स्वत: सहसंबंध (ऑटोकॉरलेशन)

ऊपर: उन लोगों के कार्य को छुपाने वाली 100 यादृच्छिक संख्याओं की श्रृंखला का प्लॉट। नीचे: साइन कार्य सहसंबंध द्वारा निर्मित एक correlogram में प्रकट हुआ।

कनवल्शन, क्रॉस-सहसंबंध और स्वतः सहसंबंध की दृश्य तुलना। कार्यों से जुड़े कार्यों के लिए f, और की ऊंचाई मानते हुए f 1.0 है, 5 अलग-अलग बिंदुओं पर परिणाम का मान प्रत्येक बिंदु के नीचे छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है। साथ ही, की समरूपता f कारण है $g*f$ और $f\star g$ इस उदाहरण में समान हैं।

स्वत: सहसंबंध जिसे कभी-कभी असतत समय के स्थिति में क्रमिक सहसंबंध के रूप में जाना जाता है एक संकेत (सूचना सिद्धांत) का सहसंबंध है जो देरी के कार्य के रूप में स्वयं की विलंबित प्रति के साथ होता है। अनौपचारिक रूप से यह उनके बीच समय अंतराल के एक कार्य के रूप में एक यादृच्छिक चर की टिप्पणियों के बीच समानता है। स्वत:सहसंबंध का विश्लेषण दोहराए जाने वाले पैटर्न खोजने के लिए एक गणितीय उपकरण है जैसे कि ध्वनि (संकेत आगे बढ़ाना ) द्वारा अस्पष्ट आवधिक संकेत की उपस्थिति या इसके लयबद्ध आवृत्तियों द्वारा निहित संकेत में लापता मौलिक आवृत्ति की पहचान करना है यह अधिकांशतः समय डोमेन संकेतों जैसे कार्यों या मानो की श्रृंखला का विश्लेषण करने के लिए संकेत प्रोसेसिंग में उपयोग किया जाता है।

अध्ययन के विभिन्न क्षेत्र स्वसंबंध को अलग तरह से परिभाषित करते हैं और ये सभी परिभाषाएँ समान नहीं हैं। कुछ क्षेत्रों में इस शब्द का प्रयोग स्वतः सहप्रसरण के साथ परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है।

इकाई जड़ प्रोसेस, प्रवृत्ति-स्थिर प्रक्रिया ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया और चलती औसत प्रक्रिया , ऑटोकॉर्पोरेशन के साथ प्रोसेस के विशिष्ट रूप हैं।

स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं का ऑटो-सहसंबंध

आँकड़ों में, एक वास्तविक या जटिल यादृच्छिक प्रक्रिया का स्वसंबंध दो बार या समय अंतराल के कार्य के रूप में अलग-अलग समय पर प्रक्रिया के मानो के बीच पियर्सन सहसंबंध गुणांक है। होने देना $\left\{X_{t}\right\}$ एक यादृच्छिक प्रक्रिया हो, और $t$ समय में कोई बिंदु हो सकता है ($t$ असतत-समय की प्रक्रिया के लिए एक पूर्णांक या निरंतर-समय की प्रक्रिया के लिए एक वास्तविक संख्या हो सकती है)। तब $X_{t}$ समय पर प्रक्रिया के दिए गए निष्पादन (कंप्यूटिंग) द्वारा उत्पादित मान (या प्राप्ति (संभावना)) है $t$. मान लीजिए कि प्रक्रिया का अर्थ $\mu _{t}$ और विचरण $\sigma _{t}^{2}$ समय $t$ पर, प्रत्येक $t$ के लिए है तब $t_{1}$ और $t_{2}$ के बीच ऑटो-सहसंबंध कार्य की परिभाषा है

$\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]$

(Eq.1)

जहाँ $\operatorname {E}$ अपेक्षित मान ऑपरेटर है और बार जटिल संयुग्मन का प्रतिनिधित्व करता है। ध्यान दें कि उम्मीद अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हो सकती है।

गुणन से पहले माध्य को घटाने पर $t_{1}$ और $t_{2}$ के बीच स्वत:-सहप्रसरण फलन प्राप्त होता है।:

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})}}\right]=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}$

(Eq.2)

ध्यान दें कि यह अभिव्यक्ति सभी समय श्रृंखला या प्रक्रियाओं के लिए अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है क्योंकि अर्थ उपस्थित नहीं हो सकता है या भिन्नता शून्य हो सकती है (निरंतर प्रक्रिया के लिए) या अनंत (वितरण वाली प्रक्रियाओं के लिए अच्छी व्यवहार वाले क्षणों की कमी जैसे कुछ निश्चित शक्ति नियम के प्रकार)।

