सप्तभुज

Regular heptagon
File:Regular polygon 7 annotated.svg A regular heptagon
प्रकार	Regular polygon
किनारेs और कोने	7
स्लीपी सिंबल	{7}
कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख एस	File:CDel node 1.pngFile:CDel 7.pngFile:CDel node.png
समरूपता समूह	Dihedral (D7), order 2×7
आंतरिक कोण (डिग्री)	≈128.571°
गुण	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

ज्यामिति में, एक सप्तभुज या सप्तभुज एक सात भुजाओं वाला बहुभुज या 7-गॉन होता है।

सप्तभुज को कभी-कभी ग्रीक प्रत्यय "-एगॉन" अर्थ कोण के साथ "सेप्ट-" (सेप्टुआ का एक अंश-, लैटिन-व्युत्पन्न संख्यात्मक उपसर्ग, हेप्टा- के बदले,  ग्रीक-व्युत्पन्न संख्यात्मक उपसर्ग; दोनों सजातीय हैं) का प्रयोग करके सेप्टागन के रूप में संदर्भित किया जाता है।

सम सप्तभुज

सम-सप्तभुज, जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हैं, का आंतरिक कोण 5π/7 रेडियन (1284⁄7 डिग्री (कोण) हैं। इसका स्याफ्ली प्रतीक (Schläfli symbol) {7} है।

क्षेत्र

भुजा (साइड) लंबाई a के एक सम सप्तभुज का क्षेत्रफल (A) द्वारा दिया गया है:

$A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}.$

इसे केंद्र में और सप्तभुज के शीर्ष पर इकाई-पक्षीय सप्तभुज को सात त्रिकोणीय "पाई स्लाइस" में उप-विभाजित करके देखा जा सकता है और फिर प्रत्येक त्रिकोण को अंतःत्रिज्या को सामान्य पक्ष के रूप में उपयोग करके देखा जा सकता है। अंतःत्रिज्या का आधा कोटिस्पर्श है $\pi /7,$ और 14 छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या का एक-चौथाई है।

त्रिज्या R के एक वृत्त में खुदे हुए एक सम-सप्तभुज का क्षेत्रफल है ${\tfrac {7R^{2}}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{7}},$ जबकि वृत्त का क्षेत्रफल ऐसा है $\pi R^{2};$ कि सम-सप्तभुज इसके परिधि वाले वृत्त का लगभग 0.8710 भाग भर जाता है।

निर्माण

जैसा कि 7 एक पियरपोंट प्राइम है, लेकिन फर्मेट प्राइम नहीं है, सम सप्तभुज कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ निर्माण योग्य बहुभुज नहीं है, लेकिन चिह्नित मापक और कम्पास निर्माण योग्य है। इस गुण के साथ सबसे छोटा सम-बहुभुज है। इस प्रकार के निर्माण को न्यूसिस निर्माण कहा जाता है। यह कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर के साथ भी रचनात्मक है। स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की असंभवता इस अवलोकन से होती है कि $\scriptstyle {2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}\approx 1.247}$ अखंडनीय बहुपद घनीय फलन का शून्य है x³ + x² − 2x − 1. नतीजतन, यह बहुपद का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) है 2cos(2π⁄7), जबकि स्वीकार्य संख्या के लिए न्यूनतम बहुपद की डिग्री 2 की पावर होनी चाहिए।

File:Neusis-heptagon.png सम सप्तभुज में आंतरिक कोण का एक नया निर्माण है।

File:01-Siebeneck-Tomahawk-Animation.gif एंड्रयू एम. ग्लीसन के अनुसार, टॉमहॉक के माध्यम से कोण ट्राइसेक्शन के आधार पर परिवृत्त ${\overline {OA}}=6$ की त्रिज्या के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन है। यह निर्माण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि $6\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)=2{\sqrt {7}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left(3{\sqrt {3}}\right)\right)-1.$

File:01-Siebeneck-nach Johnson.gif

दी गई पार्श्व लंबाई के साथ सप्तभुज:
डेविड जॉनसन लीस्क (क्रॉकेट जॉनसन) के अनुसार चिह्नित रूलर के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन।

सन्निकटन

आरेख लगभग 0.2% की त्रुटि के साथ व्यावहारिक उपयोग के लिए एक सन्निकटन दिखाता है। इसका श्रेय अल्ब्रेक्ट ड्यूरर को दिया जाता है। माना A परिवृत्त की परिधि पर स्थित है। चाप BOC खींचिए। फिर $\scriptstyle {BD={1 \over 2}BC}$ सप्तभुज के किनारे के लिए एक सन्निकटन देता है।

यह सन्निकटन उपयोग करता है $\scriptstyle {{\sqrt {3}} \over 2}\approx 0.86603$ यूनिट सर्कल में खुदा हुआ सप्तभुज के पक्ष के लिए, जबकि सटीक मान है $\scriptstyle 2\sin {\pi \over 7}\approx 0.86777$.

गड़बड़ी को समझाने के लिए उदाहरण:
किसी परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या r = 1 मी पर, पहली भुजा की पूर्ण त्रुटि लगभग -1.7 मिमी होगी

समरूपता

File:Symmetries of heptagon.png

एक सम सप्तभुज की समरूपता। शिखरों को उनकी सममिति स्थितियों के अनुसार रंगा जाता है। नीली दर्पण रेखाएँ शीर्षों और किनारों के माध्यम से खींची जाती हैं। केंद्र में जाइरेशन ऑर्डर दिए जाते हैं।

सम सप्तभुज डायहेड्रल समरूपता से संबंधित है। D_7h बिंदु समूह (शॉनफ्लाइज़ संकेतन), क्रम 28. समरूपता तत्व हैं: एक 7-गुना उचित घूर्णन अक्ष C₇, एक 7-गुना अनुचित घूर्णन अक्ष, S₇, 7 ऊर्ध्वाधर दर्पण तल, σ_v, 7 2-गुना घूर्णन कुल्हाड़ियों, सी₂, सप्तभुज के तल में और एक क्षैतिज दर्पण तल में, σ_h, सप्तभुज के तल में भी है।

विकर्ण और षट्कोणीय त्रिभुज

Main article: सप्तकोणीय (हेप्टागोनल) त्रिभुज

File:Heptagrams.svg

ए = लाल, बी = नीला, सी = हरी रेखाएं

सम सप्तभुज की भुजा a, छोटा विकर्ण b, और लंबा विकर्ण c, a<b<c से संतुष्ट होता है

$a^{2}=c(c-b),$

$b^{2}=a(c+a),$

$c^{2}=b(a+b),$

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}$ (ऑप्टिक समीकरण)

और इसलिए

$ab+ac=bc,$

तथा

$b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,$

$c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,$

$a^3-<!--\; -\; -->2a^2$