सीगल मॉड्यूलर किस्म

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कैलाबी-याउ क्विंटिक ऐसा एक क्विंटिक, सीगल मॉड्यूलर विविध A1,3(2). के कॉम्पेक्टिफिकेशन के समान है[1]

गणित में, सीगल मॉड्यूलर विविध या सीगल मॉड्यूलि स्पेस एक बीजगणितीय विविध है जो बीजगणितीय विविध के एक निश्चित आयाम के कुछ प्रकार के एबेलियन विविध को पैरामीट्रिज करती है। अधिक स्पष्ट रूप से, सीगल मॉड्यूलर विविधो एबेलियन विविध के एक निश्चित आयाम के ध्रुवीकरण के मॉड्यूली स्थान हैं। इनका नाम 20वीं सदी के जर्मन संख्या सिद्धांत कार्ल लुडविग सीगल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1943 में विविधो की प्रारंभ की थी।[2][3]

सीगल मॉड्यूलर विविधो शिमुरा विविध का सबसे मूलभूत उदाहरण हैं।[4] सीगल मॉड्यूलर विविधता दीर्घवृत्तीय वक्रों के मॉड्यूली स्थानों को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करती हैं और सीगल मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में एक केंद्रीय भूमिका निभाती हैं, जो मौलिक मॉड्यूलर रूपों को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करती हैं।[1] उनके पास ब्लैक होल थर्मोडायनामिक्स और अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के अनुप्रयोग भी हैं।[5]

निर्माण

सीगल मॉड्यूलर किस्म Ag, जो मुख्य रूप से आयाम की ध्रुवीकृत एबेलियन विविधो को पैरामीट्रिज करती है, का निर्माण सिम्प्लेक्टिक समूह की कार्रवाई द्वारा डिग्री जी के सीगल ऊपरी आधे स्थान के भागफल के रूप में निर्मित समष्टि विश्लेषणात्मक स्थानों के रूप में किया जा सकता है। समष्टि विश्लेषणात्मक स्थानों में स्वाभाविक रूप से सेरे के जीएजीए द्वारा बीजगणितीय विविधो से जुड़ी हुई हैं।[1]

सीगल मॉड्यूलर विविध Ag(n), जो एक स्तर n -संरचना के साथ आयाम g के मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन विविधो को पैरामीट्रिज करती है, एक सिम्प्लेक्टिक समूह के स्तर n के प्रमुख अनुरूपता उपसमूह की कार्रवाई से सीगल ऊपरी आधे स्थान के भागफल के रूप में उत्पन्न होती है।[1]

सिएगल मॉड्यूलर विविध का निर्माण सिम्प्लेक्टिक सदिश स्पेस से जुड़े शिमुरा डेटाम द्वारा परिभाषित शिमुरा विविध के रूप में भी किया जा सकता है।[4]

गुण

सीगल मॉड्यूलर विविध Ag का आयाम g(g + 1)/2 है।[1][6] इसके अतिरिक्त यह युंग-शेंग ताई, एबरहार्ड फ्रीटैग और डेविड ममफोर्ड द्वारा दिखाया गया था कि Ag सामान्य प्रकार का होता है जब g ≥ 7.।[1][7][8][9]

प्रोजेक्टिव विविध प्राप्त करने के लिए सीगल मॉड्यूलर विविधो को कॉम्पैक्ट किया जा सकता है।[1] विशेष रूप से,A2(2) का एक संघनन द्विवार्षिक रूप से सेग्रे क्यूबिक के समतुल्य है जो वास्तव में तर्कसंगत है।[1] इसी प्रकार, A2(3) का एक संघनन द्विवार्षिक रूप से बर्कहार्ट क्वार्टिक के समतुल्य है जो तर्कसंगत भी है।[1] एक अन्य सीगल मॉड्यूलर विविध, जिसे A1,3(2) दर्शाया गया है, एक कॉम्पैक्टीफिकेशन है जो बायरेशनली बार्थ-नीटो क्विंटिक के समान है जो बायरेशनली कोडैरा आयाम शून्य के साथ मॉड्यूलर कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड के समान है।[1]

अनुप्रयोग

सीगल मॉड्यूलर फॉर्म सीगल मॉड्यूलर विविधो पर सदिश -मूल्यवान अंतर रूपों के रूप में उत्पन्न होते हैं।[1] सीगल मॉड्यूलर विविधो का उपयोग सीगल मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत के माध्यम से अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में किया गया है।[10] स्ट्रिंग सिद्धांत में, सुपरसिमेट्रिक ब्लैक होल के डी1डी5पी सिस्टम में ब्लैक होल एन्ट्रापी के माइक्रोस्टेट्स को स्वाभाविक रूप से अधिकृत वाला फलन एक सीगल मॉड्यूलर रूप है।[5]

