फैराडे का प्रेरण का नियम

For आवेदन और कानून के परिणाम, see इलेक्ट्रोमैग्नेटिक इंडक्शन.

फैराडे का प्रयोग तार के कॉइल के बीच प्रेरण दिखा रहा है: तरल बैटरी (दाएं) एक करंट प्रदान करती है जो छोटे कॉइल (ए) के माध्यम से प्रवाहित होती है, जिससे एक चुंबकीय क्षेत्र बनता है। जब कुण्डलियाँ स्थिर होती हैं, तो कोई धारा प्रेरित नहीं होती है। लेकिन जब छोटे कॉइल को बड़े कॉइल (B) के अंदर या बाहर ले जाया जाता है, तो बड़े कॉइल के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह बदल जाता है, जिससे करंट उत्पन्न होता है जिसे गैल्वेनोमीटर (G) द्वारा पता लगाया जाता है।

फैराडे का इंडक्शन (प्रेरण) का नियम (संक्षेप में, फैराडे का नियम) विद्युत् चुम्बकत्व का एक बुनियादी नियम है, जो अभिरुचि करता है कि एक वैद्युतवाहक बल (ईएमएफ) उत्पन्न करने के लिए एक चुंबकीय क्षेत्र एक विद्युत परिपथ के साथ कैसे परस्पर प्रभाव करेगा - एक घटना जिसे विद्युत चुंबकीय प्रेरण के रूप में जाना जाता है। यह रूपांतरक (ट्रांसफार्मर), कुचालक और कई प्रकार के बिजली की मोटर, [[ विद्युत जनरेटर ]] और परिनालिका का मूलभूत संचालन सिद्धांत है।

मैक्सवेल-फैराडे समीकरण (मैक्सवेल के समीकरणों में से एक के रूप में सूचीबद्ध) इस तथ्य का वर्णन करता है कि एक स्थानिक रूप से भिन्न (और संभवतः समय-भिन्न भी, इस पर निर्भर करता है कि एक चुंबकीय क्षेत्र समय में कैसे भिन्न होता है) विद्युत क्षेत्र हमेशा एक समय-भिन्न चुंबकीय क्षेत्र के साथ होता है, जबकि फैराडे के नियम में कहा गया है कि प्रवाहकीय लूप पर ईएमएफ (वैद्युतवाहक बल, एक यूनिट चार्ज पर किए गए विद्युत चुम्बकीय कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है) प्रवाहकीय लूप पर होता है, जब लूप द्वारा संलग्न सतह के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह समय में भिन्न होता है।

फैराडे के नियम की खोज की जा चुकी थी और इसके एक पहलू (रूपांतरक ईएमएफ) को बाद में मैक्सवेल-फैराडे समीकरण के रूप में तैयार किया गया था। फैराडे के नियम का समीकरण मैक्सवेल-फैराडे समीकरण (रूपांतरक ईएमएफ का वर्णन) और लोरेंत्ज़ बल (गतिशील ईएमएफ का वर्णन) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। मैक्सवेल-फैराडे समीकरण का अभिन्न रूप केवल रूपांतरक ईएमएफ का वर्णन करता है, जबकि फैराडे के नियम का समीकरण रूपांतरक ईएमएफ और गतिक ईएमएफ दोनों का वर्णन करता है।

इतिहास

फैराडे के लौह वलय उपकरण का आरेख। बाएं कॉइल का बदलता चुंबकीय प्रवाह दाएं कॉइल में करंट को प्रेरित करता है।

