गाऊसी पूर्णांक

Not to be confused with गॉसियन समाकलन.

संख्या सिद्धांत में, गॉसियन पूर्णांक एक जटिल संख्या है जिसके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग, पूर्णांक होते हैं। गॉसियन पूर्णांक, जटिल संख्याओं के सामान्य जोड़ और गुणन के साथ, एक समाकलित क्षेत्र बनाते हैं, जिसे सामान्यतः $\mathbf {Z} [i]$ या $\mathbb {Z} [i]$ के रूप में लिखा जाता है।

गॉसियन अंक, पूर्णांकों के साथ कई गुण साझा करते हैं: वे एक यूक्लिडियन क्षेत्र बनाते हैं, और इसलिए उनके पास एक यूक्लिडीय विभाजन और एक यूक्लिडियन विधिकलन होता है; इसका तात्पर्य अद्वितीय गुणनखंडन और कई संबंधित गुणों से है। यद्यपि, गॉसियन पूर्णांकों में अंकगणित को समर्थित करने वाला क्रम नहीं होता है।

गाऊसी पूर्णांक बीजगणितीय पूर्णांक होते हैं और द्विघात पूर्णांकों का सबसे सरल वलय बनाते हैं।

गॉसियन पूर्णांकों का नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है।

जटिल तल में जाली बिंदुओं के रूप में गाऊसी पूर्णांक

आधारभूत परिभाषाएँ

गाऊसी पूर्णांक निम्नलिखित समुच्चय हैं। :

$\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ where }}i^{2}=-1.$

दूसरे शब्दों में, गाऊसी पूर्णांक एक जटिल संख्या है, जिसका वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं।

चूंकि गॉसियन पूर्णांक जोड़ और गुणा के अंतर्गत विवृत्त होते हैं, वे एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जो जटिल संख्याओं के क्षेत्र का एक उप-चक्र है। इस प्रकार यह एक समाकलन क्षेत्र है।

जब जटिल समष्टि के भीतर विचार किया जाता है, तो गॉसियन पूर्णांक से 2-आयामी पूर्णांक जालक का गठन होता है।

गाऊसी पूर्णांक का संयुग्म a + bi गाऊसी पूर्णांक a – bi है।

गाऊसी पूर्णांक का क्षेत्र मानदण्ड इसके संयुग्म के साथ इसका गुणनफल है।

$N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.$

इस प्रकार गाऊसी पूर्णांक का मान एक सम्मिश्र संख्या के रूप में उसके निरपेक्ष मान का वर्ग होता है। गॉसियन पूर्णांक का मानदण्ड एक गैरऋणात्मक पूर्णांक है, जो दो वर्ग संख्याओं का योग है। इस प्रकार दो वर्गों का एक मानक योग 4k + 3, साथ k पूर्णांक प्रमेय रूप का नहीं हो सकता है।

मानदंड पूरी तरह से गुणक कार्य है, अर्थात

$N(zw)=N(z)N(w),$

गाऊसी पूर्णांकों के प्रत्येक जोड़े के लिए z, w. इसे सीधे या सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के गुणन गुण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

गाऊसी पूर्णांकों के वलय की इकाई वह गाऊसी पूर्णांक है जिसका गुणक व्युत्क्रम भी एक गाऊसी पूर्णांक है, मानक 1 के साथ पूर्ण गाऊसी पूर्णांक 1, -1, i और –i हैं।

यूक्लिडियन विभाजन

कुछ गॉसियन पूर्णांक तक अधिकतम दूरी का प्रदर्शन

गॉसियन पूर्णांकों में पूर्णांकों और बहुपदों के समान एक यूक्लिडियन विभाजन होता है। यह गॉसियन पूर्णांकों को एक यूक्लिडियन क्षेत्र बनाता है, और इसका तात्पर्य यह है कि गॉसियन पूर्णांक, पूर्णांकों और बहुपदों के साथ कई महत्वपूर्ण गुण साझा करते हैं जैसे कि सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना के लिए यूक्लिडियन विधिकलन का अस्तित्व, बेज़ाउट की पहचान, प्रमुख आदर्श क्षेत्र, यूक्लिड का लेम्मा, अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय, और चीनी शेषफल प्रमेय, इन सभी को केवल यूक्लिडियन विभाजन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

