सदिश माप

गणित में, सदिश माप फलन (गणित) है। जो समुच्चयों के वर्ग पर परिभाषित होता है और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सदिश स्पेस मान लेता है। यह परिमित माप (गणित) की अवधारणा का सामान्यीकरण है। जो केवल गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या मान लेता है।

परिभाषाएं और पहला परिणाम

समुच्चय के क्षेत्र को देखते हुए $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ और बनच स्पेस $X,$ परिमित रूप से योज्य सदिश माप (या माप, संक्षेप में) फलन $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ है। ऐसा है कि के लिए ${\mathcal {F}}$ में कोई भी दो असंयुक्त समुच्चय $A$ और $B$ हैं

$$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$$

${\mathcal {F}}$ में असंयुक्त समुच्चयों के किसी अनुक्रम $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ के लिए सदिश माप $\mu$ को गणनीय योगात्मक कहा जाता है। जिससे उनका मिलन हो ${\mathcal {F}}$ में यह इसे धारण करता है |

$$\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$$

बानाच स्पेस के मानक (गणित) में अभिसरण के दाईं ओर श्रृंखला (गणित) के साथ $X.$ यह सिद्ध किया जा सकता है कि योज्य सदिश माप $\mu$ किसी भी अनुक्रम के लिए यदि और केवल तभी योगात्मक रूप से योगात्मक $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ है। जैसा ऊपर वाले के पास है।

$$\lim _{n\to \infty }\left\|\mu {\left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)}\right\|=0,$$

(*)

जहाँ $\|\cdot \|$ सिग्मा-बीजगणित पर परिभाषित $X.$ गणना योगात्मक सदिश माप परिमित माप (गणित), परिमित हस्ताक्षरित माप और जटिल माप से अधिक सामान्य हैं, जो वास्तविक अंतराल पर क्रमशः मान लेने वाले योगात्मक कार्य हैं। $[0,\infty ),$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

उदाहरण

अंतराल $[0,1]$ से बने समुच्चय के क्षेत्र पर विचार करें वर्ग के साथ इस अंतराल में सम्मिलित सभी लेबेस्ग औसत दर्जे का समुच्चय ${\mathcal {F}}$ के साथ ऐसे किसी भी समुच्चय के लिए $A,$ परिभाषित कीजिए |

जहाँ $\chi$ $A.$ का सूचक कार्य है। जहाँ $\mu$ मूल्य लेने के लिए घोषित किया जाता है तो दो अलग-अलग परिणाम देखे जाते हैं।

• $\mu ,$ ${\mathcal {F}}$ से $L^{p}$-स्पेस $L^{\infty }([0,1]),$ फलन के रूप में देखा गया सदिश माप है। जो गणनीय-योगात्मक नहीं है।
• $\mu ,$ जिसे ${\mathcal {F}}$ तक $L^{p}$-स्पेस $L^{1}([0,1]),$तक फलन के रूप में देखा गया गणनीय-योगात्मक सदिश माप है।

ये दोनों कथन ऊपर बताए गए मानदंड (*) से अधिक सरलता से अनुसरण करते हैं।

सदिश माप की भिन्नता

सदिश माप दिया गया $\mu :{\mathcal {F}}\to X,$ भिन्नता $|\mu |$ का $\mu$ परिभाषित किया जाता है।

$$|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|$$

जहां समुच्चय के सभी विभाजनों पर सर्वोच्चता ले ली जाती है।

$$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$$

${\mathcal {F}}.$ में सभी $A$ के लिए $A$ का असंयुक्त समुच्चय की परिमित संख्या में यहाँ $\|\cdot \|$$\mu$ का परिवर्तन $[0,\infty ].$ में मान लेने वाला परिमित रूप से योज्य फलन है। यह मानता है।

$$\|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)$$

किसी ${\mathcal {F}}.$ के लिए $A$ में यदि $|\mu |(\Omega )$ परिमित है, $\mu$ परिबद्ध परिवर्तन कहा गया है। कोई प्रमाणित कर सकता है कि यदि $\mu$ परिबद्ध भिन्नता का सदिश माप है, तब $\mu$ गिनती योगात्मक है यदि और केवल यदि $|\mu |$ गणनीय योगात्मक है।

ल्यपुनोव का प्रमेय

सदिश माप के सिद्धांत में, एलेक्सी लायपुनोव का प्रमेय बताता है कि (परमाणु (माप सिद्धांत) गैर-परमाणु) परिमित-आयामी सदिश माप की सीमा बंद समुच्चय और उत्तल समुच्चय है। वास्तव में, गैर-परमाणु सदिश माप की सीमा ज़ोनॉइड है (बंद और उत्तल समुच्चय जो ज़ोनोटोप के अभिसरण अनुक्रम की सीमा है)। इसका उपयोग गणितीय अर्थशास्त्र में किया जाता है, जिसमें (बैंग-बैंग नियंत्रण) नियंत्रण सिद्धांत, और सांख्यिकीय सिद्धांत में लायपुनोव के प्रमेय को शेपले-फोकमैन लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया गया है। जिसे असतत असतत गणित के रूप में देखा गया है। लायपुनोव के प्रमेय के निरंतर गणित के असतत अनुरूप है।

यह भी देखें

• बोचनर मापने योग्य कार्य
• बोचनर अभिन्न
• बॉचनर स्पेस
• जटिल मापदंड
• हस्ताक्षरित परिमाण
• सदिश-मूल्यवान कार्य
• अशक्त परिमाण का कार्य

ग्रन्थसूची

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• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Vector measures. Mathematical Surveys. Vol. 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. pp. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
• van Dulst, D. (2001) [1994], "Vector measures", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Rudin, W (1973). Functional analysis. New York: McGraw-Hill. p. 114. ISBN 9780070542259.