प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण

प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण (एसडीई) एक प्रकार का अवकल समीकरण है जिसमें एक या अधिक शब्द एक प्रसंभाव्य प्रक्रम होते है, जिसके परिणामस्वरूप एक हल प्राप्त होता है जो एक प्रसंभाव्य प्रक्रम भी होता है। एसडीई का उपयोग विभिन्न घटनाओं जैसे कि स्टॉक की मूल्य या ऊष्मीय उच्चावच के अधीन भौतिक प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। सामान्यतः एसडीई में एक चर होता है जो यादृच्छिक वाइट नॉइज़ का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी गणना ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रम के व्युत्पन्न के रूप में की जाती है। हालाँकि, अन्य प्रकार के यादृच्छिक व्यवहार संभव हैं, जैसे कि जम्प प्रक्रियाएँ। यादृच्छिक अवकल समीकरण प्रसंभाव्य अवकल समीकरण के साथ संयुग्मित होते हैं।

पृष्ठभूमि

प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की उत्पत्ति ब्राउनियन गति के सिद्धांत में हुई, जो अल्बर्ट आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की के फलन में है। ये प्रारंभिक उदाहरण रेखीय प्रसंभाव्य अवकल समीकरण थे, जिन्हें फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लैंगविन के बाद 'लैंगविन' समीकरण भी कहा जाता है, जो एक यादृच्छिक बल के अधीन एक सरल आवर्ती दोलक की गति का वर्णन करता है। प्रसंभाव्य अवकल समीकरण का गणितीय सिद्धांत 1940 के दशक में जापानी गणितज्ञ कियोसी इटो के अभूतपूर्व फलन के माध्यम से विकसित किया गया था, जिन्होंने प्रसंभाव्य समाकल की अवधारणा प्रस्तुत की और अरैखिक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण का अध्ययन प्रारम्भ किया। एक अन्य दृष्टिकोण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सामान्य कलन के समान एक कलन की ओर की ओर अग्रसर है।

शब्दावली

साहित्य में एसडीई का सबसे साधारण रूप एक साधारण अवकल समीकरण है, जो एक वाइट नॉइज़ चर पर निर्भर एक शब्द से दाहिने हाथ की तरफ से परेशान है। ज्यादातर मामलों में, एसडीई को संबंधित प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। एसडीई की यह समझ अस्पष्ट है और संबंधित समाकल की एक उचित गणितीय परिभाषा द्वारा पूरक होना चाहिए। इस तरह की गणितीय परिभाषा पहली बार 1940 के दशक में कियोसी इटो द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जो आज इटो कलन के रूप में जानी जाती है। एक और निर्माण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो कि स्ट्रैटोनोविच समाकल के रूप में जाना जाता है। इटो समाकल और स्ट्रैटोनोविच समाकल संबंधित हैं, लेकिन अलग-अलग, ऑब्जेक्ट्स और उनके बीच की पसंद विचार किए गए एप्लिकेशन पर निर्भर करती है। इटो कैलकुस गैर-प्रत्याशात्मकता या कारणता की अवधारणा पर आधारित है, जो उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक है जहाँ चर समय है। दूसरी ओर, स्ट्रैटोनोविच कलन में ऐसे नियम हैं जो साधारण कलन से मिलते जुलते हैं और इसमें आंतरिक ज्यामितीय गुण हैं जो ज्यामितीय समस्याओं जैसे मैनिफोल्ड पर यादृच्छिक गति से फलन करने के दौरान इसे और अधिक स्वाभाविक बनाते हैं।

एसडीई पर एक वैकल्पिक दृष्टिकोण डिफियोमोर्फिज्म का प्रसंभाव्य प्रवाह है। यह समझ असंदिग्ध है और प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की निरंतर समय सीमा के स्ट्रैटोनोविच संस्करण के समान प्रतीत होती है। एसडीई के साथ संबद्ध स्मोलुचोव्स्की समीकरण या फोककर-प्लांक समीकरण है, एक समीकरण जो प्रायिकता वितरण फलनों के समय विकास का वर्णन करता है। भिन्न रूपों के अस्थायी विकास के लिए फोकर-प्लैंक विकास का सामान्यीकरण प्रसंभाव्य एवोल्यूशन संकारक की अवधारणा द्वारा प्रदान किया गया है।