एक यूक्लिडियन विभाजन विधिकलन, गॉसियन पूर्णांकों के चक्र में, एक लाभांश a और भाजक b ≠ 0 लेता है तथा एक भागफल q और शेष r उत्पन्न करता है।

$a=bq+r\quad {\text{and}}\quad N(r)<N(b).$

वास्तव में, शेषफल को निम्नलिखित समीकरण द्वारा छोटा बनाया जा सकता है:

$a=bq+r\quad {\text{and}}\quad N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.$

इस बेहतर असमानता के साथ भी, भागफल और शेष आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं हैं, परंतु विशिष्टता सुनिश्चित करने के लिए व्यक्ति विकल्प को परिष्कृत कर सकता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, कोई सम्मिश्र संख्या भागफल x + iy = a/b पर विचार कर सकता है। अद्वितीय पूर्णांक m और n इस प्रकार है कि –1/2 < x – m ≤ 1/2 और –1/2 < y – n ≤ 1/2, और इस प्रकार N(x – m + i(y – n)) ≤ 1/2. q = m + in,

$a=bq+r,$

साथ ही

$r=b{\bigl (}x-m+i(y-n){\bigr )},$

तथा

$N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.$

विशिष्टतः x – m और y – n के चुनाव हेतु, अर्ध-विवृत्त अंतराल की आवश्यकता होती है।

यूक्लिडियन विभाजन की इस परिभाषा की व्याख्या जटिल समष्टि में ज्यामितीय रूप से यह टिप्पणी करके की जा सकती है कि एक जटिल संख्या से दूरी निकटतम गॉसियन पूर्णांक ξ पर अधिकतम √2/2 है।

प्रधान आदर्श

गॉसियन अंकों का अचल विभाजन चक्र प्रमुख क्षेत्र होने के कारण, गॉसियन अंकों का चक्र G एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र होता है, जिसका अर्थ है कि G का प्रत्येक आदर्श प्रमुख होता है।विशेष रूप से कहें तो, एक आदर्श I एक अवयव होता है जो एक चक्र R का ऐसा उपसमुच्चय होता है कि I के सभी तत्वों के योग और R के तत्व के एक तत्व के गुणांक I में सम्मिलित होते हैं। यदि एक आदर्श एकल तत्व g के सभी गुणांकों से मिलकर बना होता है, तो वह प्रमुख होता है, अर्थात उसका आकार निम्नलिखित होता है

$\{gx\mid x\in G\}.$

इस स्थिति में, कहा जाता है कि आदर्श g द्वारा उत्पन्न होता है या आदर्श का g एक उत्पादक है।

प्रत्येक गॉसियन अंकों के चक्र में आदर्श I प्रमुख होता है, क्योंकि, यदि I में एक अवैधू तत्व g का चयन किया जाता है जिसका न्यूनतम आकार होता है, तो प्रत्येक तत्व x के लिए, x के g द्वारा यूक्लिडीय विभाजन के शेष भी I में होता है और इसका आकार g के आकार से छोटा होता है; g के चयन के कारण, यह आकार शून्य होता है, और इस प्रकार शेष भी शून्य होता है। अर्थात, x = qg होता है, जहां q भागफल है।

किसी के लिए g, द्वारा उत्पन्न आदर्श g के किसी सहयोगी द्वारा भी उत्पन्न किया जाता है g, वह है, g, gi, –g, –gi; कोई अन्य तत्व समान आदर्श उत्पन्न नहीं करता। चूँकि किसी आदर्श के सभी जनरेटरों का मानदंड समान होता है, किसी आदर्श का मानदंड उसके किसी भी जनरेटर का मानक होता है।

किसी भी g के लिए, g द्वारा उत्पन्न किया गया आदर्श भी g के किसी उपसम्बंध द्वारा उत्पन्न किया जाता है, जैसे g, gi, –g, –gi; कोई अन्य तत्व समान आदर्श उत्पन्न नहीं करता है। जैसा कि किसी आदर्श के सभी उत्पादकों का समान आकार होता है, एक आदर्श का आकार उसके किसी भी उत्पादक के आकार के समान होता है।

