पियरपोंट प्राइम

पियरपोंट प्राइम

Named after	James Pierpont
No. of known terms	Thousands
Conjectured no. of terms	Infinite
Subsequence of	Pierpont number
First terms	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889
Largest known term	2 × 310,852,677  + 1
OEIS index	A005109

संख्या सिद्धांत में, पियरपॉन्ट प्राइम कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए u और v के लिए

$$2^{u}\cdot 3^{v}+1\,$$

के रूप की एक अभाज्य संख्या है। अर्थात् वे अभाज्य संख्याएँ p हैं जिसके लिए p − 1 3-स्मूथ है। उनका नाम गणितज्ञ जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें उन नियमित बहुभुजों को चिह्नित करने के लिए उपयोग किया था जिन्हें शंकु वर्गों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। समान लक्षण वर्णन उन बहुभुजों पर प्रायुक्त होता है जिनका निर्माण रूलर, कम्पास और कोण त्रिखंड का उपयोग करके या पेपर फोल्डिंग के गणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

2 और फर्मेट प्राइम्स को छोड़कर, प्रत्येक पियरपोंट प्राइम 1 मॉड्यूलो 6 होना चाहिए। पहले कुछ पियरपोंट प्राइम्स हैं:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ... (sequence A005109 in the OEIS)

यह अनुमान लगाया गया है कि अनंत रूप से कई पियरपोंट अभाज्य हैं, किन्तु यह अप्रमाणित है।

वितरण

Unsolved problem in mathematics:

Are there infinitely many Pierpont primes?

(more unsolved problems in mathematics)

v = 0 के साथ एक पियरपोंट प्राइम $2^{u}+1$ के रूप में है, और इसलिए फर्मेट प्राइम (जब तक u = 0 न हो) हैं। यदि v धनात्मक संख्या है तो u भी धनात्मक (क्योंकि $3^{v}+1$ 2 से अधिक एक सम संख्या होगी और इसलिए अभाज्य नहीं है) होना चाहिए, और इसलिए गैर-फर्मेट पियरपोंट अभाज्य सभी का रूप 6k + 1 होता है जब k धनात्मक पूर्णांक (2 को छोड़कर, जब u = v = 0) होता है।

छोटे पियरपोंट अभाज्यों के लिए घातांकों का वितरण

अनुभवजन्य रूप से, पियरपोंट प्राइम्स विशेष रूप से दुर्लभ या दुर्लभ रूप से वितरित नहीं लगते हैं; 10⁶ से कम 42 पियरपोंट प्राइम्स, 10⁹ से 65 कम, 10²⁰ से 157 कम, और 10¹⁰⁰ से 795 कम हैं। पियरपोंट प्राइम्स पर बीजगणितीय कारकों से कुछ प्रतिबंध हैं, इसलिए मेर्सन प्रीमियम स्थिति जैसी कोई आवश्यकता नहीं है कि एक्सपोनेंट प्राइम होना चाहिए। इस प्रकार, यह अपेक्षा की जाती है कि सही रूप $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ के n-अंकीय संख्याओं के बीच, इनमें से जो अंश अभाज्य हैं, वे 1/n के समानुपाती होने चाहिए, सभी n-अंकीय संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याओं के अनुपात के समान अनुपात। जैसा कि इस श्रेणी में सही रूप के $\Theta (n^{2})$ संख्या हैं, वहाँ $\Theta (n)$ पियरपोंट प्राइम्स होना चाहिए।

एंड्रयू एम. ग्लीसन ने इस तर्क को स्पष्ट किया, यह अनुमान लगाते हुए कि असीम रूप से कई पियरपोंट प्राइम्स हैं, और अधिक विशेष रूप से कि लगभग 10ⁿ तक लगभग 9n पियरपोंट प्राइम्स होने चाहिए। ग्लीसन के अनुमान के अनुसार $\Theta (\log N)$ पियरपोंट प्राइम्स N से छोटे हैं, जो उस सीमा में मेर्सन प्राइम्स की छोटी अनुमान संख्या $O(\log \log N)$ के विपरीत है।

