बेबीलोनियन गणित

See also: बेबीलोनियन कीलाकार अंक

एनोटेशन के साथ बेबीलोनियन मिट्टी की गोली YBC 7289। विकर्ण चार साठवाँ अंकों में 2 के वर्गमूल का सन्निकटन प्रदर्शित करता है, 1 24 51 10, जो लगभग छह दशमलव अंकों के लिए अच्छा है।
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.41421296... टैबलेट एक उदाहरण भी देता है जहां वर्ग की एक भुजा 30 है, और परिणामी विकर्ण 42 25 35 या 42.4263888 है...

बेबीलोनियन गणित (असीरो-बेबीलोनियन गणित' के रूप में भी जाना जाता है)) प्रारंभिक सुमेरियन के दिनों से लेकर 539 ईसा पूर्व में बाबुल के पतन के बाद की शताब्दियों तक मेसोपोटामिया के लोगों द्वारा विकसित या अभ्यास किया जाने वाला गणित है। बेबीलोनियन गणितीय ग्रंथ प्रचुर मात्रा में और अच्छी तरह से संपादित हैं। समय के संबंध में वे दो अलग-अलग समूहों में आते हैं: एक प्रथम बेबीलोनियन काल (1830-1531 ईसा पूर्व) से, दूसरा मुख्य रूप से सील्यूसिड साम्राज्य पिछली तीन या चार शताब्दी ईसा पूर्व से। सामग्री के संबंध में, ग्रंथों के दो समूहों के बीच लगभग कोई अंतर नहीं है। लगभग दो सहस्राब्दियों तक, चरित्र और सामग्री में बेबीलोनियन गणित स्थिर रहा।

मिस्र के गणित में परिमाण की कमी थी जब की इसके विपरीत, बेबिलोनिया गणित का ज्ञान परिणाम 1850 के दशक से खोजी गई लगभग 400 मिट्टी की गोलियों से प्राप्त हुआ है। ये लेख कीलाक्षर लिपि में लिखे गए, जब गोलियां अंकित की गई थीं तब मिट्टी नम थी, फिर एक तंदूर में या सूर्य की गर्मी से पकाई गई थी। लगभग खोजी गई मिट्टी की गोलियां 1800 से 1600 ईसा पूर्व की हैं, और उन विषयों को समाविष्ट करती हैं जिनमें अंश (गणित), बीजगणित, द्विघात समीकरण और घन समीकरण और पाइथागोरस प्रमेय सम्मालित हैं। बेबीलोनियन गोली YBC7289 ${\sqrt {2}}$ तीन महत्वपूर्ण षाष्टिक पद्धति अंकों (लगभग छह महत्वपूर्ण दशमलव अंक) के लिए एकदम सही अनुमान देता है ।

बेबीलोनियन गणित की उत्पत्ति

बेबीलोनियन गणित प्राचीन समय पूर्व में संख्यात्मक और अधिक उन्नत गणितीय अभ्यासों की एक श्रृंखला है, जो कीलाक्षर लिपि में लिखी गई है। उपलब्ध आंकड़ों की संपन्नता के कारण अध्ययन ने ऐतिहासिक रूप से पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व में प्रथम बेबीलोनियन काल पर ध्यान केंद्रित किया है। बेबीलोनियन गणित के प्रारंभिक स्वरूप पर बहस हुई है, इतिहासकारों ने 5वीं और 3 सहस्राब्दी ईसा पूर्व के बीच की तिथियो की एक श्रृंखला का सुझाव दिया है। बेबीलोनियन गणित मुख्य रूप से अक्कादी या सुमेरियन भाषा की भाषाओं में कीलाक्षर लिपि में मिट्टी की गोलियों पर लिखा गया था।

बेबीलोनियन गणित हो सकता है एक अनुपयोगी शब्द है क्योंकि सबसे पहले बताई गई मूल तिथि 5 वीं सहस्राब्दी ईसा पूर्व में बुल्ला (सील) और प्राचीन संख्याओं को लिखने का इतिहास मिट्टी के प्रतीक जैसे लेखांकन उपकरणों के उपयोग के लिए थी।

