बाहरी कलन पहचान

यह आलेख बाह्य कलन में कई समरूपताओं (गणित) का सारांश प्रस्तुत करता है।

संकेतन

इस प्रकार से निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और संकेतनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है।

मैनिफोल्ड

$M$, $N$ $n$-विमीय समतल (स्मूथ) मैनिफोल्ड हैं, जहां $n\in \mathbb {N}$। अर्थात्, भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड जिन्हें इस पृष्ठ पर प्रयोजनों के लिए पर्याप्त एक बार विभेदित किया जा सकता है।

इस प्रकार से $p\in M$, $q\in N$ प्रत्येक मैनिफोल्ड पर एक बिंदु दर्शाता है।

मैनिफोल्ड $M$ की सीमा मैनिफोल्ड $\partial M$ है , जिसकी विमा $n-1$ है। $M$ पर एक अभिविन्यास $\partial M$ पर एक अभिविन्यास प्रेरित करता है।

अतः हम सामान्यतः उपमैनिफोल्ड को $\Sigma \subset M$ से निरूपित करते हैं।

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा बंडल

इस प्रकार से $TM$, $T^{*}M$ समतल मैनिफोल्ड $M$ के क्रमशः स्पर्शरेखा बंडल और कोटिस्पर्श रेखा बंडल को दर्शाता है।

अतः $T_{p}M$, क्रमशः बिंदु $p$, $q$, पर $M$, $N$ के स्पर्शरेखा समष्टि को दर्शाता है। $T_{p}^{*}M$ बिंदु $p$ पर $M$ के कोटिस्पर्श रेखा समष्टि को दर्शाता है।

स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे सदिश क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः $X,Y,Z\in \Gamma (TM)$ के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु $p\in M$ पर हमारे निकट $X|_{p},Y|_{p},Z|_{p}\in T_{p}M$ है। इस प्रकार से कोटिस्पर्श रेखा बंडल के अनुभाग, जिन्हें विभेदक रूप (या सहसदिश क्षेत्र) के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः $\alpha ,\beta \in \Gamma (T^{*}M)$ के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु $p\in M$ पर हमारे निकट $\alpha |_{p},\beta |_{p}\in T_{p}^{*}M$ है। $\Gamma (T^{*}M)$ के लिए एक वैकल्पिक संकेतन $\Omega ^{1}(M)$ है।

विभेदक k-रूप

विभेदक $k$-रूप, जिसे हम यहां मात्र $k$-रूप के रूप में संदर्भित करते हैं, $TM$ पर परिभाषित विभेदक रूप हैं। हम सभी $k$-रूपों के समुच्चय को $\Omega ^{k}(M)$ के रूप में निरूपित करते हैं। $0\leq k,\ l,\ m\leq n$ के लिए हम सामान्यतः $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$, $\beta \in \Omega ^{l}(M)$, $\gamma \in \Omega ^{m}(M)$ लिखते हैं।

इस प्रकार से $0$-रूप $f\in \Omega ^{0}(M)$ $M$ पर मात्र अदिश फलन $C^{\infty }(M)$ हैं। $\mathbf {1} \in \Omega ^{0}(M)$ प्रत्येक समष्टि 1 के बराबर स्थिरांक 0-रूप को दर्शाता है।

अनुक्रम के छोड़े गए अवयव

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