रेखा अवयव

This article is about गणित में रेखाएँ. For डीएनए में लंबे समय तक फैले हुए परमाणु तत्व, see रेट्रोट्रांसपोसॉन § रेखाएँ.

ज्यामिति में, रेखा अवयव या लंबाई अवयव को अनौपचारिक रूप से एक मीट्रिक समष्टि में एक अत्यंत सूक्ष्म विस्थापन सदिश से सम्बद्ध रेखा खंड के रूप में माना जा सकता है। रेखा तत्व की लंबाई, जिसे अवकल चाप लंबाई के रूप में माना जा सकता है, मीट्रिक प्रदिश का एक कार्य है और इसे $ds$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

रेखा तत्वों का उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांतों में(सबसे विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता में) किया जाता है, जहाँ दिक्-काल(स्पेसटाइम) को एक उपयुक्त मीट्रिक टेन्सर के साथ एक वक्राकार छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में तैयार किया जाता है।

सामान्य सूत्रीकरण

For प्रयुक्त संकेतन, see रिक्की कलन and आइन्स्टीन संकेतन.

रेखा तत्व और चाप की लंबाई की परिभाषा

एक n-विमीय रीमैनियन मैनिफोल्ड या छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड(भौतिकी में सामान्यतः एक लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड) में रेखा तत्व ds के वर्ग की निर्देशांक-मुक्त परिभाषा एक अतिसूक्ष्म विस्थापन $d\mathbf {q}$ की "लंबाई का वर्ग" (छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड में संभावित रूप से ऋणात्मक) है जिसके वर्गमूल का उपयोग वक्र की लंबाई की गणना करने के लिए किया जाना चाहिए:

$$ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )$$

जहाँ g मीट्रिक टेन्सर है, ' · 'आंतरिक गुणन को दर्शाता है, और $d\mathbf {q}$ (छद्म) रीमैनियन मैनिफोल्ड पर एक अत्यंत सूक्ष्म विस्थापन सदिश है। एक वक्र $q(\lambda )$ को मानकीकृत करके, हम $q(\lambda _{1})$ और $q(\lambda _{2})$) के बीच वक्र की वक्र लंबाई की चाप लंबाई को निम्न समाकल के रूप में परिभाषित कर सकते हैं:

$s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}$

छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड में वक्रों की एक सार्थक लंबाई की गणना करने के लिए, यह मान लेना सर्वोत्तम होता है कि अत्यंत सूक्ष्म विस्थापनों का चिह्न सभी स्थानों पर एक ही है। उदाहरण के लिए भौतिकी में एक समयरेखा वक्र के साथ एक रेखा तत्व का वर्ग ($-+++$ चिह्न परिपाटी) ऋणात्मक होगा और वक्र के साथ रेखा तत्व के वर्ग का ऋणात्मक वर्गमूल वक्र के साथ गतिमान पर्यवेक्षक के लिए उचित समय को मापेगा। इस दृष्टि से मीट्रिक, रेखा तत्व के अतिरिक्त सतह तथा आयतन तत्वों आदि को भी परिभाषित करता है।

मीट्रिक प्रदिश के साथ रेखा तत्व के वर्ग की पहचान

चूँकि $d\mathbf {q}$ चाप की लंबाई का स्वैच्छिक वर्ग है, अतः $ds^{2}$ पूर्णतः मीट्रिक को परिभाषित करता है, इसलिए सामान्यतः मीट्रिक प्रदिश की परिभाषा के रूप में $ds^{2}$ के लिए निरूपण पर विचार करना सबसे अच्छा होता है, जिसे एक विचारोत्तेजक लेकिन गैर टेंसोरियल संकेतन में लिखा गया है:

$ds^{2}=g$

मीट्रिक के साथ चाप की लंबाई $ds^{2}$ के वर्ग की यह पहचान n-विमीय सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक q = (q¹, q², q³, ..., qⁿ) में मीट्रिक टेन्सर के साथ संगत है, जहाँ इसे एक सममित कोटि 2 प्रदिश के रूप में लिखा गया है:

$ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g$.

यहाँ घातांक i और j, 1, 2, 3, ..., n मान ग्रहण करते हैं और आइंस्टीन की योग परिपाटी का उपयोग करते हैं। (छद्म) रीमैनियन अंतरिक्षों के सामान्य उदाहरणों में त्रि-विमीय अंतरिक्ष (समय निर्देशांकों का कोई समावेश नहीं) और यथार्थ चार-विमीय दिक्-काल सम्मिलित हैं।

यूक्लिडीय अंतरिक्ष में रेखा तत्व

Main article: यूक्लिडीय अंतरिक्ष

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त्रि-विमीय यूक्लिडीय अंतरिक्ष में सदिश रेखा तत्व $dr$ (हरा), जहाँ λ अंतरिक्ष वक्र (हल्का हरा) का एक मानक है।

मीट्रिक से रेखा तत्वों की प्राप्ति की विधि के उदाहरण निम्न हैं:

कार्तीय निर्देशांक

कार्तीय निर्देशांकों में सरलतम रेखा तत्व होता है, इस स्थिति में मीट्रिक केवल क्रोनेकर डेल्टा होता है:

$g_{ij}=\delta _{ij}$

(यहाँ i, j = 1, 2, 3 अंतरिक्ष के लिए) या आव्यूह रूप में (i पंक्ति और j स्तंभ को दर्शाता है):

$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक कार्तीय निर्देशांकों में परिवर्तित हो जाते हैं:

$(q^1,q^2,q^3)=(x,y$