वाइड-सेंस स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की परिभाषा

यदि $\left\{X_{t}\right\}$ एक व्यापक अर्थ वाली स्थिर प्रक्रिया है तो माध्य $\mu$ और प्रसरण $\sigma ^{2}$ समय-स्वतंत्र हैं, और आगे स्वत: सहप्रसरण कार्य केवल निर्भर करता है $t_{1}$ और $t_{2}$ के बीच अंतराल पर: स्वत: सहप्रसरण केवल मानों की जोड़ी के बीच समय-दूरी पर निर्भर करता है, किंतु समय में उनकी स्थिति पर नहीं इसका अर्थ यह भी है कि स्वत:सहसंबंध और स्वत:सहसंबंध को समय-अंतराल के कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और यह अंतराल का एक समान कार्य होगा $\tau =t_{2}-t_{1}$ यह ऑटो-सहसंबंध कार्य के लिए अधिक परिचित रूप देता है

$\operatorname {R} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]$

(Eq.3)

और स्वत: सहप्रसरण कार्य :

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]-\mu {\overline {\mu }}$

(Eq.4)

विशेष रूप से ध्यान दें

$$\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}.$$

सामान्यीकरण

समय-निर्भर पियर्सन सहसंबंध गुणांक प्राप्त करने के लिए ऑटोकोवेरियन कार्य को सामान्य करने के लिए कुछ विषयों (जैसे सांख्यिकी और समय श्रृंखला विश्लेषण) में यह सामान्य अभ्यास है। चूँकि अन्य विषयों (जैसे इंजीनियरिंग) में सामान्यीकरण को सामान्यतः छोड़ दिया जाता है और स्वत: सहसंबंध और स्वसहसंबंध का उपयोग एक दूसरे के स्थान पर किया जाता है।

स्टोकास्टिक प्रक्रिया के ऑटो-सहसंबंध गुणांक की परिभाषा है

$$\rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})}}\right]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}.$$

यदि कार्य $\rho _{XX}$ अच्छी तरह परिभाषित है इसका मान सीमा में होना चाहिए $[-1,1]$ , 1 के साथ पूर्ण सहसंबंध का संकेत और -1 पूर्ण विरोधी सहसंबंध का संकेत देता है।

स्टेशनरी प्रोसेस या वाइड-सेंस स्टेशनरी वाइड-सेंस स्टेशनरी (डब्ल्यूएसएस) प्रक्रिया के लिए परिभाषा है

$$\rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]}{\sigma ^{2}}}$$

.

सामान्यीकरण दोनों ही महत्वपूर्ण है क्योंकि एक सहसंबंध के रूप में स्वसंबंध की व्याख्या सांख्यिकीय निर्भरता की ताकत का एक मापदंड -मुक्त माप प्रदान करती है और क्योंकि सामान्यीकरण का अनुमानित स्वसंबंधों के सांख्यिकीय गुणों पर प्रभाव पड़ता है।

गुण

समरूपता संपत्ति

तथ्य यह है कि ऑटो-सहसंबंध कार्य $\operatorname {R} _{XX}$एक सम कार्य है के रूप में कहा जा सकता है

$$\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{XX}(t_{2},t_{1})}}$$

डब्ल्यूएसएस प्रक्रिया के लिए क्रमशः:

$$\operatorname {R} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{XX}(-\tau )}}.$$

शून्य पर अधिकतम

डब्ल्यूएसएस प्रक्रिया के लिए:

$$\left|\operatorname {R} _{XX}(\tau )\right|\leq \operatorname {R} _{XX}(0)$$

नोटिस जो $\operatorname {R} _{XX}(0)$ सदैव वास्तविक होता है।

कॉची-श्वार्ज असमानता

कॉची-श्वार्ज़ असमानता स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के लिए असमानता:

$$\left|\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|X_{t_{1}}|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|X_{t_{2}}|^{2}\right]$$

सफेद ध्वनि का स्वत: संबंध

निरंतर-समय के श्वेत ध्वनी संकेत के स्वत: सहसंबंध में $\tau =0$ पर एक शसक्त शिखर (एक डायराक डेल्टा कार्य द्वारा दर्शाया गया) होगा और अन्य सभी $\tau$ के लिए पूर्ण रूप से $0$ होगा।

वीनर-खिनचिन प्रमेय

वीनर-खिनचिन प्रमेय स्वतःसहसंबंध कार्य $\operatorname {R} _{XX}$ को फूरियर रूपांतरण के माध्यम से पावर वर्णक्रमीय घनत्व $\operatorname {R} _{XX}$ से संबंधित करता है:

$$\operatorname {R} _{XX}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(f)e^{i2\pi f\tau }\,{\rm {d}}f$$

$$S_{XX}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,{\rm {d}}\tau .$$

वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए सममित स्वसहसंबंध कार्य में एक वास्तविक सममित परिवर्तन होता है इसलिए वीनर-खिनचिन प्रमेय को केवल वास्तविक कोसाइन के संदर्भ में फिर से व्यक्त किया जा सकता है:

$$\operatorname {R} _{XX}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(f)\cos(2\pi f\tau )\,{\rm {d}}f$$

$$S_{XX}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )\cos(2\pi f\tau )\,{\rm {d}}\tau .$$