भौतिक विज्ञान में, "लैंगविन एसडीई" शब्द के प्रयोग में एक अस्पष्टता है। जबकि लैंगविन एसडीई एक अधिक सामान्य रूप का हो सकता है, यह शब्द सामान्यतः एसडीई के एक संकीर्ण वर्ग को ढाल प्रवाह वेक्टर फ़ील्ड्स के साथ संदर्भित करता है। एसडीई का यह वर्ग विशेष रूप से लोकप्रिय है क्योंकि यह पेरिस-सोरलास स्टोकास्टिक क्वांटिज़ेशन प्रक्रिया का प्रारंभिक बिंदु है, अति-सममित (सुपरसिमेट्री) क्वांटम यांत्रिकी से बारीकी से संबंधित N=2 अति-सममित मॉडल की ओर अग्रसर है। भौतिक दृष्टिकोण से, हालांकि, एसडीई का यह वर्ग बहुत प्रभावशाली नहीं है क्योंकि यह कभी भी टोपोलॉजिकल अति-सममित के स्वतः विश्लेषण का प्रदर्शन नहीं करता है, अर्थात (अतिअवमंदित (ओवरडम्प्ड) लैंग्विन एसडीई कभी भी संकुल नहीं होते हैं।

प्रसंभाव्य कलन

ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया को असाधारण रूप से जटिल गणितीय रूप से खोजा गया था। वीनर प्रक्रिया लगभग निश्चित रूप से कहीं भी अलग नहीं है; इस प्रकार, इसे कलन के अपने स्वयं के नियमों की आवश्यकता होती है। प्रसंभाव्य कलन, इटो प्रसंभाव्य कलन और स्ट्रैटोनोविच प्रसंभाव्य कलन के दो प्रभावी संस्करण हैं। दोनों में से प्रत्येक की लाभ और हानियां होती हैं, और नवागंतुक प्रायः भ्रमित होते हैं कि क्या दी गई स्थिति में एक दूसरे की तुलना में अधिक उपयुक्त है। गाईडलाइन्स (उदाहरण के लिए ऑक्सेंडल (Øksendal), 2003) विद्यमान हैं और साधारण रूप से, एक आईटीओ एसडीई को समकक्ष स्ट्रैटोनोविच एसडीई में परिवर्तित कर सकते हैं और पुनः इसका विपरीत किया जा सकता है। तथापि, जब एसडीई प्रारम्भ में लिखा जाता है तो किस कलन का उपयोग करना चाहिए, इसका विशेष ध्यान रखना चाहिए।

संख्यात्मक हल

प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों में सम्मिलित हैं यूलर-मारुयामा विधि, मिल्स्टीन विधि और रनगे-कुट्टा विधि (एसडीई)।

भौतिकी में प्रयोग करें

See also: लैंग्विन समीकरण

भौतिक विज्ञान में, एसडीई में आणविक गतिकी से लेकर तंत्रिकीय गतिकी (न्यूरोडायनामिक्स) और खगोलभौतिकीय वस्तुओं की गतिशीलता तक व्यापक प्रयोज्यता है। अधिक विशेष रूप से, एसडीई सभी गतिशील प्रणालियों का वर्णन करते हैं, जिसमें क्वांटम प्रभाव या तो महत्वहीन हैं या प्रक्षोभ के रूप में ध्यान में रखा जा सकता है। एसडीई को नॉइज़ के साथ मॉडल के लिए गतिशील प्रणाली सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। यह एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है क्योंकि वास्तविक प्रणालियों को उनके वातावरण से पूरी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है और इस कारण से हमेशा बाहरी प्रसंभाव्य प्रभाव का अनुभव होता है।

नए अज्ञात को प्रस्तुत करके उच्च-क्रम के समीकरणों को कई युग्मित प्रथम-क्रम समीकरणों में परिवर्तन की मानक तकनीकें हैं। इसलिए, निम्नलिखित एसडीई का सबसे सामान्य वर्ग है:

${\frac {dx(t)}{dt}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,$

जहाँ $x\in X$ अपने अवस्था (या चरण) समष्टि में सिस्टम में स्थिति है, $X$, एक अवकलनीय मैनीफोल्ड माना जाता है, $F\in TX$ एक प्रवाह सदिश फ़ील्ड है जो एवोल्यूशन के नियतात्मक नियम का प्रतिनिधित्व करता है, और $g_{\alpha }\in TX$ सदिश फ़ील्ड्स का एक समूह है जो गॉसियन वाइट नॉइज़, $\xi ^{\alpha }$ के लिए प्रणाली के युग्मन को परिभाषित करता है। यदि $X$ एक रेखीय स्थान है और $g$ स्थिरांक हैं, तो सिस्टम को योज्य नॉइज़ के अधीन कहा जाता है, अन्यथा इसे गुणात्मक नॉइज़ के अधीन कहा जाता है। यह शब्द कुछ हद तक भ्रामक है क्योंकि इसका मतलब सामान्य स्थिति से है, हालांकि ऐसा लगता है कि यह सीमित स्थिति है जिसमें $g(x)\propto x$ है।

नॉइज़ के एक निश्चित विन्यास के लिए, एसडीई के पास प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष अवकलनीय विशिष्ट हल है। प्रसंभाव्य स्थिति की गैर-नगण्यता तब दिखाई देती है जब कोई नॉइज़ विन्यास पर रुचि की विभिन्न वस्तुओं को औसत करने का प्रयास करता है। इस अर्थ में, एक एसडीई विशिष्ट रूप से परिभाषित इकाई नहीं है जब नॉइज़ गुणक होता है और जब एसडीई को प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। इस स्थिति में, एसडीई को "एसडीई की व्याख्या" के रूप में जाना जाता है, जैसे कि आईटीओ या एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्याओं द्वारा पूरक होना चाहिए। फिर भी, जब एसडीई को डिफियोमॉर्फिज़्म के निरंतर-समय के प्रसंभाव्य प्रवाह के रूप में देखा जाता है, तो यह एक विशिष्ट रूप से परिभाषित गणितीय वस्तु है जो स्ट्रैटोनोविच के दृष्टिकोण से एक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की निरंतर समय सीमा से मेल खाती है।

भौतिकी में, हल का मुख्य तरीका समतुल्य फोकर-प्लैंक समीकरण (एफपीई) का उपयोग करते हुए समय के एक समारोह के रूप में प्रायिकता वितरण फलन को खोजना है। फोकर-प्लैंक समीकरण एक नियतात्मक आंशिक अवकल समीकरण है। यह बताता है कि प्रायिकता वितरण फलन समय के साथ कैसे विकसित होता है उसी तरह जैसे श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम तरंग फलन का समय विकास देता है या विसरण समीकरण रासायनिक एकाग्रता का समय विकास देता है। वैकल्पिक रूप से, मोंटे कार्लो अनुकरण द्वारा संख्यात्मक हल प्राप्त किया जा सकता है। अन्य तकनीकों में पथ समाकलन सम्मिलित है जो सांख्यिकीय भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी (उदाहरण के लिए, फोकर-प्लैंक समीकरण को कुछ वेरिएबल्स को रीस्केल करके श्रोडिंगर समीकरण में बदला जा सकता है) या प्रायिकता वितरण समारोह के सांख्यिकीय क्षणों के लिए सामान्य अवकल समीकरणों को लिखकर सादृश्यता पर आधारित है।

प्रायिकता और गणितीय वित्त में प्रयोग करें

प्रायिकता सिद्धांत (और प्रायिकता सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए गणितीय वित्त) में प्रयुक्त संकेतन नगण्यतापूर्वक अलग है। यह स्टोकास्टिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों पर प्रकाशनों में प्रयुक्त संकेतन भी है। यह अंकन भौतिकी सूत्रीकरण में समय $\eta _{m}$ के यादृच्छिक फलन की विजातीय प्रकृति को और अधिक स्पष्ट करता है। यथार्थ गणितीय पदों में, $\eta _{m}$ सामान्य फलन के रूप में चयनित नहीं किया जा सकता है, बल्कि केवल सामान्यीकृत फलन के रूप में चयनित किया जा सकता है। गणितीय सूत्रीकरण इस समस्या को भौतिकी सूत्रीकरण की तुलना में कम अस्पष्टता के साथ संसाधित करता है।

