रशब्रुक असमानता

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, रशब्रुक असमानता चुंबकीय निकाय के क्रांतिक घातांक से संबंधित है जो अशून्य तापमान T के लिए ऊष्मागतिकी सीमा में प्रथम-कोटि प्रावस्था संक्रमण प्रदर्शित करता है।

चूंकि हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा व्यापक मात्रा होती है, प्रति साइट मुक्त ऊर्जा के लिए सामान्यीकरण इस प्रकार दिया गया है

$f=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}$

ऊष्मागतिकी सीमा में चुंबकीयता M प्रति साइट, बाह्य चुंबकीय क्षेत्र H और तापमान T पर निर्भर करती है, जो निम्न प्रकार होती है:

$M(T,H)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i}\sigma _{i}\right)=-\left({\frac {\partial f}{\partial H}}\right)_{T}$

जहां $\sigma _{i}$ i-वें स्थान पर स्पिन है, और चुंबकीय सुग्राहिता और निरंतर तापमान और क्षेत्र पर विशिष्ट गर्मी क्रमशः द्वारा दी जाती है

$\chi _{T}(T,H)=\left({\frac {\partial M}{\partial H}}\right)_{T}$

और

$c_{H}=-T\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial T^{2}}}\right)_{H}.$

परिभाषाएँ

क्रांतिक घातांक $\alpha ,\alpha ',\beta ,\gamma ,\gamma '$ और $\delta$ को अनुक्रम पैरामीटर और प्रतिक्रिया फलन के क्रांतिक बिंदु के पास प्रतिक्रिया के माध्यम से निर्धारित किया जाता है जैसे निम्नप्रकार:

$M(t,0)\simeq (-t)^{\beta }{\mbox{ for }}t\uparrow 0$

$M(0,H)\simeq |H|^{1/\delta }\operatorname {sign} (H){\mbox{ for }}H\rightarrow 0$

$\chi _{T}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\gamma },&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\gamma '},&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}$

$c_{H}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\alpha }&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\alpha '}&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}$

जहां

$t\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}$

तापमान को क्रांतिक बिंदु के सापेक्ष मापता है।

व्युत्पत्ति

प्रतिक्रिया फलनों के लिए मैक्सवेल संबंधों के चुंबकीय एनालॉग के लिए, संबंध

$\chi _{T}(c_{H}-c_{M})=T\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}$

अनुसरण करता है, और ऊष्मागतिक स्थिरता के अनुरोध के साथ जहां $c_{H},c_{M}{\mbox{ and }}\chi _{T}\geq 0$ हैं, उनमें निम्नलिखित होता है:

$c_{H}\geq {\frac {T}{\chi _{T}}}\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}$

जो, $H=0,t>0$ प्रतिबाधाओं के तहत और क्रांतिक घातांक की परिभाषा देता है

$(-t)^{-\alpha '}\geq \mathrm {constant} \cdot (-t)^{\gamma '}(-t)^{2(\beta -1)}$

जो रशब्रुक असमानता प्रदान करता है

$\alpha '+2\beta +\gamma '\geq 2.$

उल्लेखनीय रूप से, प्रयोगशाला में और यथार्थ रूप से हल किए गए मॉडलों में, यह असमानता वास्तव में एक समानता के रूप में स्थापित होती है।,