1831 में माइकल फैराडे और 1832 में जोसेफ हेनरी द्वारा स्वतंत्र रूप से विद्युत चुम्बकीय प्रेरण की खोज की गई थी। फैराडे अपने प्रयोगों के परिणामों को प्रकाशित करने वाले पहले व्यक्ति थे। फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के पहले प्रायोगिक प्रदर्शन में (29 अगस्त, 1831), उन्होंने एक लोहे की अंगूठी (टोरस्र्स ) (एक आधुनिक टॉरॉयडल रूपांतरक के समान व्यवस्था) के विपरीत दिशा में दो तारों को लपेटा। विद्युत चुम्बक के हाल ही में खोजे गए गुणों के अपने आकलन के आधार पर, उन्होंने उम्मीद की कि जब एक तार में करंट प्रवाहित होना प्रारंभ होता है, तो एक तरह की तरंग रिंग के माध्यम से यात्रा करेगी और विपरीत दिशा में कुछ विद्युत प्रभाव पैदा करेगी। उसने एक तार को बिजली की शक्ति नापने का यंत्र में प्लग किया, और दूसरे तार को बैटरी से जोड़ते हुए उसे देखा। वास्तव में, जब उन्होंने तार को बैटरी से संसक्त, और जब उन्होंने इसे असंगत किया, तो उन्होंने एक क्षणिक धारा (जिसे उन्होंने बिजली की लहर कहा) देखा। यह प्रेरण बैटरी के संसक्त और असंगत होने पर होने वाले चुंबकीय प्रवाह में बदलाव के कारण था।दो महीनों के भीतर, फैराडे ने विद्युत चुम्बकीय प्रेरण की कई अन्य अभिव्यक्तियाँ पाईं। उदाहरण के लिए, उन्होंने क्षणिक धाराओं को देखा जब उन्होंने तार के अंदर और बाहर एक बार चुंबक को जल्दी से सर्पण किया, और उन्होंने एक सर्पण विद्युत चालक तार (फैराडे की डिस्क) के साथ बार चुंबक के पास एक तांबे की डिस्क को घुमाकर एक स्थिर (प्रत्यक्ष धारा) धारा उत्पन्न किया था।.

बायां

माइकल फैराडे ने एक अवधारणा का उपयोग करते हुए विद्युत चुम्बकीय प्रेरण की व्याख्या की जिसे उन्होंने बल की रेखाएं कहा। चूंकि, उस समय के वैज्ञानिकों ने उनके सैद्धांतिक विचारों को व्यापक रूप से खारिज कर दिया, मुख्यतः क्योंकि वे गणितीय रूप से तैयार नहीं किए गए थे। एक अपवाद जेम्स क्लर्क मैक्सवेल थे, जिन्होंने 1861-62 में फैराडे के विचारों को अपने मात्रात्मक विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत के आधार के रूप में उपयोग किया। मैक्सवेल के कागजात में, विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के समय-भिन्न पहलू को एक अंतर समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसे ओलिवर हीविसाइड ने फैराडे के नियम के रूप में संदर्भित किया है, चूंकि यह फैराडे के नियम के मूल संस्करण से अलग है, और #दो घटनाओं का वर्णन नहीं करता है। हीविसाइड का संस्करण (#मैक्सवेल-फैराडे समीकरण देखें) वह रूप है जिसे आज मैक्सवेल के समीकरणों के रूप में ज्ञात समीकरणों के समूह में मान्यता प्राप्त है।

1834 में एमिल लेनज़ द्वारा प्रतिपादित लेनज़ का नियम, परिपथ के माध्यम से प्रवाह का वर्णन करता है, और विद्युत चुम्बकीय प्रेरण से उत्पन्न प्रेरित ईएमएफ और वर्तमान की दिशा देता है (नीचे दिए गए उदाहरणों में विस्तृत)।

फैराडे का नियम

वैकल्पिक विद्युत धारा बाईं ओर परिनालिका के माध्यम से प्रवाहित होती है, जिससे एक बदलते चुंबकीय क्षेत्र का निर्माण होता है। यह क्षेत्र विद्युत चुम्बकीय प्रेरण द्वारा दाईं ओर तार लूप में विद्युत प्रवाह का कारण बनता है

फैराडे के नियम का सबसे व्यापक संस्करण कहता है:

एक बंद पथ के चारों ओर वैद्युतवाहक बल के परिवर्तन की समय दर के ऋणात्मक के बराबर है चुंबकीय अभिवाह पथ से घिरा हुआ है।

गणितीय कथन

सतह अभिन्न की परिभाषा सतह को विभाजित करने पर निर्भर करती है Σ छोटे सतह तत्वों में। प्रत्येक तत्व एक सदिश से जुड़ा होता है dA तत्व के क्षेत्र के बराबर परिमाण और तत्व के लिए सामान्य दिशा के साथ और बाहर की ओर इशारा करते हुए (सतह के अभिविन्यास के संबंध में)।

