सत्य फलन

तर्क में, सत्य फलन एक ऐसा फलन (गणित) है जो सत्य मानों को इनपुट के रूप में स्वीकार करता है और आउटपुट के रूप में अद्वितीय सत्य मान उत्पन्न करता है। दूसरे शब्दों में: सत्य फलन के इनपुट और आउटपुट सभी सत्य मान हैं; सत्य फलन हमेशा सत्य मान का उत्पादन करेगा; और समान सत्य मान (ओं) को इनपुट करने से हमेशा समान सत्य मान का उत्पादन होगा। विशिष्ट उदाहरण प्रस्ताविक कलन में है, जिसमें तार्किक संयोजकों द्वारा जुड़े अलग-अलग कथनों का उपयोग करके यौगिक कथन का निर्माण किया जाता है; यदि मिश्रित कथन का सत्य मान घटक कथन(नों) के सत्य मान द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किया जाता है, तो मिश्रित कथन को सत्य फलन कहा जाता है, और उपयोग किए गए किसी भी तार्किक संयोजक को सत्य कार्यात्मक कहा जाता है।

शास्त्रीय तर्क सत्य-कार्यात्मक तर्क है, इसमें प्रत्येक कथन का सत्य मान होता है जो या तो सत्य या असत्य होता है, और प्रत्येक तार्किक संयोजक सत्य कार्यात्मक होता है ( संगत सत्य तालिका के साथ), इस प्रकार प्रत्येक यौगिक कथन सत्य फलन है। दूसरी ओर, मॉडल तर्क गैर-सत्य-कार्यात्मक है।

अवलोकन

एक तार्किक संयोजक सत्य-कार्यात्मक होता है यदि एक यौगिक वाक्य का सत्य-मूल्य उसके उप-वाक्यों के सत्य-मूल्य का एक कार्य है। संयोजकों का एक वर्ग सत्य-कार्यात्मक होता है यदि उसका प्रत्येक सदस्य है। उदाहरण के लिए संयोजी "और" सत्य-कार्यात्मक है क्योंकि "सेब फल हैं और गाजर सब्जियां हैं" जैसे वाक्य सत्य हैं, और केवल यदि इसके प्रत्येक उप-वाक्य "सेब फल हैं" और "गाजर सब्जियां हैं" सत्य हैं , और यह अन्यथा झूठा है। एक प्राकृतिक भाषा के कुछ संयोजक, जैसे अंग्रेजी, सत्य-कार्यात्मक नहीं हैं।

"x का मानना है कि ..." स्वरूप के संयोजक उन संयोजकों के विशिष्ट उदाहरण हैं जो सत्य-कार्यात्मक नहीं हैं। यदि उदा. मैरी गलती से मानती है कि अल गोर 20 अप्रैल 2000 को अमेरिका के राष्ट्रपति थे, लेकिन वह नहीं मानती कि चांद हरे पनीर से बना है, तो वाक्य

मैरी का मानना ​​है कि अल गोर 20 अप्रैल 2000 को अमेरिका के राष्ट्रपति थे

जबकि सत्य है

मैरी का मानना ​​है कि चांद हरी चीज से बना है

गलत है। दोनों ही मामलों में, प्रत्येक घटक वाक्य (अर्थात अल गोर 20 अप्रैल, 2000 को संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रपति थे और चंद्रमा हरे पनीर से बना है) झूठा है, लेकिन वाक्यांश मैरी के उपसर्ग द्वारा गठित प्रत्येक यौगिक वाक्य का मानना ​​है कि सत्य-मान में भिन्न है . यही है, फॉर्म के वाक्य का सत्य-मान मैरी का मानना ​​है कि ... केवल इसके घटक वाक्य के सत्य-मान से निर्धारित नहीं होता है, और इसलिए (ात्मक) तार्किक संयोजक (या केवल संकारक क्योंकि यह एकात्मक है) गैर-सत्य-कार्यात्मक है।

सूत्रों के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले क्लासिकल तार्किक संयोजक (जैसे & (तार्किक), और → (मटेरियल कंडीशनल)) का वर्ग सत्य-कार्यात्मक है। तर्क के रूप में विभिन्न सत्य-मानों के लिए उनके मान सामान्यतः सत्य तालिकाओं द्वारा दिए जाते हैं। सत्य-कार्यात्मक प्रोपोज़िशनल कैलकुलस औपचारिक प्रणाली है जिसके सूत्रों की व्याख्या सत्य या असत्य के रूप में की जा सकती है।

द्विआधारी सत्य फलनों की तालिका

दो-मूल्यवान तर्क में, दो इनपुट P और Q के सोलह संभावित सत्य फलन हैं, जिन्हें बूलियन फलन भी कहा जाता है। इनमें से कोई भी कार्य शास्त्रीय तर्क में निश्चित तार्किक संयोजक की सत्य तालिका से मेल खाता है, जिसमें कई अध: पतन (गणित) मामले शामिल हैं। जैसे फलन जो इसके या दोनों तर्कों पर निर्भर नहीं करता है। संक्षिप्तता के लिए निम्नलिखित सत्य तालिकाओं में सत्य और असत्य को क्रमशः 1 और 0 के रूप में दर्शाया गया है।

