3-बहुआयामी

File:3-Manifold 3-Torus.png

3-स्थूलक । छवि में सभी क्यूब्स एक ही क्यूब हैं, चूंकि बहुआयामी में प्रकाश बंद लूप में चारों ओर लपेटता है, इसका प्रभाव यह है कि क्यूब पूरे रिक्त स्थान को टाइल कर रहा है। इस रिक्त स्थान का परिमित आयतन है और कोई सीमा नहीं है।

गणित में, 3-बहुआयामी एक स्थलीय रिक्त स्थान है जो स्थानीय रूप से त्रि-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान जैसा दिखता है। ब्रह्मांड के संभावित आकार के रूप में 3-बहुआयामी के बारे में सोचा जा सकता है। जिस तरह एक गोलक एक छोटे पर्याप्त पर्यवेक्षक को एक समतल (ज्यामिति) की तरह दिखता है, उसी तरह सभी 3-बहुआयामी ऐसे दिखते हैं जैसे हमारा ब्रह्मांड एक छोटे से पर्याप्त पर्यवेक्षक को करता है। इसे नीचे दी गई परिभाषा में और अधिक परिशुद्ध बनाया गया है।

परिचय

परिभाषा

एक सांस्थितिक रिक्त स्थान $M$ एक 3-बहुआयामी है यदि यह दूसरी-गिनने योग्य हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान है और यदि प्रत्येक बिंदु $M$ के अंदर है एक सामीप्य(गणित) है जो यूक्लिडियन 3-रिक्त स्थान के लिए होमियोमॉर्फिक है।

3-बहुआयामी का गणितीय सिद्धांत

सांस्थितिक, खंडशः रैखिक रैखिक, और सहज श्रेणियां सभी तीन आयामों में समान हैं, इसलिए इसमें बहुत कम अंतर किया जाता है कि क्या हम सांस्थितिक 3-बहुआयामी या सहज 3-बहुआयामी के साथ काम कर रहे हैं।

तीन आयामों में घटनाएं अन्य आयामों में घटनाओं से आश्चर्यजनक रूप से भिन्न हो सकती हैं, और इसलिए बहुत विशिष्ट तकनीकों का प्रचलन है जो तीन से अधिक आयामों को सामान्यीकृत नहीं करते हैं। इस विशेष भूमिका ने अन्य क्षेत्रों की विविधता के लिए घनिष्ठ संबंधों की खोज की है, जैसे गाँठ सिद्धांत, [ज्यामितीय समूह सिद्धांत], अतिपरवलीय ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, टीचमुलर सिद्धांत | सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सिद्धांत, गेज सिद्धांत, फ्लोर सजातीयता , और आंशिक अंतर समीकरण। 3-बहुआयामी सिद्धांत को निम्न-आयामी संस्थितिविज्ञान या ज्यामितीय संस्थितिविज्ञान का एक हिस्सा माना जाता है।

सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण विचार यह है कि इसमें सन्निहित विशेष सतह (संस्थितिविज्ञान) पर विचार करके 3-गुना का अध्ययन करना है। कोई सतह को 3-बहुआयामी में अच्छी तरह से रखने के लिए चुन सकता है, जो एक असंपीड्य सतह के विचार और हेकन बहुआयामी के सिद्धांत की ओर जाता है, या कोई भी पूरक टुकड़ों को जितना संभव हो उतना अच्छा चुन सकता है, जैसे कि संरचनाओं के लिए अग्रणी हीगार्ड विभाजन, जो गैर-हेकन सन्दर्भ में भी उपयोगी होते हैं।

विलियम थर्स्टन | सिद्धांत में थर्स्टन के योगदान ने कई मामलों में एक विशेष थर्स्टन मॉडल ज्यामिति (जिनमें से आठ हैं) द्वारा दी गई अतिरिक्त संरचना पर भी विचार करने की अनुमति दी है। सबसे प्रचलित ज्यामिति अतिपरवलीय ज्यामिति है। विशेष सतहों के अतिरिक्त ज्यामिति का उपयोग करना प्रायः फलदायी होता है।

3-बहुआयामी के अत्यन्त महत्वपूर्ण समूह 3-बहुआयामी से संबंधित ज्यामितीय और सांस्थितिक जानकारी को मजबूती से दर्शाते हैं। इस प्रकार, समूह सिद्धांत और सामयिक तरीकों के बीच एक परस्पर क्रिया होती है।

3-बहुआयामी कम-आयामी संस्थितिविज्ञान का एक दिलचस्प विशेष सन्दर्भ है क्योंकि उनके सांस्थितिक अचर सामान्य रूप से उनकी संरचना के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। 3-बहुआयामी सिद्धांत को निम्न-आयामी संस्थितिविज्ञान या ज्यामितीय संस्थितिविज्ञान का एक हिस्सा माना जाता है। अगर हम मान ले $M$ एक 3-बहुआयामी हो और $\pi =\pi _{1}(M)$ इसका अत्यन्त महत्वपूर्ण समूह हो, तो उनसे बहुत सी जानकारी प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, पोंकारे द्वैत और ह्युरेविक्ज़ प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित सजातीयता समूह हैं:

<ब्लॉककोट>${\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}$जहां अंतिम दो समूह समूह कोहोलॉजी और कोहोलॉजी के लिए समरूप $\pi$ हैं, क्रमश; वह है, <ब्लॉककोट>${\begin{aligned}H_{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}$इस जानकारी से 3-बहुआयामी का एक बुनियादी होमोटोपी सिद्धांतिक वर्गीकरण पाया जा सकता है। विशेष सतहों के अतिरिक्त ज्यामिति का उपयोग करना प्रायः फलदायी होता है। नोट पोस्टनिकोव टॉवर से एक विहित मानचित्र है

$q:M\to B\pi$

अगर हम अत्यन्त महत्वपूर्ण वर्ग के पुशफॉरवर्ड को लें $[M]\in H_{3}(M)$ में $H_{3}(B\pi )$ हमें एक तत्व मिलता है $\zeta _{M}=q_{*}([M])$. यह समूह निकलता है $\pi$ साथ में समूह समरूपता वर्ग $\zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )$ समस्थेयता प्रकार का पूर्ण बीजगणितीय विवरण देता है।

संबंधित योग

एक महत्वपूर्ण सांस्थितिक ऑपरेशन दो 3-बहुआयामी का संबंधित हुआ योग है $M_{1}\#M_{2}$. वास्तव में, संस्थितिविज्ञान में सामान्य प्रमेयों से, हम एक जुड़े योग अपघटन के साथ तीन गुना के लिए पाते हैं $M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}$ ऊपर के लिए अपरिवर्तनीय $M$ से गणना की जा सकती है $M_{i}$. विशेष रूप से