गैर-गणित) मौजूदा) 'नॉनकम्यूटेटिव स्पेस'। यह प्रवृत्ति 1980 के दशक में गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति के विकास और क्वांटम समूहों की खोज के साथ शुरू हुई। इसने गैर-अनुक्रमिक रिंगों की बेहतर समझ पैदा की है, विशेष रूप से नॉन-कम्यूटेटिव नोथेरियन रिंग्स। रिंग और बुनियादी अवधारणाओं और उनके गुणों की परिभाषा के लिए, रिंग (गणित) देखें। रिंग थ्योरी में प्रयुक्त शब्दों की परिभाषाएं रिंग थ्योरी की शब्दावली में पाई जा सकती हैं।

कम्यूटेटिव रिंग्स

Main article: Commutative algebra

एक वलय को क्रमविनिमेय कहा जाता है यदि इसका गुणन क्रमविनिमेय है। क्रमविनिमेय छल्ले परिचित संख्या प्रणालियों के समान हैं, और क्रमविनिमेय छल्ले के लिए विभिन्न परिभाषाओं को पूर्णांकों के गुणों को औपचारिक रूप देने के लिए डिज़ाइन किया गया है। बीजगणितीय ज्यामिति में क्रमविनिमेय वलय भी महत्वपूर्ण हैं। क्रमविनिमेय वलय सिद्धांत में, संख्याओं को अक्सर आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और प्रधान आदर्श की परिभाषा अभाज्य संख्याओं के सार को पकड़ने की कोशिश करती है। इंटीग्रल डोमेन, गैर-तुच्छ कम्यूटेटिव रिंग जहां कोई दो गैर-शून्य तत्व शून्य देने के लिए गुणा करते हैं, पूर्णांक की एक और संपत्ति का सामान्यीकरण करते हैं और विभाज्यता का अध्ययन करने के लिए उचित क्षेत्र के रूप में कार्य करते हैं। प्रिंसिपल आदर्श डोमेन अभिन्न डोमेन हैं जिसमें प्रत्येक आदर्श को एक तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, पूर्णांक द्वारा साझा की जाने वाली दूसरी संपत्ति। यूक्लिडियन डोमेन अभिन्न डोमेन हैं जिनमें सबसे बड़ा सामान्य विभाजक किया जा सकता है। क्रमविनिमेय वलयों के महत्वपूर्ण उदाहरण बहुपद के वलयों और उनके कारक वलयों के रूप में बनाए जा सकते हैं। सारांश: यूक्लिडियन डोमेन ⊂ प्रमुख आदर्श डोमेन ⊂ अद्वितीय गुणनखंड डोमेन ⊂ इंटीग्रल डोमेन ⊂ कम्यूटेटिव रिंग।

बीजगणितीय ज्यामिति

Main article: Algebraic geometry

बीजगणितीय ज्यामिति कई तरह से क्रमविनिमेय बीजगणित की दर्पण छवि है। यह पत्राचार हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसज़ के साथ शुरू हुआ जो एक बीजगणितीय विविधता के बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करता है, और इसकी समन्वय अंगूठी के अधिकतम आदर्शों को स्थापित करता है। इस पत्राचार को संबंधित कम्यूटेटिव रिंगों के बीजगणितीय गुणों में बीजगणितीय किस्मों के अधिकांश ज्यामितीय गुणों के अनुवाद (और साबित करने) के लिए विस्तारित और व्यवस्थित किया गया है। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने बीजगणितीय किस्मों के एक सामान्यीकरण, योजना (गणित) की शुरुआत करके इसे पूरा किया, जिसे किसी भी कम्यूटेटिव रिंग से बनाया जा सकता है। ज्यादा ठीक, क्रमविनिमेय वलय के एक वलय का वर्णक्रम इसके प्रमुख आदर्शों का स्थान है जो जरिस्की टोपोलॉजी से सुसज्जित है, और छल्लों के एक शीफ (गणित) के साथ संवर्धित है। ये वस्तुएं एफ़िन योजनाएं हैं (एफ़ाइन किस्मों का सामान्यीकरण), और एक सामान्य योजना तब एक साथ ग्लूइंग (विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विधियों द्वारा) प्राप्त की जाती है, ऐसी कई एफ़िन योजनाएं, चार्ट (टोपोलॉजी) को एक साथ ग्लूइंग करके कई गुना बनाने के तरीके के अनुरूप होती हैं। ) एक एटलस (टोपोलॉजी) का।

नॉनकम्यूटेटिव रिंग्स

Main articles: Noncommutative ring, Noncommutative algebraic geometry, and Noncommutative geometry