यादृच्छिक वैक्टर का स्वत: सहसंबंध

(संभावित रूप से समय-निर्भर) ऑटो-सहसंबंध आव्यूह (जिसे दूसरा पल भी कहा जाता है) एक (संभावित समय-निर्भर) यादृच्छिक सदिश $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ एक $n\times n$ आव्यूह है जिसमें तत्वों के रूप में यादृच्छिक सदिश $\mathbf {X}$ के तत्वों के सभी जोड़े के स्वत: संबंध हैं। स्वसहसंबंध आव्यूह का उपयोग विभिन्न डिजिटल संकेत प्रोसेसिंग एल्गोरिदम में किया जाता है।

एक यादृच्छिक सदिश के लिए $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ जिसमें ऐसे यादृच्छिक तत्व हैं जिनका अपेक्षित मान और प्रसरण उपस्थित है ऑटो-सहसंबंध आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है

$\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\rm {T}}\right]$

(Eq.5)

जहाँ ${}^{\rm {T}}$ स्थानान्तरण को दर्शाता है और इसके आयाम हैं $n\times n$.

जहाँ ${}^{\rm {T}}$ स्थानान्तरण को दर्शाता है और इसके आयाम $n\times n$ हैं।

लिखित घटक-वार:

$$\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\\\\\end{bmatrix}}$$

यदि $\mathbf {Z}$ एक जटिल यादृच्छिक सदिश है स्वसंबंध आव्यूह इसके द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\rm {H}}].$$

यहाँ ${}^{\rm {H}}$ हर्मिटियन ट्रांसपोज़ को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए यदि $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}$ एक यादृच्छिक सदिश है, फिर $\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }$ एक है $3\times 3$ आव्यूह जिसका $(i,j)$-वीं प्रविष्टि $\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]$. है

स्वत: सहसंबंध आव्यूह के गुण

• स्वसंबंध आव्यूह जटिल यादृच्छिक वैक्टर के लिए एक हर्मिटियन आव्यूह और वास्तविक यादृच्छिक वैक्टर के लिए एक सममित आव्यूह है।
• स्वसहसंबंध आव्यूह एक सकारात्मक अर्ध निश्चित आव्यूह है, अर्थात $\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ एक वास्तविक यादृच्छिक सदिश के लिए और क्रमशः $\mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$ एक जटिल यादृच्छिक सदिश के स्थिति में है।
• स्वसहसंबंध आव्यूह के सभी आइजन वैल्यूज ​​​​वास्तविक और गैर-नकारात्मक हैं।
• स्वत:-सहप्रसरण आव्यूह स्वतःसहसंबंध आव्यूह से इस प्रकार संबंधित है:
  $$\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\rm {T}}$$
  क्रमशः जटिल यादृच्छिक वैक्टर के लिए:
  $$\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]^{\rm {H}}$$

नियतात्मक संकेतों का स्वत: सहसंबंध

संकेत प्रोसेसिंग में उपरोक्त परिभाषा का उपयोग अधिकांशतः सामान्यीकरण के बिना किया जाता है, अर्थात माध्य घटाए बिना और विचरण द्वारा विभाजित किए बिना। जब स्वसहसंबंध फलन को माध्य और विचरण द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है तो इसे कभी-कभी स्वतःसहसंबंध गुणांक या स्वसहसंबंध फलन के रूप में संदर्भित किया जाता है। या स्वसहप्रसरण कार्य ।

निरंतर-समय संकेत का स्वत: सहसंबंध

एक संकेत $f(t)$ दिया गया है, निरंतर ऑटोसहसंबंध $R_{ff}(\tau )$ को अधिकांशतः $f(t)$ के निरंतर क्रॉस-सहसंबंध इंटीग्रल के रूप $\tau$ में परिभाषित किया जाता है,।

$R_{ff}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,{\rm {d}}t$

(Eq.6)

जहाँ ${\overline {f(t)}}$ , $f(t)$ के सम्मिश्र संयुग्म को प्रदर्शित करता है। ध्यान दें कि इंटीग्रल में पैरामीटर $t$ एक डमी चर है और केवल इंटीग्रल की गणना करने के लिए आवश्यक है। इसका कोई विशेष अर्थ नहीं है।

असतत-समय संकेत का स्वत: सहसंबंध

एक असतत-समय संकेत $y(n)$ के लिए अंतराल $\ell$ पर असतत स्वसहसंबंध $R$ है

$R_{yy}(\ell )=\sum _{n\in Z}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}$

(Eq.7)

उपरोक्त परिभाषाएँ उन संकेतों के लिए काम करती हैं जो वर्ग पूर्णांक या वर्ग योग योग्य हैं जो कि परिमित ऊर्जा के हैं। सदैव के लिए रहने वाले संकेतों को यादृच्छिक प्रक्रियाओं के रूप में माना जाता है जिस स्थिति में अपेक्षित मानो के आधार पर विभिन्न परिभाषाओं की आवश्यकता होती है। वाइड-सेंस-स्टेशनरी रैंडम प्रक्रिया के लिए स्वतः सहसंबंध को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$${\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f(t-\tau )}}\right]\\R_{yy}(\ell )&=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}\right].\end{aligned}}$$