एक विशिष्ट समीकरण रूप का है

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},$

जहाँ $B$ एक वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउनियन गति) को दर्शाता है।

इस समीकरण की व्याख्या संबंधित समाकल समीकरण को व्यक्त करने के अनौपचारिक विधि के रूप में की जानी चाहिए

$X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.$

उपरोक्त समीकरण निरंतर समय प्रसंभाव्य प्रक्रम X_t के व्यवहार को एक साधारण लेबेस्ग समाकल और एक इटो समाकल के योग के रूप में दर्शाता है। प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की अन्वेषणात्मक (लेकिन बहुत उपयोगी) व्याख्या यह है कि लंबाई के एक छोटे से समय अंतराल में प्रसंभाव्य प्रक्रम X_t एक राशि से अपना मान बदलती है जो सामान्य रूप से अपेक्षा μ(X_t, t) δ और विचरण σ(X_t, t)² δ और प्रक्रिया के पूर्व क्रियाविधि से स्वतंत्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक वीनर प्रक्रिया की वृद्धि स्वतंत्र होती है और सामान्य रूप से वितरित होती है। फलन μ को प्रक्षेप (ड्रिफ्ट) गुणांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि σ को विसरण गुणांक कहा जाता है। प्रसंभाव्य प्रक्रम X_t को विसरण प्रक्रिया कहा जाता है, और यह मार्कोव गुणधर्म को संतुष्ट करती है।

एसडीई के हल के गठन के संदर्भ में एक एसडीई की औपचारिक व्याख्या दी गई है। एसडीई के हल की दो मुख्य परिभाषाएँ हैं, एक मजबूत हल और एक कमजोर हल। दोनों को एक ऐसी प्रक्रम X_t के अस्तित्व की आवश्यकता है जो एसडीई के समाकल समीकरण संस्करण को हल करती है। दोनों के बीच का अंतर अंतर्निहित प्रायिकता समष्टि ($\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P$) में है। एक दुर्बल हल में एक प्रायिकता समष्टि और एक प्रक्रिया होती है जो समाकल समीकरण को संतुष्ट करती है, जबकि एक प्रबल हल एक ऐसी प्रक्रिया है जो समीकरण को संतुष्ट करती है और किसी दिए गए  प्रायिकता  समष्टि पर परिभाषित होती है।

एक महत्वपूर्ण उदाहरण ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए समीकरण है

$\mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.$

जो ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में स्टॉक के मूल्य की गतिशीलता के लिए समीकरण है | ब्लैक-स्कोल्स विकल्प वित्तीय गणित के मूल्य निर्धारण मॉडल।

अधिक सामान्य प्रसंभाव्य अवकल समीकरण भी हैं जहाँ गुणांक μ और σ न केवल प्रक्रिया X_t के वर्तमान मूल्य पर निर्भर करते हैं, बल्कि प्रक्रिया के पिछले मूल्यों पर भी और संभवत: अन्य प्रक्रियाओं के वर्तमान या पिछले मूल्यों पर भी निर्भर करते हैं। उस स्थिति में हल प्रक्रिया, X, मार्कोव प्रक्रिया नहीं है, और इसे इटो प्रक्रिया कहा जाता है, न कि विसरण प्रक्रिया। जब गुणांक केवल X के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है, तो परिभाषित समीकरण को प्रसंभाव्य डिले अवकल समीकरण कहा जाता है।

हल का अस्तित्व और विशिष्टता

नियतात्मक सामान्य और आंशिक अवकल समीकरणों के साथ, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या किसी दिए गए एसडीई का हल है, और यह विशिष्ट है या नहीं। आईटीओ एसडीई के लिए n-विमीययूक्लिडियन समष्टि Rⁿ में मूल्य प्राप्त करने और m-विमीय ब्राउनियन गति B द्वारा संचालित एक विशिष्ट अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय निम्नलिखित है; प्रमाण ऑक्सेंडल (Øksendal) (2003, §5.2) में प्राप्त किया जा सकता है।