चुंबकीय क्षेत्र में तार के एक लूप के लिए, चुंबकीय प्रवाह Φ_B किसी भी सतह (गणित) के लिए परिभाषित किया गया है Σ जिसकी सीमा (टोपोलॉजी) दिया गया लूप है। चूँकि वायर लूप गतिमान हो सकता है, हम लिखते हैं Σ(t) सतह के लिए चुंबकीय प्रवाह सतह अभिन्न है:

$$\Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,,$$

जहाँ पे dA चलती सतह के सतह क्षेत्र का एक तत्व है Σ(t), B चुंबकीय क्षेत्र है, और B · dA एक डॉट उत्पाद है जो प्रवाह के तत्व का प्रतिनिधित्व करता है dA. अधिक दृश्य शब्दों में, वायर लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह लूप से गुजरने वाली फील्ड लाइन की संख्या के समानुपाती होता है।

जब प्रवाह बदलता है—क्योंकि B परिवर्तन, या क्योंकि वायर लूप को स्थानांतरित या विकृत किया जाता है, या दोनों - फैराडे के प्रेरण के नियम का कहना है कि वायर लूप एक वैद्युतवाहक बल प्राप्त करता है, जिसे यूनिट चार्ज से उपलब्ध ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वायर लूप के चारों ओर एक बार यात्रा करता है। (चूंकि कुछ स्रोत परिभाषा को अलग तरीके से बताते हैं, इस अभिव्यक्ति को विशेष सापेक्षता के समीकरणों के साथ संगतता के लिए चुना गया था।) समान रूप से, यह वह वोल्टेज है जिसे इलेक्ट्रिक परिपथ बनाने के लिए तार को काटकर और चालक तार में वाल्टमीटर जोड़कर मापा जाएगा। .

फैराडे के नियम में कहा गया है कि ईएमएफ भी चुंबकीय प्रवाह के समय व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है:

$${\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}},$$

जहाँ पे ${\mathcal {E}}$ वैद्युतवाहक बल (ईएमएफ) है और Φ_B चुंबकीय प्रवाह है।

वैद्युतवाहक बल की दिशा लेंज़ के नियम द्वारा दी गई है।

1845 में फ्रांज अर्न्स्ट न्यूमैन द्वारा गणितीय रूप में विद्युत धाराओं को सम्मलित करने के नियम स्थापित किए गए थे। फैराडे के नियम में दोनों परिमाणों और इसके चरों की दिशाओं के बीच संबंधों के बारे में जानकारी सम्मलित है। चूंकि, दिशाओं के बीच संबंध स्पष्ट नहीं हैं; वे गणितीय सूत्र में छिपे हैं।

ऑल्ट=

लेन्ज़ के नियम का प्रयोग किए बिना, फैराडे के नियम से सीधे वैद्युतवाहक बल (ईएमएफ) की दिशा का पता लगाना संभव है। बाएं हाथ का नियम ऐसा करने में मदद करता है, जो इस प्रकार है:

• बाएं हाथ की मुड़ी हुई उंगलियों को लूप (पीली रेखा) से संरेखित करें।
• अपना अंगूठा तानें फैला हुआ अंगूठा किस दिशा को इंगित करता है n (भूरा), लूप से घिरे क्षेत्र के लिए सामान्य का चिह्न खोजें ΔΦ_Bप्रवाह में परिवर्तन, प्रारंभिक और अंतिम अपशिष्टों निर्धारित करें (जिसका अंतर है ΔΦ_B) सामान्य के संबंध में n, जैसा कि फैला हुआ अंगूठा दिखाता है।
• यदि प्रवाह में परिवर्तन, ΔΦ_B, सकारात्मक है, घुमावदार उंगलियां वैद्युतवाहक बल (पीले तीर) की दिशा दिखाती हैं।
• यदि ΔΦ_B ऋणात्मक है, वैद्युतवाहक बल की दिशा घुमावदार उंगलियों (पीले तीर के विपरीत) की दिशा के विपरीत है।

N समरूप घुमावों से बने तार के कसकर लपेटे गए कुंडल के लिए, प्रत्येक समान ΦB के साथ, फैराडे के प्रेरण के नियम में कहा गया है।

$${\mathcal {E}}=-N{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}$$

जहाँ पे N तार के घुमावों की संख्या है और Φ_B एकल लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह है।

मैक्सवेल–फैराडे समीकरण

सतह के साथ केल्विन-स्टोक्स प्रमेय का एक उदाहरण Σ, इसकी सीमा ∂Σ, और अभिविन्यास n दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित।

मैक्सवेल-फैराडे समीकरण बताता है कि एक समय-भिन्न चुंबकीय क्षेत्र हमेशा एक स्थानिक रूप से भिन्न (संभवतः समय-भिन्न), गैर- रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र विद्युत क्षेत्र, और इसके विपरीत के साथ होता है। मैक्सवेल-फैराडे समीकरण है:

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

(एसआई इकाइयों में) जहां ∇ × कर्ल (गणित) रैखिक संकारक है और फिर से E(r, t) विद्युत क्षेत्र है और B(r, t) चुंबकीय क्षेत्र है। ये क्षेत्र सामान्यत: स्थिति के कार्य हो सकते हैं r और समय t. मैक्सवेल-फैराडे समीकरण मैक्सवेल के चार समीकरणों में से एक है, और इसलिए चिरसम्मत विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है। यह केल्विन-स्टोक्स प्रमेय द्वारा एक अभिन्न रूप में भी लिखा जा सकता है, इस प्रकार फैराडे के नियम का पुनरुत्पादन:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, Σ बंद समोच्च से घिरा सतह है ∂Σ, dl समोच्च का एक अतिसूक्ष्म सदिश तत्व है ∂Σ, और dA सतह का एक अतिसूक्ष्म सदिश तत्व है Σ. इसकी दिशा उस सतह के पैच के लिए लांबिक है, परिमाण सतह के एक अतिसूक्ष्म पैच का क्षेत्र है।

दोनों dl और dA एक संकेत अस्पष्टता है; सही संकेत प्राप्त करने के लिए, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है, जैसा कि लेख केल्विन-स्टोक्स प्रमेय में बताया गया है। एक तलीय सतह Σ के लिए, वक्र ∂Σ का एक सकारात्मक पथ तत्व dl दाएँ हाथ के नियम द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो दाहिने हाथ की उंगलियों से इंगित करता है जब अंगूठा सामान्य n की दिशा में सतह Σ की ओर इंगित करता है।

∂Σ के चारों ओर रेखा अभिन्न को परिसंचरण (भौतिकी) कहा जाता है। [15]: ch3  E का एक अशून्य संचलन स्थिर आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के व्यवहार से भिन्न होता है। एक चार्ज-जनित E-फ़ील्ड को अदिश क्षेत्र के ढाल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो पोइसन के समीकरण का समाधान है, और शून्य पथ अभिन्न है। ढाल प्रमेय देखें।

अभिन्न समीकरण समष्टि के माध्यम से किसी भी पथ ∂Σ के लिए सही है, और कोई भी सतह Σ जिसके लिए वह पथ एक सीमा है।

यदि सतह Σ समय के साथ नहीं बदल रही है, तो समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

$$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} .$$

दाहिनी ओर सतह समाकल चुंबकीय प्रवाह ΦB से Σ के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति है।

एक बदलते चुंबकीय प्रवाह से प्रेरित विद्युत सदिश क्षेत्र, समग्र विद्युत क्षेत्र के परिनालिकीय घटक, आयतन अभिन्न समीकरण द्वारा गैर-सापेक्षतावादी सीमा में अनुमानित किया जा सकता है।

$$\mathbf {E} _{s}(\mathbf {r} ,t)\approx -{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {\left({\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{\partial t}}\right)\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'}$$

प्रमाण

मैक्सवेल के चार समीकरण (मैक्सवेल-फैराडे समीकरण सहित), लोरेंत्ज़ बल नियम के साथ, उत्कृष्ट विद्युत चुंबकत्व में सब कुछ प्राप्त करने के लिए पर्याप्त आधार हैं।इसलिए, इन समीकरणों से प्रारंभ करके फैराडे के नियम को सिद्ध करना संभव है। प्रारंभिक बिंदु एक यादृच्छिक सतह के माध्यम से प्रवाह का समय-व्युत्पन्न है Σ (जिसे स्थानांतरित या विकृत किया जा सकता है) समष्टि में:

$${\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$$

(परिभाषा से)। मैक्सवेल-फैराडे समीकरण और कुछ सदिश सर्वसमिकाओं की सहायता से इस कुल समय व्युत्पन्न का मूल्यांकन और सरलीकरण किया जा सकता है; विवरण नीचे दिए गए बॉक्स में हैं:

