वर्णक्रमीय क्रम

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तुल्य बीजगणित और बीजगणितीय सांस्थिति में, वर्णक्रमीय अनुक्रम क्रमिक सन्निकटन लेकर अनुरूपता समूहों की गणना करने का एक साधन है। वर्णक्रमीय अनुक्रम यथार्थ अनुक्रमों का एक सामान्यीकरण है, और Jean Leray (1946a, 1946b) द्वारा उनके परिचय के बाद से, वे महत्वपूर्ण संगणनात्मक उपकरण बन गए हैं, विशेष रूप से बीजीय सांस्थिति, बीजगणितीय ज्यामिति और समरूप बीजगणित में है।

आविष्कार और प्रेरणा

बीजगणितीय सांस्थिति में समस्याओं से प्रेरित, जीन लेरे ने एक शेफ (गणित) की धारणा प्रस्तुत की और स्वयं को संगणना शेफ सह समरूपता की समस्या का सामना करना पड़ा। शेफ सह समरूपता की गणना करने के लिए, लेरे ने संगणनात्मक तकनीक प्रस्तुत की जिसे अब लेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम के रूप में जाना जाता है। इसने एक शेफ के सह समरूपता समूहों और एक शेफ की प्रत्यक्ष प्रतिरूप के सह समरूपता समूहों के बीच एक संबंध दिया। संबंध में एक अनंत प्रक्रिया सम्मिलित थी। लेरे ने पाया कि ज़ारी रखने के सह समरूपता समूहों ने प्राकृतिक श्रृंखला सम्मिश्र का गठन किया, ताकि वह सह समरूपता के सह समरूपता को ले सकें। यह अभी भी मूल शेफ की सह समरूपता नहीं थी, परन्तु यह एक अर्थ में एक चरण और निकट था। सह समरूपता के सह समरूपता ने फिर से एक मिश्रित शृंखला का गठन किया, और इसके सह समरूपता ने मिश्रित शृंखला का निर्माण किया, और इसी प्रकार। इस अनंत प्रक्रिया की सीमा अनिवार्य रूप से वही थी जो मूल शेफ की सह समरूपता समूहों के रूप में थी।

शीघ्र ही यह समझा गया किया गया कि लेरे की संगणनात्मक तकनीक अधिक सामान्य घटना का एक उदाहरण थी। विभिन्न स्थितियों में वर्णक्रमीय अनुक्रम पाए गए, और उन्होंने अनुरूपता और सह समरूपता समूहों के बीच सम्मिश्र संबंध दिए, जो ज्यामितीय स्थितियों जैसे कंपन और बीजगणितीय स्थितियों से व्युत्पन्न प्रकार्यक से जुड़े थे। जबकि व्युत्पन्न श्रेणी की प्रारंभ के बाद से उनका सैद्धांतिक महत्व कम हो गया है, वे अभी भी सबसे प्रभावी संगणनात्मक उपकरण उपलब्ध हैं। यह तब भी सत्य है जब वर्णक्रमीय अनुक्रम के कई पद अगणनीय हैं।

दुर्भाग्य से, बड़ी मात्रा में सूचना वर्णक्रमीय अनुक्रमों में ले जाने के कारण, उन्हें समझना जटिल है। यह सूचना सामान्यतः एबेलियन समूहों या मॉड्यूल (गणित) के पद तीन जाली में निहित होती है। निपटने के लिए सबसे सरल स्थिति वे हैं जिनमें वर्णक्रमीय अनुक्रम अंततः पतन हो जाता है, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम में आगे जाने से कोई नवीन सूचना नहीं मिलती है। यहां तक ​​कि जब ऐसा नहीं होता है, तब भी विभिन्न क्रमभंग से वर्णक्रमीय अनुक्रम से उपयोगी सूचना प्राप्त करना प्रायः संभव होता है।

औपचारिक परिभाषा

सह समरूपी वर्णक्रमीय अनुक्रम

एक एबेलियन श्रेणी को ठीक करें, जैसे कि एक वलय (गणित) पर मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $r_{0}$। सह समरूपी वर्णक्रमीय अनुक्रम वस्तु $E_{r}$ और समरूपता $d_{r}:E_{r}\to E_{r}$ का अनुक्रम $\{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}$ है, जैसे कि प्रत्येक $r\geq r_{0}$ के लिए,

1. $d_{r}\circ d_{r}=0$,
2. $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$, $d_{r}$ के संबंध में $E_{r}$ की समरूपता (गणित)।

सामान्यतः समरूपताओं को दबा दिया जाता है और हम इसके अतिरिक्त $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ लिखते हैं। एक वस्तु $E_{r}$को पत्रक (पृष्ठ के पत्रक के रूप में), या कभी-कभी एक पृष्ठ या पद कहा जाता है; एक समरूपता $d_{r}$ को सीमा प्रतिचित्र या अवकलन कहा जाता है। कभी-कभी $E_{r+1}$ को $E_{r}$ की व्युत्पन्न वस्तु कहा जाता है।

द्वि वर्गीकृत वर्णक्रमीय अनुक्रम

वस्तुतः वर्णक्रमीय अनुक्रम अधिकतर एक वलय (गणित) R (या द्वि वर्गीकृत शेफ (गणित) मॉड्यूल के वलय के एक शेफ पर) पर द्वि वर्गीकृत मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी में होते हैं, अर्थात प्रत्येक पत्रक एक द्वि वर्गीकृत R-मॉड्यूल ${\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}}$ है। तो इस स्थिति में सह-समरूपता वर्णक्रमीय अनुक्रम द्वि वर्गीकृत R-मॉड्यूल $\{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}$ का अनुक्रम $\{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}$ है और प्रत्येक मॉड्यूल के लिए द्वि वर्गीकृत $(r,1-r)$ के समरूपता $d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}$ का प्रत्यक्ष योग है, जैसे कि प्रत्येक $r\geq r_{0}$ के लिए यह धारण करते है:

1. $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$,
2. $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$।

यहाँ प्रयुक्त अंकन को पूरक घात कहा जाता है। कुछ लेखक इसके अतिरिक्त $E_r^{d,q}$