बेबीलोनियन अंक

Main article: बेबीलोनियन कीलाकार अंक

गणित की बेबीलोनियन प्रणाली एक षाष्टिक(आधार 60) अंक प्रणाली थी। इससे हम एक मिनट में 60 सेकंड, एक घंटे में 60 मिनट और एक वृत में 360 डिग्री के आधुनिक उपयोग को प्राप्त करते हैं। बेबीलोन के लोग दो कारणों से गणित में बड़ी प्रगति करने में सक्षम थे। सबसे पहले, संख्या 60 एक श्रेष्ठ उच्च संमिश्र संख्या है, जिसमें 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 के कारक हैं (उन लोगों सहित जो स्वयं समग्र हैं), गणना की सुविधा अंश (गणित)। इसके अतिरिक्त, मिस्रियों और रोमनों के विपरीत, बेबीलोनियों के पास एक वास्तविक स्थान-मूल्य प्रणाली थी, जहां बाएं स्तंभ में लिखे अंक बड़े मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते थे (जैसे कि, हमारे आधार दस प्रणाली में, 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).

सुमेरियन गणित

मेसोपोटामिया के प्राचीन सुमेरियों ने 3000 ईसा पूर्व से मापविज्ञान की एक जटिल प्रणाली विकसित की थी। 2600 ईसा पूर्व से, सुमेरियों ने मिट्टी की गोलियों पर गुणन सारणी लिखी और ज्यामिति अभ्यास और विभाजन (गणित) की समस्याओं से निपटा। बेबीलोनियन अंकों के प्रारंभिक निशान भी इसी अवधि के हैं।

पुराना बेबीलोनियन गणित (2000-1600 ईसा पूर्व)

अधिकांश मिट्टी की गोलियाँ जो बेबीलोनियन गणित का वर्णन करती हैं, वे पहले बेबीलोनियन काल से संबंधित हैं, यही कारण है कि मेसोपोटामिया के गणित को सामान्यतः बेबीलोनियन गणित के रूप में जाना जाता है। कुछ मिट्टी की गोलियों में गणितीय सूचियाँ और सूचियाँ होती हैं, अन्य में समस्याएँ और समाधान होते हैं।

मिट्टी की गोली, गणितीय, ज्यामितीय-बीजगणितीय, पायथागॉरियन प्रमेय के समान। टेल अल-धब्बाई, इराक से। 2003-1595 ईसा पूर्व। इराक संग्रहालय

मिट्टी की गोली, गणितीय, ज्यामितीय-बीजगणितीय, यूक्लिडियन ज्यामिति के समान। टेल हरमल, इराक से। 2003-1595 ईसा पूर्व। इराक संग्रहालय

अंकगणित

बेबीलोनियों ने अंकगणित में सहायता के लिए पूर्व-परिकलित सूचियाँ का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, 1854 में महानद पर सेनकेराह में मिली दो गोलियाँ, 2000 ईसा पूर्व से डेटिंग, 59 तक की संख्याओं की वर्ग संख्या और 32 तक की संख्याओं के घन (अंकगणित) की सूची देती हैं। बेबीलोनियों ने वर्गों की सूचियों का एक साथ उपयोग किया सूत्रों के साथ:

$ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}$

$ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}$

गुणन को आसान बनाने के लिए।

बेबीलोनियों के पास लंबे विभाजन के लिए कोई कलन विधि नहीं था। इसके अतिरिक्त उन्होंने अपनी पद्धति को इस तथ्य पर आधारित किया कि:

${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$

गुणक व्युत्क्रम की सूची के साथ संख्याएं जिनके केवल प्रमुख कारक 2, 3 या 5 हैं (5-स्मूथ या नियमित संख्या के रूप में जाना जाता है) षाष्टिक संकेत पद्धति में परिमित पारस्परिक (गणित) हैं, और इन पारस्परिकों की विस्तृत सूची वाली सूचियाँ पाई गई हैं।

