सातत्य समीकरण

सांतत्य समीकरण या अभिगमन समीकरण एक समीकरण है जो कुछ राशि के अभिगमन का वर्णन करता है। संरक्षित राशि पर प्रयुक्त होने पर यह विशेष रूप से सरल और प्रभावशाली होता है, लेकिन इसे किसी भी व्यापक राशि पर प्रयुक्त करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। चूँकि द्रव्यमान, ऊर्जा, संवेग, विद्युत आवेश और अन्य प्राकृतिक राशि उनकी संबंधित उपयुक्त परिस्थितियों में संरक्षित होती हैं, इसलिए सांतत्य समीकरणों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की भौतिक घटनाओं का वर्णन किया जा सकता है।

सांतत्य समीकरण संरक्षण नियम (भौतिकी) का एक प्रबल, स्थानीय रूप है। उदाहरण के लिए, ऊर्जा संरक्षण के नियम का एक दुर्बल संस्करण बताता है कि ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है - अर्थात, ब्रह्मांड में ऊर्जा की कुल राशि निश्चित है। यह कथन इस संभावना से अस्वीकृत नहीं करता है कि ऊर्जा की एक राशि एक बिंदु से नष्ट हो सकती है जबकि एक साथ दूसरे बिंदु पर दिखाई दे सकती है। एक प्रबल कथन यह है कि ऊर्जा स्थानीय रूप से संरक्षित होती है: ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है, न ही इसे एक स्थान से दूसरे स्थान पर "स्थानांतरण" किया जा सकता है - यह केवल निरंतर प्रवाह (फ्लक्स) द्वारा स्थानांतरित हो सकती है। सांतत्य समीकरण इस प्रकार के कथन को व्यक्त करने का गणितीय तरीका है। उदाहरण के लिए, विद्युत आवेश के लिए सांतत्य समीकरण बताता है कि स्थान के किसी भी आयतन में विद्युत आवेश की मात्रा केवल उस आयतन की सीमाओं के माध्यम से उसके अंदर या बाहर प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा की राशि से बदल सकती है।

सांतत्य समीकरणों में सामान्य रूप से स्रोत और सिंक शब्द सम्मिलित हो सकते हैं, जो उन्हें उन राशियों का वर्णन करने की अनुमति देते हैं जो प्रायः होती हैं लेकिन सदैव संरक्षित नहीं होती हैं, जैसे आणविक प्रजातियों का घनत्व जो रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा बनाया या नष्ट किया जा सकता है। दैनिक जीवन के उदाहरण में, जीवित लोगों की संख्या के लिए एक सांतत्य समीकरण है; इसमें जन्म लेने वाले लोगों के लिए एक स्रोत शब्द है, और मरने वाले लोगों के लिए एक सिंक शब्द है।

किकिसी भी सांतत्य समीकरण को "समाकल रूप" (प्रवाह समाकल के संदर्भ में) में व्यक्त किया जा सकता है, जो किसी भी परिमित क्षेत्र पर प्रयुक्त होता है, या "अवकल रूप" (विचलन संचालिका के संदर्भ में) में व्यक्त किया जा सकता है जो एक बिंदु पर प्रयुक्त होता है।

सांतत्य समीकरण अधिक विशिष्ट अभिगमन समीकरणों जैसे कि संवहन-प्रसार समीकरण, बोल्ट्ज़मैन अभिगमन समीकरण और नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के अंतर्गत आते हैं।

सांतत्य समीकरणों द्वारा नियंत्रित प्रवाह को सैंकी आरेख का उपयोग करके देखा जा सकता है।

सामान्य समीकरण

प्रवाह की परिभाषा

Main article: प्रवाह

जब प्रवाह को परिभाषित किया जा सकता है तो सांतत्य समीकरण उपयोगी होता है। प्रवाह को परिभाषित करने के लिए सबसे पहले एक मात्रा q होनी चाहिए जो प्रवाहित या गति कर सके, जैसे द्रव्यमान, ऊर्जा, विद्युत आवेश, संवेग, अणुओं की संख्या, आदि सम्मिलित है। मान लीजिए ρ इस राशि का आयतन घनत्व है जो प्रति इकाई आयतन q की मात्रा है।