प्राथमिक परीक्षण

जब $2^{u}>3^{v}$, $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ प्रोथ संख्या है और इस प्रकार प्रोथ के प्रमेय द्वारा इसकी मौलिकता का परीक्षण किया जा सकता है। वहीं, जब $2^{u}<3^{v}$ के लिए वैकल्पिक प्रारंभिक परीक्षण $M=2^{u}\cdot 3^{v}+1$ के गुणनखंडन के आधार पर संभव हैं $M-1$ छोटी सम संख्या के रूप में 3 की बड़ी घात से गुणा किया जाता है।

पियरपोंट प्राइम फ़र्मेट संख्या के कारकों के रूप

फ़र्मेट संख्या के कारकों के लिए चल रही विश्वव्यापी खोज के भाग के रूप में, कुछ पियरपोंट प्राइम्स को कारकों के रूप में घोषित किया गया है। निम्न तालिका m, k, और n के मान देता है जैसे कि

$2^{2^{m}}+1$ is divisible by $3^{k}\cdot 2^{n}+1.$

बाईं ओर फर्मेट संख्या है; दाईं ओर पियरपोंट प्राइम है।

m	k	n	वर्ष	खोज
38	1	41	1903	कुलेन, कनिंघम & वेस्टर्न
63	2	67	1956	रॉबिंसन
207	1	209	1956	रॉबिंसन
452	3	455	1956	रॉबिंसन
9428	2	9431	1983	केलर
12185	4	12189	1993	डबनेर
28281	4	28285	1996	टौरा
157167	1	157169	1995	यंग
213319	1	213321	1996	यंग
303088	1	303093	1998	यंग
382447	1	382449	1999	कॉसग्रेव & गैलोट
461076	1	461081	2003	नोहारा, जॉबलिंग, वोल्टमैन & गैलोट
495728	5	495732	2007	कैज़ेर, जॉबलिंग, पेने और फोगेरॉन
672005	3	672007	2005	कूपर, जॉबलिंग, वोल्टमैन & गैलोट
2145351	1	2145353	2003	कॉसग्रेव, जॉबलिंग, वोल्टमैन & गैलोट
2478782	1	2478785	2003	कॉसग्रेव, जॉबलिंग, वोल्टमैन & गैलोट
2543548	2	2543551	2011	ब्राउन, रेनॉल्ड्स, पेने और फोगेरॉन

As of 2023, सबसे बड़ा ज्ञात पियरपॉन्ट प्राइम 2 × 3^10852677  + 1 (5,178,044 दशमलव अंक) है, जिसकी मौलिकता जनवरी 2023 में खोजी गई थी।

बहुभुज निर्माण

पेपर फ़ोल्डिंग के गणित में, हुज़िता-होतोरी स्वयंसिद्ध सात प्रकार के फ़ोल्ड में से छह को परिभाषित करते हैं। यह दिखाया गया है कि ये तह किसी भी घन समीकरण का समाधान करने वाले बिंदुओं के निर्माण की अनुमति देने के लिए पर्याप्त हैं।

यह इस प्रकार है कि वे N पक्षों के किसी भी नियमित बहुभुज को बनने की अनुमति देते हैं, जब तक कि N ≥ 3 और रूप 2^m3ⁿρ का है, जहां ρ विशिष्ट पियरपोंट प्राइम्स का एक उत्पाद है। यह नियमित बहुभुजों का वही वर्ग है जो कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है। यह नियमित बहुभुज जिनका निर्माण केवल कम्पास और स्ट्रेटेज (रचनात्मक बहुभुज) के साथ किया जा सकता है, वे विशेष स्थिति हैं जहाँ n = 0 और ρ अलग फ़र्मेट प्राइम्स का उत्पाद है, जो स्वयं पियरपोंट प्राइम्स का सबसेट है।