एक बंद सीमा (लूप) के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के समय-व्युत्पन्न पर विचार करें जो गतिमान या विकृत हो सकता है। लूप से घिरे क्षेत्र को Σ(t) के रूप में निरूपित किया जाता है, तो समय-व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। $${\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$$ समाकल समय के साथ दो कारणों से बदल सकता है: समाकलन बदल सकता है, या समाकलन क्षेत्र बदल सकता है। इसलिए ये रैखिक रूप से जोड़ते हैं: $$\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=t_{0}}=\left(\int _{\Sigma (t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \right)+\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \right)$$ जहाँ t0 कोई निश्चित समय है। हम दिखाएंगे कि दाईं ओर का पहला शब्द रूपांतरक ईएमएफ से मेल खाता है, दूसरा गतिमान ईएमएफ (चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल से आवेश वाहक पर चुंबकीय क्षेत्र में संवाहक लूप की गति या विकृति के कारण)। मैक्सवेल-फैराडे समीकरण के अभिन्न रूप का उपयोग करके दाईं ओर का पहला शब्द फिर से लिखा जा सकता है: $$\int _{\Sigma (t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$$ इसके बाद, हम दाहिनी ओर दूसरे पद का विश्लेषण करते हैं: $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$$ एक लूप ∂Σ के सदिश अवयव dl द्वारा समय dt में बह गया क्षेत्र जब यह वेग vl के साथ चलता है। इसका प्रमाण पहले पद की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन है; प्रमाण के लिए अधिक विवरण और वैकल्पिक दृष्टिकोण संदर्भों में पाए जा सकते हैं। जैसे ही लूप चलता है और/या विकृत होता है, यह एक सतह को साफ करता है (सही चित्र देखें)। चूंकि लूप dl का एक छोटा सा हिस्सा वेग vl के साथ थोड़े समय dt पर चलता है, यह एक ऐसे क्षेत्र को स्वीप करता है जिसका सदिश dAस्वीप = vl dt × dl है (ध्यान दें कि यह सदिश सही आकृति में प्रदर्शन से बाहर की ओर है)। इसलिए, समय dt पर लूप की विकृति या गति के कारण लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह का परिवर्तन होता है। $$\mathrm {d} \Phi _{B}=\int \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} _{\text{sweep}}=\int \mathbf {B} \cdot (\mathbf {v} _{\mathbf {l} }\mathrm {d} t\times \mathrm {d} \mathbf {l} )=-\int \mathrm {d} t\,\mathrm {d} \mathbf {l} \cdot (\mathbf {v} _{\mathbf {l} }\times \mathbf {B} )$$ यहां ट्रिपल स्केलर उत्पादों की पहचान का उपयोग किया जाता है। इसलिए, $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}(\mathbf {v} _{\mathbf {l} }(t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}))\cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$$ जहां vl लूप ∂Σ के एक भाग का वेग है। इन्हें एक साथ रखने का परिणाम होता है, $$\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=t_{0}}=\left(-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} \right)+\left(-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}{\bigl (}\mathbf {v} _{\mathbf {l} }(t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}){\bigr )}\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} \right)$$ $$\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=t_{0}}=-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}{\bigl (}\mathbf {E} (t_{0})+\mathbf {v} _{\mathbf {l} }(t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}){\bigr )}\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$$

परिणाम है:

$${\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=-\oint _{\partial \Sigma }\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{\mathbf {l} }\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$$

जहाँ पे ∂Σ सतह की सीमा (लूप) है Σ, और v_l सीमा के एक भाग का वेग है।

एक प्रवाहकीय लूप की स्थिति में, ईएमएफ (वैद्युतवाहक बल) एक यूनिट चार्ज पर किया जाने वाला विद्युत चुम्बकीय कार्य है, जब यह लूप के चारों ओर एक बार घूम चुका होता है, और यह काम लोरेंत्ज़ बल नियम द्वारा किया जाता है। इसलिए, ईएमएफ के रूप में व्यक्त किया जाता है:

$${\mathcal {E}}=\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$$

जहाँ पे ${\mathcal {E}}$ ईएमएफ है और v इकाई आवेश वेग है।

मैक्रोस्कोपिक दृश्य में, लूप के एक खंड पर प्रभार के लिए, v औसत में दो घटक होते हैं; एक खंड के साथ आवेश का वेग है v_t, और दूसरा खंड का वेग है v_l (लूप विकृत या स्थानांतरित हो गया है)। v_t के निर्देशन के बाद से प्रभार पर किए गए कार्य में योगदान नहीं करता है v_t की दिशा के समान है $\mathrm {d} \mathbf {l}$. गणितीय रूप से है:

$$(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =((\mathbf {v} _{t}+\mathbf {v} _{l})\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =(\mathbf {v} _{t}\times \mathbf {B} +\mathbf {v} _{l}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =(\mathbf {v} _{l}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$$

