व्युत्क्रमणीय आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, n- द्वारा-n वर्ग आव्युह A यदि कोई सम्मिलित है, तो उसे व्युत्क्रमणीय जिसे अविलक्षण या अपतित भी कहा जाता है, जिसके लिए n-द्वारा-n वर्ग आव्युह B का मान कुछ इस तरह है

$\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\$

जहाँ पर I_n दर्शाता है n-द्वारा-n तत्समक आव्यूह और प्रयुक्त गुणन साधारण आव्यूह गुणन है। यदि ऐसा है, तो आव्युह B द्वारा विशिष्ट रूप से A के लिए निर्धारित किया जाता है, और यह (गुणक) व्युत्क्रम A अर्ताथ A⁻¹ कहलाता है,  इस प्रकार A⁻¹ द्वारा चिंहित आव्युह को व्युत्क्रम B आव्युह खोजने की प्रक्रिया माना जाता है जो किसी दिए गए A व्युत्क्रम आव्युह के लिए पूर्व समीकरण को संतुष्ट करता है |

एक अव्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह 'विलक्षण' या 'पतित' कहलाता है। वर्ग आव्युह विलक्षण तब होता है जब यह केवल इसका निर्धारक मान शून्य हो। विलक्षण आव्युह का अर्थ दुर्लभ होता हैं क्योंकि यदि किसी वर्ग आव्युह की प्रविष्टियों की संख्या रेखा या सम्मिश्र तल पर किसी परिमित क्षेत्र से यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है, तो आव्युह के विलक्षित होने की संभावना 0 होती है, अर्थात यह लगभग कभी भी विलक्षित नहीं होगा। गैर वर्ग आव्यूह (n-द्वारा- जिसके लिए आव्यूह m ≠ n) का व्युत्क्रम नहीं होता है। यद्यपि, कुछ स्थिति में ऐसे आव्यूह बाएं व्युत्क्रम या दायां व्युत्क्रम हो सकते है। यदि A m-द्वारा-n और पद (रैखिक बीजगणित) A के बराबर है n(n ≤ m), फिर A एक बायां विपरीत है, n-द्वारा-m आव्यूह B ऐसा है कि BA = I_n. यदि A पद m(m ≤ n), तो इसका दायां व्युत्क्रम है, एक n-द्वारा-m आव्यूह B ऐसा है कि AB = I_m.

जबकि सबसे साधारण स्थिति वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर आव्यूहों का है, इन सभी परिभाषाओं को किसी भी वलय पर आव्यूह के लिए दिया जा सकता है। यद्यपि, वलय के विनिमय होने की स्थिति में, वर्ग आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने की प्रतिबन्ध यह है कि इसका निर्धारक वलय व्युत्क्रमणीय होता है, जो सामान्य रूप से गैर-शून्य होने की तुलना में अत्यधिक आवश्यक होता है। एक गैर-अनुवांशिक वलय के लिए, सामान्य निर्धारक परिभाषित नहीं किया जा सकता। बाएं- विपरीत या दाएं- विपरीत के अस्तित्व का प्रतिबन्ध अधिक सम्मिश्र हैं, क्योंकि वलयों पर पद की धारणा सम्मिलित नहीं है।

आव्यूह गुणन (और वलय R से प्रविष्टियाँ) के संचालन के साथ n × n व्युत्क्रम आव्यूह का समुच्चय एक समूह बनाता है, डिग्री n का सामान्य रैखिक समूह, जिसे GL_n(R) कहा जाता है।

गुण

विपरीत आव्यूह प्रमेय

A को a पर एक वर्ग n-by-n आव्यूह के क्षेत्र पर K (जैसे, क्षेत्र $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्या)। निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं (अर्थात, वे किसी दिए गए आव्यूह के लिए या तो सभी सत्य हैं या सभी असत्य हैं):