व्युत्क्रम जैसे कि 1/7, 1/11, 1/13, आदि का षाष्टिक संकेतन में परिमित निरूपण नहीं होता है। 1/13 की गणना करने के लिए या किसी संख्या को 13 से विभाजित करने के लिए बेबीलोन के लोग एक सन्निकटन का उपयोग करेंगे जैसे:

${\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.$

बीजगणित

See also: 2 §  वर्गमूल का इतिहास

बेबीलोनियन मिट्टी की गोली येल बेबीलोनियन संग्रह 7289 (c. 1800-1600 ईसा पूर्व) का एक अनुमान देता है √2 चार षाष्टिक पद्धति आंकड़ों में, 1;24,51,10, जो लगभग छह दशमलव अंकों तक एकदम सही है, और √2 निकटतम संभव तीन-स्थान षाष्टिक पद्धति प्रतिनिधित्व है:

$1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.$

अंकगणितीय गणनाओं के साथ-साथ, बेबीलोन के गणितज्ञों ने समीकरणों को हल करने के प्राथमिक बीजगणित की विधि भी विकसित किए। एक बार फिर, ये पूर्व-परिकलित सूचियाँ पर आधारित थे।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, बेबीलोनियों ने अनिवार्य रूप से मानक द्विघात सूत्र का उपयोग किया। उन्होंने इस रूप के द्विघात समीकरणों पर विचार किया:

$\ x^{2}+bx=c$

जहां b और c आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं थे, लेकिन c हमेशा धनात्मक था। वे जानते थे कि समीकरण के इस रूप का हल है:

$x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}$

और उन्होंने विभाजन और औसत का उपयोग करके वर्गमूलों को कुशलता से पाया। वे हमेशा धनात्मक जड़ का उपयोग करते थे क्योंकि वास्तविक समस्याओं को हल करते समय यह समझ में आता था. इस प्रकार की समस्याओं में एक आयत के आयामों को उसके क्षेत्रफल और उस राशि को खोजना सम्मालित है जिससे लंबाई चौड़ाई से अधिक हो जाती है।

n³+ n² के मानों की सूचियाँएँ का उपयोग कुछ घन समीकरणों को हल करने के लिए किया गया था। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें:

$\ ax^{3}+bx^{2}=c.$

समीकरण को a² गुणा करके और b³ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

$\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.$

प्रतिस्थापित करना y = ax/b देता है:

$y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}$

जिसे अब n³ + n² सूचियाँ को देखकर हल किया जा सकता है ताकि दाहिनी ओर के निकटतम मान का पता लगाया जा सके। बेबीलोन के लोगों ने बीजगणितीय अंकन के बिना इसे पूरा किया, जिससे समझ की असाधारण गहराई दिखाई देती है। लेकिन, उनके पास सामान्य घन समीकरण को हल करने की कोई विधि नहीं थी।

वृद्धि

बेबीलोनियों ने घातीय वृद्धि, बाधित वृद्धि (अवग्रहरूपी कार्यों के एक रूप के माध्यम से), और दोहरीकरण समय, ऋण पर ब्याज के संदर्भ में उत्तरार्द्ध का आकार तैयार किया।

मिट्टी की गोलियाँ c से। 2000 ई.पू. में अभ्यास सम्मालित है 1/60 प्रति माह की ब्याज दर (कोई चक्रवृद्धि नहीं) को देखते हुए, दोहरीकरण समय की गणना करें। यह 12/60 = 20% की वार्षिक ब्याज दर देता है, और इसलिए 100% वृद्धि/20% प्रति वर्ष की वृद्धि का दोगुना समय = 5 वर्ष।

प्लिम्पटन 322

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प्लिम्पटन 322 टैबलेट में पायथागॉरियन तिगुना की एक सूची है, यानी, पूर्णांक $(a,b,c)$ ऐसा है कि $a^2+{}^{}$