जब से $(\mathbf {v} _{t}\times \mathbf {B} )$ के लंबवत है $\mathrm {d} \mathbf {l}$ जैसा $\mathbf {v} _{t}$ और $\mathrm {d} \mathbf {l}$ उसी दिशा में हैं। अब हम देख सकते हैं कि, प्रवाहकीय लूप के लिए, ईएमएफ उस पर संकेत को छोड़कर लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के समय-व्युत्पन्न के समान है। इसलिए, अब हम फैराडे के नियम (प्रवाहकीय लूप के लिए) के समीकरण तक पहुँचते हैं:

$${\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=-{\mathcal {E}}$$

जहाँ पे ${\textstyle {\mathcal {E}}=\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$. इस अभिन्न को तोड़कर, ${\textstyle \oint \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$ रूपांतरक ईएमएफ के लिए है (समय-भिन्न चुंबकीय क्षेत्र के कारण) और ${\textstyle \oint \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\oint \left(\mathbf {v} _{l}\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$ गतिमान ईएमएफ के लिए है (चुंबकीय क्षेत्र में लूप की गति या विरूपण द्वारा आवेशों पर चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल के कारण)।

अपवाद

See also: फैराडे विरोधाभास

फैराडे के नियम का सामान्यीकरण यह बताने के लिए प्रलोभक है कि: यदि ∂Σ समष्टि में कोई भी यादृच्छिक बंद लूप है, फिर चुंबकीय प्रवाह का कुल समय व्युत्पन्न Σ चारों ओर ईएमएफ के बराबर है ∂Σ। यह कथन, चूंकि, हमेशा सत्य नहीं होता है और इसका कारण केवल स्पष्ट कारण से नहीं है, जब कोई संवाहक सम्मलित नहीं होता है तो ईएमएफ रिक्त स्थान में अपरिभाषित होता है। जैसा कि पिछले खंड में उल्लेख किया गया है, फैराडे के नियम को तब तक काम करने की गारंटी नहीं है जब तक कि अमूर्त वक्र का वेग न हो ∂Σ बिजली का संचालन करने वाली सामग्री के वास्तविक वेग से मेल खाता है। नीचे दिए गए दो उदाहरणों से पता चलता है कि जब ∂Σ की गति को सामग्री की गति से अलग किया जाता है तो अधिकांशत: गलत परिणाम प्राप्त होते हैं।

• Index.php?title=File:Index.php?title=File:Index.php?title=File:Faraday's disc.PNG

  फैराडे का एकध्रुवीय जनरेटर। डिस्क कोणीय दर ω के साथ घूमती है, स्थिर चुंबकीय क्षेत्र B (जो दिशा डिस्क की सतह के साथ सामान्य है) में परिपत्र त्रिज्या को व्यापक रूप से घुमाती है। चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल v × B प्रवाहकीय त्रिज्या के साथ प्रवाहकीय रिम तक एक धारा चलाता है, और वहां से परिपथ निचले ब्रश और डिस्क का समर्थन करने वाले धुरी के माध्यम से पूरा होता है। यह उपकरण एक ईएमएफ और करंट उत्पन्न करता है, चूंकि "परिपथ" का आकार स्थिर है और इस प्रकार परिपथ के माध्यम से प्रवाह समय के साथ नहीं बदलता है।

• Index.php?title=File:Index.php?title=File:Index.php?title=File:FaradaysLawWithPlates.gif

  एक तार (ठोस लाल रेखाएँ) एक परिपथ बनाने के लिए दो स्पर्श करने वाली धातु की प्लेटों (चाँदी) से जुड़ती हैं। संपूर्ण प्रणाली एक समान चुंबकीय क्षेत्र में बैठती है, जो पृष्ठ के लिए सामान्य है। यदि सार पथ ∂Σ वर्तमान प्रवाह (लाल रंग में चिह्नित) के प्राथमिक पथ का अनुसरण करता है, तो इस पथ के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह नाटकीय रूप से बदल जाता है क्योंकि प्लेटें घुमाई जाती हैं, फिर भी ईएमएफ लगभग शून्य है। भौतिकी पर फेनमैन व्याख्यान के बाद है।

इस तरह के उदाहरणों का विश्लेषण पथ का ध्यान रखकर किया जा सकता है ∂Σ पदार्थ के समान वेग से गति करता है।वैकल्पिक रूप से, मैक्सवेल-फैराडे समीकरण के साथ लोरेंत्ज़ बल नियम को जोड़कर कोई भी ईएमएफ की सही गणना कर सकता है:

${\mathcal {E}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{m}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \Sigma +\oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {v} _{m}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$

जहां यह ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि (1) [v_m] संवाहक का वेग है ... पथ तत्व का वेग नहीं dl और (2) सामान्य तौर पर, समय के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को अभिन्न के बाहर नहीं ले जाया जा सकता क्योंकि क्षेत्र समय का एक कार्य है।

फैराडे का नियम और सापेक्षता

Further information: चुंबकीय और कंडक्टर की समस्या

दो घटनाएं

फैराडे का नियम दो अलग-अलग घटनाओं का वर्णन करने वाला एक समीकरण है: गतिमान तार पर एक चुंबकीय बल द्वारा उत्पन्न गतिमान ईएमएफ (वर्तमान-वाही तार पर लोरेंत्ज़ बल # बल देखें), और एक विद्युत बल द्वारा उत्पन्न रूपांतरक ईएमएफ बदलते चुंबकीय क्षेत्र (#मैक्सवेल-फैराडे समीकरण मैक्सवेल-फैराडे समीकरण द्वारा वर्णित) है।

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने अपने 1861 के पेपर ऑन फिजिकल लाइन्स ऑफ फोर्स में इस तथ्य की ओर ध्यान आकर्षित किया। [30] उस पेपर के भाग II के उत्तरार्ध में, मैक्सवेल दो घटनाओं में से प्रत्येक के लिए एक अलग भौतिक विवरण देता है।

कुछ आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के इन दो पहलुओं का संदर्भ दिया गया है। जैसा कि रिचर्ड फेनमैन कहते हैं:

"फ्लक्स नियम" कि एक परिपथ में ईएमएफ परिपथ के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के परिवर्तन की दर के बराबर होता है, चाहे फ्लक्स बदलता है क्योंकि क्षेत्र बदलता है या क्योंकि परिपथ चलता है (या दोनों)...

फिर भी नियम की अपनी व्याख्या में हमने दो मामलों के लिए दो पूरी तरह से भिन्न नियमो का उपयोग किया है – v × B for "परिपथ चाल" और ∇ × E = −∂_tB क्षेत्र परिवर्तन के लिए".

हम भौतिकी में किसी अन्य स्थान के बारे में नहीं जानते हैं जहाँ इस तरह के एक सरल और सटीक सामान्य सिद्धांत को इसकी वास्तविक समझ के लिए "दो अलग-अलग घटनाओं" के संदर्भ में एक विश्लेषण की आवश्यकता होती है।.

— रिचर्ड पी. फेनमैन, भौतिकी पर फेनमैन व्याख्यान

चार आयामी औपचारिकता के आधार पर व्याख्या

सामान्य स्थिति में, गतिमान तार में आवेशों पर चुंबकीय बल की क्रिया द्वारा या इसके क्षेत्र को बदलने वाले परिपथ में गतिमान ईएमएफ उपस्थिति की व्याख्या असंतोषजनक है। तथ्य की बात के रूप में, तार या परिपथ में चार्ज पूरी तरह से अनुपस्थित हो सकते हैं, तो क्या इस स्थिति में विद्युत चुम्बकीय प्रेरण प्रभाव गायब हो जाएगा? इस स्थिति का लेख में विश्लेषण किया गया है, जिसमें फैराडे के नियम में चार-आयामी सहसंयोजक रूप में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के अभिन्न समीकरणों को लिखते समय आंशिक समय व्युत्पन्न के अतिरिक्त परिपथ के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह का कुल समय व्युत्पन्न दिखाई देता है। . इस प्रकार, विद्युत चुम्बकीय प्रेरण तब प्रकट होता है जब चुंबकीय क्षेत्र समय के साथ बदलता है या जब परिपथ का क्षेत्र बदलता है। भौतिक दृष्टिकोण से, प्रेरण ईएमएफ के बारे में नहीं, बल्कि प्रेरित विद्युत क्षेत्र की ताकत के बारे में बात करना बेहतर है ${\textstyle \mathbf {E} =-\nabla {\mathcal {E}}-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$, जो परिपथ में तब होता है जब चुंबकीय प्रवाह बदलता है। इस स्थिति में योगदान $\mathbf {E}$ शब्द के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन से किया जाता है ${\textstyle -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ , कहाँ पे $\mathbf {A}$ सदिश क्षमता है। यदि निरंतर चुंबकीय क्षेत्र की स्थिति में परिपथ क्षेत्र बदल रहा है, तो परिपथ का कुछ हिस्सा अनिवार्य रूप से चल रहा है, और विद्युत क्षेत्र $\mathbf {E}$ चुंबकीय क्षेत्र के लोरेंत्ज़ परिवर्तन के परिणामस्वरूप आने वाले संदर्भ फ्रेम K' में परिपथ के इस हिस्से में उभरता है $\mathbf {B}$, स्थिर संदर्भ फ्रेम K में सम्मलित है, जो परिपथ से होकर गुजरता है। क्षेत्र की उपस्थिति $\mathbf {E}$ इन K' को चल परिपथ में प्रेरण प्रभाव के परिणामस्वरूप माना जाता है, भले ही परिपथ में चार्ज सम्मलित हों या नहीं। संचालन परिपथ में, क्षेत्र $\mathbf {E}$ आरोपों की गति का कारण बनता है। संदर्भ फ्रेम K में, यह प्रेरण के ईएमएफ की तरह दिखता है ${\mathcal {E}}$, जिसके रूप में ढाल $-\nabla {\mathcal {E}}$, परिपथ के साथ लिया गया, ऐसा लगता है कि $\mathbf {E}$. क्षेत्र उत्पन्न होता है।

