सदिश माप

गणित में, सदिश माप फलन (गणित) है। जो समुच्चयों के वर्ग पर परिभाषित होता है और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सदिश स्पेस मान लेता है। यह परिमित माप (गणित) की अवधारणा का सामान्यीकरण है। जो केवल गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या मान लेता है।

परिभाषाएं और पहला परिणाम

समुच्चय के क्षेत्र को देखते हुए $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ और बनच स्पेस $X,$ परिमित रूप से योज्य सदिश माप (या माप, संक्षेप में) फलन $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ है। ऐसा है कि के लिए ${\mathcal {F}}$ में कोई भी दो असंयुक्त समुच्चय $A$ और $B$ हैं

\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).

{\mathcal {F}}

में असंयुक्त समुच्चयों के किसी अनुक्रम

(A_{i})_{i=1}^{\infty }

के लिए सदिश माप

\mu

को गणनीय योगात्मक कहा जाता है। जिससे उनका मिलन हो

{\mathcal {F}}

में यह इसे धारण करता है |

\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})

बानाच स्पेस के मानक (गणित) में अभिसरण के दाईं ओर श्रृंखला (गणित) के साथ

X.

यह सिद्ध किया जा सकता है कि योज्य सदिश माप

\mu

किसी भी अनुक्रम के लिए यदि और केवल तभी योगात्मक रूप से योगात्मक

(A_{i})_{i=1}^{\infty }

है। जैसा ऊपर वाले के पास है।

\lim _{n\to \infty }\left\|\mu {\left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)}\right\|=0,

(*)

जहाँ $\|\cdot \|$ सिग्मा-बीजगणित पर परिभाषित $X.$ गणना योगात्मक सदिश माप परिमित माप (गणित), परिमित हस्ताक्षरित माप और जटिल माप से अधिक सामान्य हैं, जो वास्तविक अंतराल पर क्रमशः मान लेने वाले योगात्मक कार्य हैं। $[0,\infty ),$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

उदाहरण

अंतराल $[0,1]$ से बने समुच्चय के क्षेत्र पर विचार करें वर्ग के साथ इस अंतराल में सम्मिलित सभी लेबेस्ग औसत दर्जे का समुच्चय ${\mathcal {F}}$ के साथ ऐसे किसी भी समुच्चय के लिए $A,$ परिभाषित कीजिए |

जहाँ $\chi$ $A.$ का सूचक कार्य है। जहाँ $\mu$ मूल्य लेने के लिए घोषित किया जाता है तो दो अलग-अलग परिणाम देखे जाते हैं।

$\mu ,$ ${\mathcal {F}}$ से $L^{p}$ -स्पेस $L^{\infty }([0,1]),$ फलन के रूप में देखा गया सदिश माप है। जो गणनीय-योगात्मक नहीं है।
$\mu ,$ जिसे ${\mathcal {F}}$ तक $L^{p}$ -स्पेस $L^{1}([0,1]),$ तक फलन के रूप में देखा गया गणनीय-योगात्मक सदिश माप है।