• जहां पर n-द्वारा-n आव्यूह B ऐसा है कि AB = I_n = BA
• A एक बायां व्युत्क्रम है (अर्थात, एक स्थित B ऐसा है कि BA = I) या एक सही व्युत्क्रम (अर्थात, एक स्थित C ऐसा है कि AC = I), जिस स्थिति में बाएँ और दाएँ दोनों व्युत्क्रम स्थित हैं और B = C = A⁻¹
• A व्युत्क्रमणीय है, अर्थात A एक व्युत्क्रम है, निरर्थक है, और अप्राप्य है।
• A पंक्ति तुल्यता पंक्ति-समतुल्य के लिए n-द्वारा-n पहचान आव्यूह I_n. है।
• A पंक्ति तुल्यता |स्तंभ-समतुल्य n-द्वारा-nपहचान आव्यूह I_n. है।
• A n धुरी की स्थिति है।
• A पूर्ण रैंक (रैखिक बीजगणित) है; जिसकी rank A = n है, .
• पद के आधार पर A = n, समीकरण Ax = 0 केवल तुच्छ समाधान है x = 0 और समीकरण Ax = b प्रत्येक के लिए ठीक एक समाधान है b में Kⁿ.
• कर्नेल (रैखिक बीजगणित)। A तुच्छ है, अर्थात, इसमें एक तत्व के रूप में केवल शून्य सदिश होता है, ker(A) = {0}..
• स्तंभA रैखिक स्वतंत्रता हैं।
• स्तंभ A रैखिक अवधि Kⁿ
• Col A = Kⁿ.
• स्तंभ A के सदिश समष्टि का आधार बनाते हैं Kⁿ.
• रैखिक परिवर्तन मानचित्रण x प्रति Ax से एक आपत्ति है Kⁿ प्रति Kⁿ
• का निर्धारक A अशून्य है: det A ≠ 0 सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय पद पर एक वलय आव्यूह व्युत्क्रम होता है और केवल यदि इसका निर्धारक उस पद में एक इकाई (वलय सिद्धांत) है।
• संख्या 0 का A गैर अक्षीय समाधान नहीं है .
• स्थानान्तरण $\mathbf {A} ^{\top }$ आव्यूह है (इसलिए की पंक्तियाँ A रैखिक स्वतंत्रता हैं, अवधि Kⁿ, और एक सदिश स्थान का आधार बनाते हैं Kⁿ).
• आव्यूह A प्राथमिक आव्यूह के परिमित उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अन्य गुण

इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित गुण एक व्युत्क्रम आव्यहू के लिए धारण करते हैं: A:

• $(\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A}$
• $(k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$ शून्येतर अदिश के लिए k
• $(\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}$ यदि A ऑर्थोनॉर्मल कॉलम हैं, जहां मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम को दर्शाता है और x⁺ एक वेक्टर है
• $(\mathbf {A} ^{\top })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\top }$
• किसी भी व्युत्क्रम के लिए n-द्वारा-n आव्यहू A तथा B, $(\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.$ अधिक सामान्यतः, यदि $\mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{k}$ उलटे हैं n-द्वारा-n आव्यहु, फिर $(\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\cdots \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}.$
• $\det \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}.$

व्युत्क्रम आव्यहू की पंक्तियाँ V एक आव्यहू का U के स्तंभों के लम्बवत हैं U (और इसके विपरीत स्तंभों के लिए पंक्तियों का आदान-प्रदान)। इसे देखने के लिए, मान लीजिए UV = VU = I जहां की पंक्तियाँ V के रूप में अंकित हैं $v_{i}^{\mathrm {T} }$ और इसके स्तंभ U जैसे $u_{j}$ के लिये $1\leq i,j\leq n.$ होता है, फिर स्पष्ट रूप से किन्हीं दो का डॉट उत्पाद $v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j}.$ होता है तथा इसके कुछ उदाहरणों में वर्ग आव्यहू के व्युत्क्रम के निर्माण में भी उपयोगी हो सकती है, जहां ऑर्थोगोनल वैक्टर का एक समूह (लेकिन जरूरी नहीं कि ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर) U ज्ञात हैं। इस स्थिति में, व्युत्क्रम की पंक्तियों को निर्धारित करने के लिए इस प्रारंभिक समूह में पुनरावृत्त ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू किया जा सकता है V.

एक आव्यूह जो स्वयं का प्रतिलोम है (अर्थात, एक आव्यूह A ऐसा है कि A = A⁻¹ तथा A² = I), एक अनैच्छिक आव्यहू कहा जाता है।

इसके सहायक के संबंध में

आव्यहू का एडजुगेट आव्यहू A का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जा सकता है A निम्नलिखितनुसार:

यदि A एक व्युत्क्रमणीय आव्यहू है, तब

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A).$

आइडेंटिटी आव्यहू के संबंध में

यह आव्यहू गुणन की साहचर्यता से अनुसरण करता है कि यदि

$\mathbf {AB} =\mathbf {I} \$

परिमित वर्ग आव्यहू के लिए A तथा B, तब भी

$\mathbf {BA} =\mathbf {I} \$

घनत्व

वास्तविक संख्या के क्षेत्र में, एकवचन का समुच्चय n-द्वारा-n आव्यूह , को $\mathbb {R} ^{n\times n},$ का उपसमुच्चय माना जाता है एक शून्य समुच्चय है, अर्थात्, लेबेस्गु माप शून्य है। यह सत्य है क्योंकि एकवचन आव्यूह निर्धारक फलन के मूल हैं। यह एक सतत कार्य है क्योंकि यह आव्यूह की प्रविष्टियों में एक बहुपद है। इस प्रकार माप सिद्धांत की भाषा में लगभग सभी n-द्वारा-n आव्यूह व्युत्क्रम हैं।