1968 में, अलेक्सेई पारशिन ने पार्शिन की चाल का परिचय देकर दिखाया कि फाल्टिंग्स प्रमेय (जिसे अब फाल्टिंग्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है) तब मान्य होगा जब इगोर शफ़ारेविच परिमितता अनुमान सत्य था।[11][12] 1983 और 1984 में, गर्ड फाल्टिंग्स ने शफ़ारेविच परिमितता अनुमान को सिद्ध करके मोर्डेल अनुमान का प्रमाण पूरा किया गया था।[13][14][12] फाल्टिंग्स के प्रमाण का मुख्य विचार सीगल मॉड्यूलर विविधो के माध्यम से फाल्टिंग्स की ऊंचाई और अनुभवहीन ऊंचाइयों की तुलना करना है।[15]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 Hulek, Klaus; Sankaran, G. K. (2002). "The Geometry of Siegel Modular Varieties". उच्च आयामी बिरेशनल ज्यामिति. Advanced Studies in Pure Mathematics. Vol. 35. pp. 89–156. arXiv:math/9810153. doi:10.2969/aspm/03510089. ISBN 978-4-931469-85-3. S2CID 119595519.
  2. ↑ Oda, Takayuki (2014). "Intersections of Two Walls of the Gottschling Fundamental Domain of the Siegel Modular Group of Genus Two". In Heim, Bernhard; Al-Baali, Mehiddin; Rupp, Florian (eds.). ऑटोमोर्फिक फॉर्म, ओमान से संख्या सिद्धांत में अनुसंधान. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 115. Springer. pp. 193–221. doi:10.1007/978-3-319-11352-4_15. ISBN 978-3-319-11352-4.
  3. ↑ Siegel, Carl Ludwig (1943). "सिंपलेक्टिक ज्यामिति". American Journal of Mathematics. The Johns Hopkins University Press. 65 (1): 1–86. doi:10.2307/2371774. JSTOR 2371774.
  4. ↑ 4.0 4.1 Milne, James S. (2005). "Introduction to Shimura Varieties" (PDF). In Arthur, James; Ellwood, David; Kottwitz, Robert (eds.). हार्मोनिक विश्लेषण, ट्रेस फॉर्मूला, और शिमुरा किस्में. Clay Mathematics Proceedings. Vol. 4. American mathematical Society and Clay Mathematics Institute. pp. 265–378. ISBN 978-0-8218-3844-0.
  5. ↑ 5.0 5.1 Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (11 April 2017). "सीगल मॉड्यूलर रूप और ब्लैक होल एन्ट्रापी" (PDF). Journal of High Energy Physics. 2017 (4): 57. arXiv:1611.04588. Bibcode:2017JHEP...04..057B. doi:10.1007/JHEP04(2017)057. S2CID 53684898. See Section 1 of the paper.
  6. ↑ van der Geer, Gerard (2013). "The cohomology of the moduli space of Abelian varieties". In Farkas, Gavril; Morrison, Ian (eds.). मोडुली की पुस्तिका, खंड 1. Vol. 24. Somerville, Mass.: International Press. arXiv:1112.2294. ISBN 9781571462572.
  7. ↑ Tai, Yung-Sheng (1982). "एबेलियन किस्मों के मोडुली स्थान के कोडैरा आयाम पर". Inventiones Mathematicae. 68 (3): 425–439. Bibcode:1982InMat..68..425T. doi:10.1007/BF01389411. S2CID 120441933.
  8. ↑ Freitag, Eberhard (1983). सीगल मॉड्यूलर फ़ंक्शन. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (in Deutsch). Vol. 254. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-68649-8. ISBN 978-3-642-68650-4.
  9. ↑ Mumford, David (1983). "On the Kodaira dimension of the Siegel modular variety". In Ciliberto, C.; Ghione, F.; Orecchia, F. (eds.). Algebraic Geometry - Open Problems, Proceedings of the Conference held in Ravello, May 31 - June 5, 1982. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 997. Springer. pp. 348–375. doi:10.1007/BFb0061652. ISBN 978-3-540-12320-0.
  10. ↑ Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (7 November 2018). "Siegel paramodular forms and sparseness in AdS3/CFT2". Journal of High Energy Physics. 2018 (11): 37. arXiv:1805.09336. Bibcode:2018JHEP...11..037B. doi:10.1007/JHEP11(2018)037. S2CID 54936474.
  11. ↑ Parshin, A. N. (1968). "फ़ंक्शन फ़ील्ड I पर बीजगणितीय वक्र" (PDF). Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Math. 32 (5): 1191–1219. Bibcode:1968IzMat...2.1145P. doi:10.1070/IM1968v002n05ABEH000723.
  12. ↑ 12.0 12.1 Cornell, Gary; Silverman, Joseph H., eds. (1986). Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30 – August 10, 1984. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1. MR 0861969.
  13. ↑ Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (in Deutsch). 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007/BF01388432. MR 0718935. S2CID 121049418.
  14. ↑ Faltings, Gerd (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (in Deutsch). 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572. MR 0732554.
  15. ↑ "Faltings relates the two notions of height by means of the Siegel moduli space.... It is the main idea of the proof." Bloch, Spencer (1984). "The Proof of the Mordell Conjecture" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 6 (2): 44. doi:10.1007/BF03024155. S2CID 306251. Archived from the original (PDF) on 2019-03-03.
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