स्टेबलाइजर कोड

क्वांटम त्रुटि सुधार क्वांटम कम्प्यूटिंग और क्वांटम संचार उपकरणों के व्यावहारिक कार्यान्वयन और इंजीनियरिंग में प्रमुख भूमिका निभाता है। पहले क्वांटम त्रुटि-सुधार करने वाले कोड अपने संचालन और प्रदर्शन में चिरसम्मत ब्लॉक पीकोड के समान हैं। क्वांटम त्रुटि-सुधार करने वाले कोड एक रवयुक्त, स्पष्ट क्वांटम स्थिति को शुद्ध क्वांटम स्थिति में पुनर्स्थापित करते हैं। स्टेबलाइजर (स्थिरक) क्वांटम त्रुटि-सुधार करने वाला कोड एंसीला क्वैबिट को उन क्वैबिट में जोड़ता है जिन्हें हम सुरक्षित रखना चाहते हैं। एकात्मक एन्कोडिंग सर्किट वैश्विक स्थिति को एक बड़े हिल्बर्ट समष्टि के उप-समष्टि में घूर्णन करता है। यह अत्यधिक उलझी हुई, एन्कोडेड स्थिति स्थानीय रवयुक्त संबंधी त्रुटियों को ठीक करती है। क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड प्रेषक और रिसीवर के लिए रवयुक्त रहित क्वबिट चैनल का अनुकरण करने का एक तरीका प्रदान करके क्वांटम गणना और क्वांटम संचार को व्यावहारिक बनाता है, जिसका रवयुक्त विशेष त्रुटि मॉडल के अनुरूप होता है।

क्वांटम त्रुटि सुधार का स्टेबलाइजर सिद्धांत किसी को क्वांटम कोड के रूप में उपयोग के लिए कुछ चिरसम्मत द्विआधारी या चतुर्धातुक कोड आयात करने की अनुमति देता है। चूंकि, चिरसम्मत कोड को आयात करते समय, इसे दोहरे-युक्त (या स्व-लंबकोणीयता) बाधा को पूरा करना होगा। शोधकर्ताओं ने इस बाधा को पूरा करने वाले चिरसम्मत कोड के कई उदाहरण पाए हैं, लेकिन अधिकांश चिरसम्मत कोड ऐसा नहीं करते हैं। फिर भी, इस तरह से चिरसम्मत कोड आयात करना अभी भी उपयोगी है (चूंकि, देखें कि उलझाव-सहायता वाली स्टेबलाइज़र औपचारिकता इस कठिनाई को कैसे दूर करती है)।

गणितीय पृष्ठभूमि

स्टेबलाइज़र औपचारिकता क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड तैयार करने में पाउली समूह $\Pi$ के तत्वों का उपयोग करती है। सेट $\Pi =\left\{I,X,Y,Z\right\}$ में पाउली ऑपरेटर सम्मिलित हैं:

$I\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ X\equiv {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\ Y\equiv {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\ Z\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$

उपरोक्त ऑपरेटर एकल क्वबिट पर कार्य करते हैं - एक स्थिति जो द्वि-आयामी हिल्बर्ट समष्टि में सदिश द्वारा दर्शायी जाती है। $\Pi$ में ऑपरेटरों के पास अभिलक्षणिक मान $\pm 1$ है और या तो कम्यूट या एंटी-कम्यूट है। सेट $\Pi ^{n}$में पाउली ऑपरेटरों के $n$-फोल्ड प्रदिश गुणनफल सम्मिलित हैं:

$\Pi ^{n}=\left\{{\begin{array}{c}e^{i\phi }A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}:\forall j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}A_{j}\in \Pi ,\ \ \phi \in \left\{0,\pi /2,\pi ,3\pi /2\right\}\end{array}}\right\}.$

$\Pi ^{n}$ के तत्व $n$ क्वबिट के क्वांटम रजिस्टर पर कार्य करते हैं। हम कभी-कभी निम्नलिखित में प्रदिश गुणनफल प्रतीकों प्रतीकों को छोड़ देते हैं जिससे कि

$A_{1}\cdots A_{n}\equiv A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}.$

$n$-फोल्ड पाउली समूह $\Pi ^{n}$ एन्कोडिंग सर्किट और $n$ क्वबिट पर क्वांटम स्टेबलाइज़र कोड की त्रुटि-सुधार प्रक्रिया दोनों के लिए महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

परिभाषा

आइए हम $k$ तार्किक क्वबिट में $n$ भौतिक क्वबिट में एन्कोड करने के लिए $\left[n,k\right]$ स्टेबलाइज़र क्वांटम त्रुटि-सुधार को परिभाषित करें। ऐसे कोड की दर $k/n$ है। इसका स्टेबलाइज़र ${\mathcal {S}}$, $n$-फोल्ड पाउली समूह $\Pi ^{n}$ का एबेलियन समूह उपसमूह है। ${\mathcal {S}}$ में ऑपरेटर $-I^{\otimes n}$ सम्मिलित नहीं है। ऑपरेटरों का एक साथ$+1$- अभिलाक्षणिक समष्टि कोडस्पेस का गठन करता है। कोडस्पेस का आयाम $2^{k}$ है जिससे कि हम इसमें $k$ क्वबिट को एन्कोड कर सकें। $n-k$ स्वतंत्र जनरेटर के संदर्भ में स्टेबलाइजर ${\mathcal {S}}$ का प्रतिनिधित्व (गणित) न्यूनतम है

$\left\{g_{1},\ldots ,g_{n-k}\ |\ \forall i\in \left\{1,\ldots ,n-k\right\},\ g_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}.$

जनरेटर इस अर्थ में स्वतंत्र हैं कि उनमें से कोई भी अन्य दो (वैश्विक कला तक) का उत्पाद नहीं है। ऑपरेटर $g_{1},\ldots ,g_{n-k}$ उसी तरह कार्य करते हैं जैसे समता जाँच मैट्रिक्स चिरसम्मत रैखिक ब्लॉक कोड के लिए करता है।

स्टेबलाइज़र त्रुटि-सुधार की स्थिति

क्वांटम त्रुटि सुधार सिद्धांत में मूलभूत धारणाओं में से एक यह है कि यह पाउली समूह $\Pi ^{n}$ में समर्थन (गणित) के साथ सेट की गई असतत त्रुटि को ठीक करने के लिए पर्याप्त है। मान लीजिए कि एन्कोडेड क्वांटम स्थिति को प्रभावित करने वाली त्रुटियां पाउली समूह $\Pi ^{n}$ का एक उपसमुच्चय गणित ${\mathcal {E}}$ हैं:

${\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}.$

चूँकि $$