इसके अतिरिक्त, n-द्वारा-n व्युत्क्रम आव्यूह सभी के सांस्थानिक स्थिति में एक घना समुच्चय खुला समुच्चय है n-द्वारा-n आव्यूह समान रूप से, एकवचन आव्यूहों का समुच्चय बंद समुच्चय है और के स्थान में n-द्वारा-n आव्यूह कहीं भी सघन नहीं है।

चूंकि किसी भी अव्युत्क्रम आव्यूह का सामना करना पड़ सकता है और संख्यात्मक विश्लेषण में, वे आव्यूह जो व्युत्क्रमणीय हैं, लेकिन गैर-व्युत्क्रम आव्यूह के निकटतम हैं, अभी भी समस्याग्रस्त हो सकते हैं; ऐसे आव्यूह को प्रभावित कर सकते है।

उदाहरण

गैर-व्युत्क्रम आव्यहू होने के लिए n-1 के रैंक के साथ एक उदाहरण

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}.$

हम सरलता से देख सकते हैं कि इस 2x2 आव्यहू की रैंक एक है, जो n-1≠n है, इसलिए यह एक गैर-व्युत्क्रम आव्यहू है।

निम्नलिखित 2x2 आव्यहू पर विचार करें:

$\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.$

साँचा $\mathbf {B}$ व्युत्क्रम है। इसे जांचने के लिए, कोई इसकी गणना कर सकता है ${\textstyle \det \mathbf {B} =-{\frac {1}{2}}}$, जो शून्य नहीं है।

अव्युत्क्रम आव्यहू के उदाहरण के रूप में, नीचे दिए आव्यहू पर विचार करें

$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\{\tfrac {2}{3}}&-1\end{pmatrix}}.$

का निर्धारक $\mathbf {C}$ 0 है, जो एक आव्यहू के अपरिवर्तनीय होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

आव्यहू व्युत्क्रम के तरीके

गाऊसी उन्मूलन

आव्यूह के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए गॉसियन उन्मूलन एक उपयोगी और सरल तरीका है। इस पद्धति का उपयोग करके एक आव्यूह व्युत्क्रम की गणना करने के लिए, एक संवर्धित आव्यूह पहले बनाया जाता है जिसमें बाईं ओर आव्यूह होता है और दाईं ओर पहचान आव्यूह होता है। फिर गॉसियन विलोपन का उपयोग बाईं ओर को आव्यूह की पहचान बदलने के लिए किया जाता है, जिससे दाईं ओर इनपुट आव्यूह का व्युत्क्रम हो जाता है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित आव्यूह लें,$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.$ इसके व्युत्क्रम की गणना करने के लिए पहला चरण संवर्धित आव्यूह बनाना है $\left({\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\right).$ इस आव्यूह की पहली पंक्ति $R_{1}$ और दूसरी पंक्ति $R_{2}$. फिर, पंक्ति 1 को पंक्ति 2 . में जोड़ें $(R_{1}+R_{2}\to R_{2}).$ यह प्रदान करता है $\left({\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\right).$ अगला, पंक्ति 2 घटाएं, पंक्ति 1 से 3 गुणा करें $(-R_{1}\to R_{1})$ कौन सी पैदावार अंत में, पंक्ति 1 को -1 . से गुणा करें $(R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),$ और पंक्ति 2 बटा 2 $\left({\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\right).$ $(2\,R_{2}\to R_{2}).$यह बाईं ओर पहचान आव्यूह और दाईं ओर व्युत्क्रम आव्यूह उत्पन्न करता है:$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}.$ $\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\right).$ इस प्रकार, इसके काम करने का कारण यह है कि गॉसियन एलिमिनेशन की प्रक्रिया को प्राथमिक आव्यूह का उपयोग करके प्राथमिक पंक्ति संचालन का उपयोग करके बाएं आव्यूह उत्परिवर्तन को लागू करने के अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है ( $\mathbf {E} _{n}$), जैसे कि $\mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I} .$ का उपयोग करके सही-गुणन लागू करना और हम पाते हैं कि दाहिनी ओर $\mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.$ है, जिसे हम $\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},$ $\mathbf {A} ^{-1},$ रूप में चाहते हैं।

प्राप्त होना $\mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} ,$ हम संयोजन करके संवर्धित आव्यूह बनाते हैं A साथ I और गाऊसी उन्मूलन लागू करना। प्राथमिक पंक्ति संचालन के समान अनुक्रम का उपयोग करके दो भागों को रूपांतरित किया जाएगा। जब बायां भाग I बन जाता है I, सही भाग लागू वही प्राथमिक पंक्ति संचालन अनुक्रम A^–1 बन जाएगा।

