लुकास अनुक्रम

गणित में, लुकास अनुक्रम $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q)$ कुछ स्थिर-पुनरावर्ती अनुक्रम होता है जो पुनरावृत्ति संबंध को प्रदर्शित करते हैं

$x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}$

जहाँ $P$ और $Q$ निश्चित पूर्णांक होता हैं। इस पुनरावृत्ति संबंध को सरल करने वाले किसी भी अनुक्रम को लुकास अनुक्रमों $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q)$के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

अधिक सामान्यतः, लुकास अनुक्रम $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q)$ में बहुपद के अनुक्रम का प्रतिनिधित्व $P$ और $Q$ पूर्णांक गुणांक के साथ करते हैं।

लुकास अनुक्रमों के प्रसिद्ध उदाहरणों में फाइबोनैचि संख्याएं, मेरसेन संख्याएं, पेल संख्याएं, लुकास संख्याएं, जैकबस्टल संख्याएं और फर्मेट संख्याओं का श्रेष्ट समुच्चय सम्मिलित होता हैं (नीचे देखें)। इस प्रकार लुकास अनुक्रमों का नाम फ्रांस के गणितज्ञ एडवर्ड लुकास के नाम पर रखा गया था।

पुनरावृत्ति संबंध

दो पूर्णांक पैरामीटर $P$ और $Q$ दिए गएदिए गए है, प्रथम प्रकार के लुकास अनुक्रम $U_{n}(P,Q)$ और दूसरे प्रकार का $V_{n}(P,Q)$ पुनरावृत्ति संबंधों द्वारा परिभाषित किया जाता हैं:

${\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\end{aligned}}$

और

${\begin{aligned}V_{0}(P,Q)&=2,\\V_{1}(P,Q)&=P,\\V_{n}(P,Q)&=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1.\end{aligned}}$

$n>0$ इसे प्रदर्शित करना कठिन नहीं होता है ,

$\begin{array}{rl}{U}_n(P,Q)& =\frac{P\cdot <!--\; \cdot \; -->U_{n-<!--\; -\; -->1}(P,Q)+V_{n-<!--\; -\; -->1}(P,Q)}{2},\\ V_n(P,Q)& =\frac{(P^{}}{}\end{array}$