सहउत्पाद

This article is about श्रेणियों में उत्पाद. For सहगुणन के अर्थ में "प्रतिउत्पाद", see कोलजेब्रा.

श्रेणी सिद्धांत में सह-उत्पाद या श्रेणीबद्ध योग एक निर्माण है जिसमें उदाहरण के रूप में समुच्चय (गणित) और असम्बद्ध संघ (टोपोलॉजी) समूह (गणित) का मुक्त उत्पाद और मॉड्यूल (गणित) का प्रत्यक्ष योग सम्मिलित है।) और सदिश रिक्त स्थान वस्तुओं के एक वर्ग का प्रतिफल अनिवार्य रूप से कम से कम विशिष्ट वस्तु है जिसके लिए वर्ग में प्रत्येक वस्तु एक आकारिकी को स्वीकार करती है। यह उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के लिए श्रेणी-सैद्धांतिक दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) है, जिसका अर्थ है कि परिभाषा उत्पाद के समान है किंतु सभी रूपवाद के साथ उलट है। नाम और संकेतन में इस प्रतीत होने वाले सहज परिवर्तन के अतिरिक्त उत्पाद हो सकते हैं और सामान्यतः उत्पादों से नाटकीय रूप से भिन्न होते हैं।

परिभाषा

$C$ को एक श्रेणी होने दें और $X_{1}$ और $X_{2}$ को $C.$ की वस्तु होने दें। एक वस्तु को $X_{1}$और $X_{2},$ लिखित $X_{1}\sqcup X_{2},$ या $X_{1}\oplus X_{2},$ या कभी-कभी बस $X_{1}+X_{2},$ यदि आकारिकी उपस्थित है $i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}$ और $i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}$ निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करना: किसी भी वस्तु $Y$ और किसी भी आकारिकी के लिए $f_{1}:X_{1}\to Y$और $f_{2}:X_{2}\to Y,$ उपस्थित है अद्वितीय आकारिकी $f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y$ जैसे कि $f_{1}=f\circ i_{1}$और $f_{2}=f\circ i_{2}.$अर्थात्, निम्नलिखित आरेख आवागमन करता है:

File:Coproduct-03.svg

इस आरेख को बनाने वाले अद्वितीय तीर $f$ को $f_{1}\sqcup f_{2},$$f_{1}\oplus f_{2},$ $f_{1}+f_{2},$या $\left[f_{1},f_{2}\right].$ या $i_{1}$ और $i_{2}$ को कैनोनिकल इंजेक्शन कहा जाता है, चूँकि उन्हें इंजेक्शन या यहां तक कि मोनोमोर्फिज्म भी नहीं होना चाहिए।

एक उत्पाद की परिभाषा को एक समुच्चय $J.$ द्वारा अनुक्रमित वस्तुओं के एक मनमाने वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है। वर्ग $\left\{X_{j}:j\in J\right\}$ का सह-उत्पाद एक वस्तु $X$ है, जो एक साथ आकारिकी {$i_{j}:X_{j}\to X$} के संग्रह के साथ है, जैसे कि, किसी भी वस्तु $Y$ के लिए और आकारिकी {$f_{j}:X_{j}\to Y$} के किसी भी संग्रह में एक अद्वितीय आकारिकी $f:X\to Y$ उपस्थित है जैसे कि $f_{j}=f\circ i_{j}.$ अर्थात, निम्न आरेख प्रत्येक $j\in J$ के लिए यात्रा करता है।

File:Coproduct-01.svg

$\left\{X_{j}\right\}$ वर्ग के सहउत्पाद $X$ को अधिकांशतः $\coprod _{j\in J}X_{j}$ या $\bigoplus _{j\in J}X_{j}.$ के रूप में दर्शाया जाता है। कभी-कभी आकृतिवाद$f:X\to Y$ को $\coprod _{j\in J}f_{j}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो व्यक्ति $f_{j}$s पर इसकी निर्भरता को इंगित करता है।

उदाहरण

समुच्चयों की श्रेणी में सहउत्पाद केवल असम्बद्ध संघ या समुच्चय सिद्धांत की परिभाषा नक्शों के साथ i_j समावेशन मानचित्र होने के नाते प्रत्यक्ष उत्पाद के विपरीत अन्य श्रेणियों में सह-उत्पाद सभी स्पष्ट रूप से समुच्चय की धारणा पर आधारित नहीं होते हैं, क्योंकि संघ संचालन को संरक्षित करने के संबंध में अच्छा व्यवहार नहीं करते हैं (उदाहरण के लिए दो समूहों के संघ को एक समूह नहीं होना चाहिए) और इसलिए अलग-अलग उत्पाद श्रेणियां नाटकीय रूप से एक दूसरे से भिन्न हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, समूहों की श्रेणी में सह-उत्पाद, जिसे 'मुक्त उत्पाद' कहा जाता है अधिक जटिल है। दूसरी ओर एबेलियन समूहों (और समान रूप से सदिश रिक्त स्थान के लिए) की श्रेणी में 'प्रत्यक्ष योग' नामक सह-उत्पाद में प्रत्यक्ष उत्पाद के तत्व होते हैं जिनके पास केवल परिमित कई गैर-शून्य शब्द होते हैं। (इसलिए यह निश्चित रूप से कई कारकों के स्थिति में प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ मेल खाता है।)

क्रमविनिमेय वलय R दिया गया है, क्रमविनिमेय बीजगणित की श्रेणी में सहउत्पाद क्रमविनिमेय R-बीजगणित की श्रेणी बीजगणित का टेंसर उत्पाद है। रिंग्स या R-बीजगणित (नॉनकम्यूटेटिव) R-बीजगणित की श्रेणी में सहउत्पाद टेन्सर बीजगणित का भागफल है (साहचर्य बीजगणित का मुफ्त उत्पाद देखें)।

टोपोलॉजिकल स्पेस के स्थिति में सहोत्पाद अपने अलग संघ (टोपोलॉजी) के साथ संघ को अलग कर देते हैं। यही है यह अंतर्निहित समुच्चय का एक अलग संघ है, और विवर्त समुच्चय प्रत्येक रिक्त स्थान में एक स्पष्ट अर्थ में विवर्त समुच्चय हैं। बिंदु स्थान की श्रेणी में होमोटॉपी सिद्धांत में मौलिक सहोत्पाद वेज योग है (जो एक सामान्य आधार बिंदु पर आधार बिंदुओं के साथ रिक्त स्थान के संग्रह में सम्मिलित होने के समान है)।

असंयुक्त संघ की अवधारणा गुप्त रूप से उपरोक्त उदाहरणों को रेखांकित करती है: एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष योग लगभग असंयुक्त संघ द्वारा उत्पन्न समूह है (एक सामान्य शून्य के साथ मिलकर सभी गैर-शून्य तत्वों का असंबद्ध संघ) इसी तरह सदिश रिक्त स्थान के लिए: अंतरिक्ष रैखिक अवधि लगभग असम्बद्ध संघ द्वारा; समूहों के लिए मुफ्त उत्पाद समान लगभग असम्बद्ध संघ से सभी अक्षरों के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है जहां विभिन्न समुच्चय से दो तत्वों को आवागमन