न्यूटन की विधि

गुणनात्मक प्रतिलोम कलन विधि के लिए प्रयुक्त न्यूटन की विधि का सामान्यीकरण सुविधाजनक हो सकता है, यदि उपयुक्त प्रारंभिक बीज खोजना सुविधाजनक हो:

$X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}.$

विक्टर पैन और जॉन रीफ ने काम किया है जिसमें शुरुआती बीज पैदा करने के तरीके सम्मलित हैं। बाइट पत्रिका ने उनके एक दृष्टिकोण को संक्षेप में प्रस्तुत किया। संबंधित आव्यूह के परिवारों के साथ व्यवहार करते समय न्यूटन की विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है जो उपरोक्त समरूपता के लिए निर्मित अनुक्रम की तरह पर्याप्त व्यवहार करती है: कभी-कभी नए व्युत्क्रम के लिए एक सन्निकटन को परिष्कृत करने के लिए एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु पिछले आव्यूह का पहले से ही प्राप्त प्रतिलोम हो सकता है जो लगभग मेल खाता है वर्तमान आव्यूह, उदाहरण के लिए, आव्यूह वर्गमूल प्राप्त करने में प्रयुक्त व्युत्क्रम आव्यूह के अनुक्रमों की जोड़ी#डेनमैन-बीवर पुनरावृत्ति द्वारा आव्यूह वर्गमूल डेनमैन-बीवर पुनरावृत्ति द्वारा; इसे प्रत्येक नए आव्यूह पर पुनरावृत्ति के एक से अधिक पास की आवश्यकता हो सकती है, यदि वे पर्याप्त रूप से पर्याप्त होने के लिए पर्याप्त रूप से पर्याप्त नहीं हैं। न्यूटन की विधि गॉस-जॉर्डन कलन विधि में सुधार के लिए भी उपयोगी है जो पूर्णांक त्रुटि के कारण छोटी त्रुटियों से दूषित हो गई है।

केली-हैमिल्टन विधि

केली-हैमिल्टन प्रमेय के व्युत्क्रम की अनुमति देता है इसे A के रूप में व्यक्त किया जाना है det(A), निशान और शक्तियां A:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{l=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{l}\right)^{k_{l}},$

जहाँ पे n का आयाम है A, तथा tr(A) आव्यूह का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है A मुख्य विकर्ण के योग द्वारा दिया गया। राशि ले ली गई है s और सभी के सेट $k_{l}\geq 0$ रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण को संतुष्ट करना है।

$s+\sum _{l=1}^{n-1}lk_{l}=n-1.$

तर्कों के पूर्ण बेल बहुपद के संदर्भ में सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है $t_{l}=-(l-1)!\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)$ जैसा

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=1}^{n}\mathbf {A} ^{s-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-s)!}}B_{n-s}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-s}).$

गुणनात्मक प्रतिलोम एल्गोरिदम के लिए प्रयुक्त न्यूटन की विधि का सामान्यीकरण सुविधाजनक हो सकता है, यदि उपयुक्त प्रारंभिक बीज खोजना सुविधाजनक हो:

आइगेनडीकंपोजीशन

Main article: एक मैट्रिक्स का आइजेनडीकम्पोज़िशन

यदि आव्यूह A की इग्नी रचना की जा सकती है, और यदि इसका कोई भी आइजन मूल्य शून्य नहीं है, तो A व्युत्क्रमणीय है और इसका व्युत्क्रम द्वारा दिया जाता है

$\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1},$

जहाँ पर Q वर्ग है (N × N)आव्यूह जिसका i-वां स्तंभ आइगेन सदिश है $q_{i}$ का A, तथा Λ विकर्ण आव्यूह है जिसके विकर्ण तत्व संबंधित आइगेनमान हैं, अर्थात, $\Lambda _{ii}=\lambda _{i}.$ यदि A सममित है, Q एक ओर्थोगोनल आव्यूह होने की गारंटी है, इसलिए $\mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\top }.$ इसके अतिरिक्त, क्योंकि Λ एक विकर्ण आव्यूह है, इसके व्युत्क्रम $\left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.$ की गणना करना सरल है:

चोल्स्की अपघटन

Main article: चोल्स्की अपघटन

यदि आव्यूह A सकारात्मक निश्चित आव्यूह है, तो इसका व्युत्क्रम इस रूप में प्राप्त किया जा सकता है

$\mathbf {A} ^{-1}=\left(\mathbf {L} ^{*}\right)^{-1}\mathbf {L} ^{-1},$

जहाँ पर L का निचला त्रिकोणीय चोल्स्की अपघटन A है, तथा L* के संयुग्मी स्थानान्तरण को L दर्शाता है.

