विग्नर D-आव्यूह

विग्नर डी-आव्यूह एसयू (2) और एसओ (3) समूहों के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व में एकात्मक आव्यूह है। यह 1927 में यूजीन विग्नर द्वारा पेश किया गया था, और कोणीय गति के क्वांटम यांत्रिक सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है। डी-आव्यूह का जटिल संयुग्म गोलाकार और सममित कठोर रोटार के हैमिल्टनियन का ईजेनफंक्शन है। अक्षर D डारस्टेलुंग के लिए है, जिसका अर्थ जर्मन में प्रतिनिधित्व है।

विग्नर डी-आव्यूह की परिभाषा

मान ले कि J_x, J_y, J_z SU(2) और SO(3) के लाई बीजगणित के जनक बनें। क्वांटम यांत्रिकी में, ये तीन ऑपरेटर एक सदिश ऑपरेटर के घटक होते हैं जिन्हें कोणीय गति के रूप में जाना जाता है। उदाहरण एक परमाणु, इलेक्ट्रॉनिक स्पिन, और स्पिन (भौतिकी) की कोणीय गति में एक इलेक्ट्रॉन की कोणीय गति है।

सभी स्थितियो में, तीन ऑपरेटर निम्नलिखित रूपान्तरण संबंधो को पूरा करते हैं,

$[J_{x},J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z}]=iJ_{x},$

जहां i विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या और प्लैंक स्थिरांक है ħ को एक के बराबर सेट किया गया है। कासिमिर अपरिवर्तनीय

$J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$ लाई बीजगणित के सभी जनरेटर के साथ संचार करता है। इसलिए, इसे J_z के साथ विकर्ण किया जा सकता है।

यह यहाँ प्रयुक्त गोलाकार आधार को परिभाषित करता है। यानी, ब्रा-केट नोटेशन का एक पूरा सेट है (अर्थात क्वांटम संख्याओं द्वारा लेबल किए गए संयुक्त आइजन्वेक्टर का ऑर्थोनॉर्मल आधार जो आइगेनवेल्यूज़ को परिभाषित करता है)

$J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,$

जहाँ j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... SU(2) के लिए, और j = 0, 1, 2, ... SO(3) के लिए। दोनों ही स्थितियो में, m = −j, −j + 1, ..., j.है।

एक 3-आयामी रोटेशन (गणित) के रूप में लिखा जा सकता है

${\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\gamma J_{z}},$

जहाँ α, β, γ यूलर कोण हैं (कीवर्ड द्वारा विशेषता: z-y-z कन्वेंशन, राइट-हैंडेड फ्रेम, राइट-हैंड स्क्रू रूल, एक्टिव इंटरप्रिटेशन) है।

'विग्नर डी-आव्यूह' तत्वों के साथ इस गोलाकार आधार में आयाम 2j + 1 का एक एकात्मक वर्ग आव्यूह है

$D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\gamma },$

जहाँ

$d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle =D_{m'm}^{j}(0,\beta ,0)$ ऑर्थोगोनल विग्नर्स (छोटा) डी-आव्यूह का एक तत्व है।

यानी इस आधार पर

$D_{m'm}^{j}(\alpha ,0,0)=e^{-im'\alpha }\delta _{m'm}$

γ आव्यूह कारक की तरह, लेकिन उपरोक्त β कारक के विपरीत विकर्ण है।

विग्नर (छोटा) डी-आव्यूह

विग्नर ने निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी:

$d_{m^{\prime }m}^{}$