वैश्‍लेषिक फलन

Not to be confused with विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति or विश्लेषणात्मक संकेत.

This article is about दोनों वास्तविक और जटिल विश्लेषणात्मक कार्य. For विशेष रूप से जटिल विश्लेषण में विश्लेषणात्मक कार्य, see होलोमार्फिक फलन. For SQL में विश्लेषणात्मक कार्य, see गवाक्ष प्रकार्य.

गणित में, विश्लेषणात्मक कार्य एक क्रिया(गणित) है जो स्थानीय रूप से अभिसरण श्रृंखला शक्ति द्वारा दिया जाता है। वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य और जटिल विश्लेषणात्मक कार्य दोनों का अस्तित्व हैं। प्रत्येक प्रकार के कार्य सहज कार्य होते हैं, लेकिन जटिल विश्लेषणात्मक कार्य उन गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो सामान्यतः वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए नहीं होते हैं। प्रकार्य विश्लेषणात्मक है अगर इसकी टेलर श्रृंखला x0 के बारे में किसी प्रतिवैस में प्रकार्य को अपने कार्यक्षेत्र में प्रत्येक x0 के लिए अभिसरण करती है।

परिभाषाएँ

औपचारिक रूप से, एक प्रकार्य $f$ खुले समुच्चय पर वास्तविक विश्लेषणात्मक $D$ वास्तविक रेखा में है यदि किसी $x_{0}\in D$ के लिए कोई लिख सकता है:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots$

जिसमें गुणांक $a_{0},a_{1},\dots$ वास्तविक संख्याएँ हैं और श्रृंखला(गणित) अभिसरण श्रृंखला $x$ के लिये $f(x)$ $x_{0}$ के प्रतिवैस में है।

वैकल्पिक रूप से, वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य एक सुचारू कार्य है जैसे कि टेलर श्रृंखला किसी भी बिंदु $x_{0}$ पर इसके कार्यक्षेत्र

$T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

$x$ के लिये $f(x)$ $x_{0}$ के प्रतिवैस में बिंदुवार अभिसरित हो जाता है। किसी दिए गए समुच्चय पर सभी वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों का समुच्चय $D$ द्वारा प्रायः ${\mathcal {C}}^{\,\omega }(D)$ दर्शाया जाता है।

एक प्रकार्य $f$ वास्तविक रेखा के कुछ उपसमुच्चय को बिंदु $x$ पर वापर परिभाषित स्तविक विश्लेषणात्मक कहा जाता है यदि किसी $x$ का प्रतिवैस $D$ है जिस पर $f$ वास्तविक विश्लेषणात्मक है।

जटिल विश्लेषणात्मक कार्य की परिभाषा, ऊपर की परिभाषाओं में, जटिल समतल के साथ वास्तविक और जटिल विमान के साथ वास्तविक रेखा को प्रतिस्थापित करके प्राप्त की जाती है। एक फलन जटिल विश्लेषणात्मक होता है यदि और केवल यदि यह पूर्णसममितिक क्रिया है अर्थात यह जटिल अवकलनीय है। इस कारण से पूर्णसममितिक और विश्लेषणात्मक शब्द प्रायः ऐसे कार्यों के लिए परस्पर विनिमेयता के अनुसार उपयोग किए जाते हैं।

उदाहरण

विश्लेषणात्मक कार्यों के विशिष्ट उदाहरण हैं

• सभी प्राथमिक कार्य:
  • सभी बहुपद: यदि किसी बहुपद की घात n है, तो उसके टेलर श्रृंखला विस्तार में n से बड़ी घात की कोई भी शर्तें तुरंत 0 से लुप्‍त हो जानी चाहिए, और इसलिए यह श्रृंखला तुच्छ रूप से अभिसरण होगी। इसके अलावा, प्रत्येक बहुपद की अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला होती है।
  • घातीय कार्य विश्लेषणात्मक है। इस क्रिया के लिए कोई भी टेलर श्रृंखला न केवल x के लिए पर्याप्त रूप से x₀ के करीब अभिसरण करती है(जैसा कि परिभाषा में है) लेकिन x(वास्तविक या जटिल) के सभी मानों के लिए अभिसरण करती है।
  • त्रिकोणमितीय कार्य, लघुगणक और घातांक उनके कार्यक्षेत्र के किसी भी खुले समुच्चय पर विश्लेषणात्मक हैं।
• सबसे विशेष कार्य(कम से कम जटिल विमान की कुछ सीमा में):
  • अतिज्यामितीय कार्य
  • बेसेल कार्य
  • गामा कार्य

विश्लेषणात्मक नहीं होने वाले कार्यों के विशिष्ट उदाहरण हैं

• जब वास्तविक संख्याओं या जटिल संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित किया जाता है तो निरपेक्ष गामा प्रकार्य हर जगह विश्लेषणात्मक नहीं होता है क्योंकि यह 0 पर अलग-अलग नहीं होता है। टुकड़ों के अनुसार कार्य(विभिन्न क्षेत्रों में विभिन्न सूत्रों द्वारा दिए गए कार्य) जहां टुकड़े मिलते हैं सामान्यतः विश्लेषणात्मक नहीं होते हैं।
• जटिल संयुग्म कार्य z → z* जटिल विश्लेषणात्मक नहीं है, हालांकि वास्तविक रेखा के लिए इसका प्रतिबंध पहचान कार्य है और इसलिए वास्तविक विश्लेषणात्मक है, और यह एक वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य $\mathbb {R} ^{2}$ से $\mathbb {R} ^{2}$ है।
• अन्य गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य, और विशेष रूप से कोई भी सुचारू कार्य $f$ सघन आश्रय के साथ, यानी $f\in {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$, $\mathbb {R} ^{n}$ पर विश्लेषणात्मक नहीं हो सकता।

वैकल्पिक लक्षण वर्णन

निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

1. $f$ खुले समुच्चय पर वास्तविक विश्लेषणात्मक $D$ है
2. यहाँ जटिल विश्लेषणात्मक विस्तार $f$ है एक खुले समुच्चय $G\subset \mathbb {C}$ के लिए जिसमें $D$ है
3. $f$ चिकना है और हर सघनसमुच्चय $K\subset D$ के लिए एक स्थिर $C$ इस तरह से मौजूद है कि प्रत्येक $x\in K$