1895 में, जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) ने नियमित बहुभुजों की ही कक्षा का अध्ययन किया; उनका काम पियरपोंट प्राइम्स को नाम देता है। पियरपोंट ने कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माणों को अलग विधि से सामान्यीकृत किया, शंकु वर्गों को आकर्षित करने की क्षमता जोड़कर जिनके गुणांक पहले निर्मित बिंदुओं से आते हैं। जैसा कि उन्होंने दिखाया, इन परिचालनों के साथ बनाए जा सकने वाले नियमित N-गॉन ऐसे हैं कि N का टोटिएंट 3-स्मूथ है। चूँकि एक अभाज्य का योग उसमें से एक को घटाकर बनाया जाता है, अभाज्य N जिसके लिए पियरपोंट का निर्माण कार्य वास्तव में पियरपोंट अभाज्य है। चूँकि, पियरपोंट ने 3-स्मूथ कुलियों के साथ समग्र संख्याओं के रूप का वर्णन नहीं किया था। जैसा कि ग्लीसन ने बाद में दिखाया, ये संख्याएं बिल्कुल ऊपर दिए गए रूप 2^m3ⁿρ की ही हैं।

सबसे छोटा अभाज्य जो पियरपोंट (या फर्मेट) अभाज्य नहीं है, वह 11 है; इसलिए, हेंडेकैगन पहला नियमित बहुभुज है जिसे कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर (या ओरिगेमी, या कॉनिक सेक्शन) के साथ नहीं बनाया जा सकता है। अन्य सभी नियमित N-गोंस साथ 3 ≤ N ≤ 21 कम्पास, स्ट्रेटेज और ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है।

सामान्यीकरण

दूसरी तरह का एक पियरपोंट प्राइम रूप 2^u3^v − 1 का एक प्रमुख संख्या है। ये संख्याएं हैं

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... (sequence A005105 in the OEIS)

इस प्रकार के सबसे बड़े ज्ञात अभाज्य मेर्सेन अभाज्य हैं; वर्तमान में सबसे बड़ा ज्ञात $2^{82589933}-1$ (24,862,048 दशमलव अंक) है। दूसरी तरह का सबसे बड़ा ज्ञात पियरपोंट प्राइम जो मेर्सन प्राइम $3\cdot 2^{18924988}-1$ नहीं है, जो प्राइमग्रिड द्वारा पाया गया।

सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम रूप $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ का प्राइम है जिसमे k फिक्स्ड प्राइम p₁ < p₂ < p₃ < ... < p_k है। दूसरी तरह का सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम रूप $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1$ का प्राइम है जिसमें k फिक्स्ड प्राइम्स p1 <p2 <p3 <... <pk है। चूँकि 2 से बड़ी सभी अभाज्य संख्याएँ विषम (गणित) हैं, दोनों प्रकार में p₁ 2 होना चाहिए। OEIS में ऐसे अभाज्यों के क्रम इस प्रकार हैं:

{p1, p2, p3, ..., pk}	+ 1	− 1
{2}	OEIS: A092506	OEIS: A000668
{2, 3}	OEIS: A005109	OEIS: A005105
{2, 5}	OEIS: A077497	OEIS: A077313
{2, 3, 5}	OEIS: A002200	OEIS: A293194
{2, 7}	OEIS: A077498	OEIS: A077314
{2, 3, 5, 7}	OEIS: A174144	OEIS: A347977
{2, 11}	OEIS: A077499	OEIS: A077315
{2, 13}	OEIS: A173236	OEIS: A173062

यह भी देखें

• प्रोथ प्रधान , रूप के प्राइम्स $N=k\cdot 2^{n}+1$ जहाँ k और n धनात्मक पूर्णांक हैं, $k$ विषम है और $2^n$