विश्लेषणात्मक समाधान

Main article: क्रैमर का नियम

सहायक आव्यूह के रूप में जाना जाने वाला सहकारकों के आव्यूह का स्थानान्तरण लिखना, छोटे आव्यूह के व्युत्क्रम की गणना करने का एक कुशल तरीका भी हो सकता है, लेकिन यह पुनरावर्ती विधि बड़े आव्यूह के लिए अक्षम है। व्युत्क्रम निर्धारित करने के लिए, हम कॉफ़ैक्टर्स के एक आव्यूह की गणना करते हैं:

$\mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}$

जिससे

$\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)$

जहाँ पर |A| का निर्धारक A, C सहकारकों का आव्यूह है, और C^T पक्षान्तरित आव्यूह का प्रतिनिधित्व करता है।

2 × 2 आव्यूहों का व्युत्क्रम

ऊपर सूचीबद्ध कॉफ़ैक्टर समीकरण के लिए निम्न परिणाम प्राप्त होता है 2 × 2 आव्यूह। इन आव्यूह का व्युत्क्रम निम्नानुसार किया जा सकता है:

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.$

ऐसा इसलिए संभव है 1/(ad − bc) प्रश्न में आव्यूह के निर्धारक का पारस्परिक है, और उसी रणनीति का उपयोग अन्य आव्यूह के आकारों लिए किया जा सकता है।

केली-हैमिल्टन विधि देता है

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right].$

3 × 3 आव्यूहों का व्युत्क्रम

कम्प्यूटरीकृत रूप से कुशल 3 × 3 आव्यहू का व्युत्क्रम इस प्रकार दिया जाता है

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}$

(जहां अदिश A को आव्यहू A के साथ भ्रमित नहीं करना है)

यदि निर्धारक गैर-शून्य है, तो आव्यहू व्युत्क्रम हो, ऐसी स्थिति में ऊपर दाईं ओर मध्यस्थ आव्यहू के तत्व इस प्रकार दिए गए हैं

${\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}$

इस प्रकार इसका निर्धारक A सारस के नियम को निम्नानुसार लागू करके गणना की जा सकती है:

$\det(\mathbf {A} )=aA+bB+cC.$

केली-हैमिल्टन अपघटन देता है

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right).$

सामान्य 3 × 3 व्युत्क्रम को क्रॉस उत्पाद और ट्रिपल उत्पाद के संदर्भ में संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि एक आव्यहू $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{0}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{bmatrix}}$ (तीन कॉलम वैक्टर से मिलकर, $\mathbf {x} _{0}$, $\mathbf {x} _{1}$, तथा $\mathbf {x} _{2}$) व्युत्क्रमणीय है, इसका व्युत्क्रम किसके द्वारा दिया जाता है

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {x_{1}} \times \mathbf {x_{2}} )}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x_{2}} \times \mathbf {x_{0}} )}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x_{0}} \times \mathbf {x_{1}} )}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}.$

इसका निर्धारक A, det(A), के ट्रिपल उत्पाद के बराबर है x₀, x₁, तथा x₂—पंक्तियों या स्तंभों द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का आयतन:

$\det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).$

क्रॉस- और ट्रिपल-उत्पाद गुणों का उपयोग करके सूत्र की शुद्धता की जाँच की जा सकती है और यह ध्यान में रखते हुए कि समूहों के लिए, बाएँ और दाएँ व्युत्क्रम हमेशा मेल खाते हैं। सहज रूप से, क्रॉस उत्पादों के कारण, की प्रत्येक पंक्ति A^–1 के गैर-संगत दो स्तंभों के लिए ओर्थोगोनल A है (ऑफ-विकर्ण शर्तों के कारण $\mathbf {I} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A}$ शून्य हो)। द्वारा विभाजित करना

$\det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})$

के विकर्ण तत्वों का कारण बनता है फलस्वरूप I = A^–1A का एकीकृत होना। उदाहरण के लिए, पहला विकर्ण है:

$1={\frac {1}{\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}}\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).$

4 × 4 आव्यूहों का व्युत्क्रम

बढ़ते आयाम के साथ, के व्युत्क्रम के लिए व्यंजक A सम्मिश्र हो जाने के लिये n = 4, केली-हैमिल्टन विधि ऐसी अभिव्यक्ति की ओर ले जाती है जो अभी भी विनयशील है:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right]\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right]+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}\right).$

ब्लॉकयुक्त व्युत्क्रम

निम्नलिखित विश्लेषणात्मक व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करके मेट्रिसेस को ब्लॉकयुक्त व्युत्क्रम भी किया जा सकता है:

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},$

(1)

जहाँ पर A, B, C तथा D ब्लॉक आव्यहू हैं | अपने बनाये गए कुढ़ के आकार के आव्यहू उप-ब्लॉक। (A वर्गाकार होना चाहिए, ताकि इसे उल्टा किया जा सके। आगे, A तथा D – CA^–1B निरर्थक होना चाहिए।) यह रणनीति विशेष रूप से लाभप्रद है यदि A विकर्ण है और D – CA^–1B (शूर का पूरक A) एक छोटा आव्यहू है, क्योंकि वे केवल ऐसे आव्यहू हैं जिन्हें व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है।

यह हंस बोल्ट्ज़ (1923) के कारण है और इस तकनीक का कई बार आविष्कार किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग जियोडेसी आव्यहू के व्युत्क्रमण के लिए किया, और तेदुस्ज़ बानाचिविज़ (1937), जिन्होंने इसे सामान्यीकृत किया और इसकी शुद्धता को प्रमाणित किया।

अशक्तता प्रमेय कहता है कि की अशक्तता A व्युत्क्रम आव्यहू के निचले दाएं उप-ब्लॉक की शून्यता के बराबर होती है, और यह कि की शून्यता B व्युत्क्रम आव्यहू के ऊपरी दाएँ भाग में उप-ब्लॉक की शून्यता के बराबर है।

व्युत्क्रम प्रक्रिया जिसके कारण समीकरण (1) पर संचालित ब्लॉक C तथा D पहला आव्यहू संचालन किया । इसके अतिरिक्त, यदि A तथा B पहले संचालित होते हैं, और D प्रदान किए जाते हैं तथा A – BD^–1C विलक्षण हैं, जिसका परिणाम कुछ इस प्रकार हैं

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.$

(2)

समीकरण समीकरण (1) तथा (2) फलस्वरूप होता है

${\begin{aligned}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{aligned}}$

(3)

जहां समीकरण (3) वुडबरी आव्यहू पहचान है, जो द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय के बराबर है।

यदि A तथा D दोनों व्युत्क्रमणीय हैं, तो उपरोक्त दो ब्लॉक आव्यहू व्युत्क्रमों को सरल गुणन प्रदान करने के लिए जोड़ा जा सकता है

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\left(\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {I} &-\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\\-\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {I} \end{bmatrix}}.$

(2)

वेनस्टाइन-एरोन्ज़जन के अनुसार, ब्लॉक-विकर्ण आव्यहू में दो आव्यहू में से एक वास्तव में व्युत्क्रम होता है।

चूंकि n × n आव्यहू के ब्लॉक वाइज व्युत्क्रम के लिए दो आधे आकार के आव्यहू के व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है और दो आधे आकार के आव्यहू के बीच 6 गुणन की आवश्यकता होती है। यह दिखाया जा सकता है कि एक विभाजन और जीत एल्गोरिथ्म जो एक आव्यहू को उलटने के लिए ब्लॉकवाइज़ व्युक्रम का उपयोग करता है, आव्यहू गुणन एल्गोरिथ्म के समान समय सम्मिश्रता के साथ चलता है। आंतरिक रूप से उपयोग किया जाता है। आव्यहू गुणन की कम्प्यूटरीकृत सम्मिश्रता से पता चलता है कि आव्यहू गुणन O(n^2.3727) में एल्गोरिदम सम्मलित हैं संचालन, जबकि सबसे अच्छा सिद्ध निचली सीमा Ω(n² log n) है।

ऊपरी दाएं ब्लॉक आव्यहू होने पर यह सूत्र महत्वपूर्ण रूप से सरल हो जाता है B शून्य आव्यहू है। यह सूत्रीकरण तब उपयोगी होता है जब आव्यहु A तथा D अपेक्षाकृत सरल व्युत्क्रम सूत्र हैं (या मूर-पेनरोस उस स्थिति में व्युत्क्रम है जहां ब्लॉक सभी वर्ग नहीं हैं। इस विशेष स्थिति में, ऊपर पूर्ण व्यापकता में कहा गया ब्लॉक आव्यहू व्युत्क्रम सूत्र बन जाता है

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {0} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {0} \\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\mathbf {D} ^{-1}\end{bmatrix}}.$

न्यूमैन श्रृंखला द्वारा

यदि एक आव्यहू A संपत्ति है कि

$\lim _{n\to \infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=0$

फिर A एकवचन है और इसका व्युत्क्रम न्यूमैन श्रृंखला द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

$\mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}.$

योग को कम करने से एक अनुमानित व्युत्क्रम होता है जो एक पूर्व शर्त के रूप में उपयोगी हो सकता है। ध्यान दें कि न्यूमैन श्रृंखला एक ज्यामितीय योग है, यह ध्यान में रखते हुए एक छोटी श्रृंखला को घातीय रूप से त्वरित किया जा सकता है। ऐसे में संतोष होता है

$\sum _{n=0}^{2^{L}-1}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=\prod _{l=0}^{L-1}\left(\mathbf {I} +(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{2^{l}}\right)$.