जिस तरह से यह मात्रा q प्रवाहित हो रही है उसका वर्णन इसके प्रवाह द्वारा किया जाता है। q का प्रवाह एक सदिश क्षेत्र है, जिसे हम j के रूप में दर्शाते हैं। यहां प्रवाह के कुछ उदाहरण और गुण दिए गए हैं:

• प्रवाह का आयाम "एक इकाई क्षेत्र के माध्यम से प्रति इकाई समय में प्रवाहित q की मात्रा" है। उदाहरण के लिए, प्रवाहित पानी के लिए द्रव्यमान सांतत्य समीकरण में, यदि 1 cm² प्रतिनिध्यात्मक क्षेत्र वाले पाइप के माध्यम से 1 ग्राम प्रति सेकंड पानी प्रवाहित हो रहा है, तो पाइप के अंदर औसत द्रव्यमान प्रवाह j (1 g/s)/cm² है। और इसकी दिशा पाइप के साथ उस दिशा में होती है जिस दिशा में पानी प्रवाहित हो रहा है। पाइप के बाहर, जहां पानी नहीं है, प्रवाह शून्य है।
• यदि कोई वेग क्षेत्र u है जो प्रासंगिक प्रवाह का वर्णन करता है - दूसरे शब्दों में, यदि बिंदु x पर सभी मात्रा q वेग u(x) के साथ घूम रही है - तो परिभाषा के अनुसार प्रवाह वेग क्षेत्र के घनत्व गुना के समतुल्य है :

$$\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}$$

उदाहरण के लिए, यदि प्रवाहित पानी के द्रव्यमान सांतत्य समीकरण में, u प्रत्येक बिंदु पर पानी का वेग है, और ρ प्रत्येक बिंदु पर पानी का घनत्व है, तब j द्रव्यमान प्रवाह होगा।

• एक प्रचलित उदाहरण में, विद्युत आवेश का प्रवाह विद्युत प्रवाह घनत्व है।

एक मात्रा q का प्रवाह j एक विवृत सतह S से कैसे गुजरता है इसका (dS अवकल सदिश क्षेत्र है) चित्रण है।

• यदि कोई काल्पनिक सतह S है, तो S पर प्रवाह का सतह समाकल q की मात्रा के समतुल्य है जो प्रति इकाई समय में सतह S से गुजर रहा है:

$({\text{Rate that }}q{\text{ is flowing through the imaginary surface }}S)=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

जिसमें ${\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }$ एक सतह समाकल है।

ध्यान दें कि जिस अवधारणा को यहां ''प्रवाह'' कहा गया है, उसे कुछ साहित्य में वैकल्पिक रूप से "प्रवाह घनत्व" कहा जाता है, जिसके संदर्भ में ''प्रवाह'' या प्रवाह घनत्व के सतह समाकल को दर्शाता है। विवरण के लिए प्रवाह पर मुख्य लेख देखें।

समाकल रूप

सांतत्य समीकरण का समाकल रूप बताता है कि:

• किसी क्षेत्र में q की मात्रा तब बढ़ती है जब अतिरिक्त q क्षेत्र की सतह से अंदर की ओर प्रवाहित है, और जब यह बाहर की ओर प्रवाहित है तो घट जाती है;
• किसी क्षेत्र में q की मात्रा तब बढ़ती है जब क्षेत्र के अंदर नया q बनाया जाता है, और q नष्ट होने पर घट जाती है;
• इन दो प्रक्रियाओं के अतिरिक्त, किसी क्षेत्र में q की मात्रा को बदलने का कोई अन्य तरीका नहीं है।

गणितीय रूप से, आयतन V के अंदर q की वृद्धि की दर को व्यक्त करने वाले सांतत्य समीकरण का समाकल रूप है:

${\frac {dq}{dt}}+$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

सांतत्य समीकरण के समाकल रूप में, S कोई भी संवृत सतह है जो पूरी तरह से राशि V बाईं ओर की किसी भी सतह को घेरती है। S सीमाओं वाली सतह नहीं हो सकती, जैसे कि दाईं ओर स्थित है। (सतहें नीली हैं, सीमाएँ लाल हैं।)