उन प्रक्रियाओं के लिए जो स्थिर प्रक्रिया नहीं हैं, ये भी $t$ या $n$ के कार्य होंगे।

उन प्रक्रियाओं के लिए जो एर्गोडिक प्रक्रिया भी हैं अपेक्षा को औसत समय की सीमा से बदला जा सकता है। एर्गोडिक प्रक्रिया के स्वत: संबंध को कभी-कभी के रूप में या उसके समान परिभाषित किया जाता है

$${\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t\\R_{yy}(\ell )&=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}.\end{aligned}}$$

इन परिभाषाओं का लाभ यह है कि वे आवधिक कार्यों के लिए समझदार अच्छी तरह से परिभाषित एकल-पैरामीटर परिणाम देते हैं तब भी जब वे कार्य स्थिर एर्गोडिक प्रक्रियाओं का आउटपुट नहीं होते हैं।

वैकल्पिक रूप से संकेत जो सदैव के लिए रहते हैं उन्हें परिमित समय इंटीग्रल का उपयोग करते हुए अल्पकाल सहसंबंध कार्य विश्लेषण द्वारा उपचार किया जा सकता है। (संबंधित प्रक्रिया के लिए कम समय के फूरियर रूपांतरण देखें।)

आवधिक संकेतों के लिए परिभाषा

यदि $f$ अवधि $T$ का एक निरंतर आवधिक कार्य है, तो $-\infty$ से $\infty$ तक एकीकरण को $T$ लंबाई के किसी भी अंतराल $[t_{0},t_{0}+T]$ पर एकीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

$$R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,dt$$

जो समान है

$$R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,dt$$

गुण

निम्नलिखित में हम केवल एक-आयामी स्वसहसंबंधों के गुणों का वर्णन करेंगे क्योंकि अधिकांश गुण आसानी से एक-आयामी स्थिति से बहु-आयामी स्थितियो में स्थानांतरित हो जाते हैं। ये गुण स्थिर प्रक्रिया या अशक्त या व्यापक अर्थ वाली स्थिरता व्यापक अर्थ वाली स्थिर प्रक्रियाओं के लिए मान्य हैं।

• स्वसहसंबंध की एक मौलिक संपत्ति समरूपता है, $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$, जिसे परिभाषा से सिद्ध करना आसान है। निरंतर स्थिति में,
  • स्वतःसंबंध एक समान कार्य है $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )$ जब $f$ एक वास्तविक कार्य है और
  • स्वतःसंबंध एक हर्मिटियन कार्य है $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )$ जब $f$ एक जटिल कार्य है।
• निरंतर स्वतःसंबंध कार्य मूल बिंदु पर अपने चरम पर पहुंच जाता है जहां यह वास्तविक मान लेता है अर्थात किसी भी देरी के लिए $\tau$, $|R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)$. यह पुनर्व्यवस्था असमानता का परिणाम है। असतत स्थिति में वही परिणाम होता है।
• एक आवधिक कार्य का स्वत: संबंध उसी अवधि के साथ आवधिक है।
• दो पूरी तरह से असंबद्ध कार्यों के योग का स्वत: सहसंबंध (सभी $\tau$ के लिए क्रॉस-सहसंबंध शून्य है) प्रत्येक कार्य के अलग-अलग स्वत: सहसंबंधों का योग है।
• चूंकि स्वसहसंबंध एक विशिष्ट प्रकार का क्रॉस-सहसंबंध है, यह क्रॉस-सहसंबंध के सभी गुणों को बनाए रखता है।
• प्रतीक का प्रयोग करके $*$ दृढ़ संकल्प का प्रतिनिधित्व करने के लिए और $g_{-1}$ एक कार्य है जो कार्य $f$ में हेरफेर करता है और इसे $g_{-1}(f)(t)=f(-t)$, परिभाषा के रूप में परिभाषित किया गया है $R_{ff}(\tau )$ के लिए इस प्रकार लिखा जा सकता है:
  $$R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f}}))(\tau )$$

बहु-आयामी स्वसहसंबंध

बहु-आयामी स्वसंबंध को इसी तरह परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक वर्ग-संकलनीय असतत संकेत का स्वत: संबंध होगा

$$R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,{\overline {x}}_{n-j,q-k,r-\ell }.$$

जब माध्य मानों को एक स्वत:सहसंबंध कार्य की गणना करने से पहले संकेतों से घटाया जाता है तो परिणामी कार्य को सामान्यतः एक ऑटो-सहप्रसरण कार्य कहा जाता है।