इसलिए केवल 2L – 2 गणना करने के लिए आव्यहू गुणन की आवश्यकता होती है 2^L राशि की शर्तें।

अधिक सामान्यतः, यदि A व्युत्क्रम आव्यहू के पास है X इस अर्थ में कि

$\lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {A} \right)^{n}=0\mathrm {~~or~~} \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {A} \mathbf {X} ^{-1}\right)^{n}=0$

फिर A निरर्थक है और इसका व्युत्क्रम है

$\mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {A} )\right)^{n}\mathbf {X} ^{-1}~.$

यदि ऐसा भी है कि A − X रैंक (रैखिक बीजगणित) 1 है तो यह सरल करता है

$\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {X} ^{-1}-{\frac {\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\mathbf {X} ^{-1}}{1+\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\right)}}~.$

पी-एडिक सन्निकटन

यदि A पूर्णांक या परिमेय संख्या गुणांक वाला एक आव्यहू है और हम सटीक अंकगणित में एक समाधान की खोज करते हैं। p-adic सन्निकटन विधि सटीक समाधान में परिवर्तित हो जाती है O(n⁴ log² n) मानक मानते हुए O(n³⁾ आव्यूह गुणन का प्रयोग किया जाता है। विधि हल करने पर निर्भर करती है n डिक्सन की विधि के माध्यम से रैखिक प्रणाली p-एडिक सन्निकटन (प्रत्येक में O(n³ log² n)) और ऐसे सॉफ्टवेयर में उपलब्ध है जो सटीक आव्यहू संचालन के लिए विशेष है, उदाहरण के लिए, IML में।

पारस्परिक आधार वैक्टर विधि

Main article: पारस्परिक आधार

दिया गया n × n वर्ग आव्यहू $\mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]$, $1\leq i,j\leq n$, साथ n पंक्तियों के रूप में व्याख्या की गई n वैक्टर $\mathbf {x} _{i}=x^{ij}\mathbf {e} _{j}$ (आइंस्टीन योग ग्रहण किया गया) जहां $\mathbf {e} _{j}$ यूक्लिडियन स्पेस का एक मानक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं $\mathbb {R} ^{n}$ ($\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}$), फिर क्लिफोर्ड बीजगणित (या ज्यामितीय बीजगणित) का उपयोग करके हम पारस्परिक (कभी-कभी ज्यामितीय बीजगणित दोहरा आधार कहा जाता है) कॉलम वैक्टर की गणना करते हैं:

$\mathbf {x} ^{i}=x_{ji}\mathbf {e} ^{j}=(-1)^{i-1}(\mathbf {x} _{1}\wedge \cdots \wedge ()_{i}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})\cdot (\mathbf {x} _{1}\wedge \ \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})^{-1}$ व्युत्क्रम आव्यहू के कॉलम के रूप में $\mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}].$ ध्यान दें, जगह$()_{i}$दर्शाता है कि$\mathbf {x} _{i}$उपरोक्त अभिव्यक्ति में उस स्थान से हटा दिया गया है $\mathbf {x} ^{i}$. हमारे पास तब है $\mathbf {X} \mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}$, जहाँ पर $\delta _{i}^{j}$ क्रोनकर डेल्टा है। हमारे पास भी है $\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}$, जैसी यदि वैक्टर $\mathbf {x} _{i}$ तब रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं हैं $(\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})=0$ और आव्यहू $\mathbf {X}$ व्युत्क्रम नहीं है (कोई व्युत्क्रम नहीं है)।

आव्यहू व्युत्क्रम का व्युत्पन्न

मान लीजिए कि व्युत्क्रमणीय आव्यहू A एक पैरामीटर t पर निर्भर करता है। फिर 'टी' के संबंध में ए के व्युत्क्रम का व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.$

ए के व्युत्क्रम के व्युत्पन्न के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए, आव्यहू व्युत्क्रम की परिभाषा में अंतर किया जा सकता है $\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I}$ और फिर A के व्युत्क्रम के लिए हल करें:

${\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {0} .$

घटाने $\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}$ ऊपर के दोनों ओर से और दाईं ओर से गुणा करके $\mathbf {A} ^{-1}$ व्युत्क्रम के व्युत्पन्न के लिए सही अभिव्यक्ति देता है:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.$

