बोरेल योग

गणित में, बोरेल योग अपसारी श्रृंखला के लिए एक योग विधि है, जिसे एमिल बोरेल (1899) द्वारा प्रस्तुत किया गया है। यह विशेष रूप से अपसारी स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के योग के लिए उपयोगी है, और कुछ अर्थों में ऐसी श्रृंखला के लिए सर्वोत्तम संभव योग देता है। इस विधि के कई रूप हैं जिन्हें बोरेल योग भी कहा जाता है, और इसके सामान्यीकरण को मिट्टाग-लेफ़लर योग भी कहा जाता है।

परिभाषा

बोरेल योगन कहलाने वाली (कम से कम) तीन अलग-अलग विधियाँ हैं। वे इस बात में भिन्न हैं कि वे किस श्रृंखला का योग कर सकते हैं, लेकिन सुसंगत हैं, जिसका अर्थ है कि यदि दो तरीकों से एक ही श्रृंखला का योग किया जाता है तो वे एक ही उत्तर देते हैं।

मान लीजिए कि A(z) एक औपचारिक घात श्रृंखला को दर्शाता है

$A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},$

और A के बोरेल रूपांतरण को इसकी समकक्ष घातांकीय श्रृंखला के रूप में परिभाषित करें

${\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}.$

बोरेल की घातांकीय योग विधि

मान लीजिए A_n(z) आंशिक योग को निरूपित करता है

$A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.$

बोरेल की योग विधि का एक अशक्त रूप बोरेल योग A को परिभाषित करता है

$\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z).$

यदि यह z ∈ C पर किसी फ़ंक्शन a(z) पर अभिसरण करता है, तो हम कहते हैं कि A का अशक्त बोरेल योग z पर अभिसरण करता है, और ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ लिखते हैं,

बोरेल की अभिन्न योग विधि

मान लीजिए कि बोरेल रूपांतरण सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए एक ऐसे फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है जो काफी धीमी गति से बढ़ रहा है ताकि निम्नलिखित अभिन्न अंग अच्छी तरह से परिभाषित हो (एक अनुचित अभिन्न अंग के रूप में), A का बोरेल योग इस प्रकार दिया गया है

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.$

यदि इंटीग्रल z ∈ C से कुछ a(z) पर अभिसरण होता है, तो हम कहते हैं कि A का बोरेल योग z पर अभिसरण होता है, और ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$लिखते हैं।

विश्लेषणात्मक निरंतरता के साथ बोरेल की अभिन्न योग विधि

यह बोरेल की अभिन्न योग विधि के समान है, सिवाय इसके कि बोरेल परिवर्तन को सभी t के लिए अभिसरण की आवश्यकता नहीं है, लेकिन 0 के पास t के एक विश्लेषणात्मक कार्य में परिवर्तित हो जाता है जिसे धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है।

बुनियादी गुण

नियमितता

विधियाँ (B) और (wB) दोनों नियमित योग विधियाँ हैं, जिसका अर्थ है कि जब भी A(z) अभिसरण (मानक अर्थ में) होता है, तो बोरेल योग और अशक्त बोरेल योग भी अभिसरण करते हैं, और समान मूल्य पर ऐसा करते हैं। अर्थात

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}}).$

एकीकरण के क्रम में बदलाव से (B) की नियमितता आसानी से देखी जा सकती है, जो पूर्ण अभिसरण के कारण मान्य है: यदि A(z) z पर अभिसरण है, तो

$A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt,$

जहां सबसे दाईं ओर की