अक्रमानुक्रमिक वलय कई प्रकार से आव्यूह (गणित) के वलयों से मिलते जुलते हैं। बीजगणितीय ज्यामिति के मॉडल के बाद, हाल ही में गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति को गैर-अनुक्रमिक रिंगों के आधार पर परिभाषित करने का प्रयास किया गया है। गैर-अनुवर्ती छल्ले और साहचर्य बीजगणित (अंगूठियां जो सदिश स्थान भी हैं) का अक्सर मॉड्यूल के उनके श्रेणी सिद्धांत के माध्यम से अध्ययन किया जाता है। एक अंगूठी पर एक मॉड्यूल (गणित) एक एबेलियन समूह (गणित) है जो अंगूठी एंडोमोर्फिज्म की अंगूठी के रूप में कार्य करता है, जिस तरह से क्षेत्र (गणित) के समान होता है (अभिन्न डोमेन जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व उलटा होता है) वेक्टर रिक्त स्थान पर कार्य करें। गैर-अनुक्रमिक छल्ले के उदाहरण वर्ग मैट्रिक्स (गणित) के छल्ले या अधिक आम तौर पर एबेलियन समूहों या मॉड्यूल के एंडोमोर्फिज्म के छल्ले और मोनॉइड रिंगों द्वारा दिए जाते हैं।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

Main article: Representation theory

प्रतिनिधित्व सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो गैर-कम्यूटेटिव रिंगों पर भारी पड़ता है। यह वेक्टर रिक्त स्थान के रैखिक परिवर्तनों के रूप में उनके तत्व (सेट सिद्धांत) का प्रतिनिधित्व करके सार बीजगणित बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन करता है, और अध्ययन करता है इन अमूर्त बीजगणितीय संरचनाओं पर मॉड्यूल (गणित)। संक्षेप में, एक प्रतिनिधित्व एक अमूर्त बीजगणितीय वस्तु को मैट्रिक्स (गणित) और मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणन के संदर्भ में बीजगणितीय संचालन द्वारा अपने तत्वों का वर्णन करके अधिक ठोस बनाता है, जो गैर-कम्यूटेटिव है। इस तरह के विवरण के लिए उत्तरदायी बीजगणितीय वस्तुओं में समूह (गणित), सहयोगी बीजगणित और झूठ बीजगणित शामिल हैं। इनमें से सबसे प्रमुख (और ऐतिहासिक रूप से पहला) समूह प्रतिनिधित्व है, जिसमें समूह के तत्वों को उलटा मैट्रिक्स द्वारा इस तरह से दर्शाया जाता है कि समूह संचालन मैट्रिक्स गुणन है।

कुछ प्रासंगिक प्रमेय

आम

• समरूपता प्रमेय#छल्ले
• नाकायमा की लेम्मा

संरचना प्रमेय

• आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय अर्धसरल छल्ले की संरचना निर्धारित करता है
• जैकबसन घनत्व प्रमेय आदिम छल्ले की संरचना निर्धारित करता है
• गोल्डी का प्रमेय सेमीप्राइम आदर्श गोल्डी रिंग की संरचना निर्धारित करता है
• ज़ारिस्की-सैमुअल प्रमेय एक क्रमविनिमेय प्रधान आदर्श वलय की संरचना निर्धारित करता है
• हॉपकिंस-लेविट्ज़की प्रमेय एक नोथेरियन रिंग के लिए एक आर्टिनियन रिंग होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है
• मोरिटा सिद्धांत में प्रमेय निर्धारित होते हैं जब दो रिंगों में समकक्ष मॉड्यूल श्रेणियां होती हैं
• कार्टन-ब्रेयर-हुआ प्रमेय विभाजन के छल्ले की संरचना पर अंतर्दृष्टि देता है
• वेडरबर्न की छोटी प्रमेय बताती है कि परिमित डोमेन (रिंग सिद्धांत) क्षेत्र (गणित) हैं

अन्य

• स्कोलेम-नोथेर प्रमेय साधारण वलयों के automorphism की विशेषता बताता है

अंगूठियों की संरचनाएं और अपरिवर्तनीय

एक क्रमविनिमेय अंगूठी का आयाम

Main article: Dimension theory (algebra)

इस खंड में, R एक क्रमविनिमेय वलय को दर्शाता है। R का क्रुल आयाम प्रधान आदर्शों की सभी श्रृंखलाओं की लंबाई n का सर्वोच्च है ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$. यह पता चला है कि बहुपद अंगूठी $k$