समुच्चय-मान फलन

For multi-valued functions of mathematical analysis, see Multivalued function. For functions whose arguments are sets, see Set function.

एक समुच्चय-मान फलन (या पत्राचार) एक गणितीय फलन है जो तत्वों को एक समुच्चय, फलन के डोमेन से उपसमुच्चय तक मैप करता है।

समुच्चय-मान फलन का उपयोग अनुकूलन, नियंत्रण सिद्धांत और खेल सिद्धांत सहित विभिन्न गणितीय क्षेत्रों में किया जाता है।

कुछ सन्दर्भों में समुच्चय-मान फलन को बहु-मान फलन के रूप में भी जाना जाता है, लेकिन यहां और गणितीय विश्लेषण में कई अन्य संदर्भों में, बहु मानवान फलन एक समुच्चय-मानवान फलन f हैं जिसमें एक और सतत कार्य गुण है, अर्थात् समुच्चय में एक तत्व का चुनाव $f(x)$ प्रत्येक समुच्चय में एक संगत तत्व को परिभाषित करता है $f(y)$ x के करीब y के लिए और इस प्रकार स्थानीय रूप से एक सामान्य फलन को परिभाषित करता है।

यह आरेख एक बहु- मानवान, लेकिन उचित (एकल- मानवान) फलन (गणित) का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, क्योंकि X में तत्व 3, Y में दो तत्वों, b और c से जुड़ा हुआ है।

उदाहरण

किसी फलन का आर्गमैक्स सामान्यतः बहु मानवान होता है। उदाहरण के लिए, $\operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}$.

समुच्चय-मान विश्लेषण

समुच्चय-मान विश्लेषण गणितीय विश्लेषण और सामान्य टोपोलॉजी की भावना में समुच्चय का अध्ययन है।

केवल अंकों के संग्रह पर विचार करने के बजाय समुच्चय-मान विश्लेषण समुच्चय के संग्रह पर विचार करता है। यदि समुच्चयों का संग्रह टोपोलॉजी से संपन्न है या अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस से उपयुक्त टोपोलॉजी प्राप्त करता है, तो समुच्चयों के अभिसरण का अध्ययन किया जा सकता है।

अधिकांश समुच्चय-मान विश्लेषण गणितीय अर्थशास्त्र और इष्टतम नियंत्रण के अध्ययन के माध्यम से उत्पन्न हुआ, आंशिक रूप से उत्तल विश्लेषण के सामान्यीकरण के रूप में शब्द "वेरिएशनल एनालिसिस" का उपयोग आर. टायरेल रॉकफेलर और रोजर जे-बी वेट्स, जोनाथन बोरवीन और एड्रियन लुईस और बोरिस मोर्दुखोविच जैसे लेखकों द्वारा किया जाता है। अनुकूलन सिद्धांत में किसी भी न्यूनतम बिंदु के लिए आवश्यक या पर्याप्त स्थितियों को समझने के लिए उपविभेदकों को उपविभेदकों में सन्निकटन करने का अभिसरण महत्वपूर्ण है।

बिंदु-मान विश्लेषण से निम्नलिखित अवधारणाओं के समुच्चय-मान विस्तार स्थित हैं: निरंतरता (गणित), विभेदन (गणित), अभिन्न, अंतर्निहित फलन प्रमेय, संकुचन मानचित्रण, माप सिद्धांत, निश्चित-बिंदु प्रमेय, अनुकूलन (गणित) और टोपोलॉजिकल डिग्री सिद्धांत। विशेष रूप से समीकरणों को समावेशन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जबकि विभेदन समीकरणों को विभेदक समावेशन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

निरंतरता (गणित) को सामान्य बनाने वाली कई अवधारणाओं को अलग किया जा सकता है, जैसे संवृत ग्राफ गुण और ऊपरी और निचला हेमिकॉन्टिनिटी। बहुकार्यों के माप (गणित) के विभिन्न सामान्यीकरण भी हैं।

अनुप्रयोग

समुच्चय-मान फलन इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं, विशेष र