मान लीजिए T > 0, और मान लीजिए

$\mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};$

$\sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};$

मापने योग्य फलन हो जिसके लिए स्थिरांक C और D विद्यमान हैं

${\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};$

${\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;$

सभी t ∈ [0, T] और सभी x और y ∈ Rⁿ के लिए, जहाँ

$|\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.$

मान लीजिए Z एक यादृच्छिक चर है जो B द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित से स्वतंत्र है, B_s, s ≥ 0, और परिमित दूसरे क्षण के साथ:

$\mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .$

फिर प्रसंभाव्य अवकल समीकरण/समीकरण/प्रारंभिक मूल्य समस्या

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];$

$X_{0}=Z;$

में एक P-लगभग निश्चित रूप से विशिष्ट t-निरंतर समाधान (t, ω) ↦ X_t(ω) है जैसे कि X को Z और B_s, s ≤ t, और द्वारा उत्पन्न निस्पंदन F_t^Z के अनुकूल बनाया गया है।

$\mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .$

कुछ स्पष्ट रूप से हल करने योग्य एसडीई

रैखिक एसडीई: सामान्य स्थिति

$dX_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))dt+(b(t)X_{t}+d(t))dW_{t}$

$X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)d(s))ds+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}d(s)dW_{s}\right)$

जहाँ

$\Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)ds+\int _{t_{0}}^{t}b(s)dW_{s}\right)$

परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 1

$dX_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})dt+f(X_{t})dW_{t}$

किसी दिए गए अवकलनीय फलन के लिए $f$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है

$dX_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}$

जिसका एक सामान्य हल है

$X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))$

जहाँ

$h(x)=\int ^{x}{\frac {ds}{f(s)}}$

परिवर्ती (रिड्यूसिबल) एसडीई: स्थिति 2

$dX_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)dt+f(X_{t})dW_{t}$

किसी दिए गए अवकलनीय फलन के लिए $f$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है

$dX_{t}=\alpha f(X_{t})dt+f(X_{t})\circ W_{t}$

जो कम करने योग्य है

$dY_{t}=\alpha dt+dW_{t}$

जहाँ $Y_{t}=h(X_{t})$ जहाँ $h$ पहले के रूप में परिभाषित किया गया है।

इसका सामान्य हल है

$X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))$

एसडीई और अति सममिती

Main article: प्रसंभाव्य गतिकी का अति सममित सिद्धांत

एसडीई के अति-सममित सिद्धांत में, प्रसंभाव्य गतिशीलता को मॉडल के चरण स्थान पर विभेदक रूपों पर अभिनय करने वाले प्रसंभाव्य विकास ऑपरेटर के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। प्रसंभाव्य गतिकी के इस सटीक सूत्रीकरण में, सभी एसडीई में टोपोलॉजिकल अति-सममित होती है जो निरंतर समय प्रवाह द्वारा फेज स्पेस की निरंतरता के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करती है। इस अति-सममित का सहज टूटना अराजकता, अशांति, स्व-संगठित आलोचनात्मकता आदि के रूप में अनुशासनों में जानी जाने वाली सर्वव्यापी गतिशील घटना का गणितीय सार है और गोल्डस्टोन प्रमेय संबंधित लंबी दूरी के गतिशील व्यवहार की व्याख्या करता है, अर्थात, तितली प्रभाव, 1/f और कर्कश नॉइज़, और भूकंप, तंत्रिका हिमस्खलन, सौर फ्लेयर्स आदि के पैमाने-मुक्त आँकड़े है।

यह भी देखें

• लैंग्विन गतिकी
• स्थानीय अस्थिरता
• अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
• प्रसंभाव्य अस्थिरता
• प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण
• विसरण प्रक्रिया
• प्रसंभाव्य अवकल समीकरण

अग्रसर पाठ्यक्रम

• Adomian, George (1983). Stochastic systems. Mathematics in Science and Engineering (169). Orlando, FL: Academic Press Inc.
• Adomian, George (1986). Nonlinear stochastic operator equations. Orlando, FL: Academic Press Inc.
• Adomian, George (1989). Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. Mathematics and its Applications (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group.
• Calin, Ovidiu (2015). An Informal Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Singapore: World Scientific Publishing. p. 315. ISBN 978-981-4678-93-3.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
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• C. W. Gardiner (2004). Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer. p. 415.
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