कुछ परिस्थितियों में, प्रत्येक आदर्श के लिए सदैव के लिए एक जनरेटर चुनना उपयोगी होता है। ऐसा करने के दो पारंपरिक विधियाँ हैं, दोनों पहले विषम मानदंड के आदर्शों पर विचार करते हैं। यदि g = a + bi का एक अजीब मानदंड है a² + b², फिर एक a और b विषम है, और दूसरा सम है। इस प्रकार g का वास्तविक भाग के साथ बिल्कुल एक ही सहयोगी है a यह अजीब और सकारात्मक है। अपने मूल पेपर में, गॉस ने अद्वितीय सहयोगी को चुनकर एक और विकल्प चुना, जिससे इसके शेष भाग को विभाजित किया जा सके 2 + 2i एक है। वास्तव में, जैसे N(2 + 2i) = 8, शेषफल का मान 4 से अधिक नहीं है। चूंकि यह मान विषम है, और 3 गाऊसी पूर्णांक का मान नहीं है, शेष का मान एक है, अर्थात शेष एक इकाई है। गुणा g इस इकाई के व्युत्क्रम से, किसी को एक ऐसा सहयोगी मिलता है जिसके पास विभाजित होने पर शेषफल 2 + 2i के रूप में एक होता है।

यदि का मानदंड g सम है, तो या तो g = 2^kh या g = 2^kh(1 + i) जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है, और N(h) यादृच्छिक है। इस प्रकार, अद्वितीय आकार वाले तत्वों के लिए उपसंबंध के चयन के लिए, अद्यतित g का चयन किया जाता है जिससे एक ऐसा h प्राप्त हो सके जो अद्यतित तत्वों के लिए उपसंबंध के चयन से मेल खाता हो।

गाऊसी अभाज्य

जैसा कि गॉसियन अंक प्रमुख आदर्श क्षेत्र होते हैं, वे साथ ही एक अद्वितीय गुणांकन क्षेत्र भी होते हैं। यह इसका अर्थ है कि एक गॉसियन अंक अविनाशी अर्थात, वह दो गैर-इकाई तत्वों के गुणांक का गुणक नहीं होता है यदि और केवल यदि वह प्राइम होता है अर्थात, वह एक प्राइम आदर्श उत्पन्न करता है।

Z[i] के प्राइम तत्व भी गॉसियन प्राइम के रूप में जाने जाते हैं। एक गॉसियन प्राइम का उपसंबंधी भी एक गॉसियन प्राइम होता है। एक गॉसियन प्राइम का संयोजक भी एक गॉसियन प्राइम होता है (इससे यह प्राप्त होता है कि गॉसियन प्राइम वास्तविक और काल्पनिक अक्ष के बारे में सममित होते हैं)।

एक धनात्मक पूर्णांक एक गॉसियन अभाज्य है यदि और केवल यदि यह एक प्राइम संख्या है जो कि 4 के संबंध में 3 के अनुरूप है अर्थात्, इसे 4n + 3 रूप में लिखा जा सकता है, जहां n एक अऋणात्मक पूर्णांक है। (sequence A002145 in the OEIS). अन्य अभाज्य संख्याएँ गाऊसी अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि प्रत्येक दो संयुग्मी गाऊसी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हैं।

एक गाऊसी पूर्णांक a + bi एक गाऊसी अभाज्य है यदि और केवल यदि या तो:

• a, b में से एक शून्य है और दूसरे का निरपेक्ष मान 4n + 3 रूप का एक अभाज्य संख्या है साथ ही n एक गैरऋणात्मक पूर्णांक है।
• दोनों शून्येतर हैं और a² + b² एक अभाज्य संख्या है।

दूसरे शब्दों में, एक गॉसियन अंक एक गॉसियन प्राइम होता है यदि और केवल यदि इसका आकार एक प्राइम संख्या है, या यह एक इकाई ±1, ±i और 4n + 3 रूप की किसी प्राइम संख्या के गुणांक है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक अभाज्य संख्या के गुणनखंडन के लिए तीन स्थितियाँ होती हैं p गाऊसी पूर्णांक में:

• यदि p 3 मॉड्यूलो 4 के सर्वांगसम है, तो यह एक गाऊसी अभाज्य है; बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की भाषा में, p को गॉसियन पूर्णांकों में अक्रिय अभाज्य कहा जाता है।
• यदि p 1 मॉड्यूलो 4 के सर्वांगसम है, तो यह इसके संय