जहां

• S कोई काल्पनिक संवृत सतह है, जो आयतन V को घेरती है,
• S dS उस संवृत सतह पर सतह समाकल को दर्शाता है,
• q आयतन V में मात्रा की कुल राशि है,
• j, q का प्रवाह है
• t समय है,
• Σ वह शुद्ध दर है जो प्रति इकाई समय में आयतन V के अंदर q उत्पन्न हो रही है। जब q उत्पन्न हो रहा है, तो इसे q का स्रोत कहा जाता है, और यह Σ को अधिक धनात्मक बनाता है। जब q नष्ट हो रहा है, तो इसे q का सिंक कहा जाता है, और यह Σ को और अधिक ऋणात्मक बनाता है। इस शब्द को कभी-कभी $dq/dt|_{\text{gen}}$ या नियंत्रण आयतन के अंदर इसकी उत्पत्ति या विनाश से q के कुल परिवर्तन के रूप में लिखा जाता है।

एक सरल उदाहरण में, V एक भवन हो सकती है, और q भवन में लोगों की संख्या हो सकती है। सतह S में भवन की दीवारें, प्रवेश द्वार, छत और नींव सम्मिलित होगी। फिर सांतत्य समीकरण बताता है कि जब लोग भवन में प्रवेश करते हैं तो भवन में लोगों की संख्या (सतह के माध्यम से एक आंतरिक प्रवाह) बढ़ जाती है, जब लोग भवन से बाहर निकलते हैं तो (सतह के माध्यम से एक बाहरी प्रवाह) घट जाती है, जब भवन में कोई जन्म देता है तो (एक स्रोत, Σ > 0) बढ़ जाती है और जब भवन में किसी की मृत्यु हो जाती है तब (एक सिंक, Σ < 0) घट जाती है।

अवकल रूप

See also: संरक्षण नियम और संरक्षण प्ररूप

विचलन प्रमेय द्वारा, एक सामान्य सांतत्य समीकरण को अवकल रूप में भी लिखा जा सकता है:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma$

जहां

• ∇⋅ विचलन है,
• ρ प्रति इकाई आयतन की मात्रा q की मात्रा है,
• j, q का प्रवाह घनत्व है
• t समय है,
• σ प्रति इकाई समय में प्रति इकाई आयतन q की उत्पत्ति है। वे शब्द जो q (अर्थात, σ > 0) उत्पन्न करते हैं या q (अर्थात, σ < 0) को हटाते हैं, उन्हें क्रमशः "स्रोत" और "सिंक" कहा जाता है।

इस सामान्य समीकरण का उपयोग किसी भी सांतत्य समीकरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जो आयतन सांतत्य समीकरण के रूप में सरल से लेकर नेवियर-स्टोक्स समीकरण के रूप में जटिल है। यह समीकरण संवहन समीकरण का भी सामान्यीकरण करता है। भौतिकी में अन्य समीकरण, जैसे कि विद्युत क्षेत्र का गॉस का नियम और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम, सांतत्य समीकरण के समान गणितीय रूप है, लेकिन सामान्य रूप से पद सांतत्य समीकरण द्वारा संदर्भित नहीं किया जाता है, क्योंकि j उन स्थितियों में वास्तविक भौतिक राशि के प्रवाह का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

उस स्थितियो में q एक संरक्षण नियम (भौतिकी) है जिसे (जैसे ऊर्जा) बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता, σ = 0 और समीकरण बन जाते हैं:

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$$

विद्युत चुंबकत्व

Main article: आवेश संरक्षण

विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत में, सांतत्य समीकरण एक अनुभवजन्य नियम है जो आवेश संरक्षण (स्थानीय) व्यक्त करता है। गणितीय रूप से यह मैक्सवेल के समीकरणों का स्वत: परिणाम है, हालांकि आवेश संरक्षण मैक्सवेल के समीकरणों की तुलना में अधिक मौलिक है। इसमें कहा गया है कि धारा घनत्व J (एम्पीयर प्रति वर्ग मीटर में) का विचलन आवेश घनत्व ρ (कूलम्ब प्रति घन मीटर में) के परिवर्तन की ऋणात्मक दर के समतुल्य है।

$$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$$

मै