कुशल गणना

असतत संकेत अनुक्रम के रूप में व्यक्त किए गए डेटा के लिए उच्च एल्गोरिथम दक्षता के साथ स्वत: सहसंबंध की गणना करना अधिकांशतः आवश्यक होता है। संकेत प्रोसेसिंग परिभाषा के आधार पर एक क्रूर बल विधि $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ संकेत का आकार छोटा होने पर उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए वास्तविक संकेत अनुक्रम के स्वत: सहसंबंध की गणना करने के लिए $x=(2,3,-1)$ (अर्थात। $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$, और $x_{i}=0$ के अन्य सभी i मानो के लिए ) हाथ से हम पहले यह पहचानते हैं कि अभी दी गई परिभाषा सामान्य गुणन के समान है, किंतु सही बदलाव के साथ, जहां प्रत्येक ऊर्ध्वाधर जोड़ विशेष अंतराल मानों के लिए स्वतःसंबंध देता है:

$${\begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\\\times &2&3&-1\\\hline &-2&-3&1\\&&6&9&-3\\+&&&4&6&-2\\\hline &-2&3&14&3&-2\end{array}}$$

इस प्रकार आवश्यक स्वत: सहसंबंध अनुक्रम $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ है, जहाँ $R_{xx}(0)=14,$$R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$और$R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,$ अन्य लैग मान शून्य होने के लिए स्वत: सहसंबंध इस गणना में हम योग के समय कैरी-ओवर ऑपरेशन नहीं करते हैं जैसा कि सामान्य गुणन में होता है। ध्यान दें कि हम स्वतःसंबंध की अंतर्निहित समरूपता का समुपयोजन प्रावस्था करके आवश्यक संचालन की संख्या को आधा कर सकते हैं। अगर सिग्नल आवधिक होता है, जिससे $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ तो हमें एक वृत्ताकार स्वतःसंबंध मिलता है (वृत्ताकार कनवल्शन के समान) जहां पिछले स्वत:सहसंबंध अनुक्रम के बाएँ और दाएँ पुच्छ ओवरलैप करेंगे और $R_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )$ देंगे जिसकी अवधि संकेत के समान है अनुक्रम $x.$ प्रक्रिया को असतत सिग्नल के जेड-रूपांतरण की कनवल्शन संपत्ति के अनुप्रयोग के रूप में माना जा सकता है।

जबकि ब्रूट फ़ोर्स एल्गोरिथम क्रम n² है, कई कुशल एल्गोरिदम उपस्थित हैं जो क्रम n log(n) में स्वत: सहसंबंध की गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए वीनर-खिनचिन प्रमेय कच्चे डेटा X(t) से दो तेज़ फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) के साथ स्वत: सहसंबंध की गणना करने की अनुमति देता है:

$${\begin{aligned}F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}$$

जहां आईएफएफटी उत्क्रम तेजी से फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। तारांकन जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

वैकल्पिक रूप से, कम τ मानों के लिए क्रूर बल गणना का उपयोग करके एक बहु τ सहसंबंध किया जा सकता है, और फिर उच्च मूल्यों की गणना करने के लिए लॉगरिदमिक घनत्व के साथ X(t) डेटा को क्रमिक रूप से बिनिंग किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप समान n log(n) दक्षता होती है, किंतु कम स्मृति आवश्यकताओं के साथ है।

अनुमान

ज्ञात माध्य और विचरण के साथ असतत प्रक्रिया के लिए जिसके लिए हम $n$ अवलोकन $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$ देखते हैं, स्वत: सहसंबंध गुणांक का अनुमान हो सकता है के रूप में प्राप्त करें

$${\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-\mu )(X_{t+k}-\mu )$$

किसी भी धनात्मक पूर्णांक$k<n$ के लिए जब सही माध्य $\mu$ और प्रसरण $\sigma ^{2}$ ज्ञात हों तो यह अनुमान निष्पक्ष होता है। यदि प्रक्रिया का सही माध्य और प्रसरण ज्ञात नहीं है तो कई संभावनाएँ हैं:

• यदि $\mu$ और $\sigma ^{2}$ नमूना माध्य और नमूना भिन्नता के लिए मानक सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह एक पक्षपाती अनुमानक है।
• एक पीरियोग्राम-आधारित अनुमान $n-k$ को उपरोक्त सूत्र में $n$ से बदल देता है। यह अनुमान सदैव पक्षपाती होता है चूँकि इसमें सामान्यतः एक छोटी माध्य चुकता त्रुटि होती है।
• अन्य संभावनाएं डेटा के दो भागों $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}$ और $\{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$ अलग से और अनुमान को परिभाषित करने में उपयोग के लिए अलग-अलग नमूना साधनों और/या नमूना भिन्नताओं की गणना करना है

