समतल मैनिफोल्ड

गणित में, रीमैनियन मैनिफोल्ड को समतल कहा जाता है यदि इसका रीमैन वक्रता टेंसर प्रत्येक समिष्ट शून्य है। सहज रूप से, समतल मैनिफ़ोल्ड वह है जो समिष्टय रूप से दूरियों और कोणों के संदर्भ में यूक्लिडियन समिष्ट जैसा दिखता है, उदाहरण के लिए त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

संपूर्ण समिष्ट फ्लैट मैनिफोल्ड का सार्वभौमिक आवरण यूक्लिडियन समिष्ट है। इस प्रकार इसका उपयोग प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है

बीबरबैक (1911, 1912) कि सभी सघन समिष्ट फ्लैट मैनिफोल्ड्स को टोरी द्वारा सीमित रूप से कवर किया गया है; त्रि-आयामी स्थिति पहले सिद्ध किया गया था स्कोनफ्लाइज़ (1891).

उदाहरण

निम्नलिखित मैनिफोल्ड्स को फ्लैट मीट्रिक के साथ संपन्न किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह उनका 'मानक' मीट्रिक नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, 2-आयामी टोरस पर फ्लैट मीट्रिक इसके सामान्य एम्बेडिंग से प्रेरित मीट्रिक $\mathbb {R} ^{3}$ नहीं है).

आयाम 1

प्रत्येक एक-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड समतल है। इसके विपरीत, यह देखते हुए कि प्रत्येक जुड़ा हुआ एक-आयामी स्मूथ मैनिफोल्ड किसी $\mathbb {R}$ या $S^{1},$ से भिन्न होता है यह देखना सीधा है कि प्रत्येक जुड़ा हुआ एक-आयामी रीमानियन मैनिफोल्ड निम्नलिखित में से किसी के लिए सममितीय है (प्रत्येक अपनी मानक रीमानियन संरचना के साथ होता है):

वास्तविक पंक्ति
विवृत अंतराल $(0,x)$ कुछ संख्या के लिए $x>0$
विवृत अंतराल $(0,\infty )$
वृत्त $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ त्रिज्या का $r,$ कुछ संख्या $r>0.$ के लिए

केवल प्रथम और अंतिम ही पूर्ण हैं। यदि किसी में रीमैनियन मैनिफोल्ड्स-विथ-बाउंड्री सम्मिलित है, तो अर्ध-विवृत और बंद अंतरालों को भी सम्मिलित किया जाना चाहिए।

इस स्थित में पूर्ण विवरण की सरलता इस तथ्य पर आधारित हो सकती है कि प्रत्येक एक-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड में चिकनी इकाई-लंबाई सदिश क्षेत्र होता है, और उपरोक्त मॉडल उदाहरणों में से से आइसोमेट्री अभिन्न वक्र पर विचार करके प्रदान की जाती है।

आयाम 2

पाँच संभावनाएँ, भिन्नरूपता तक

यदि $(M,g)$ सहज द्वि-आयामी जुड़ा हुआ पूर्ण फ्लैट रीमानियन मैनिफोल्ड है $M$ से भिन्न होना चाहिए इस प्रकार $\mathbb {R} ^{2},$ $S^{1}\times \mathbb {R} ,$ $S^{1}\times S^{1},$ मोबियस पट्टी, या क्लेन बोतल ध्यान दें कि केवल कॉम्पैक्ट संभावनाएँ हैं $S^{1}\times S^{1}$ और क्लेन बोतल है, जबकि एकमात्र उन्मुख $\mathbb {R} ^{2},$ $S^{1}\times \mathbb {R} ,$ और $S^{1}\times S^{1}.$ संभावनाएँ हैं

इन समिष्टों पर विशिष्ट पूर्ण फ्लैट रीमानियन मेट्रिक्स का वर्णन करने के लिए अधिक प्रयास करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, के दो कारक $S^{1}\times S^{1}$ उनकी त्रिज्याएँ कोई भी दो वास्तविक संख्याएँ हो सकती हैं। ये मेट्रिक्स उनकी दो त्रिज्याओं के अनुपात से दूसरे से भिन्न होते हैं, इसलिए इस समिष्टमें असीमित रूप से कई अलग-अलग फ्लैट उत्पाद मेट्रिक्स होते हैं इस प्रकार जो स्केल फैक्टर तक आइसोमेट्रिक नहीं होते हैं। पांच संभावनाओं के बारे में समान रूप से बात करने के लिए, और विशेष रूप से मोबियस स्ट्रिप और क्लेन बोतल के साथ अमूर्त मैनिफोल्ड के रूप में ठोस रूप से काम करने के लिए, समूह क्रियाओं की भाषा का उपयोग करना उपयोगी है।

पांच संभावनाएं, आइसोमेट्री तक

दिया गया $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},$ माना $T_{(x_{0},y_{0})}$ अनुवाद को निरूपित करें $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ द्वारा दिए गए $(x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).$ माना $R$ प्रतिबिंब को निरूपित करें $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ द्वारा दिए गए थे $(x,y)\mapsto (x,-y).$ दो सकारात्मक संख्याएँ दी गई हैं $a,b,$ के निम्नलिखित उपसमूहों पर विचार करें $\operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),$ के आइसोमेट्री का समूह $\mathbb {R} ^{2}$ अपने मानक मीट्रिक के साथ होता है।