चार ग्रेडिएंट

विभेदक ज्यामिति में, चार-ग्रेडिएंट (या 4-ग्रेडिएंट) ${\boldsymbol {\partial }}$ सदिश कलन से ${\vec {\boldsymbol {\nabla }}}$ चार- सदिश रेखीय ग्रेडिएंट है।

विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी में, चार-ग्रेडिएंट का उपयोग विभिन्न भौतिक चार-सदिश और टेंसर के बीच गुणों और संबंधों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

संकेतन

यह लेख (+ − − −) मीट्रिक हस्ताक्षर उपयोग करता है।

SR और GR क्रमशः विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता के संक्षिप्त रूप हैं।

$c$ निर्वात में प्रकाश की गति को दर्शाता है।

$\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ SR का फ्लैट समष्टिटाइम मीट्रिक टेंसर है।

भौतिकी में चार-सदिश व्यंजकों को लिखने के वैकल्पिक तरीके हैं:

• चार-सदिश शैली का उपयोग किया जा सकता है: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$, जो सामान्यतः अधिक सघन (कॉम्पैक्ट) होता है और सदिश अंकन का उपयोग कर सकता है, (जैसे कि आंतरिक उत्पाद डॉट), हमेशा चार-सदिश का प्रतिनिधित्व करने के लिए बोल्ड अपरकेस का उपयोग करता है, और बोल्ड लोअरकेस का उपयोग 3-समष्टि सदिश का प्रतिनिधित्व करने के लिए करता है, उदा। ${\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}$. अधिकांश 3-समष्टि सदिश नियमों में चार-सदिश गणित में अनुरूप हैं।
• रिक्की कैलकुलस शैली का उपयोग किया जा सकता है: $A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }$, जो टेन्सर सूचकांक अंकन का उपयोग करता है और अधिक सम्मिश्र एक्सप्रेशन के लिए उपयोगी है, विशेष रूप से वे जिसमें एक से अधिक इंडेक्स वाले टेंसर सम्मिलित हैं, जैसे $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$.

लैटिन टेंसर इंडेक्स रेंज में है {1, 2, 3}, और एक 3-समष्टि सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, उदा। $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$.

ग्रीक टेंसर इंडेक्स की सीमा होती है {0, 1, 2, 3}, और 4-सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, उदा। $A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A}$.

SR भौतिकी में, सामान्यतः संक्षिप्त मिश्रण का उपयोग किया जाता है, उदा। $\mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)$, जहाँ $a^{0}$ लौकिक घटक का और ${\vec {\mathbf {a} }}$ स्थानिक 3-घटक का प्रतिनिधित्व करता है।

SR में टेंसर सामान्यतः 4D होते हैं $(m,n)$-टेंसर, के साथ $m$ ऊपरी सूचकांक और $n$ निम्न सूचकांक, 4D के साथ 4 आयाम दर्शाता है = प्रत्येक सूचकांक द्वारा लिए जा सकने वाले मानों की संख्या।

मिन्कोवस्की मीट्रिक में उपयोग किया जाने वाला टेन्सर संकुचन दोनों तरफ जा सकता है (आइंस्टीन संकेतन देखें):

$$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}$$

परिभाषा

चार-सदिश और रिक्की कैलकुलस अंकन पद्धति में सघन रूप से लिखे गए 4-ग्रेडिएंट सहसंयोजक घटक हैं:

$$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{X}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}=\left({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_0,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_2,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_3\right)=\left({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_0,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i\right)=\left(\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\right)=\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t}{c},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\right)=(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t}{c},{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{}$$