अंतिम प्रकार के अनुमानों का लाभ यह है कि अनुमानित स्वसंबंधों का एक कार्य के रूप में सेट $k$, फिर एक ऐसा कार्य बनाएं जो इस अर्थ में एक वैध स्वत: संबंध है कि एक सैद्धांतिक प्रक्रिया को परिभाषित करना संभव है जो वास्तव में स्वत: संबंध है। अन्य अनुमान समस्या से पीड़ित हो सकते हैं, यदि उनका उपयोग $X$ के रैखिक संयोजन के भिन्नता की गणना करने के लिए किया जाता है परिकलित किया गया प्रसरण ऋणात्मक हो सकता है।

प्रतिगमन विश्लेषण

समय श्रृंखला विश्लेषण का उपयोग करते हुए प्रतिगमन विश्लेषण में, रुचि के एक चर में स्वत: सहसंबंध सामान्यतः या तो एक ऑटोरेग्रेसिव मॉडल (एआर), एक चलती औसत मॉडल (एमए) के साथ तैयार किया जाता है, एक ऑटोरेग्रेसिव-मूविंग-एवरेज मॉडल (एआरएमए) के रूप में उनका संयोजन या एक उत्तरार्द्ध के विस्तार को ऑटोरेग्रेसिव इंटीग्रेटेड मूविंग एवरेज मॉडल (अरिमा) कहा जाता है। एकाधिक परस्पर संबंधित डेटा श्रृंखला के साथ, सदिश ऑटोरिग्रेशन (वीएआर) या इसके एक्सटेंशन का उपयोग किया जाता है।

सामान्य कम से कम वर्गों (ओएलएस) में एक मॉडल विनिर्देश की पर्याप्तता को यह स्थापित करके जांचा जा सकता है कि आंकड़ों में त्रुटियों और अवशिष्टों का स्वत: संबंध है या नहीं त्रुटियों के समस्याग्रस्त स्वतःसंबंध जो स्वयं अप्रमाणित हैं का सामान्यतः पता लगाया जा सकता है क्योंकि यह अवलोकन योग्य अवशेषों में स्वतःसंबंध उत्पन्न करता है। (त्रुटियों को अर्थमिति में त्रुटि नियमो के रूप में भी जाना जाता है।) त्रुटियों का स्वत: सहसंबंध सामान्य कम से कम वर्ग धारणा का उल्लंघन करता है कि त्रुटि नियमो असंबद्ध हैं जिसका अर्थ है कि गॉस-मार्कोव प्रमेय प्रयुक्त नहीं होता है और यह कि ओएलएस अनुमानक अब सर्वश्रेष्ठ रैखिक नहीं हैं निष्पक्ष अनुमानक (नीला)। चूँकि यह ओएलएस गुणांक अनुमानों को पूर्वाग्रह नहीं करता है, मानक त्रुटि (सांख्यिकी) को कम करके आंका जाता है (और टी-सांख्यिकी को अधिक अनुमानित) जब कम अंतराल पर त्रुटियों के स्वतः संबंध सकारात्मक होते हैं।

प्रथम-क्रम स्वसहसंबंध की उपस्थिति के लिए पारंपरिक परीक्षण डर्बिन-वाटसन आँकड़ा है या यदि व्याख्यात्मक चर में एक लैग्ड निर्भर चर सम्मिलित है तो डर्बिन-वाटसन आँकड़ा या डर्बिन एच सांख्यिकी डर्बिन-वाटसन को मानो और उनके अंतराल के बीच पियरसन सहसंबंध के लिए रैखिक रूप से मैप किया जा सकता है। एक अधिक लचीला परीक्षण, उच्च आदेशों के स्वत: सहसंबंध को कवर करता है और यह प्रयुक्त होता है कि रजिस्टरों में आश्रित चर के अंतराल सम्मिलित हैं या नहीं यह ब्रुश-गॉडफ्रे परीक्षण है। इसमें एक सहायक प्रतिगमन सम्मिलित है, जिसमें ब्याज के मॉडल का अनुमान लगाने से प्राप्त अवशिष्टों को (ए) मूल प्रतिगामी और (बी) अवशिष्टों के के अंतराल पर, जहां 'के' परीक्षण का क्रम है, पर प्रतिगमन किया जाता है। इस सहायक प्रतिगमन से परीक्षण आँकड़ों का सबसे सरल संस्करण TR² है, जहां T नमूना आकार है और R² दृढ़ संकल्प का गुणांक है। बिना किसी स्वसहसंबंध की अशक्त परिकल्पना के तहत, यह आँकड़ा स्पर्शोन्मुख रूप से स्वतंत्रता की k डिग्री के साथ $\chi ^{2}$ के रूप में वितरित किया जाता है।

गैर-शून्य स्वतःसहसंबंध की प्रतिक्रियाओं में सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग और न्यूये वेस्ट|न्यूए-वेस्ट एचएसी अनुमानक (हेटेरोस्केडैस्टिकिटी और ऑटोसहसंबंध संगत) सम्मिलित हैं।