आइंस्टीन के विचार

इस स्पष्ट द्विभाजन पर चिंतन प्रमुख मार्गों में से एक था जिसने अल्बर्ट आइंस्टीन को विशेष सापेक्षता विकसित करने के लिए प्रेरित किया:

यह ज्ञात है कि मैक्सवेल के विद्युतगतिकी - जैसा कि वर्तमान समय में सामान्यत: समझा जाता है - जब गतिमान पिंडों पर लागू किया जाता है, तो असममितता की ओर जाता है जो घटना में निहित प्रतीत नहीं होता है। उदाहरण के लिए, चुंबक और संवाहक की पारस्परिक विद्युत क्रिया को लें।

यहां देखने योग्य घटना केवल संवाहक और चुंबक की सापेक्ष गति पर निर्भर करती है, जबकि प्रथागत दृश्य दो मामलों के बीच एक तेज अंतर खींचता है जिसमें इनमें से एक या दूसरा गति में है। यदि चुंबक गति में है और संवाहक आराम पर है, तो चुंबक के पड़ोस में एक निश्चित निश्चित ऊर्जा के साथ एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है, जहां संवाहक के हिस्से स्थित होते हैं।.

लेकिन अगर चुंबक स्थिर है और चालक गति में है, तो चुंबक के निकट में कोई विद्युत क्षेत्र उत्पन्न नहीं होता है। संवाहक में, चूंकि, हम एक वैद्युतवाहक बल पाते हैं, जिसमें स्वयं कोई संबंधित ऊर्जा नहीं होती है, लेकिन जो उत्पन्न होती है - दो मामलों में सापेक्ष गति की समानता को मानते हुए - समान पथ और तीव्रता के विद्युत धाराओं को उत्पादित किया जाता है।

इस तरह के उदाहरण, "प्रकाश माध्यम" के सापेक्ष पृथ्वी की किसी भी गति को खोजने के असफल प्रयासों के साथ, यह सुझाव देते हैं कि वैद्युतगतिकी के साथ-साथ यांत्रिकी की घटनाओं में पूर्ण आराम के विचार के अनुरूप कोई गुण नहीं है।

— अल्बर्ट आइंस्टीन, मूविंग बॉडीज के वैद्युतगतिकी पर

यह भी देखें

• Eddy current
• Inductance
• Maxwell's equations
• Crosstalk
• Faraday paradox

आगे की पढाई

• Clerk Maxwell, James (1881). A treatise on electricity and magnetism, Vol. II. Oxford: Clarendon Press. ch. III, sec. 530, p. 178. ISBN 0-486-60637-6. a treatise on electricity and magnetism.

बाहरी कड़ियाँ

• Media related to फैराडे का प्रेरण का नियम at Wikimedia Commons
• A simple interactive tutorial on electromagnetic induction (click and drag magnet back and forth) National High Magnetic Field Laboratory
• Roberto Vega. Induction: Faraday's law and Lenz's law – Highly animated lecture, with sound effects, Electricity and Magnetism course page
• Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University
• Tankersley and Mosca: Introducing Faraday's law
• A free simulation on motional emf