इसी प्रकार, यदि $\varepsilon$ तब एक छोटी संख्या है

$\left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,.$

अधिक सामान्यतः, यदि

${\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} ){\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}h_{i}(\mathbf {A} ),$

फिर,

$f(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )=f(\mathbf {A} )+\varepsilon \sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} )\mathbf {X} h_{i}(\mathbf {A} )+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).$

एक धनात्मक पूर्णांक दिया गया है $n$,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{n}}{\mathrm {d} t}}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-n}}{\mathrm {d} t}}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}.\end{aligned}}$

इसलिए,

${\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).\end{aligned}}$

सामान्यीकृत व्युत्क्रम

व्युत्क्रम आव्यहू के कुछ गुण सामान्यीकृत व्युत्क्रम (उदाहरण के लिए, मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम) द्वारा साझा किए जाते हैं, जिसे किसी भी m-बाय-n आव्यहू के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

अनुप्रयोग

अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए आव्यहू को उल्टा करना आवश्यक नहीं है; चूंकि एक अद्वितीय समाधान के लिए, यह आवश्यक है कि सम्मलित आव्यहू व्युत्क्रम हो।

एलयू अपघटन जैसी अपघटन तकनीकें व्युत्क्रम की तुलना में बहुत तेज हैं, और रैखिक प्रणालियों के विशेष वर्गों के लिए विभिन्न तेज एल्गोरिदम भी विकसित किए गए हैं।

रिग्रेशन/न्यूनतम वर्ग

चूंकि अज्ञात वेक्टर का अनुमान लगाने के लिए एक स्पष्ट व्युत्क्रम आवश्यक नहीं है, यह उनकी सटीकता का अनुमान लगाने की सबसे सरल विधि है, जो एक आव्यहू व्युत्क्रम (अज्ञात के वेक्टर के पश्च सहसंयोजक आव्यहू) के विकर्ण में पायी जाती है। चूंकि, कई स्थितियों में आव्यहू व्युत्क्रम होने के केवल विकर्ण प्रविष्टियों की गणना करने के लिए गति एल्गोरिदम को जाना जाता है।

रीयल-टाइम सिमुलेशन में आव्यहू व्युत्क्रम

आव्यहू व्युत्क्रम कंप्यूटर ग्राफिक्स में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, विशेष रूप से 3डी ग्राफिक्स रेंडरिंग और 3डी सिमुलेशन में। उदाहरणों में स्क्रीन-टू-वर्ल्ड रे कास्टिंग, वर्ल्ड-टू-सबस्पेस-टू-वर्ल्ड ऑब्जेक्ट ट्रांसफॉर्मेशन और भौतिक सिमुलेशन सम्मलित हैं।

MIMO वायरलेस संचार में आव्यहू व्युत्क्रम

वायरलेस संचार में MIMO (मल्टीपल-इनपुट, मल्टीपल-आउटपुट) प्रणाली में आव्यहू व्युत्क्रम भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। MIMO प्रणाली में N ट्रांसमिट और M रिसीव एंटेना होते हैं। एक ही आवृत्ति बैंड पर कब्जा करने वाले अद्वितीय संकेत, एन ट्रांसमिट एंटेना के माध्यम से भेजे जाते हैं और एम प्राप्त एंटेना के माध्यम से प्राप्त होते हैं। प्रत्येक प्राप्त ऐन्टेना पर आने वाला संकेत n ट्रांसमिटेड सिग्नल का एक रैखिक संयोजन होगा जो एसएक्सएस हस्तांतरण आव्यहू 'h' बनाता है। संचरित जानकारी को समझने में सक्षम होने के लिए रिसीवर के लिए आव्यहू 'h' व्युत्क्रम होना महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें

• द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय
• LU अपघटन
• मैट्रिक्स अपघटन
• मैट्रिक्स वर्गमूल
• माइनर (रैखिक बीजगणित)
• एक मैट्रिक्स का आंशिक व्युत्क्रम
• छद्मविपरीत
• रयबिकी प्रेस एल्गोरिथम
• विलक्षण मान अपघटन
• वुडबरी मैट्रिक्स पहचान

अग्रिम पठन

• "Inversion of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. "28.4: Inverting matrices". Introduction to Algorithms (2nd ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 755–760. ISBN 0-262-03293-7.
• Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – via Google Books.
• Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (November 15, 2012). "The Matrix Cookbook" (PDF). pp. 17–23.

बाहरी संबंध

• Sanderson, Grant (August 15, 2016). "Inverse Matrices, Column Space and Null Space". Essence of Linear Algebra. Archived from the original on 2021-11-03 – via YouTube.
• Strang, Gilbert. "Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices". MIT OpenCourseWare.
• Moore-Penrose Inverse Matrix