मूविंग एवरेज मॉडल (MA) के अनुमान में, सम्मिलित किए जाने वाले लैग्ड एरर टर्म्स की उचित संख्या निर्धारित करने के लिए सहसंबंध कार्य का उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य पर आधारित है कि क्रम q की एमए प्रक्रिया के लिए, हमारे पास $R(\tau )\neq 0$, के लिए $\tau =0,1,\ldots ,q$, और $R(\tau )=0$, के लिए $\tau >q$ है

अनुप्रयोग

• आणविक-स्तर के प्रसार और रासायनिक प्रतिक्रियाओं में मात्रात्मक अंतर्दृष्टि प्रदान करने के लिए प्रतिदीप्ति सहसंबंध स्पेक्ट्रोस्कोपी में स्वत: सहसंबंध विश्लेषण का भारी उपयोग किया जाता है।
• स्वसहसंबंध का एक अन्य अनुप्रयोग ऑप्टिकल स्पेक्ट्रम का मापन है और ऑप्टिकल ऑटोसहसंबंध का उपयोग करते हुए लेज़र द्वारा उत्पादित बहुत कम अवधि के प्रकाश अल्ट्राशॉर्ट पल्स का मापन है।
• स्वत: सहसंबंध का उपयोग गतिशील प्रकाश बिखरने वाले डेटा का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जो विशेष रूप से नैनोमीटर आकार के कणों या द्रव में निलंबित मिसेल के कण आकार के वितरण के निर्धारण को सक्षम बनाता है। मिश्रण में चमकने वाला एक लेज़र एक कनी पैटर्न का निर्माण करता है जो कणों की गति से उत्पन्न होता है। कणों के प्रसार के संदर्भ में संकेत के स्वत: संबंध का विश्लेषण किया जा सकता है। इससे द्रव की श्यानता जानकर कणों के आकार की गणना की जा सकती है।
• उपग्रहों पर वाहक संकेत के प्रसारण के समय बिंदु और जमीन पर रिसीवर के समय बिंदु के बीच प्रचार विलंब, या समय बदलाव के लिए सही करने के लिए जीपीएस प्रणाली में उपयोग किया जाता है। यह रिसीवर द्वारा 1,023-बिट C/A (मोटे/अधिग्रहण) कोड की प्रतिकृति संकेत उत्पन्न करने और एक समय में दस के पैकेट में कोड चिप्स [-1,1] की लाइनें उत्पन्न करने या 10,230 चिप्स (1,023 × 10) द्वारा किया जाता है।) आने वाले उपग्रह संकेत में डॉपलर शिफ्ट के लिए समायोजित करने के लिए थोड़ा सा स्थानांतरित करना, जब तक रिसीवर प्रतिकृति संकेत और सैटे प्रकाश संकेत कोड मेल नहीं खाते।
• एक नैनोसंरचित प्रणाली की लघु-कोण एक्स-रे प्रकीर्णन तीव्रता इलेक्ट्रॉन घनत्व के स्थानिक स्वतःसंबंध कार्य का फूरियर रूपांतरण है।
• सतह विज्ञान और स्कैनिंग जांच माइक्रोस्कोपी में सतह आकृति विज्ञान और कार्यात्मक विशेषताओं के बीच एक कड़ी स्थापित करने के लिए स्वत: सहसंबंध का उपयोग किया जाता है।
• प्रकाशिकी में, सामान्यीकृत स्वसहसंबंध और क्रॉस-सहसंबंध एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के सुसंगतता की डिग्री देते हैं।
• संकेत प्रोसेसिंग में, स्वत: सहसंबंध बीट (संगीत) (उदाहरण के लिए, टेम्पो निर्धारित करने के लिए) या पलसर आवृत्ति जैसी घटनाओं को दोहराने के बारे में जानकारी दे सकता है, चूँकि यह बीट के समय में स्थिति नहीं बता सकता है। इसका उपयोग पिच डिटेक्शन एल्गोरिदम के लिए भी किया जा सकता है।
• संगीत रिकॉर्डिंग में, स्व-सहसंबंध का उपयोग मुखर प्रसंस्करण से पहले एक विरूपण (संगीत) प्रभाव के रूप में या अवांछित गलतियों और अशुद्धियों को खत्म करने के लिए पिच डिटेक्शन एल्गोरिदम के रूप में किया जाता है।
• पैटरसन कार्य के माध्यम से समय के बजाय अंतरिक्ष में स्वत: सहसंबंध का उपयोग एक्स-रे विवर्तनवादियों द्वारा अकेले विवर्तन के माध्यम से उपलब्ध परमाणु स्थितियों पर फूरियर चरण की जानकारी को पुनर्प्राप्त करने में सहायता करने के लिए किया जाता है।
• आँकड़ों में नमूना स्थानों के बीच स्थानिक स्वसंबंध भी विषम जनसंख्या का नमूना लेते समय भिन्नता सामान्यीकरण का अनुमान लगाने में सहायता करता है।
• मास स्पेक्ट्रम का विश्लेषण करने के लिए सेकुएस्ट एल्गोरिथ्म एक पेप्टाइड का प्रतिनिधित्व करने वाले एक आदर्श स्पेक्ट्रम के लिए एक देखे गए स्पेक्ट्रम की समानता को स्कोर करने के लिए क्रॉस-सहसंबंध के संयोजन के साथ सहसंबंध का उपयोग करता है।
• खगोल भौतिकी में ब्रह्माण्ड में आकाशगंगा के स्थानिक वितरण का अध्ययन और लक्षण वर्णन करने के लिए और कम द्रव्यमान वाले एक्स-रे बाइनरी
• पैनल डेटा में, स्थानिक स्वसंबंध अंतरिक्ष के माध्यम से एक चर के सहसंबंध को संदर्भित करता है।
• मार्कोव चेन मोंटे कार्लो डेटा के विश्लेषण में सही त्रुटि निर्धारण के लिए स्वत: सहसंबंध को ध्यान में रखा जाना चाहिए।
• भूविज्ञान में (विशेष रूप से भूभौतिकी में) इसका उपयोग भूमिगत के एक 3डी भूकंपीय सर्वेक्षण से स्वसंबंध भूकंपीय विशेषता की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
• चिकित्सा अल्ट्रासाउंड इमेजिंग में रक्त प्रवाह को देखने के लिए स्वतः सहसंबंध का उपयोग किया जाता है।
• इंटरटेम्पोरल पोर्टफोलियो विकल्प में किसी परिसंपत्ति की वापसी की दर में स्वत: सहसंबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति उस संपत्ति में रखने के लिए पोर्टफोलियो के इष्टतम भाग को प्रभावित कर सकती है।
• संख्यात्मक रिले में पावर प्रणाली आवृत्ति को स्पष्ट रूप से मापने के लिए सहसंबंध का उपयोग किया गया है।

