प्रवर समुच्चय

के विभाजक का एक हसी आरेख $210$, संबंध द्वारा आदेशित ऊपरी समुच्चय के साथ, का विभाजक है $\uparrow 2$ रंगीन हरा।सफेद समुच्चय निचले समुच्चय का निर्माण करते हैं $\downarrow 105.$

गणित में, एक ऊपरी समुच्चय (जिसे ऊपर की ओर बंद समुच्चय भी कहा जाता है, एक अपसमुच्चय, या x में एक आइसोटोन समुच्चय ) एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय $(X,\leq )$ एक उपसमुच्चय है $S\subseteq X$ निम्नलिखित विशेषता के साथ यदि S में है और यदि x में S $s<x$ से बड़ा है), तो X, S में है दूसरे शब्दों में, इसका तात्पर्य है कि X का कोई भी X$\,\geq \,$S अवयव के कुछ अवयव के लिए आवश्यक रूप से S का एक अवयव भी है।

शब्द 'निम्न समुच्चय' (जिसे 'अधोमुखी बंद समुच्चय ' भी कहा जाता है, 'निम्न समुच्चय ' घटते समुच्चय, 'प्रारंभिक खंड', या 'अर्ध-आदर्श') को इसी तरह परिभाषित किया गया है। विशेषता है कि x का कोई भी अवयव x है तो X$\,\leq \,$ S के कुछ अवयव के लिए आवश्यक रूप से S का एक अवयव भी है।

परिभाषा

माना कि $(X,\leq )$ एक पूर्व निर्धारित समुच्चय हो।

एकउच्च समुच्चय $X$ में (यह भी कहा जाता है ऊपर की ओर बंद सेट, एक ऊपरी सेट, या एक आइसोटॉन तय करना) एक उपसमुच्चय है $U\subseteq X$ यह उर्ध्वगामी बंद है, इस अर्थ में

सभी के लिए $u\in U$ और सभी $x\in X,$ अगर $u\leq x$ तब $x\in U.$

द्वंद्व (आदेश सिद्धांत) धारणा एक है। निचला सेट (यह भी कहा जाता है नीचे की ओर बंद समुच्चय ,निम्न समुच्चय ,घटता सेट, प्रारंभिक खंड, या अर्द्ध आदर्श), जो एक उपसमुच्चय है $L\subseteq X$ यह नीचे जाने के तहत बंद है, इस अर्थ में

सभी के लिए $l\in L$ और सभी $x\in X,$ अगर $x\leq l$ तब $x\in L.$

शर्तें आदेश या आदर्श कभी -कभी निचले समुच्चय के लिए पर्यायवाची के रूप में उपयोग किया जाता है। शब्दावली की यह प्रमुख जाली (आदेश) के एक आदर्श की धारणा को प्रतिबिंबित करने में विफल रहती है क्योंकि जरूरी नहीं कि इसमें एक सबलैटिस हो।

गुण

• प्रत्येक आंशिक रूप से आदेश किया गया समुच्चय स्वयं का एक ऊपरी समुच्चय है।
• ऊपरी समुच्चय के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) और संघ (समुच्चय सिद्धांत) फिर से एक ऊपरी समुच्चय है।
• किसी भी ऊपरी समुच्चय का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) और इसके विपरीत एक निचला समुच्चय है।
• एक आंशिक रूप से आदेश किए गए समुच्चय को दिया गया $(X,\leq ),$ ऊपरी समुच्चय जाली के ऊपरी समुच्चय का परिवार $X$ समावेश (समुच्चय सिद्धांत) संबंध के साथ आदेश दिया गया एक पूर्ण जाली है।
• एक मनमाना उपसमुच्चय दिया गया $Y$ एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय $X,$ सबसे छोटा ऊपरी समुच्चय युक्त $Y$ के रूप में एक अप तीर का उपयोग करके निरूपित किया गया है $\uparrow Y$ (देखें ऊपरी समापन और निम्न समापन )।
• प्रायः, सबसे छोटा निचला समुच्चय युक्त $Y$ के रूप में एक नीचे तीर का उपयोग करके निरूपित किया गया $\downarrow Y$ है।
• एक निचले समुच्चय को मूलधन कहा जाता है यदि यह $\downarrow \{x\}$ प्रारूप का है, जहाँ $x$ का एक अवयव $X$ है।
• हर निचला समुच्चय $Y$ एक परिमित आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय $X$ के सभी अधिकतम तत्व वाले सबसे छोटे निचले समुच्चय के बराबर है $Y$ **$\downarrow Y=\downarrow \operatorname {Max} (Y)$ कहाँ $\operatorname {Max} (Y)$ के अधिकतम तत्वों वाले समुच्चय को दर्शाता है $Y.$
• एक निर्देशित समुच्चय निम्न समुच्चय को एक आदेश आदर्श कहा जाता है।
• आंशिक आदेशों के लिए अवरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करने के लिए, एंटीचेन और ऊपरी समुच्चय निम्नलिखित बायजेक्शन के माध्यम से एक-से-एक पत्राचार में हैं: प्रत्येक एंटीचैन को इसके ऊपरी बंद करने के लिए मैप करें (नीचे देखें); इसके विपरीत, प्रत्येक ऊपरी समुच्चय को उसके न्यूनतम तत्वों के समुच्चय पर मैप करें। यह पत्राचार अधिक सामान्य आंशिक आदेशों के लिए नहीं है; उदाहरण के लिए वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\{x\in \mathbb {R} :x>0\}$ और $\{x\in \mathbb {R} :x>1\}$ दोनों को खाली एंटीचैन में मैप किया जाता है।

ऊपरी समापन और निम्न समापन

एक अवयव दिया $x$ एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय $(X,\leq ),$ ऊपरी बंद या ऊपर की ओर बंद करना $x,$ द्वारा चिह्नित $x^{\uparrow X},$ $x^{\uparrow },$ या $\uparrow \!x,$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$$x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}$$

जबकि कम बंद या नीचे की ओर बंद होना $x$, द्वारा चिह्नित $x^{\downarrow X},$ $x^{\downarrow },$ या $\downarrow \!x,$ द्वारा परिभाषित किया गया है,

$$x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.$$

समुच्चय $\uparrow \!x$ और $\downarrow \!x$ क्रमशः, सबसे छोटे ऊपरी और निचले समुच्चय $x$ एक अवयव के रूप में होते हैं।

सामान्यतः, एक उपसमुच्चय