Contradiction/False Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram $\bot$ "bottom" P ∧ ¬P Opq   Q 0 1 P 0    0   0  1    0   0  File:Venn0000.svg	Tautology/True Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram $\top$ "top" P ∨ ¬P Vpq   Q 0 1 P 0    1   1  1    1   1  File:Venn1111.svg
Proposition P Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P p Ipq   Q 0 1 P 0    0   0  1    1   1  File:Venn0101.svg	Negation of P Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram ¬P ~P Np Fpq   Q 0 1 P 0    1   1  1    0   0  File:Venn1010.svg
Proposition Q Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram Q q Hpq   Q 0 1 P 0    0   1  1    0   1  File:Venn0011.svg	Negation of Q Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram ¬Q ~Q Nq Gpq   Q 0 1 P 0    1   0  1    1   0  File:Venn1100.svg
Conjunction Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P ∧ Q P & Q P · Q P AND Q P ↛¬Q ¬P ↚ Q ¬P ↓ ¬Q Kpq   Q 0 1 P 0    0   0  1    0   1  File:Venn0001.svg	Alternative denial Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P ↑ Q P | Q P NAND Q P → ¬Q ¬P ← Q ¬P ∨ ¬Q Dpq   Q 0 1 P 0    1   1  1    1   0  File:Venn1110.svg
Disjunction Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P ∨ Q P OR Q P ← ¬Q ¬P → Q ¬P ↑ ¬Q ¬(¬P ∧ ¬Q) Apq   Q 0 1 P 0    0   1  1    1   1  File:Venn0111.svg	Joint denial Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P ↓ Q P NOR Q P ↚ ¬Q ¬P ↛ Q ¬P ∧ ¬Q Xpq   Q 0 1 P 0    1   0  1    0   0  File:Venn1000.svg
Material nonimplication Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P ↛ Q P $\not \supset$ Q P $>$ Q P NIMPLY Q P ∧ ¬Q ¬P ↓ Q ¬P ↚ ¬Q Lpq   Q 0 1 P 0    0   0  1    1   0  File:Venn0100.svg	Material implication Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P → Q P ⊃ Q P $\leq$ Q P IMPLY Q P ↑ ¬Q ¬P ∨ Q ¬P ← ¬Q Cpq   Q 0 1 P 0    1   1  1    0   1  File:Venn1011.svg
Converse nonimplication Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P ↚ Q P $\not \subset$ Q P $<$ Q P ↓ ¬Q ¬P ∧ Q ¬P ↛ ¬Q Mpq   Q 0 1 P 0    0   1  1    0   0  File:Venn0010.svg	Converse implication Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P ← Q P ⊂ Q P $\geq$ Q P ∨ ¬Q ¬P ↑ Q ¬P → ¬Q Bpq   Q 0 1 P 0    1   0  1    1   1  File:Venn1101.svg
Exclusive disjunction Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P ↮ Q P ≢ Q P ⨁ Q P XOR Q P $\leftrightarrow$ ¬Q ¬P $\leftrightarrow$ Q ¬P ↮ ¬Q Jpq   Q 0 1 P 0    0   1  1    1   0  File:Venn0110.svg	Biconditional Notation Equivalent formulas Truth table Venn diagram P $\leftrightarrow$ Q P ≡ Q P XNOR Q P IFF Q P ↮ ¬Q ¬P ↮ Q ¬P $\leftrightarrow$ ¬Q Epq   Q 0 1 P 0    1   0  1    0   1  File:Venn1001.svg

कार्यात्मक पूर्णता

See also: कार्यात्मक पूर्णता

क्योंकि फलन को कार्यों की संरचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, सत्य-कार्यात्मक तार्किक कलन को उपरोक्त सभी कार्यों के लिए कार्यात्मक पूर्णता होने के लिए समर्पित प्रतीकों की आवश्यकता नहीं है। यह कुछ यौगिक कथनों की तार्किक तुल्यता के रूप में प्रस्तावपरक कलन में व्यक्त किया गया है। उदाहरण के लिए, शास्त्रीय तर्क ¬P ∨ Q , P → Q के बराबर है। सशर्त ऑपरेटर → शास्त्रीय-आधारित तार्किक प्रणाली के लिए आवश्यक नहीं है यदि ¬ (नहीं) और ∨ (या) पहले से ही उपयोग में हैं।

ऑपरेटरों का न्यूनतम तत्व सेट जो प्रत्येक कथन को व्यक्त कर सकता है जो प्रस्ताविक कलन में अभिव्यक्त होता है, न्यूनतम कार्यात्मक रूप से पूर्ण सेट कहलाता है। अकेले नैण्ड {↑} और नोर अकेले {↓} द्वारा ऑपरेटरों का न्यूनतम पूर्ण सेट प्राप्त किया जाता है।

निम्नलिखित ऑपरेटरों के न्यूनतम कार्यात्मक रूप से पूर्ण सेट हैं जिनकी संख्या 2 से अधिक नहीं है:

एक तत्व

{↑}, {↓}।

दो तत्व:

$\{\vee ,\neg \}$, $\{\wedge ,\neg \}$, $\{\to ,\neg \}$, $\{\gets ,\neg \}$, $\{\to ,\bot \}$, $\{\gets ,\bot \}$, $\{\to ,\nleftrightarrow \}$, $\{\gets ,\nleftrightarrow \}$, $\{\to ,\nrightarrow \}$, $\{\to ,\nleftarrow \}$, $\{\gets ,\nrightarrow \}$, $\{\gets ,\nleftarrow \}$, $\{\nrightarrow ,\neg \}$, $\{\nleftarrow ,\neg \}$, $\{\nrightarrow ,\top \}$, $\{$