क्रमिक निर्भरता

क्रमिक निर्भरता स्वसहसंबंध की धारणा से निकटता से जुड़ी हुई है किंतु एक अलग अवधारणा का प्रतिनिधित्व करती है (सहसंबंध और निर्भरता देखें)। विशेष रूप से, क्रमिक निर्भरता होना संभव है किंतु कोई (रैखिक) सहसंबंध नहीं है। चूँकि कुछ क्षेत्रों में दो शब्दों को पर्यायवाची के रूप में उपयोग किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर की एक समय श्रृंखला में क्रमिक निर्भरता होती है यदि श्रृंखला में किसी समय $t$ का मान सांख्यिकीय रूप से किसी अन्य समय $s$ पर मान पर निर्भर करता है। यदि किसी जोड़ी के बीच कोई निर्भरता नहीं है तो एक श्रृंखला क्रमिक रूप से स्वतंत्र होती है।

यदि एक समय श्रृंखला $\left\{X_{t}\right\}$ स्थिर है, तो जोड़ी $(X_{t},X_{s})$के बीच सांख्यिकीय निर्भरता का अर्थ यह होगा कि सांख्यिकीय है एक ही अंतराल $\tau =s-t$ पर मानों के सभी युग्मों के बीच निर्भरता है।

यह भी देखें

• स्वतःसंबंध आव्यूह
• स्वतःसंबंध विधि
• स्वतःसंबंध (शब्द)
• स्वत:सहसंबंधक
• सहसंबंध कार्य
• कोरेलोग्राम
• पार सहसंबंध
• गैल्टन की समस्या
• आंशिक स्वसहसंबंध कार्य
• प्रतिदीप्ति सहसंबंध स्पेक्ट्रोस्कोपी
• ऑप्टिकल ऑटोकॉर्पोरेशन
• पिच डिटेक्शन एल्गोरिदम
• ट्रिपल सहसंबंध
• रिवाज़
• कोक्रेन-ऑर्कट अनुमान (स्वत: सहसंबद्ध त्रुटि नियमो के लिए परिवर्तन)
• प्रैस-विंस्टन परिवर्तन
• स्केल सहसंबंध
• मानक विचलन का निष्पक्ष अनुमान या स्वसंबंध का प्रभाव (क्रमिक सहसंबंध)

अग्रिम पठन

• Kmenta, Jan (1986). Elements of Econometrics (Second ed.). New York: Macmillan. pp. 298–334. ISBN 978-0-02-365070-3.
• Marno Verbeek (10 August 2017). A Guide to Modern Econometrics. Wiley. ISBN 978-1-119-40110-0.
• Mojtaba Soltanalian, and Petre Stoica. "Computational design of sequences with good correlation properties." IEEE Transactions on Signal Processing, 60.5 (2012): 2180–2193.
• Solomon W. Golomb, and Guang Gong. Signal design for good correlation: for wireless communication, cryptography, and radar. Cambridge University Press, 2005.
• Klapetek, Petr (2018). Quantitative Data Processing in Scanning Probe Microscopy: SPM Applications for Nanometrology (Second ed.). Elsevier. pp. 108–112 ISBN 9780128133477.
• Weisstein, Eric W. "Autocorrelation". MathWorld.